第十四章全等三角形（期中知识清单）八年级数学上学期新教材人教版

第十四章 全等三角形　知识清单 一、核心知识总结（必背・单元重点） 1. 全等三角形及其性质 1.1 全等形 形状、大小相同的图形放在一起能够完全重合。能够完全重合的两个图形叫作全等形。 示例：对开的大门两扇门页、铺设地面的同规格方砖，放在一起能够完全重合，都是全等形。 1.2 全等三角形 能够完全重合的两个三角形叫作全等三角形。 示例：把 沿直线 平移得到 ，两个三角形能够完全重合，所以 。 1.3 平移、翻折、旋转与全等 一个图形经过平移、翻折、旋转后，位置变化了，但形状、大小都没有改变，即平移、翻折、旋转前后的图形全等。 示例：把 沿直线 翻折 得到 ；绕点 旋转得到 ，前后两个三角形分别全等。 1.4 全等符号与对应元素 全等用符号”“表示，读作”全等于”。 把两个全等的三角形重合到一起，重合的顶点叫作对应顶点，重合的边叫作对应边，重合的角叫作对应角。 注意：记两个三角形全等时，通常把表示对应顶点的字母写在对应的位置上。 示例：若 ，则点 与点 、点 与点 、点 与点 分别是对应顶点； 与 、 与 、 与 分别是对应边。 1.5 全等三角形的性质 全等三角形的对应边相等，全等三角形的对应角相等。 示例：若 ，则 ，，，，。 2. 三角形全等的判定 2.1 边角边（） 两边和它们的夹角分别相等的两个三角形全等（可以简写成”边角边”或”“）。 示例：在 和 中，，，（公共边），则 。 2.2 角边角（） 两角和它们的夹边分别相等的两个三角形全等（可以简写成”角边角”或”“）。 示例：在 和 中，（公共角），，，则 。 2.3 角角边（） 两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等（可以简写成”角角边”或”“）。 示例：在 和 中，，，，则 。 2.4 边边边（） 三边分别相等的两个三角形全等（可以简写成”边边边”或”“）。 示例：在 和 中，，，（公共边），则 。 2.5 三角形的稳定性 将三根木条钉成一个三角形木架，这个三角形木架的形状、大小就不变了，也就是三角形具有稳定性。 示例：钢架桥的三角形结构、自行车的三角架等都利用了三角形的稳定性。 2.6 斜边、直角边（） 斜边和一直角边分别相等的两个直角三角形全等（可以简写成”斜边、直角边”或”“）。 示例：在 和 中，（斜边），（直角边），则 。 注意：”“只适用于直角三角形，一般三角形不能使用。 2.7 尺规作图 用直尺和圆规可以完成下列基本作图： 基本作图 关键步骤 作一个角等于已知角 以已知角顶点为圆心作弧交两边，再以相等半径作弧，取对应弦长截弧得交点 已知三边作三角形 先作一边，再分别以两端点为圆心、另两边为半径作弧，两弧交点即第三顶点 已知两边及夹角作三角形 先作已知角，再在角的两边上分别截取给定长度 已知两角及夹边作三角形 先作夹边，再在两端点处分别作已知角 过直线外一点作平行线 作截线，再作相等的同位角（或内错角） 示例：作一个角 等于已知角 ：以点 为圆心、任意长为半径作弧交 于点 ；作射线 ，以 为圆心、 为半径作弧交 于点 ；以 为圆心、 为半径作弧与前弧交于点 ；过点 作射线 ，则 。 3. 角的平分线 3.1 作一个角的平分线 已知 ，作法：以点 为圆心、适当长为半径作弧，交 于点 、交 于点 ；分别以点 为圆心、大于 的长为半径作弧，两弧在 的内部相交于点 ；作射线 ，则射线 为 的平分线。 示例：工人师傅常用角尺平分一个角，其依据就是这种作图方法。 3.2 角的平分线的性质 角的平分线上的点到角两边的距离相等。 示例：若 是 的平分线，点 在 上，，，垂足分别为 ，则 。 3.3 角的平分线的判定 角的内部到角两边距离相等的点在角的平分线上。 示例：若点 在 的内部，且点 到 的距离相等，则点 在 的平分线上。 注意：在角的内部，角的平分线（顶点除外）可以看成到角两边距离相等的所有点的集合。 二、二级结论与方法技巧 1. 常用二级推论 1.1 全等三角形的对应线段相等 若 ，则对应边上的高、中线、角平分线也分别相等。如 分别为对应边上的高，则 。 1.2 全等三角形的周长、面积相等 全等三角形的周长相等、面积相等；反过来，周长（或面积）相等的两个三角形不一定全等。 1.3 两边和其中一边的对角不能判定全等 两边和其中一边的对角分别相等的两个三角形不一定全等（即”边边角”不成立），不能作为全等的判定依据。 1.4 三个角分别相等不能判定全等 三个角分别相等的两个三角形不一定全等，只能保证形状相同（相似），不能保证大小相同。 1.5 三角形的三条角平分线交于一点 三角形的三条角平分线交于一点，这个点到三角形三边的距离相等。 1.6 全等变换 平移、翻折、旋转都不改变图形的形状和大小，称为全等变换；经过全等变换前后的两个图形全等。 2. 解题方法与操作步骤 2.1 证明线段（角）相等的思路 要证线段相等或角相等，可先证它们所在的三角形全等，再由”全等三角形的对应边（角）相等”得出结论。如要证 ，可先证 ，得 。 2.2 寻找全等条件的方法 从题目中找相等关系：公共边、公共角、对顶角、中点（得相等线段）、角平分线（得相等角）、平行线（得同位角、内错角相等）、垂直（得直角），再把条件对应到 、、、、 所需的三对条件上。 2.3 证明角平分线的方法 要证一条射线是角的平分线，可证该射线上角的内部一点到角两边的距离相等（用性质逆用），或证两个角相等。如证 平分 ，可证点 到 的距离相等。 2.4 尺规作图的一般方法 利用全等三角形的知识完成基本作图：作一个角等于已知角、作已知角的平分线、已知三边（或两边夹角、两角夹边）作三角形、过直线外一点作平行线，其原理都是构造全等三角形。 3. 证明与计算小技巧 技巧 要点 示例 找公共边 两个三角形共有一条边时，该边相等可直接作为判定条件 证 时 找公共角、对顶角 公共角、对顶角相等是隐藏的相等角 （公共角） 由中点得相等线段 中点是隐藏的”边相等”条件 是 中点，则 由角平分线得相等角 角平分线隐藏”角相等” 平分 ，则 由平行线得相等角 平行线产生同位角、内错角相等 ，则同位角相等 由垂直得直角 垂直隐藏 直角条件 ，则 4. 常见考试模型 4.1 一线三等角（ 字型）模型 模型：一条直线上有三个相等的角（常见为三个直角），结合一组相等的边，可构造全等三角形。如 ，且 时，。 限定：三个角共线相等，且需有一组对应边相等。 示例：如矩形内构造”一线三垂直”，证三角形全等后求线段长。 4.2 手拉手（旋转型全等）模型 模型：两个共顶点的等腰（等边）三角形绕公共顶点旋转，可得到全等三角形。若 与 都是等边三角形且共顶点 ，则 ，得 。 限定：两个三角形共顶点、腰相等，且夹角相等。 示例：如两个等边三角形共顶点，证 且 与 的夹角为 。 4.3 倍长中线模型 模型：延长中线一倍，构造全等三角形。若 是 的中线，延长 到 使 ，连接 ，则 ，得 。 限定：需已知（或可证）中点和延长后的相等关系。 示例：如已知中线与边的数量关系，倍长中线转移线段后再求解。 4.4 截长补短模型 模型：证线段和差关系（形如 ）时，在大线段上截取一段等于小线段（截长），或延长小线段使等于大线段（补短），构造全等。 限定：结论涉及线段的和或差。 示例：如证 ，可在 上截取 ，再证 。 4.5 角平分线模型 模型：过角平分线上一点作两边的垂线段，由”角的平分线上的点到角两边的距离相等”得两条垂线段相等；角平分线加平行线可构造等腰三角形。 限定：垂线段是点到两边的距离，需过角平分线上的点作垂线。 示例：如角平分线上一点作两边垂线得 ，再证全等求线段。 三、章节高频易错点 + 错解 / 正解对比 易错点 1：把”两边和其中一边的对角”（边边角）误当作全等判定 典例：已知 与 满足 ，，，这两个三角形全等吗？ 错解：有两边和其中一边的对角分别相等，符合”边边角”，所以 。 正解：不能判定。两边和其中一边的对角分别相等，不能保证两个三角形全等。如图， 与 满足上述条件，但两者显然不全等。 原因：概念混淆。学生把”边边角”与”边角边”混为一谈，误以为”两边一角”一定能判定全等。“边角边”中的角必须是两边的夹角，而”边边角”中的角是其中一边的对角，该条件不足以唯一确定三角形，不能作为判定依据。 易错点 2：把”三个角分别相等”误当作全等判定 典例：已知两个三角形的三个角分别相等，这两个三角形全等吗？ 错解：三个角分别相等，所以这两个三角形全等。 正解：不能判定。三个角分别相等的两个三角形只是形状相同（即相似），大小不一定相同，所以不一定全等。 原因：概念混淆。学生把”形状相同”与”形状、大小都相同”混为一谈。全等要求形状和大小都相同，需要边、角对应相等；三个角相等只能保证形状相同，不能保证大小相同，故不能判定全等。 易错点 3：全等符号中字母顺序与对应顶点不一致，导致对应关系找错 典例：已知 ，写出 的对应角。 错解： 对应 。 正解：由 ，点 与点 、点 与点 、点 与点 分别是对应顶点，所以 对应 。 原因：忽略了”记两个三角形全等时，通常把表示对应顶点的字母写在对应的位置上”这一约定，凭” 对 、 对 、 对 “的惯性找对应关系。对应顶点必须由全等符号中字母的对应位置确定，不能想当然。 易错点 4：证明全等时条件不足或漏写隐含条件 典例：如图，， 平分 ，求证 。 错解：因为 ，，所以 。 正解：在 和 中，，（ 平分 ），（公共边），所以 。 原因：条件不充分。用 判定需要”两边一夹角”三对条件，学生只写出了”一对边、一对角”两对条件就下结论，漏掉了隐含的公共边 。证明全等前应先明确用哪种判定方法，再逐条核对是否凑齐三对条件。 易错点 5：角平分线性质中的”距离”误用斜线段 典例：如图， 平分 ，点 在 上， 分别在 上，且 （ 不垂直于 ）。据此能否说明点 到角两边的距离相等？ 错解：因为 ， 分别是点 到 的距离，所以点 到角两边的距离相等。 正解：不能。点到直线的距离是垂线段的长度， 是斜线段（不垂直于两边），不能代表”距离”。须过点 作 的垂线，垂足分别为 ，由角的平分线的性质得 。 原因：混淆”线段长”与”点到直线的距离”。角的平分线的性质中的”距离”专指点到直线的垂线段长度，学生把任意斜线段当成距离。凡涉及”点到直线（角的两边）的距离”，必须先作垂线。 易错点 6： 只适用于直角三角形，却用于一般三角形或漏写斜边条件 典例：已知 和 中，，，且 ，求证 。 错解：因为 ，，所以 。 正解： 要求”斜边和一条直角边分别相等”，而 都是直角边，不包含斜边，不能用 。应改用 ：在 和 中，，，，所以 。 原因：使用 前没看清条件。 的适用前提是”直角三角形 + 斜边 + 一条直角边”，且只适用于直角三角形；学生只要看到两个直角三角形、又有两对边相等，就不加区分地用 ，漏掉了”其中一边必须是斜边”这一关键条件。 学科网（北京）股份有限公司 $