期中复习知识清单（第十三至十五章：27 个知识点+10 条方法口诀，逐条配图配公式）-2026-2027学年人教版数学八年级上册

第十三章～第十五章 课时同步练习 期中复习知识清单（第十三至十五章：27 个知识点+10 条方法口诀，逐条配图配公式）-2026-2027学年八年级上册数学人教版 三角形·全等三角形·轴对称　纯知识清单：27 张知识点卡＋10 张方法卡，逐条配图配公式，期中前 15 分钟过一遍 知识点卡 27 张 · 方法卡 10 张　/　原卷版＋解析版 班级：________　姓名：________　日期：________ 　课时目标 课标要点 1．三角形：会用“任意两边之和大于第三边”定第三边范围；会画钝角三角形三条高；能用内角和180°与外角等于不相邻两内角和倒角 2．全等三角形：能按全等记号读对应边角；会在“边边边、边角边、角边角、角角边、斜边直角边”中选判定并补条件；会用角平分线性质与判定求距离、证线段相等 3．轴对称：会用线段垂直平分线性质转化线段；会写关于x轴、y轴对称点坐标；会用“等边对等角、等角对等边、三线合一”及含30°角直角三角形的边角关系计算与证明 　目　录 知识梳理 3 知识点 01　13.1 三角形的概念：边、顶点、内角与记法 3 知识点 02　13.1 三角形按边分类：不等边、等腰、等边 3 知识点 03　13.1 三角形按角分类：锐角、直角、钝角 3 知识点 04　13.2 三角形的三边关系 4 知识点 05　13.2 三角形的高 4 知识点 06　13.2 三角形的中线与重心 5 知识点 07　13.2 三角形的角平分线与三角形的稳定性 5 知识点 08　13.3 三角形的内角和定理 5 知识点 09　13.3 三角形的外角 6 知识点 10　14.1 全等三角形的概念与对应元素 6 知识点 11　14.1 全等三角形的性质 6 知识点 12　14.2 判定一：边边边（SSS） 6 知识点 13　14.2 判定二：边角边（SAS） 7 知识点 14　14.2 判定三、四：角边角（ASA）与角角边（AAS） 7 知识点 15　14.2 直角三角形的判定：斜边、直角边（HL） 7 知识点 16　14.2 五种判定方法对照 8 知识点 17　14.3 尺规作角的平分线 8 知识点 18　14.3 角的平分线的性质与判定 9 知识点 19　15.1 轴对称图形与两个图形成轴对称 9 知识点 20　15.1 轴对称的性质 10 知识点 21　15.1 线段的垂直平分线的性质与判定 10 知识点 22　15.2 画轴对称的图形 10 知识点 23　15.2 用坐标表示轴对称 11 知识点 24　15.3 等腰三角形的性质 11 知识点 25　15.3 等腰三角形的判定 11 知识点 26　15.3 等边三角形的性质与判定 12 知识点 27　15.3 含30°角的直角三角形 12 方法清单 13 方法 01　定第三边：先写|a−b|＜c＜a＋b再按整数、奇偶取值 13 方法 02　等腰边长分类后必须检验三边关系 13 方法 03　中线等分面积：同高等底，面积比等于底之比 13 方法 04　倒角两条路：内角和180°列方程，或外角等于不相邻两内角和 14 方法 05　证全等先盘点：标出已知的边与角，缺哪组补哪组 14 方法 06　找隐含条件：公共边、公共角、对顶角、等量加减 14 方法 07　见角平分线想垂线段：作两边的垂线用距离相等 15 方法 08　见线段中垂线想连端点：把一条线段搬成另一条 15 方法 09　对称点坐标口诀：关于谁对称谁不变，另一个变相反数 15 方法 10　等腰三角形题先定顶角底角、再分类，结合三线合一添辅助线 16 　知识梳理 知识点梳理　01　13.1 三角形的概念：边、顶点、内角与记法 把三条线段两两首尾顺次连接围成的封闭图形称为三角形，通常记作△ABC；构成它的三条线段是边，相邻两条边的公共端点是顶点，相邻两边所夹的角是内角。按惯例，与顶点A相对的边BC写作a，与顶点B相对的边CA写作b，与顶点C相对的边AB写作c。 三边：AB、BC、CA ∠A的对边记a，∠B的对边记b，∠C的对边记c 知识点梳理　02　13.1 三角形按边分类：不等边、等腰、等边 三角形按边的关系分为不等边三角形（三边都不相等）、等腰三角形（有两边相等，相等的两边叫腰，另一边叫底边，两腰的夹角叫顶角，腰和底边的夹角叫底角）、等边三角形（三边都相等，是特殊的等腰三角形）。 不等边三角形：三边互不相等 等腰三角形：两边相等（腰），另一边为底边 等边三角形：三边都相等，是特殊的等腰三角形 知识点梳理　03　13.1 三角形按角分类：锐角、直角、钝角 三角形按角的关系分为锐角三角形（三个内角都是锐角）、直角三角形（有一个内角是直角）、钝角三角形（有一个内角是钝角），三角形的类别由最大的内角决定。 锐角三角形：三个内角都<90° 直角三角形：一个内角=90° 钝角三角形：一个内角>90° 知识点梳理　04　13.2 三角形的三边关系 三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边；若三角形三边长为a、b、c，则第三边c满足|a－b|＜c＜a＋b，这是判断三条线段能否组成三角形、求第三边取值范围的依据。 两边之和＞第三边 两边之差＜第三边 |a－b|＜c＜a＋b 知识点梳理　05　13.2 三角形的高 从三角形一个顶点向它的对边所在直线画垂线，顶点与垂足之间的线段叫作三角形的高；锐角三角形的三条高都在三角形内部，直角三角形的两条高恰好是两条直角边，钝角三角形有一条高在内部、两条高在外部；三角形三条高所在的直线相交于一点。 锐角三角形：三条高都在内部 直角三角形：两条高是两条直角边 钝角三角形：一条高在内部，两条高在外部 知识点梳理　06　13.2 三角形的中线与重心 三角形一个顶点与它对边中点的连线叫作这个三角形的中线；一条中线能把三角形分成两个面积相等的三角形，原因是这两个三角形的底相等、高是同一条线段；三角形三条中线的交点叫作重心。 一条中线把三角形分成的两部分面积相等 三条中线交于重心 知识点梳理　07　13.2 三角形的角平分线与三角形的稳定性 三角形一个内角的平分线与它的对边相交，顶点与交点之间的线段叫作三角形的角平分线；三角形三条角平分线交于三角形内部一点；三角形的三边长确定后，它的形状和大小就确定，这就是三角形的稳定性，四边形没有这个性质。 三条角平分线交于三角形内部一点 三角形具备稳定性；四边形不具备 知识点梳理　08　13.3 三角形的内角和定理 三角形三个内角的和等于180°；在直角三角形中，除直角外的两个锐角互余，即两锐角之和等于90°。 ∠A＋∠B＋∠C＝180° 直角三角形中两锐角之和＝90° 知识点梳理　09　13.3 三角形的外角 三角形一边与另一边的延长线组成的角叫作三角形的外角；三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和，因此外角大于任何一个不相邻的内角。 外角＝不相邻两内角之和 外角＞任一个不相邻内角 知识点梳理　10　14.1 全等三角形的概念与对应元素 两个能够完全重合的三角形叫作全等三角形；把两个全等三角形叠合在一起，重合的顶点叫对应顶点，重合的边叫对应边，重合的角叫对应角；全等记号“≌”中对应顶点写在对应位置，如△ABC≌△DEF表示A与D、B与E、C与F分别对应。 △ABC≌△DEF ⇒ A↔D，B↔E，C↔F 知识点梳理　11　14.1 全等三角形的性质 全等三角形的对应边相等、对应角相等；由对应边相等还可以推出对应边上的高、中线、角平分线相等，以及两个三角形的周长相等、面积相等。 对应边相等，对应角相等 对应高、中线、角平分线、周长、面积也相等 知识点梳理　12　14.2 判定一：边边边（SSS） 只要能确认两个三角形的三组对应边分别相等，就能断定这两个三角形全等——这一判定依据的名称是“边边边”，字母简写为SSS。 SSS：三边分别相等⇒两三角形全等 知识点梳理　13　14.2 判定二：边角边（SAS） 如果两个三角形的两边和它们的夹角分别相等，那么这两个三角形全等，这个判定方法叫作“边角边”，简写成SAS；两边及其中一边的对角分别相等（SSA）不能判定两个三角形全等。 SAS：两边及夹角分别相等⇒全等 SSA不能判定全等 知识点梳理　14　14.2 判定三、四：角边角（ASA）与角角边（AAS） 如果两个三角形的两个角和它们的夹边分别相等，那么这两个三角形全等，这个判定方法叫作“角边角”，简写成ASA；如果两个角和其中一个角的对边分别相等，那么这两个三角形也全等，这个判定方法叫作“角角边”，简写成AAS。 ASA：两角及夹边分别相等⇒全等 AAS：两角及一角的对边分别相等⇒全等 知识点梳理　15　14.2 直角三角形的判定：斜边、直角边（HL） 斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等，这个判定方法叫作“斜边、直角边”，简写成HL；HL只适用于直角三角形。 HL：斜边、一条直角边分别相等⇒两直角三角形全等（仅适用于直角三角形） 知识点梳理　16　14.2 五种判定方法对照 证三角形全等能用的依据一共五条：SSS（三边）、SAS（两边夹角）、ASA（两角夹边）、AAS（两角一对边），另加只对直角三角形成立的HL（斜边、直角边）；具体挑哪一条要看题目已知条件属于哪一类，AAA（三个角对应相等）与SSA（两边及非夹角对应相等）都不能作为判全等的依据。 SSS：三边 SAS：两边夹一角 ASA：两角夹一边 AAS：两角及一边的对角 HL：斜边＋一直角边（仅直角三角形） AAA、SSA：不能判定全等 知识点梳理　17　14.3 尺规作角的平分线 用尺规作已知角的平分线：以角的顶点为圆心画弧，与角的两边交于两点；再分别以这两点为圆心、大于这两点间距离一半的长为半径画弧，两弧在角内部相交于一点；连接顶点与这个交点，所得射线就是角的平分线；这种作法的依据是“边边边”判定全等三角形。 作图依据：SSS判定全等 知识点梳理　18　14.3 角的平分线的性质与判定 角的平分线上的点到这个角两边的距离相等（性质）；反过来，在角的内部，到角两边距离相等的点在这个角的平分线上（判定）；这里的“距离”是指点到角两边所在直线的垂线段的长。 性质：平分线上的点⇒到两边距离相等 判定：到两边距离相等的内部点⇒在平分线上 知识点梳理　19　15.1 轴对称图形与两个图形成轴对称 把一个图形沿着一条直线折叠，如果直线两旁的部分能够完全重合，这个图形叫作轴对称图形，这条直线叫作对称轴；如果把两个图形沿一条直线折叠后能够互相重合，就说这两个图形成轴对称，这条直线也叫对称轴，折叠后重合的点叫作对称点。 轴对称图形：一个图形自身沿对称轴折叠重合 轴对称：两个图形沿对称轴折叠互相重合 知识点梳理　20　15.1 轴对称的性质 成轴对称的两个图形中，连接任意一对对应点的线段被对称轴垂直平分，即对称轴是任意一对对应点所连线段的垂直平分线。 对称轴垂直平分任意一对对应点的连线 知识点梳理　21　15.1 线段的垂直平分线的性质与判定 经过线段中点且垂直于这条线段的直线叫作这条线段的垂直平分线；线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等（性质）；反过来，到一条线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上（判定）；尺规作线段的垂直平分线：分别以线段两端点为圆心、大于线段长一半的长为半径画弧，两弧交于两点，过这两点作直线即可。 性质：垂直平分线上的点⇒到两端点距离相等 判定：到两端点距离相等的点⇒在垂直平分线上 知识点梳理　22　15.2 画轴对称的图形 画一个图形关于已知直线的轴对称图形，先画出图形上关键点（如顶点）关于这条直线的对称点，再按原来的顺序依次连接这些对称点，就得到所求的轴对称图形。 步骤：找关键点的对称点→依次连接 知识点梳理　23　15.2 用坐标表示轴对称 在平面直角坐标系中，点(x,y)关于x轴对称的点的坐标是(x,−y)，即横坐标不变、纵坐标变为相反数；点(x,y)关于y轴对称的点的坐标是(−x,y)，即纵坐标不变、横坐标变为相反数。 关于x轴对称：(x,y)→(x,−y) 关于y轴对称：(x,y)→(−x,y) 知识点梳理　24　15.3 等腰三角形的性质 等腰三角形的两个底角相等，简称“等边对等角”；等腰三角形底边上的高、底边上的中线、顶角的平分线互相重合，这叫作等腰三角形的“三线合一”。 等边对等角：AB＝AC⇒∠B＝∠C 三线合一：顶角平分线、底边中线、底边高互相重合 知识点梳理　25　15.3 等腰三角形的判定 如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等，即这个三角形是等腰三角形，简称“等角对等边”。 等角对等边：∠B＝∠C⇒AB＝AC 知识点梳理　26　15.3 等边三角形的性质与判定 等边三角形的三个内角都等于60°；反过来，三个角都相等的三角形，或者有一个角等于60°的等腰三角形，都是等边三角形。 性质：等边三角形⇒三个内角都是60° 判定：三角相等，或有一个60°角的等腰三角形⇒等边三角形 知识点梳理　27　15.3 含30°角的直角三角形 在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半。 30°角所对的直角边＝斜边的一半 　方法清单 方法　01　定第三边：先写|a−b|＜c＜a＋b再按整数、奇偶取值 已知三角形两边长a、b，求第三边c的取值范围与可能值的方法：先由三边关系写出c的取值范围|a－b|＜c＜a＋b，再结合题目要求（整数、奇数、偶数等）在这个范围内取值，就能得到第三边所有可能的长度。 |a－b|＜c＜a＋b 方法　02　等腰边长分类后必须检验三边关系 遇到等腰三角形已知两边长（不确定哪条是腰）的问题，要把每种边长分别当作腰进行分类讨论，得到候选的三边后，必须逐一检验是否满足两边之和大于第三边；不满足三边关系的分类结果要舍去，不能直接作为答案。 两边之和＞第三边才能构成三角形，否则舍去 方法　03　中线等分面积：同高等底，面积比等于底之比 三角形一条中线分出的两个小三角形，因为底相等、高是同一条，所以面积相等；更一般地，只要顶点相同、底边落在同一条直线上，两个三角形面积之比就等于底边之比，求由中线分割出的各部分面积常用这个方法。 同高时，面积比＝底边比 方法　04　倒角两条路：内角和180°列方程，或外角等于不相邻两内角和 求三角形中角度的常用思路有两条：一是列方程，利用三角形内角和等于180°；二是搭桥法，设某三角形的外角为α，与它不相邻的两个内角为β、γ，则α＝β＋γ，借此把不同三角形里的角联系起来，具体选哪条路取决于题目中角的分布。 路径一：∠A＋∠B＋∠C＝180° 路径二：外角＝不相邻两内角之和 方法　05　证全等先盘点：标出已知的边与角，缺哪组补哪组 证明两个三角形全等前，先在图上标出已经知道相等的边和角，对照SSS、SAS、ASA、AAS、HL五种判定方法，看已知条件缺哪一组，再有针对性地去证明或寻找缺的那组条件，而不是盲目尝试。 先盘点已知条件，再对照判定方法补缺项 方法　06　找隐含条件：公共边、公共角、对顶角、等量加减 证明全等三角形时，除了题目直接给出的条件，还要主动寻找图形中隐含的相等关系：两个三角形共用的边（公共边）、共用的角（公共角）、两条直线相交形成的对顶角，以及在同一个角或线段上加减相等的部分后仍然相等（等量加减）。 公共边/公共角/对顶角/等量加减都是隐含的相等条件 方法　07　见角平分线想垂线段：作两边的垂线用距离相等 看到角平分线的条件，常用的辅助线方法是过角平分线上的点向角的两边作垂线段，利用“角平分线上的点到角两边的距离相等”把这两条垂线段联系起来，进而求距离、证线段相等或转化面积。 QS＝QU（Q在∠O平分线上，S、U分别是Q到角两边的垂足） 方法　08　见线段中垂线想连端点：把一条线段搬成另一条 看到线段垂直平分线的条件，常用的方法是连接垂直平分线上的点与这条线段的两个端点，利用“垂直平分线上的点到线段两端距离相等”，把一条线段的长度转化成另一条线段的长度，从而求周长或证明线段相等。 YA＝YB（Y为AB垂直平分线上任意一点） 方法　09　对称点坐标口诀：关于谁对称谁不变，另一个变相反数 求一个点关于坐标轴对称点坐标的口诀是“关于谁对称谁不变，另一个变相反数”：关于x轴对称时纵坐标变为相反数、横坐标不变；关于y轴对称时横坐标变为相反数、纵坐标不变，按这个口诀可以快速写出对称点坐标而不容易出错。 关于x轴对称：(x,y)→(x,−y) 关于y轴对称：(x,y)→(−x,y) 方法　10　等腰三角形题先定顶角底角、再分类，结合三线合一添辅助线 解等腰三角形的问题，先根据已知条件确定哪个角是顶角、哪个角是底角，若条件不确定就要分类讨论；再结合“等边对等角”“三线合一”的性质，通过作底边上的高（或中线、顶角平分线）添加辅助线，把等腰三角形问题转化为直角三角形问题求解。 先定顶角底角（必要时分类）→用三线合一添辅助线转化为直角三角形 第 1 页 / 共 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $第十三章～第十五章 课时同步练习 期中复习知识清单（第十三至十五章：27 个知识点+10 条方法口诀，逐条配图配公式）-2026-2027学年八年级上册数学人教版 三角形·全等三角形·轴对称　纯知识清单：27 张知识点卡＋10 张方法卡，逐条配图配公式，期中前 15 分钟过一遍 知识点卡 27 张 · 方法卡 10 张　/　原卷版＋解析版 班级：________　姓名：________　日期：________ 　课时目标 课标要点 1．三角形：会用“任意两边之和大于第三边”定第三边范围；会画钝角三角形三条高；能用内角和180°与外角等于不相邻两内角和倒角 2．全等三角形：能按全等记号读对应边角；会在“边边边、边角边、角边角、角角边、斜边直角边”中选判定并补条件；会用角平分线性质与判定求距离、证线段相等 3．轴对称：会用线段垂直平分线性质转化线段；会写关于x轴、y轴对称点坐标；会用“等边对等角、等角对等边、三线合一”及含30°角直角三角形的边角关系计算与证明 　目　录 知识梳理 3 知识点 01　13.1 三角形的概念：边、顶点、内角与记法 3 知识点 02　13.1 三角形按边分类：不等边、等腰、等边 3 知识点 03　13.1 三角形按角分类：锐角、直角、钝角 3 知识点 04　13.2 三角形的三边关系 4 知识点 05　13.2 三角形的高 4 知识点 06　13.2 三角形的中线与重心 5 知识点 07　13.2 三角形的角平分线与三角形的稳定性 5 知识点 08　13.3 三角形的内角和定理 5 知识点 09　13.3 三角形的外角 6 知识点 10　14.1 全等三角形的概念与对应元素 6 知识点 11　14.1 全等三角形的性质 6 知识点 12　14.2 判定一：边边边（SSS） 6 知识点 13　14.2 判定二：边角边（SAS） 7 知识点 14　14.2 判定三、四：角边角（ASA）与角角边（AAS） 7 知识点 15　14.2 直角三角形的判定：斜边、直角边（HL） 7 知识点 16　14.2 五种判定方法对照 8 知识点 17　14.3 尺规作角的平分线 8 知识点 18　14.3 角的平分线的性质与判定 9 知识点 19　15.1 轴对称图形与两个图形成轴对称 9 知识点 20　15.1 轴对称的性质 10 知识点 21　15.1 线段的垂直平分线的性质与判定 10 知识点 22　15.2 画轴对称的图形 10 知识点 23　15.2 用坐标表示轴对称 11 知识点 24　15.3 等腰三角形的性质 11 知识点 25　15.3 等腰三角形的判定 11 知识点 26　15.3 等边三角形的性质与判定 12 知识点 27　15.3 含30°角的直角三角形 12 方法清单 13 方法 01　定第三边：先写|a−b|＜c＜a＋b再按整数、奇偶取值 13 方法 02　等腰边长分类后必须检验三边关系 13 方法 03　中线等分面积：同高等底，面积比等于底之比 13 方法 04　倒角两条路：内角和180°列方程，或外角等于不相邻两内角和 14 方法 05　证全等先盘点：标出已知的边与角，缺哪组补哪组 14 方法 06　找隐含条件：公共边、公共角、对顶角、等量加减 14 方法 07　见角平分线想垂线段：作两边的垂线用距离相等 15 方法 08　见线段中垂线想连端点：把一条线段搬成另一条 15 方法 09　对称点坐标口诀：关于谁对称谁不变，另一个变相反数 15 方法 10　等腰三角形题先定顶角底角、再分类，结合三线合一添辅助线 16 　知识梳理 知识点梳理　01　13.1 三角形的概念：边、顶点、内角与记法 把三条线段两两首尾顺次连接围成的封闭图形称为三角形，通常记作△ABC；构成它的三条线段是边，相邻两条边的公共端点是顶点，相邻两边所夹的角是内角。按惯例，与顶点A相对的边BC写作a，与顶点B相对的边CA写作b，与顶点C相对的边AB写作c。 三边：AB、BC、CA ∠A的对边记a，∠B的对边记b，∠C的对边记c 知识点梳理　02　13.1 三角形按边分类：不等边、等腰、等边 三角形按边的关系分为不等边三角形（三边都不相等）、等腰三角形（有两边相等，相等的两边叫腰，另一边叫底边，两腰的夹角叫顶角，腰和底边的夹角叫底角）、等边三角形（三边都相等，是特殊的等腰三角形）。 不等边三角形：三边互不相等 等腰三角形：两边相等（腰），另一边为底边 等边三角形：三边都相等，是特殊的等腰三角形 知识点梳理　03　13.1 三角形按角分类：锐角、直角、钝角 三角形按角的关系分为锐角三角形（三个内角都是锐角）、直角三角形（有一个内角是直角）、钝角三角形（有一个内角是钝角），三角形的类别由最大的内角决定。 锐角三角形：三个内角都<90° 直角三角形：一个内角=90° 钝角三角形：一个内角>90° 知识点梳理　04　13.2 三角形的三边关系 三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边；若三角形三边长为a、b、c，则第三边c满足|a－b|＜c＜a＋b，这是判断三条线段能否组成三角形、求第三边取值范围的依据。 两边之和＞第三边 两边之差＜第三边 |a－b|＜c＜a＋b 知识点梳理　05　13.2 三角形的高 从三角形一个顶点向它的对边所在直线画垂线，顶点与垂足之间的线段叫作三角形的高；锐角三角形的三条高都在三角形内部，直角三角形的两条高恰好是两条直角边，钝角三角形有一条高在内部、两条高在外部；三角形三条高所在的直线相交于一点。 锐角三角形：三条高都在内部 直角三角形：两条高是两条直角边 钝角三角形：一条高在内部，两条高在外部 知识点梳理　06　13.2 三角形的中线与重心 三角形一个顶点与它对边中点的连线叫作这个三角形的中线；一条中线能把三角形分成两个面积相等的三角形，原因是这两个三角形的底相等、高是同一条线段；三角形三条中线的交点叫作重心。 一条中线把三角形分成的两部分面积相等 三条中线交于重心 知识点梳理　07　13.2 三角形的角平分线与三角形的稳定性 三角形一个内角的平分线与它的对边相交，顶点与交点之间的线段叫作三角形的角平分线；三角形三条角平分线交于三角形内部一点；三角形的三边长确定后，它的形状和大小就确定，这就是三角形的稳定性，四边形没有这个性质。 三条角平分线交于三角形内部一点 三角形具备稳定性；四边形不具备 知识点梳理　08　13.3 三角形的内角和定理 三角形三个内角的和等于180°；在直角三角形中，除直角外的两个锐角互余，即两锐角之和等于90°。 ∠A＋∠B＋∠C＝180° 直角三角形中两锐角之和＝90° 知识点梳理　09　13.3 三角形的外角 三角形一边与另一边的延长线组成的角叫作三角形的外角；三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和，因此外角大于任何一个不相邻的内角。 外角＝不相邻两内角之和 外角＞任一个不相邻内角 知识点梳理　10　14.1 全等三角形的概念与对应元素 两个能够完全重合的三角形叫作全等三角形；把两个全等三角形叠合在一起，重合的顶点叫对应顶点，重合的边叫对应边，重合的角叫对应角；全等记号“≌”中对应顶点写在对应位置，如△ABC≌△DEF表示A与D、B与E、C与F分别对应。 △ABC≌△DEF ⇒ A↔D，B↔E，C↔F 知识点梳理　11　14.1 全等三角形的性质 全等三角形的对应边相等、对应角相等；由对应边相等还可以推出对应边上的高、中线、角平分线相等，以及两个三角形的周长相等、面积相等。 对应边相等，对应角相等 对应高、中线、角平分线、周长、面积也相等 知识点梳理　12　14.2 判定一：边边边（SSS） 只要能确认两个三角形的三组对应边分别相等，就能断定这两个三角形全等——这一判定依据的名称是“边边边”，字母简写为SSS。 SSS：三边分别相等⇒两三角形全等 知识点梳理　13　14.2 判定二：边角边（SAS） 如果两个三角形的两边和它们的夹角分别相等，那么这两个三角形全等，这个判定方法叫作“边角边”，简写成SAS；两边及其中一边的对角分别相等（SSA）不能判定两个三角形全等。 SAS：两边及夹角分别相等⇒全等 SSA不能判定全等 知识点梳理　14　14.2 判定三、四：角边角（ASA）与角角边（AAS） 如果两个三角形的两个角和它们的夹边分别相等，那么这两个三角形全等，这个判定方法叫作“角边角”，简写成ASA；如果两个角和其中一个角的对边分别相等，那么这两个三角形也全等，这个判定方法叫作“角角边”，简写成AAS。 ASA：两角及夹边分别相等⇒全等 AAS：两角及一角的对边分别相等⇒全等 知识点梳理　15　14.2 直角三角形的判定：斜边、直角边（HL） 斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等，这个判定方法叫作“斜边、直角边”，简写成HL；HL只适用于直角三角形。 HL：斜边、一条直角边分别相等⇒两直角三角形全等（仅适用于直角三角形） 知识点梳理　16　14.2 五种判定方法对照 证三角形全等能用的依据一共五条：SSS（三边）、SAS（两边夹角）、ASA（两角夹边）、AAS（两角一对边），另加只对直角三角形成立的HL（斜边、直角边）；具体挑哪一条要看题目已知条件属于哪一类，AAA（三个角对应相等）与SSA（两边及非夹角对应相等）都不能作为判全等的依据。 SSS：三边 SAS：两边夹一角 ASA：两角夹一边 AAS：两角及一边的对角 HL：斜边＋一直角边（仅直角三角形） AAA、SSA：不能判定全等 知识点梳理　17　14.3 尺规作角的平分线 用尺规作已知角的平分线：以角的顶点为圆心画弧，与角的两边交于两点；再分别以这两点为圆心、大于这两点间距离一半的长为半径画弧，两弧在角内部相交于一点；连接顶点与这个交点，所得射线就是角的平分线；这种作法的依据是“边边边”判定全等三角形。 作图依据：SSS判定全等 知识点梳理　18　14.3 角的平分线的性质与判定 角的平分线上的点到这个角两边的距离相等（性质）；反过来，在角的内部，到角两边距离相等的点在这个角的平分线上（判定）；这里的“距离”是指点到角两边所在直线的垂线段的长。 性质：平分线上的点⇒到两边距离相等 判定：到两边距离相等的内部点⇒在平分线上 知识点梳理　19　15.1 轴对称图形与两个图形成轴对称 把一个图形沿着一条直线折叠，如果直线两旁的部分能够完全重合，这个图形叫作轴对称图形，这条直线叫作对称轴；如果把两个图形沿一条直线折叠后能够互相重合，就说这两个图形成轴对称，这条直线也叫对称轴，折叠后重合的点叫作对称点。 轴对称图形：一个图形自身沿对称轴折叠重合 轴对称：两个图形沿对称轴折叠互相重合 知识点梳理　20　15.1 轴对称的性质 成轴对称的两个图形中，连接任意一对对应点的线段被对称轴垂直平分，即对称轴是任意一对对应点所连线段的垂直平分线。 对称轴垂直平分任意一对对应点的连线 知识点梳理　21　15.1 线段的垂直平分线的性质与判定 经过线段中点且垂直于这条线段的直线叫作这条线段的垂直平分线；线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等（性质）；反过来，到一条线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上（判定）；尺规作线段的垂直平分线：分别以线段两端点为圆心、大于线段长一半的长为半径画弧，两弧交于两点，过这两点作直线即可。 性质：垂直平分线上的点⇒到两端点距离相等 判定：到两端点距离相等的点⇒在垂直平分线上 知识点梳理　22　15.2 画轴对称的图形 画一个图形关于已知直线的轴对称图形，先画出图形上关键点（如顶点）关于这条直线的对称点，再按原来的顺序依次连接这些对称点，就得到所求的轴对称图形。 步骤：找关键点的对称点→依次连接 知识点梳理　23　15.2 用坐标表示轴对称 在平面直角坐标系中，点(x,y)关于x轴对称的点的坐标是(x,−y)，即横坐标不变、纵坐标变为相反数；点(x,y)关于y轴对称的点的坐标是(−x,y)，即纵坐标不变、横坐标变为相反数。 关于x轴对称：(x,y)→(x,−y) 关于y轴对称：(x,y)→(−x,y) 知识点梳理　24　15.3 等腰三角形的性质 等腰三角形的两个底角相等，简称“等边对等角”；等腰三角形底边上的高、底边上的中线、顶角的平分线互相重合，这叫作等腰三角形的“三线合一”。 等边对等角：AB＝AC⇒∠B＝∠C 三线合一：顶角平分线、底边中线、底边高互相重合 知识点梳理　25　15.3 等腰三角形的判定 如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等，即这个三角形是等腰三角形，简称“等角对等边”。 等角对等边：∠B＝∠C⇒AB＝AC 知识点梳理　26　15.3 等边三角形的性质与判定 等边三角形的三个内角都等于60°；反过来，三个角都相等的三角形，或者有一个角等于60°的等腰三角形，都是等边三角形。 性质：等边三角形⇒三个内角都是60° 判定：三角相等，或有一个60°角的等腰三角形⇒等边三角形 知识点梳理　27　15.3 含30°角的直角三角形 在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半。 30°角所对的直角边＝斜边的一半 　方法清单 方法　01　定第三边：先写|a−b|＜c＜a＋b再按整数、奇偶取值 已知三角形两边长a、b，求第三边c的取值范围与可能值的方法：先由三边关系写出c的取值范围|a－b|＜c＜a＋b，再结合题目要求（整数、奇数、偶数等）在这个范围内取值，就能得到第三边所有可能的长度。 |a－b|＜c＜a＋b 方法　02　等腰边长分类后必须检验三边关系 遇到等腰三角形已知两边长（不确定哪条是腰）的问题，要把每种边长分别当作腰进行分类讨论，得到候选的三边后，必须逐一检验是否满足两边之和大于第三边；不满足三边关系的分类结果要舍去，不能直接作为答案。 两边之和＞第三边才能构成三角形，否则舍去 方法　03　中线等分面积：同高等底，面积比等于底之比 三角形一条中线分出的两个小三角形，因为底相等、高是同一条，所以面积相等；更一般地，只要顶点相同、底边落在同一条直线上，两个三角形面积之比就等于底边之比，求由中线分割出的各部分面积常用这个方法。 同高时，面积比＝底边比 方法　04　倒角两条路：内角和180°列方程，或外角等于不相邻两内角和 求三角形中角度的常用思路有两条：一是列方程，利用三角形内角和等于180°；二是搭桥法，设某三角形的外角为α，与它不相邻的两个内角为β、γ，则α＝β＋γ，借此把不同三角形里的角联系起来，具体选哪条路取决于题目中角的分布。 路径一：∠A＋∠B＋∠C＝180° 路径二：外角＝不相邻两内角之和 方法　05　证全等先盘点：标出已知的边与角，缺哪组补哪组 证明两个三角形全等前，先在图上标出已经知道相等的边和角，对照SSS、SAS、ASA、AAS、HL五种判定方法，看已知条件缺哪一组，再有针对性地去证明或寻找缺的那组条件，而不是盲目尝试。 先盘点已知条件，再对照判定方法补缺项 方法　06　找隐含条件：公共边、公共角、对顶角、等量加减 证明全等三角形时，除了题目直接给出的条件，还要主动寻找图形中隐含的相等关系：两个三角形共用的边（公共边）、共用的角（公共角）、两条直线相交形成的对顶角，以及在同一个角或线段上加减相等的部分后仍然相等（等量加减）。 公共边/公共角/对顶角/等量加减都是隐含的相等条件 方法　07　见角平分线想垂线段：作两边的垂线用距离相等 看到角平分线的条件，常用的辅助线方法是过角平分线上的点向角的两边作垂线段，利用“角平分线上的点到角两边的距离相等”把这两条垂线段联系起来，进而求距离、证线段相等或转化面积。 QS＝QU（Q在∠O平分线上，S、U分别是Q到角两边的垂足） 方法　08　见线段中垂线想连端点：把一条线段搬成另一条 看到线段垂直平分线的条件，常用的方法是连接垂直平分线上的点与这条线段的两个端点，利用“垂直平分线上的点到线段两端距离相等”，把一条线段的长度转化成另一条线段的长度，从而求周长或证明线段相等。 YA＝YB（Y为AB垂直平分线上任意一点） 方法　09　对称点坐标口诀：关于谁对称谁不变，另一个变相反数 求一个点关于坐标轴对称点坐标的口诀是“关于谁对称谁不变，另一个变相反数”：关于x轴对称时纵坐标变为相反数、横坐标不变；关于y轴对称时横坐标变为相反数、纵坐标不变，按这个口诀可以快速写出对称点坐标而不容易出错。 关于x轴对称：(x,y)→(x,−y) 关于y轴对称：(x,y)→(−x,y) 方法　10　等腰三角形题先定顶角底角、再分类，结合三线合一添辅助线 解等腰三角形的问题，先根据已知条件确定哪个角是顶角、哪个角是底角，若条件不确定就要分类讨论；再结合“等边对等角”“三线合一”的性质，通过作底边上的高（或中线、顶角平分线）添加辅助线，把等腰三角形问题转化为直角三角形问题求解。 先定顶角底角（必要时分类）→用三线合一添辅助线转化为直角三角形 第 1 页 / 共 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $