4.3 整式&4.4 合并同类项-【通成学典】2026-2027学年七年级上册数学拔尖特训(浙教版·新教材)

第4章代数式 4.3整式 自一阶·基础通关 融通新授知识，夯实双基◆ 1有下列代数式a,一2abz十，r2+y,-1,2ab,其中，单项式共有 A.6个 B.5个 C.4个 D.3个 2.下列说法中，正确的是 A智的系数是2 B.3a3b4的次数是9 C.3x2一x一5的常数项是5 D.x3+2x2一x一2是三次多项式 3.已知(m一1)am+1b3是关于a,b的五次单项式，则m的值为 4.易错题已知一个整式具备下列条件：①它是一个关于x的二次三项式；②各项系数的和等于 10;③它的二次项系数和常数项都比一2小1.请写出满足这些条件的整式： 5.根据题意列出代数式，并判断是否为整式.若是整式，则说明是单项式还是多项式 (1)某商店以七五折的优惠销售商品，则定价是x元的商品的售价是多少元？ (2)一列火车从A站开往B站，火车的速度是a千米/时，A,B两站间的距离是120千米，则火 车从A站开到B站需要多长时间？ (3)某单位原有工作人员m人，现精简机构，减少25%的工作人员后又引进人才3人，则该单位 现有工作人员多少人？ 刀二阶·素能攀升 强化运用能力，提升素能▲ 6,若5x4y”+(m一2)x一1是关于x,y的六次三项式，则下列说法中，错误的是 () Am可以是任意数 B.六次项是5x4y” C.n=2 D.常数项是一1 7.同时含有字母a,b,c且系数为1的六次单项式按以下规则排序：先比较a的次数，a的次数高的 单项式排在前面，若α的次数相同，再比较b的次数，最后比较c的次数，均是先高次后低次，则 a2b3c排在 () A.第4位 B.第5位 C.第6位 D.第7位 8.若一个多项式的每一项的次数都相等，则称该多项式为齐次多项式.例如：2x3一3x2y十y3是齐 次多项式.若x"y-2x3y2+5x2y”+3xy4+y是齐次多项式，则(2m-3m)9的值为（) A.1 B.-1 C.99 D.-99 59 拔尖特训·数学（浙教版）七年级上 9.按一定规律排列的单项式：2x,一4x2,6x3,一8x,10x5,一12x6,….第20个单项式为 10.舒情镜生活实际火车站、机场等场所都有为旅客提供打包服务的项目.现有一个长、宽、高分别 为acm,bcm,30cm的箱子（其中a>b),准备采用如图①②所示的两种打包方式，所用打包带 的总长（不计接头处的长）分别记为l1,l2, (1)求图①中打包带的总长l1、图②中打包带的总长l2分别是多少（用含a,b的代数式表示）， (2)当a=70,b=50时，计算两种打包方式所用的打包带的总长各是多少，并判断哪一种打包 方式更节省打包带. 单位：cm 单位：cm 30 30 ① ② (第10题) ]三阶·思维拓展 深度探究创新，拓展思维▲ 11.舒考而代数推理题已知整式M=a5x5十a4x4十…十ao,其中a5是正整数，a4,a3,a2,a1,a。是 自然数，若a5十ao=p,a4十a3十a2十a1=q,则有下列说法：①若p=1,q=0,则满足条件的整 式M有且仅有1个；②若p=q=2,则满足条件的整式M中有6个五次四项式；③若p=3, q=1,则满足条件的整式M共有12个.其中，正确的个数是 () A.0 B.1 C.2 D.3 12.舒向探究题已知多项式a10-3a°b十5a8b2一7a7b3十…十mb10. (1)根据这个多项式的排列规律，你能确定这个多项式为几次几项式吗？ (2)最后一项的系数m的值为多少？ (3)这个多项式的第七项和第八项分别是什么？ 60 >“答案与解析”见D20 第4章代数式 4.4合并同类项 一阶·基础通关 融通新授知识，夯实双基▲ 1.*有下列各组代数式：①3x5y4与-2xy;② 2mn与0.2mm,③-1与0，①君ww与 一2a3b2c:⑤33与a3.其中，是同类项的为 () A.①②③④⑤ B.②③④⑤ C.②③④ D.③⑤ 2.下列各式中，计算结果正确的是 () A.19a2b-5ab2=14ab B.3x+5y=8xy C.14y2-8y2=6 D.3x-4x+5.x=4x 3.小明看一本书，第一天看了全书的号，第二天看了全书的。若全书有x页，则还有 页没看。 4.*先合并同类项，再求各多项式的值： (1)4a2-4a+1-4十12a-9a2,其中a=-1. (2)9a2-12ab+h2-4a2-12ab-962,其中a=2,b=-2 2 刀二阶·素能攀升 强化运用能力，提升素能 5.已知一5a2mb和8ab3-"是同类项，则下列各组中的单项式是同类项的为 () A.-x"y2与2xy B.2xm-1y2与0.01x2y” C.x3y4与-4xm+H1y"+2 D.-x2my4与6.x6y+1 6.已知单项式-2xm+1y2和5.x5-"y2m是同类项，则（一m)”的值是 7.若关于x的多项式一4x3一m.x2+2x2一6合并同类项后是一个三次二项式，则m的值为 8.对于代数式2x2+7xy十3y2+x2一kxy+5y2,老师提出了两个问题： 第一个问题：当k为何值时，代数式中不含xy项？ 第二个问题：在第一个问题的前提下，如果x=2,y=一1，那么代数式的值是多少？ (1)小军很快就完成了第一个问题，请把解答过程写下来. (2)在做第二个问题时，小军把y=一1错看成y=1,可是他得到的最后结果却和正确的结果相 同，你知道这是为什么吗？ “答案与解析”见D21 61故选项D中的代数式的值最大 2.C当x=1时，-x-3=一1-3=-4，故选项A不符 合题意.当x=1时，x2+2x-3=1十2-3=0，故选项B不 符合题意.当x=0时，2x一3=-3：当x=1时，2x-3= 2一3=一1：当x=2时，2x一3=4一3=1：当x=3时，2x 3=6-3=3,故选项C符合题意.当x=1时，x2-2x 3=一4，故选项D不符合题意. 3.65因为x一2y=一3，所以原式=4×（一3）2一3× (-3)+20=36+9+20=65. 4.(1)由题意，得园于的面积为(20一2x+1)x=(21一 2x)xm2.(2)当x=5时，(21-2x)x=(21一2×5)X 5=11×5=55.所以园子的面积是55m2. 5.B把=4代人，+1，得4X4+D-=10,10<100: 2 2 把x=10代入，+1，得10Xg0+1-55,5<100:把 2 2 x=55代人，1D,得5X(5+1D-1540,1540>100. 2 2 故最后输出的结果是1540. 方法归纳 利用程序求代数式的值的方法 利用程序求代数式的值时，若输入没有限制，则直 接输入计算：若输入条件有限制，则首先选择符合条件 的数输入程序进行计算.计算出结果后，若输出没有条 件限制，则直接输出；若输出有条件限制，则不符合条件 时不能输出，需继续按程序计算，直到符合输出条件时 才能输出， 6.C设芍药的数量为x株.根据题意，得当n=1时，x= 8;当n=2时，x=16;当n=3时，x=24;当n=4时，x= 32…由此可得，x=8.所以当n=15时，芍药的数量为 15×8=120(株). 7.7或1因为|a|=1,b2=4,且a>b,所以a=±1， b=-2.当a=1,b=-2时，3a-2b=3×1-2×(-2)= 7;当a=-1,b=-2时，3a-2b=3X(-1)-2×(-2)= 1.所以3a-2b的值是7或1. 8.5或-11因为a,b互为相反数，c,d互为倒数，m的 绝对值是2，所以a十b=0,cd=1,m=2或m=一2.当 m=2时，la+b+4m-3cd=0+4X2-3X1=5:当m= m2+2 -2时，l0++4m-3d=0+4X(-2)-3X1=-11. m2+2 所以la++4m-3cd的值为5或-11. m2+2 9.22当x=2时，a.x3-bx+1=a·23-b·2+1=8a- 2b+1,所以8a一2b+1=-17.所以8a一2b=一18.所以 0 4a-b=一9.当x=-1时，12ax-3bx3一5=12a× (-1)-3b×(-1)3-5=-12a+3b-5=-3(4a-b)- 5=一3×（一9）-5=27-5=22. 10.(1)当x不超过30时，在甲网店需要花(x十8)元，在 乙网店需要花(0.8x十8)元：当x超过30时，在甲网店需 要花(0.6x十8)元，在乙网店需要花0.8x元.(2)当x= 300时，在甲网店需要花0.6×300+8=188（元），在乙网店 需要花0.8×300=240（元）.因为188<240，所以选择甲网 店更省钱 1 11.(1)由题意可知，a (3-2)a1= 31 3+2 515a1= 2X4+2 立前 (2X4-6=10 (2)根据题意得，as= =号×品7，=0=×=7…所 3 3、11 5 以当n为奇数时，a一n十2同理可得a,-号a, 1 6、11 1010、11 4×6014X10,a-18a6=18X140-18X1…,所以 1 当n为偶数时，a,-21-2)(2m十2(3)原式=a,十 a:ta,ta,+…+a:tata,+…+aw=(1-号+ +日号++路)+(+日 1 0+品+…+s品)=2×删+}×器 100,25125 2022022021 4.3整式 1.Ca,-2ab,-1,7abc3是单项式，共4个. 2D一等的系数是-号，故选项A的说法错误 3ab的次数是3十4=7，故选项B的说法错误.3x2一 x一5的常数项是-5，故选项C的说法错误.多项式x3+ 2x2一x一2的次数为3，为三次多项式，故选项D的说法 正确. 3.一3因为(m-1)am+b3是关于a,b的五次单项式， 所以m+1=2.所以m+1=±2.所以m=1或m=-3. 因为m一1≠0，即m≠1，所以m=一3. 4.一3x2+16x一3根据题意可知，它的二次项系数和常 数项都比一2小1，即二次项系数是一3，常数项是一3.因为 各项系数的和等于10，所以一次项系数是10一（一3） (一3)=16.所以满足这些条件的整式为-3x2+16.x一3. 20 易错警示 对多项式的概念理解不透彻 多项式的每一项都包含它前面的符号， 多项式的次数是指次数最高项的次数，而不是指所 有项的次数和！ 5.(1)售价是0.75.x元，0.75x是整式，是单项式 2)带要小时，会不是整式（③）现有工作人员 [(1-25%)m十3]人，(1-25%)m十3是整式，是多项式 6.A因为5.xy”+(m一2)x-1是关于x,y的六次三项 式，所以六次项是5x1y”,常数项是一1.所以n+4=6,m 2≠0，则n=2,m≠2.所以选项A错误，符合题意 7.A由题意，可依次排为abc,a3b2c,a3bc2,ab3c,… 所以abc排在第4位. 8.B因为x"y-2x3y2+5x2y"+3y+y是齐次多项 式，所以m+1=5,2+n=5,解得m=4,n=3.所以(2m 31)9=-1. 9.一40x20由题意知，这列单项式的系数依次为2，一4， 6,一8,10，…，所以第n个单项式的系数为（一1）+12m.这 列单项式的次数依次为1,2,3,4,5，…，所以第n个单项式 的次数为n.所以第n个单项式可表示为（一1）”+12x”.当 n=20时，(-1)+12x”=一40x0,即第20个单项式 为一40x20 10.(1)题图①中打包带的总长1，=4a+2b+30×6= (4a+2b+180)cm.题图②中打包带的总长l2=2a+4b十 30×6=(2a+4b+180)cm.(2)当a=70,b=50时，题 图①中打包带的总长11=4×70+2×50+180=560(cm), 题图②中打包带的总长12=2×70+4×50+180= 520(cm).因为560>520，所以题图②中的打包方式更节省 打包带 11.D因为a5是正整数，a4,a3,a2,a1,ao是自然数，p 1,所以a5十a0=p=1.所以a5=1,ao=0.因为a1十a3十 a2十a1=q=0,所以a1=a3=a2=a1=0.所以M只有 1个，为x,故①正确.因为p=q=2,所以a5十a0=p=2, a1十a3十a2十a1=q=2.因为要满足五次四项式，所以 a5=a0=1,a1,a3,a2,a1中有两个为1，其余为0.所以 M=x5+x+x3+1或M=x5+x+x2+1或M=x5+ x1+x+1或M=x5+x3+x2+1或M=x5十x3十x十 1或M=x5十x2+x+1,共6个，故②正确.因为a5十a p=3,a4十a3十a2十a1=q=1,所以当a5=3,a0=0,a1, a3,a2a,中有一个为1，其余为0时，满足条件的整式M 有4个；当a5=2,an=1,a1,aa,a2a1中有一个为1，其余 为0时，满足条件的整式M有4个；当a5=1,ao=2,a1, a3,a2a,中有一个为1，其余为0时，满足条件的整式M 有4个.所以满足条件的整式M共有12个，故③正确.综 上所述，正确的个数是3. 12.(1)因为多项式a0-3ab+5a8b2-7a7b3+…+ mb°是按照a的降幂排列的，所以该多项式有11项，并且 每一项的次数是10.所以该多项式是十次十一项式. (2)因为多项式a0-3a9b+5ab2-7a7b3+…+mb10有 11项，所以每一项的系数分别是1，一3,5，一7，…，且偶数 项的系数为负数，奇数项的系数为正数.所以第项的系 数为（一1）+1(2n一1).所以第十一项的系数为21，即m= 21.(3)因为多项式a0-3ab+5a8b2-7a7b3+…十 mb10第n项的系数为（一1）"+1(2m一1)，所以第七项的系 数是(-1)7+1×(2×7一1)=13，第八项的系数是 (-1)8+1×(2×8-1)=-15.因为多项式a0-3a°b+ 5a8b2一7a7b3+…十mb10按照a的降幂排列，且每一项的 次数是10，所以第七项是13ab,第八项是一15a3b7. 4.4合并同类项 1.C3xy与一2xy5中虽然所含字母相同，但相同字 母的指数不同，故①不是同类项；2mn与Q2m和 3与一2abc中，所含字母相同，虽然字母 顺序不相同，但相同字母的指数相同，故②④是同类项； 一1与0都是常数项，故③是同类项；33与a3中，33是常数 项，而a3不是常数项，故⑤不是同类项. 方法归纳 同类项的判断方法 辨别同类项要把握准“两相同，两无关”.“两相同” 是指(1)所含字母相同，(2)相同字母的指数相同；“两 无关”是指(1)与系数及系数的指数无关，(2)与字母的 排列顺序无关.本题在判断时容易把④中的亏ba的 1 系数错看成5，从而误认为5bca与一2abc所含 字母不同而判断为不是同类项，这是对π的意义不理解 造成的， 2.D19ab与-5ab2不是同类项，19a2b-5ab2≠14ab, 故选项A错误.3x与5y不是同类项，3x十5y≠8xy,故选 项B错误.14y2-8y2=(14-8)y2=6y2≠6，故选项C错 误.3x-4x十5x=(3-4十5)x=4x,故选项D正确. &弓x由题意知，小明还有x一号2一青x一号x(页) 142 没看 4.(1)原式=(4-9)a2+(-4+12)a+1-4=-5a2+ 8a-3,当a=一1时，原式=-5×(-1)2+8×(-1)-3= -5-8-3=-16.(2)原式=(9-4)a2+(-12 12ab+(4-9)b2=5a2-24ab-5b,当a=2,b= 1 时，原式=+6--6 4 方法归纳 合并同类项的方法 合并同类项时要做到“一相加，两不变”.“一相加” 即系数相加，实质是有理数的加法，相加时要带上前面 的符号；“两不变”即字母和它的指数不变 5.B因为一5amb和8a6b3-"是同类项，所以2m=6,3 n=1,解得m=3,n=2.对于选项A,一x"y2=一x3y2, 2y-之y,所以-产y与}y不是同类项对 于选项B,2x"-1y2=2x2y2,0.01x2y”=0.01x2y2,所以 2xy2与0.01xy”是同类项.对于选项C, -4x"+1y”+2=-4xy,所以x3y与-4xm+1y+2不是 同类项.对于选项D,一x2y=一xy,6xy+1=6xy3, 所以一x2my与6xy”+1不是同类项. 6.一1因为单项式-2x"+1y2和5.x5”y2"是同类项，所 以2m=2,m十1=5-n.所以m=1,n=3.所以（一m)”= (-1)3=-1. 7.2关于x的多项式一4x3一mx2十2x2一6合并同类项 后的结果为-4x3十(2-m)x2-6.由题意，得2-m=0, 所以m=2. 8.(1)因为2x2+7xy+3y2十x2-kxy+5y2=(2x2十 x2)+(3y2+5y2)+(7xy-xy)=3x2+8y2+(7-k)· xy,所以只要7一k=0,这个代数式就不含xy项，即当k= 7时，代数式中不含xy项.(2)在第一个问题的前提下 原代数式为3x2+8y2.当x=2,y=一1时，原式=3x2十 8y2=3×22+8×(-1)2=12+8=20;当x=2,y=1时， 原式=3x2+8y2=3×22+8×12=12+8=20.所以小军得 到的最后结果和正确结果相同， 4.5整式的加减 第1课时去括号 1.B一(2x十y)=-2x一y,原去括号错误，故选项A不 符合题意.a-3(b-1)=a一3b十3，原去括号正确，故选项 B符合题意.a十(b一1)=a十b一1，原去括号错误，故选项 C不符合题意.2(x一y)=2x一2y,原去括号错误，故选项 D不符合题意 2.2m一4根据绝对值的性质可知，当1<m<3时，|m一 1=m-1,m-3|=3-m.所以m-1-m-3=(m- 1)-(3-m)=2m-4. 3.x+5y(x+y)w(x一y)=3(x+y)-2(x一y)=3x+ 3y-2x+2y=x+5y. 4.(1)原式=6ab2-2ab+2ab-6ab2+12a2b-3ab= 10a2b一ab.当a=一1，b=2时，原式=10×(-1)2×2 (-Dx2=20+2=22原式=号m-子r+号m+ 8m号+5=4m-+5,当m=2,n=一3时，原武 4×2-(-3)2+5=4. 易错警示 去括号时，法则运用错误 去括号时需要注意的两点：(1)当括号前有数字因 数时，要把数字因数与括号内的每一项相乘.(2)当括号 前面是“一”号时，括号内的每一项都要改变符号。 5.D因为m-n=99,x+y=-1,所以(n+2x)-(m一 2y)=n+2x-m+2y=-(m-n)+2(x+y)=-99+ 2×(-1)=-101. 6.52-8a由题意，得第二条边的长为3a-2,第三条边 的长为a+3a-2=4a-2,所以第四条边的长为48-a一 (3a-2)-(4a-2)=52-8a. 7.-2-(3x3y"-1)+3(x"y+1)=-3x3y"+1+ 3x”y十3=一3x3y"十3x"y十4.因为经过化简后的结果是 4,所以一3x3y"与3x”y是同类项.所以m=1,n=3.所以 m-n=1-3=-2. 8.设小亮心中所想的数为x,则10(x+2)一19=10x+ 20一19=10x十1.所以若知道小亮的最后结果，小明只要 把这个结果减去1后再除以10就是小亮所想的数. 第2课时整式的加减 1.B根据题意，得这个多项式是(a2-4a十9)一(2a2+ 3a-7)=a2-4a+9-2a2-3a+7=-a2-7a+16. 2.B小明买了6个篮球和2个足球，一共花了(6a+ 2b)元，小亮买了5个篮球和3个足球，一共花了(5a+ 3b)元，所以小亮比小明多花(5a+3b)-(6a+2b)=(b一 a)元. 3.一2由题意，得m十n=0,所以(8m-2m)一2(2m 3m+1)=8m-2n-4m+6-2=4m+4n一2=4(m+ n)-2=0-2=-2. 4.(16a一7b)根据题意，得某三角形第一条边的长为 (3a-2b)cm,第二条边的长为3a一2b十a+2b=4acm,第 三条边的长为3(3a一2b)+b=(9a一5b)cm.所以这个三 角形的周长为3a-2b+4a+9a-5b=(16a-7b)cm. 5.(1)2A-B=2(3x2+3y2-5xy)-(2xy-3y2+ 4x)=2z2+9y2-12.(2)当x=3y=-号时， 2A-B=2x2+9y2-12xy=2×3+9×(-3）-12× 3×(-3)=18+1+12=31. 22