第1章 有理数 章节拔尖攻略-【通成学典】2026-2027学年七年级上册数学拔尖特训(浙教版·新教材)

附：答案与解析 第1章有理数 [高频考点突破] ①D根据题意可知，一2.00D表示近视200度，不需要持 续戴眼镜矫正视力；一1.50D表示近视150度，不需要持续 戴眼镜矫正视力；一1.00D表示近视100度，不需要持续戴 眼镜矫正视力；一2.50D表示近视250度，近视超过200度， 需要持续戴眼镜矫正视力. ②第一种品牌的面粉的最大质量是20十0.1=20.1(kg), 最小质量是20一0.1=19.9(kg);第二种品牌的面粉的 最大质量是20十0.2=20.2(kg),最小质量是20-0.2 19.8(kg);第三种品牌的面粉的最大质量是20+0.3= 20.3(kg),最小质量是20-0.3=19.7(kg).所以从中任意 拿出两袋，它们的质量最多相差20.3一19.7=0.6(kg. ③(1)观察可知，这列数正负相间，从左往右绝对值依次增 加1，且第一个数为-1，所以第99个数为-99，第2026个 数为2026.(2)根据数的排列特征可知，前偶数个数中， 正数和负数的个数各占一半，所以前2026个数中，正数有 1013个，负数有1013个.(3)因为这列数正负相间，所 有的负数的绝对值都是奇数，所有的正数的绝对值都是偶 数，所以2027不在这列数中，一2027在这列数中，一2027 是第2027个数， ④C-(-2026)=2026,|-2026|=2026,选项A错 误：十()=一品-一=一选项B错误： +|-3.14=3.14,-|3.14|=-3.14,选项C正确： -=一专士(+)=±号，选项D错误 ⑤(1)因为-(-|-23231)=-(-2323)=2323， +[-(-2323)]=+(十2323)=2323，所以-(-|-2323)= +[-(-2323)]. (2)因为--(+2)】=， -(+-2)=-(+2)=2所以-[-(+2)】与 (+-)互为相反数 6(1)①-a.②b.③c.④-a.⑤b.⑥c. 由数轴可得，a<0<b<c,所以|a=一a,lb|=b,|c|=c, |-a=-a,l-b1=b,|-c|=c.(2)因为|a|=5.5, |bl=2.5,lc=5,所以a=-5.5,b=2.5,c=5. ⑦<根据题意，得《-3,2》=一3，「-4,1」=1.因为 -3<1,所以《-3,2》<「-4,1山. 8因为x|=2,|y|=3,|x|=4,所以x=±2，y=±3， 之=士4.因为x>y>x,所以x=2,y=一3，x=-4或 x=一2，y=一3,2=一4. ⑨(1)补全表格如下： 序号 环数 相对环数 ① 20.7 -0.3 ② 21.2 0.2 ③ 21.0 0 ④ 21.0 0 ⑤ 21.2 0.2 ⑥ 20.6 -0.4 ⑦ 20.7 -0.3 ⑧ 20.8 -0.2 ⑨ 20.7 -0.3 ⑩ 21.5 0.5 (2)①. 根据题意，得|-0.3=0.3,10.2=0.2， |-0.4=0.4,|-0.2|=0.2,10.5=0.5.因为0<0.2< 0.3<0.4<0.5,所以与21环偏差最大的那轮射击的序号 为⑩.(3)20.7+21.2+21.0+21.0+21.2+20.6+ 20.7+20.8+20.7+21.5=209.4(环)，所以这10轮的总 成绩为209.4环. [综合素养提升] ①A由题意知，乙部分只有一个数且是0.因为正整数和 负整数均有无数个，所以甲、丙两部分都有无数个数. ②D当a=0时，-a是0：当a是负数时，一a表示a的 相反数，是正数.故①错误.当a=0时，一|一a|=0,故② 45 数学（浙教版）七年级上 错误.相反数等于它本身的数只有0，故③正确正数与0 的绝对值都是其本身，负数的绝对值是正数，正数大于负 数，所以绝对值大于它本身的数是负数，故④正确.综上所 述，正确的为③④」 3D解法-：因为a<0,b>0,所以|a|=-a,|b|=b. 又因为la>|bl,所以-a>b>0.所以a<-b<0.所以 a<一b<b<一a.解法二（数形结合）：因为a<0,b>0, 且|a>|b|,所以a是负数，b是正数，且a到原点的距离 比b到原点的距离大.把a,b,一a,一b表示在数轴上如图 所示，所以a<一b<b<一a.解法三（特殊值法）：因为 a<0,b>0,且|a>|b|,所以可设a=一4，b=3.所以 一a=4,-b=一3.因为-4<-33<4，所以a<-b b<-a. a-b 0 b-a (第3题) ④C因为数轴上一6与6对应的两点之间的线段长度为 12,六等分后每段线段的长度为12：6=2，所以a1,a2,a3, a1,a5分别为一4，-2,0,2,4.所以a3=0,故选项A错误； 因为a1|=|一4|=4，a1|=|2=2,4不等于2，故选项B 错误；因为a,|+|a2|=6,la4|+|a5|=6,所以|a1|+ |a2|=|a4|+lasl,故选项C正确；因为a5=4,a1=2,4> 2,所以a>a1,故选项D错误. ⑤一1.5或10.5因为点A,B表示的数互为相反数，且 两，点之间的距离是12，所以点A表示的数为6或一6.因为 点A运动后与初始位置的距离为1.5×(5-2)=4.5，且点 C在点A的左侧，所以点C在数轴上表示的数为6一4.5= 1.5或-6一4.5=一10.5.所以点C表示的数的相反数是 -1.5或10.5. ⑥CD当原点在a,b之间时，因为a的绝对值是b的 绝对值的3倍，所以原点在点C的位置.当原点在b的右 侧时，因为α的绝对值是b的绝对值的3倍，所以原点在点 D的位置.当原点在a的左侧时，因为a的绝对值是b的 绝对值的3倍，所以这种情况不存在.综上所述，数轴的原 点在点C或点D处 46 7(1)根据题意，得500一4=496（克），500一2=498（克）， 500十0=500（克），500+1=501（克），500+2=502（克）， 500+3=503(克).所以抽取的样品中，最大质量为503克， 最小质量为496克.因为503-496=7（克），所以它们的质 量相差最大为7克.(2)因为净重500士2克，所以易得 实际质量在498克~502克之间.所以不合格的有5+3= 8(袋).所以这20袋食品的合格率为(20一8)÷20× 100%=60%.(3)由(1)，得496×5+498×3+500×3+ 501×4+502×2+503×3=9991(克).所以这次抽取的 20袋食品的总质量是9991克. 第2章有理数的运算 [高频考点突破] ①C观察数轴可知，a>b,|a|<|b|,所以b一a<0, la-lb<0.故选项A,B错误.因为一b-a=一b十 (一a),由数轴可知，a,b分别为正数、负数，所以一a,一b 分别为负数、正数.所以一b十（一a)的值取绝对值较大的 数-b的符号，即-b-a>0.故选项C正确.因为a十b的 值取绝对值较大的数b的符号，所以a十b<0.故选项D 错误 2D根据题图，可得-1<b<0,a>1.因为a>0,b<0, 所以ab<0.所以选项A不符合题意.因为一1<b<0,a> 1,所以a十b>0.所以选项B不符合题意.因为a>1,所以 a-1>0.因为-1<b<0,所以b-1<0.所以(a-1)(b 1)<0.所以选项C不符合题意.因为a>1,所以a十1>0. 因为-1<b<0,所以b+1>0.所以(a+1)(b+1)>0.所 以选项D符合题意， ③D因为2=2,2=4,2=8,2=16,2=32,2= 64,…,所以上述计算结果中个位上的数字以2,4,8,6四个 数为一组循环.因为2十4十8十6=20，所以每一组的四个 数相加后的结果个位上的数字为0.因为2024÷4=506， 所以506组相加后的结果个位上的数字为0.所以2+ 2+23+2+2+…十221的结果的个位上的数字是0.本册知识结构 代数式与代数式的值 自然数与分数 从自然数到有理数 有理数 单项式 代数式 整式 多项式 数轴、相反数与绝对值 有理数 同类项与合并同类项 利用数轴 整式的加减 有理数的大小比较 去括号 利用性质 认识方程 一次 等式的基本性质 方程 元 定义 去分母，去括号，移项， 法则 一次 解法 合并同类项，两边同除 加、减、乘、除、乘方 七年级 方程 以未知数的系数 上册 加法交换律 交换律 应用 审、设、找、列、解、验 乘法交换律 有理数 加法结合律 的运算 结合律 运算律 乘法结合律 分配律 几何图形 立体图形与平面图形 科学记数法与近似数 表示方法 线段、射线 直线、线段的基本事实 和直线 图形的 线段的长短比较 平方根与算术平方根 初步知识 线段的和差 无理数与实数 角与角的度量 实数 实数与数轴上点的关系 实数 角 角的大小比较 角的和差 立方根 余角和补角 实数的运算 第1章有理数 P朝高频考点突破 聚焦高频考点，各个击破 用正、负数表示具有相反 对应练习 考点 意义的量 1.[2025河北模拟]通常近视超过200度时 典例1舒青境热点信息北京时间2025年 就需要持续戴眼镜进行视力矫正，验光师 8月25日凌晨，世界乒乓球职业大联盟(WTT) 经常以“××D”的方式记录近视程度，例 如：将近视50度记录为一0.50D,近视 欧洲大满贯瑞典站女单决赛，孙颖莎战胜王 100度记录为一1.00D.下列4个验光记录 曼昱，夺得WTT欧洲大满贯瑞典站女单冠 中，需要持续戴眼镜矫正视力的是() 军.按照规定，乒乓球的标准质量为2.7g,误 A.-2.00D B.-1.50D 差士0.081g.某品牌乒乓球的产品参数如下 C.-1.00D D.-2.50D 表所示.下列四个乒乓球的直径均符合产品 2. 新情境生活实际某粮店出售的三种品牌 参数标准，但有一个乒乓球的质量不合格， 的面粉袋上，分别标有质量为(20士 侧不合格的质量是 ( 0.1)kg,(20±0.2)kg,(20士0.3)kg的字 型 号 颜 色 质 量 规格 样，从中任意拿出两袋，它们的质量最多 3星级 橙色 2.7g士0.081g 10个/盒 相差多少千克？ A.2.71g B.2.733g C.2.782g D.2.681g 分析 先求出乒兵球合格质量的范围，再进行判断 即可， 解答：因为2.7+0.081=2.781(g),2.7 0.081=2.619(g),所以在2.619g2.781g 范围内的乒乓球都是合格的.因为2.782> 考点二有理数的排列规律 2.781,所以选项C中乒乓球的质量不合格， 典例2舒考向探究题将一串有理数按如图 故选C. 所示的规律排列，回答下列问题： 小结 解这类“误差范围”问题的要点： -10 (1)确定标准值和误差值； (典例2图) (2)计算合格范围：（标准值一误差值）小于 (1)在A位置的数是正数还是负数？ 或等于（合格值）小于或等于（标准值十误差值）； (2)A,B,C,D中哪个位置的数是正数？ (3)逐一验证选项所给内容是否在该范围 (3)第2026个数是正数还是负数？排在对 内，超出范围的即为不合格 应于A,B,C,D中的哪个位置？ 第1章有理数 分析 考点三相反数与绝对值 (1)根据A是向上箭头的上方对应的数解 典例3下列各组数中，互为相反数的是 答；(2)根据箭头的方向与所对应的数的正、负 情况解答；(3)根据4个数为一个循环组，用 2026除以4，由余数的情况确定所对应的数的 A.1+31与|-31 正负及位置即可. ()与 B. 解答：(1)因为A是向上箭头的上方对应的 C. 1-30%1与-|-30% 数，与一4的符号相同，所以在A位置的数 D. -+36.28|与+(-36.28) 是负数. 分析 (2)因为向下箭头的上方对应的数是正数， 先根据绝对值的意义及多重符号的化简方 下方对应的数是负数，向上箭头的下方对应 法将各选项中的两个数分别化简，然后进行 的数是正数，上方对应的数是负数，所以B, 判断 D位置的数是正数 解答：十31|=31，-31=31，选项A错 (3)因为2026÷4=506…2，所以第2026 个数是负数，排在对应于C的位置！ 误：()-选项B错误1-30%1 小结 30%,一1一30%|=一30%，选项C正确； 本题是对有理数排列规律的考查，仔细观察 图形，从箭头方向向下和向上两种情况对应的数 +36.28=-36.28,+(-36.28)= 的正、负考虑是解题的关键」 一36.28，选项D错误.故选C. 小结 对应练习 判断两个不为0的数是否互为相反数，核心 3.观察下列数：一1,2，一3,4，一5,6，一7， 是抓住“绝对值相等、符号相反”这两个条件： 8,-9,… (1)先化简各数（如去绝对值符号、去括 (1)请写出这列数中的第99个数和第 号)，得到最简形式； 2026个数 (2)对比化简后的两个数，同时满足“绝对 (2)在前2026个数中，正数和负数分别 值相等”和“符号相反”，才互为相反数， 有多少个？ 注意：“同一个数”“不确定的数（如带士的 (3)2027和一2027是否都在这列数中？ 数)”都不满足相反数的定义 若在，请指出它们分别是第几个数， 对应练习 4.下列各组数中，互为相反数的是() A.-(-2026)与|-2026 s(-)与- C.+|-3.141与-3.14 D.-与±(+》 3 数学（浙教版）七年级上 5.判断下列各组数中两个有理数的关系： 对应练习 (1)-(--2323|)与+[-(-2323)]. 6.有理数a,b,c在数轴上的位置如图所示， 2)--(+2与-(+2)： (1)根据数轴化简： ①la|= ②1b1= ③lcl= ④|-a|= ⑤|-b|= ⑥|-c|= 考点四数轴与绝对值的综合 (2)若|a=5.5,|b|=2.5,c=5,求 典例4如图，M,N,P,R分别是数轴上四 a,b,c的值 个整数所对应的点，其中有一点是原点，并 a 06c 且MN=NP=PR=1.数a对应的点在点 (第6题) M与点N之间，数b对应的点在点P与点 R之间，a|+b|=2,则原点是 ( M N P R (典例4图) 考点五有理数的大小比较 A.M或R B.N或P C.M或N 典例5用符号[a,b]表示a,b两个有理数 D.P或R 分析 中较大的数，用符号(a,b)表示a,b两个有 根据数轴判断出两个数对应点之间的距离 理数中较小的数，则 范围，再结合绝对值的意义解答即可. 解答：因为MN=NP=PR=1,且|a|十 0.-号)填><”或“=。 b|=2,所以当M为原点时，|b>2,不符 分析 合题意；当R为原点时，a>2,不符合题 先根据符号的定义求出 意.所以M与R都不是原点.所以原点是N 或P.故选B. (0,号)的位，然后比装这两个位的大小 小结 对于这类“数轴十绝对值”的题目，解题的关 解答：因为一1<一 2,0>- ,所以 2 键如下： (1)利用数轴确定点的距离的范围：根据线 [1-】-20,-》=子因为 段长度确定，点与点之间的距离的范围； (2)结合绝对值的意义推理：绝对值表示数 号即引所以含景 到原点的距离，通过“距离和”的条件，排除不符 合的原点位置 所以-1.-引>o-》 第1章有理数 小结 为正，未达到计划量记为负)如下表： 这类“新定义符号”题目的解题关键是先准 星期 二 三 四 五 六 日 确理解符号的含义，再根据定义分别计算对应表 达式的值，最后按照常规数的大小比较规则（如负 分拣情况/万件十6一3-4十5一1十7-8 数之间的比较：绝对值大的数反而小)完成比较 (1)该仓库本周分拣包裹数量最多的一天是 星期几？最少的一天是星期几？最多的一 对应练习 天比最少的一天多分拣多少万件包裹？ 7.舒向新定义题用符号《a,b》表示a,b (2)该仓库本周实际一共分拣包裹多少 中绝对值较大的数，用符号「a,b」表示a, 万件？ b中绝对值较小的数，则《一3,2》与「一4， 分析 1的大小关系：《一3,2》 「-4,1 (1)根据正负数的意义分别求出各天的实 (填“>”“<”或“=”)」 际分拣量，然后进行比较及运算；(2)求出每天 8.已知x|=2,y|=3,x|=4,且x>y 实际分拣量的总和即可， .求xy,x的值 解答：(1)从表格可知，星期一分拣包裹数量 比计划量多6万件，为20十6=26（万件）；星 期二分拣包裹数量比计划量少3万件，为 20一3=17（万件）；星期三分拣包裹数量比 计划量少4万件，为20一4=16（万件）；星期 四分拣包裹数量比计划量多5万件，为20十 5=25(万件)；星期五分拣包裹数量比计划 量少1万件，为20一1=19（万件）；星期六分 拣包裹数量比计划量多7万件，为20+7= 27(万件)；星期日分拣包裹数量比计划量少 8万件，为20-8=12（万件）.因为12<16< 考点六有理数在生活中的应用 17<19<25<26<27,所以该仓库本周分拣 包裹数量最多的一天是星期六，最少的一天 典例6新情境1科技创新某快递分拣仓库使 是星期日，最多的一天比最少的一天多分拣 用快递分拣机器人进行分拣，快递分拣机器 27-12=15(万件)包裹 人不仅可以自动规划最优路线，将包裹准确 (2)因为26+17+16+25+19+27+12= 放入相应的格口，还会感应避让障碍物、自 142(万件)，所以该仓库本周实际一共分拣 动归队取包裹，电量低时自动回到充电桩充 包裹142万件 电.每台快递分拣机器人每小时可以分拣 小结 1.8万件包裹，大大提高了分拣效率.该仓库 本题考查正负数的实际应用，通过“计划量士 计划平均每天分拣20万件包裹，但实际每 出入量”可计算实际量.要注意区分“出入量”和 天的分拣量与计划相比会有出入.该仓库 “实际量”，出入量是与计划量的差值，实际量需 10月第三周分拣包裹的情况（超过计划量记 结合计划量计算， 5 数学（浙教版）七年级上 对应练习 射击的序号为 9.2024年7月27日，在巴黎奥运会射击10米 (3)请计算这10轮的总成绩. 气步枪混合团体比赛中，中国代表团选手 黄雨婷和盛李豪获得巴黎奥运会首枚金 牌.若以21环为基准，记录相对环数，超 过的环数记为正数，不足的环数记为负 数，有10轮成绩记录如下表： 序号 环数 相对环数 ① 20.7 -0.3 ② 0.2 ③ 0 ④ 21.0 ⑤ 21.2 ⑥ 20.6 ⑦ 20.7 ⑧ 20.8 -0.2 ⑨ -0.3 ⑩ 21.5 (1)请补全表中的空格. (2)这10轮中，与21环偏差最大的那轮 盟综合素养提升 强化综合运用，融会贯通 1.如图所示的圈分别表示负数、整数和正数，其中有甲、乙、丙三部分，关于这三部分的数， 下列说法中正确的是 A.甲、丙两部分有无数个数，乙部分只有一个数且是0 甲)z(丙) B.甲、乙、丙三部分都有无数个数 负数整数正数 C.甲、乙、丙三部分都只有一个数 (第1题) D.甲部分只有一个数，乙、丙两部分有无数个数 2.有下列说法：①一a一定是负数；②一|一a一定是负数；③相反数等于它本身的数是 0;④绝对值大于它本身的数是负数.其中，正确的为 ) A.①② B.②③ C.①③ D.③④ 3.一题多解已知a<0,b>0,且|a|>b,则a,b,一a,一b的大小关系是 () A.-<a<-a<b B.<-a<a<-0 C.b<-a<-<a D.a<-<b<-a 6 第1章有理数 4.如图，将数轴上一6与6对应的两点间的线段六等分，这五个等分点所对应的数依次为 a1,a2,a3,a4,a5,则下列结论正确的是 () ay az asasas -6 6 (第4题) A.a3>0 B.lal=lal C.lal+la21=lal+las! D.as<a 5.在数轴上，点A,B表示的数互为相反数，且两点之间的距离是12，点A沿着数轴先向右 运动2秒，再向左运动5秒到达点C的位置.设点A的运动速度为每秒1.5个单位长度， 则点C表示的数的相反数为 6.如图，若数轴上α的绝对值是b的绝对值的3倍，则数轴的原点在点 或点 处（填“A”“B”“C”或“D”). (第6题) 7.新得境生活卖际某食品厂从生产的袋装食品中随机抽取20袋食品，检测它们的质量是 否符合标准质量（标准质量为500克/袋），超过或不足的质量分别用正、负数表示，例 如：十3克表示该袋食品超过标准质量3克，现记录如下表： 与标准质量的误差/克 -4 -2 0 +1 +2 +3 袋数 3 3 4 2 3 (1)在抽取的样品中，任意挑选两袋，它们的质量相差最大为多少克？ (2)食品包装袋中标有“净重500士2克”，这批样品中有几袋质量不合格？请你计算出这 20袋食品的合格率（产品的合格率=一批产品中的合格产品数量÷这批产品总量× 100%). (3)这次抽取的20袋食品的总质量是多少克？