专题01因式分解（期中复习知识清单，6知识9题型3易错5方法）八年级数学上学期新教材人教版五四制

专题01 因式分解（6知识&9题型&3易错&5方法清单） 【清单01】因式分解 定义：把一个多项式化成几个整式的积的形式，叫做把这个多项式因式分解，也叫做把这个多项式分解因式. 【补充说明】 1）因式分解分解对象是多项式，分解结果必须是几个整式乘积的形式. 2）每个因式都要分解到不能再分解为止. 因式分解与整式乘法的关系：因式分解和整式乘法是互逆的运算，如.因式分解是把和差化为积的形式，而整式乘法是把积化为和差的形式，两者都是恒等变形，但它们是互逆的两个过程. 【清单02】提公因式法分解因式 公因式的概念：多项式的各项都含有的公共的因式叫做这个多项式各项的公因式. 确定公因式的方法： 方法 说明 举例： 一看系数 公因式的系数是各项系数绝对值的最大公约数 6，4，2的最大公约数是2， 故公因式的系数是2 二看字母 公因式中的字母应是各项中都含有的相同字母 式子中各项都含有a，b， 所以公因式中必含字母a，b 三看字母次数 公因式中字母的次数是相同字母的最低次数 a的最低次数是1，b的最低次数是2， 所以这个多项式的公因式是 提公因式法的概念：如果多项式的各项含有公因式，那么就可以把这个公因式提到括号外，将多项式写成公因式与另一个多项式的乘积的形式，这种因式分解的方法叫提公因式法，即：. 提公因式法的步骤： 说明 举例： 确定公因式 可按照确定公因式的方法先确定系数， 再确定字母，最后确定字母次数 公因式是 提取公因式并确定另一个因式 多项式除以公因式，所得的商作为另一个因式， 把多项式写成公因式与另一个因式的乘积的形式 【清单03】公式法分解因式 定义：如果把乘法公式反过来用，就可以用来把某些多项式分解因式，这种因式分解的方法叫做公式法. 平方差公式逆用： 【解读】应用平方差公式分解因式的特征：①等号的左边是两个数的平方差的形式； ②等号的右边是这两个数的和与这两个数的差的积. 完全平方公式逆用： 【解读】应用完全平方公式分解因式的特征： ①等号的左边是两个数的平方和加上(或减去)这两个数的积的2倍. ②等号的右边是这两个数的和(或差)的平方. 【清单04】因式分解的一般步骤 【清单05】十字相乘法（选学） 定义：利用十字交叉线来分解系数，将二次三项式分解因式的方法叫做十字相乘法.十字相乘法简单来讲就是十字左边相乘等于二次项系数，右边相乘等于常数项，交叉相乘再相加等于一次项系数.即 【清单06】分组分解法（选学） 定义：当一个多项式既不能提公因式，又不能运用公式分解，且这个多项式的项数在4项或4项以上时，可以考虑将这个多项式分组，进行合理的分组之后，则有可能找到每一组各自的公因式，然后再分解.分组分解法的分解原则是:分组之后的每组之间能够提公因式或能够套用公式.如. 【题型一】判断是否因式分解 1．（25-26八年级上·全国·期末）下列各式从左到右的变形，是因式分解的是（  ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查因式分解的定义．熟记因式分解的定义是解答本题的关键． 根据因式分解的定义“把一个多项式化成几个整式的积的形式，叫做因式分解”逐项判断即可． 【详解】解：A．从左到右的变形属于整式的乘法，不属于因式分解，故本选项不符合题意； B．从左到右的变形属于整式的乘法，不属于因式分解，故本选项不符合题意； C．等式右边不是几个整式的积的形式，不属于因式分解，故本选项不符合题意； D．从左到右的变形符合因式分解的定义，属于因式分解，故本选项符合题意； 故选：D． 2．（24-25八年级上·甘肃武威·期末）下列等式从左到右的变形中，属于因式分解的是（      ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题考查了因式分解的定义．解题的关键是掌握因式分解的定义：把一个多项式化为几个整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解． 根据因式分解的定义判断即可． 【详解】解：A、，属于整式的乘法运算，故本选项不符合题意； B、，不符合因式分解的定义，故本选项不符合题意； C、，符合因式分解的定义，故本选项符合题意； D、，不符合因式分解的定义，故本选项不符合题意； 故选：C． 3．（24-25七年级下·安徽合肥·期末）下列各式中，自左向右变形属于正确的因式分解的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查因式分解的意义，熟练掌握其定义是解题的关键． 把一个多项式化为几个整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解，也叫做分解因式，据此进行判断即可． 【详解】解：A、不是因式分解，则A选项不符合题意， B、，公因式未提尽，因式分解不彻底，则B选项不符合题意， C、符合因式分解的定义，则C选项符合题意， D、中等号右边不是积的形式，则D选项不符合题意， 故选：C． 4．（24-25八年级上·甘肃张掖·期末）下列等式中，从左到右的变形是因式分解的有（　　）． ①；②；③． A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】B 【分析】本题主要考查了因式分解的定义，将多项式化为整式的积的形式叫作因式分解．根据因式分解的定义逐项判断即可． 【详解】解：①是乘法运算，则①不是因式分解； ②符合因式分解的定义，则②是因式分解； ③是乘法运算，则③不是因式分解． 综上，是因式分解的有1个． 故选：B． 【题型二】已知因式分解的结果求参数 1．（24-25八年级上·山东烟台·期末）将多项式进行因式分解得到，则的值为 ． 【答案】13 【分析】本题考查了多项式乘多项式以及因式分解的概念：先把运用多项式乘多项式的法则展开，再与进行比较，即可作答． 【详解】解：依题意， 因为多项式进行因式分解得到， 所以 那么，， 故，， 所以， 故答案为：． 2．（24-25八年级上·新疆巴音郭楞·期末）若多项式能分解成两个因式的积，且其中一个因式为，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了因式分解，根据题意可得当时，的值为0，则，解之即可得到答案． 【详解】解：∵多项式能分解成两个因式的积，且其中一个因式为， ∴当时，的值也为0， ∴当时，的值也为0， ∴， ∴， 故答案为：． 3．（22-23八年级上·吉林长春·期末）1637年笛卡尔（R．Descartes，1596－1650）在其《几何学》中，首次应用待定系数法最早给出因式分解定理．关于笛卡尔的“待定系数法”原理，举例说明如下： 分解因式：． 解：观察可知，当时，原式． ∴原式可分解为与另一个整式的积． 设另一个整式为．则， ∵， ∴ ∵等式两边同次幂的系数相等， 则有：，解得． ∴． 根据以上材料，理解并运用材料提供的方法，解答以下问题： (1)根据以上材料的方法，分解因式的过程中，观察可知，当______时，原式，所以原式可分解为______与另一个整式的积．若设另一个整式为．则______，______． (2)已知多项式（为常数）有一个因式是，求另一个因式以及的值． 下面是小明同学根据以上材料方法，解此题的部分过程，请帮小明完成他的解答过程． 解：设另一个因式为，则． …… (3)已知二次三项式（为常数）有一个因式是，则另一个因式为______，的值为______． 【答案】(1)；；； (2)解题过程见详解， (3)； 【分析】（1）根据材料提示，当时，的值为，由此即可求解； （2）多项式（为常数）有一个因式是，设另一个因式为，根据材料提示，即可求解； （3）多项式（为常数）有一个因式是，则另一个因式为，根据材料提示，即可求解． 【详解】（1）解：当时，的值为， ∴原式可分解为与另一个整式的积， 设另一个整式为， ∴， ∵， ∴， ∴，解得，， ∴， 故答案为：；；；． （2）解：多项式（为常数）有一个因式是，设另一个因式为，则， ∵， ∴， ∴，解方程得，， ∴多项式（为常数）为， ∴因式分解为． （3）解：多项式（为常数）有一个因式是，设另一个因式为， ∴， ∵， ∴， ∴，解方程组得，， ∴多项式（为常数）为， ∴因数分解为， 故答案为：，． 【点睛】本题主要考查因数分解，掌握整式的混合运算是解题的关键． 【题型三】提公因式法分解因式 1．（25-26八年级上·河南南阳·期中）把提公因式后， 则另一个因式为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了因式分解．通过将转化为，然后提取公因式，即可得到另一个因式，即可作答． 【详解】解：∵依题意，， ∴， 因此，另一个因式为 ， 故选：A． 2．（25-26八年级上·山西临汾·期中）如图，长方形的长、宽分别为、，面积为6，比大2，则的值为（   ） A．12 B．21 C．8 D．49 【答案】A 【分析】此题考查因式分解的应用，根据题意得到，代入所求代数式因式分解后的因式中计算即可 【详解】解：∵长方形的长、宽分别为、，面积为6，比大2， ∴， ∴， 故选：A 3．（25-26八年级上·北京·期中）若，则的值是 ． 【答案】 【分析】本题考查因式分解，代入求值，掌握相关知识是解决问题的关键．原式变形为，提公因式合并同类项后得，再提公因式2得，将已知条件代入计算即可． 【详解】解： ， ∵ ， 代入得： 原式， 故答案为：． 4．（2025七年级上·全国·专题练习）分解因式： (1)； (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查因式分解，掌握相关知识是解决问题的关键． （1）将化为之后，提公因式即可； （2）将化为之后，提公因式即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 【题型四】公式法分解因式 1．（25-26八年级上·江苏南通·期中）因式分解： 【答案】 【分析】本题考查了因式分解，把一个多项式化成几个整式的乘积的形式，叫做因式分解．因式分解常用的方法有：①提公因式法；②公式法；③十字相乘法；④分组分解法．因式分解必须分解到每个因式都不能再分解为止． 用完全平方公式分解即可． 【详解】解：． 故答案为：． 2．（24-25八年级下·云南普洱·期末）分解因式： ． 【答案】 【分析】本题考查了因式分解． 根据平方差公式分解即可． 【详解】解：． 故答案为：． 3．（25-26八年级上·全国·课后作业）分解因式： (1)； (2)． 【答案】(1)； (2)． 【分析】本题考查了完全平方公式分解因式，熟练掌握公式法因式分解是解题的关键． （）利用完全平方公式分解即可； （）利用完全平方公式分解即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 【题型五】综合提公因式法和公式法分解因式 1．（25-26八年级上·福建泉州·期中）泉小伍是一名密码翻译爱好者，在他的密码手册中有这样一条信息：，，，，，，分别对应下列六个字：五，爱，我，泉，丽，美，现将因式分解，结果呈现的密码信息可能是（    ） A．美丽 B．我爱美丽 C．泉五美 D．我爱泉五 【答案】D 【分析】本题考查因式分解．将给定的多项式进行因式分解，提取公因式后应用平方差公式，得到四个因式，分别对应密码手册中的字，组合后匹配选项． 【详解】解：∵， 又∵ ，， ∴原式 ． 根据密码手册：→爱，→我，→五，→泉， 因式分解结果可表示为 ，对应密码信息“我爱泉五”． 故选：D． 2．（25-26七年级下·河北·单元测试）因式分解： ． 【答案】 【分析】本题考查因式分解，观察表达式，发现与互为相反数，可统一提取公因式，再利用平方差公式分解即可． 【详解】解： 故答案为：． 3．（25-26七年级上·上海闵行·期中）因式分解： ． 【答案】 【分析】本题考查了因式分解，观察表达式，先提取公因式，再利用十字相乘法进行分解即可． 【详解】解： ． 故答案为：． 4．（25-26八年级上·四川内江·期中）因式分解或利用因式分解计算 (1) (2) (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题考查了因式分解，平方差公式，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）运用提公因式法进行因式分解，即可作答． （2）先运用提公因式法，再运用平方差公式进行因式分解，即可作答． （3）先整理原式，再运用完全平方公式进行因式分解，即可作答． （4）运用平方差公式进行简便运算，即可作答． 【详解】（1）解：； （2）解：； （3）解：； （4）解： ． 5．（25-26八年级上·北京·月考）因式分解： (1) (2) (3) (4) 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题考查因式分解，熟练掌握因式分解的方法，是解题的关键： （1）提公因式法进行因式分解即可； （2）完全平方公式法进行因式分解即可； （3）先提公因式，再利用完全平方公式法进行因式分解即可； （4）平方差公式法进行因式分解即可． 【详解】（1）解：原式； （2）原式； （3）原式； （4）原式 ． 【题型六】多次运用提公因式法 1．（25-26八年级上·贵州铜仁·阶段练习）先阅读下列因式分解的过程，再回答所提出的问题． ． (1)上述分解因式的方法是 ，共应用了 次； (2)分解因式：． (3)若分解，则需应用上述方法 次，结果是 ．（n为正整数） 【答案】(1)提公因式法，2 (2) (3)， 【分析】本题考查了提取公因式法分解因式，读懂题意得出分解因式的规律是解题的关键． （1）已知材料的运算过程符合提取公因式法，根据运算步骤即可得出答案； （2）利用已知材料提取公因式，根据运算规律可得答案； （3）利用已知材料提取公因式，根据运算规律可得答案． 【详解】（1）解：上述分解因式的方法是提公因式法，共应用了2次， 故答案为：提公因式法，2； （2）解： ； （3）解： ， 故需应用上述方法次，结果是， 故答案为：，． 【题型七】因式分解的应用--整除中的应用 1．（25-26八年级上·全国·随堂练习）当为整数时，能被4整除吗？请说明理由． 【答案】能被4整除．理由见解析 【分析】本题考查的是利用平方差公式进行简便运算，因式分解的应用，先按照平方差公式分解因式，再计算即可进行判断． 【详解】解：能被4整除．理由如下：因为， 所以当为整数时，能被4整除． 2．（25-26八年级上·河南南阳·期中）观察下列各式：；；；…；发现规律：比任意一个偶数大3的数与此偶数的平方差能被3整除． (1)的结果是3的______倍； (2)设偶数为2n，试说明比大7的数与的平方差能被7整除； (3)比任意一个整数大5的数与此整数的平方差被10整除的余数是几？说明理由． 【答案】(1)19 (2)能，见解析 (3)余数为5，见解析 【分析】本题主要考查了运用平方差公式分解因式，分解因式的应用． （1）结合题干，利用平方差公式求解； （2）设偶数为，比大7的数为，比大7的数与的平方差表示为，利用平方差公式变形为，即可求解； （3）变形为，可得余数为5． 【详解】（1）解：， 的结果是3的19倍， 故答案为：19； （2）解：偶数为，比大7的数为， ∴， ∵为整数， ∴能被7整除， ∴比大7的数与2n的平方差能被7整除； （3）解：余数为5，理由如下： 设这个数为n，比n大5的数为， ∴， ∵， ∴被10整除的余数是5， ∴比任意一个整数大5的数与此整数的平方差被10整除的余数是5． 【题型八】因式分解的应用--在三角形判断中的应用 1．（24-25八年级下·四川成都·期末）已知是的三边，且满足，则为 三角形（填写“等腰”、“等边”、“直角”中的一个）． 【答案】等腰 【分析】本题考查了因式分解与实际应用，熟悉掌握平方差公式是解题的关键． 利用因式分解运算求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∴为等腰三角形， 故答案为：等腰． 2．（25-26八年级上·全国·课后作业）已知一个三角形的三边长分别为a，b，c，且，证明这个三角形是等腰三角形． 【答案】证明见解析 【分析】本题考查因式分解的应用，解题的关键是掌握分组法进行因式分解． 将，进行因式分解，再根据等腰三角形的定义进行证明即可． 【详解】证明：∵， ∴， ∴， ∴， ∴或； ∴这个三角形一定是等腰三角形． 3．（24-25七年级下·河北秦皇岛·期末）在学习完“因式分解”这章内容后，为了开拓学生的思维，张老师在黑板上写了下面两道题目让学生解答，同学们经过小组活动交流，得到了如下答案： （1） （分成两组） （提公因式） （提公因式） （2） （分成两组） （运用公式） （运用公式） 请在她们的解法启发下解答下面各题： (1)因式分解：； (2)若，求的值； (3)若的三边，，满足，则是什么三角形？ 【答案】(1) (2) (3)等腰三角形 【分析】本题考查因式分解，熟练掌握分组分解法，是解题的关键： （1）利用分组分解法，进行因式分解即可； （2）利用分组分解法，进行因式分解，整体代入法求值即可； （3）利用分组分解法，进行因式分解，得到，进而得到，即可得出结论． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； 当时： 原式； （3）解： 、、为的三边 即； 为等腰三角形． 【题型九】利用因式分解证明 1．（25-26八年级上·山东潍坊·期中）小明发现：对于任意两个连续的正整数的乘积与较大数的和，一定为较大数的平方． 例如4和5，有． (1)【证明结论】请填写该结论证明过程的依据． 设m，n是连续的正整数，且， 可得； 所以        （______）                         （______） 所以一定是正数n的平方． (2)【类比证明】小红发现：任意两个连续正整数的乘积与较小数的差，一定为较小数的平方．请你完成证明． 【答案】(1)乘法分配律；等量代换 (2)见解析 【分析】本题考查了因式分解的应用． （1）根据乘法分配律解答即可； （2）设，m、n是连续的正整数，可得，从而得到，即可解答． 【详解】（1）解：设m，n是连续的正整数，且， 可得； 所以（乘法分配律） （等量代换） ， 所以一定是正数n的平方． 故答案为：乘法分配律；等量代换 （2）证明：设，m、n是连续的正整数， 所以， 所以， 所以． 所以一定是正数m的平方． 2．（25-26八年级上·湖南·月考）先阅读下列材料，再解答下列问题： 材料：． 解：将“”看成整体，令，则原式； 再将“A”还原，得：原式． 上述解题用到的是“整体思想”，整体思想是数学解题中常用的一种思想方法，请你解下列问题： (1)类比应用，求______； (2)通过计算，证明：不论取何值，总有比大2； (3)若n为正整数，判断式子的值是否是某一个整数的平方，并说明理由． 【答案】(1) (2)见解析 (3)是，理由见详解 【分析】本题考查因式分解，完全平方公式的应用，需熟练完全平方公式，掌握解题的关键是理解并掌握整体思想和换元思想． （1）利用整体思想和完全平方公式进行化简即可； （2）利用多项式乘多项式法则计算左右两边的算式即可； （3）利用乘法的结合律和多项式乘多项式的法则对原式进行整理，再利用整体思想和完全平方公式进行整理即可． 【详解】（1）解：， 将看成整体，令， 则原式， 再将“A”还原，可得原式， ∴； 故答案为：． （2）证明：∵，． ∴， ∴不论取何值，总有比大2． （3）解：是，理由如下： 对进行分组：． 分别展开可得． 令，则原式可化为． 展开式子得． 根据完全平方公式，． 再将还原， 可得． 因为为正整数， 所以也是整数， 所以的值是某一个整数的平方． 3．（24-25八年级上·安徽合肥·期末）如果一个正整数能写成的形式（其中a、b均为自然数），则称之为聪明数，比如6和24均是聪明数，因为，． (1)请证明：22和88都是聪明数； (2)请证明：任何两个聪明数的乘积依旧是聪明数． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查了整式乘法运算以及分解因式、有理数的混合运算，熟练掌握运算法则是解此题的关键 （1）根据，，结合定义判断即可． （2）设两个聪明数分别为和（其中a、b、、均为自然数），则两个聪明数的乘积为，然后根据乘法公式化简，最后分解因式即可． 【详解】（1）证明：∵，， ∴22和88都是聪明数； （2）证明：设两个聪明数分别为和（其中a、b、、均为自然数）， ∵ ， ∴任何两个聪明数的乘积依旧是聪明数． 【题型一】判断公因式 1．（24-25八年级上·天津滨海新·期末）把多项式分解因式时，应提取的公因式是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了公因式，熟练掌握公因式的确定方法是解题的关键．公因式的确定方法：各项系数的最大公约数与各项都含有的相同字母的最低次数幂的积． 【详解】解：把多项式分解因式时，应提取的公因式是， 故选：C． 2．（2024·河北石家庄·一模）整式，，下列结论： 结论一：． 结论二：，的公因式为． 下列判断正确的是（   ） A．结论一正确，结论二不正确 B．结论一不正确，结论二正确 C．结论一、结论二都正确 D．结论一、结论二都不正确 【答案】A 【分析】本题考查了单项式乘以多项式，公因式的定义；根据单项式乘以多项式，公因式的定义，判断即可求解． 【详解】解：∵，， ∴，故结论一正确； ∵， ∴，的公因式为，故结论二不正确； 故选：A． 3．（2025八年级上·全国·专题练习）将因式分解，则应提取的公因式为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查公因式的确定，找出系数的最大公约数，相同字母（多项式）的最低次幂，即可确定公因式． 【详解】解：因式分解时，应提取的公因式是． 故答案为：． 4．（25-26八年级上·全国·随堂练习）给出下列四组代数式：①和；②和；③和；④和．其中没有公因式的一组是 ．（填序号） 【答案】② 【分析】本题考查了公因式的概念，正确理解公因式是解题的关键． 根据公因式的概念逐一判断选项即可． 【详解】①和的公因式是，不符合题意； ②和没有公因式，符合题意； ③和的公因式是，不符合题意； ④和的公因式是5，不符合题意； 故答案为：②． 【题型二】判断能否运用公式法分解因式 1．（25-26八年级上·山东烟台·期中）下列多项式能用公式法因式分解的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了公式法进行因式分解，熟练掌握和是解答本题的关键． 公式法因式分解指使用平方差公式或完全平方公式．选项C符合完全平方公式，其他选项均无法用公式法分解． 【详解】解： 选项A： 为平方和，无法用公式法因式分解； 选项B：，无法用公式法因式分解； 选项C：，符合完全平方公式，能用公式法因式分解； 选项D：，使用提公因式法，无法公式法因式分解． 故选C． 2．（25-26八年级上·广东广州·期中）下列各多项式中不能用公式法分解的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了因式分解，根据平方差公式和完全平方公式逐项分析即可得解，熟练掌握平方差公式和完全平方公式是解此题的关键． 【详解】解：A、，能用平方差公式分解，故不符合题意； B、，能用完全平方公式分解，故不符合题意； C、不能用公式法分解，符合题意； D、，能用完全平方公式分解，故不符合题意； 故选：C． 3．（25-26八年级上·山西晋城·期中）若多项式★可以因式分解，则★不能是（） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了因式分解，多项式需能因式分解，选项A、B、C均可使多项式通过完全平方公式或平方差公式因式分解，而选项D引入四次项导致无法分解． 【详解】解：A、★=，多项式为，可分解． B、★=，多项式为，可分解． C、★=，多项式为，且，可分解． D、★=，多项式为，无法因式分解． 故选：D． 4．（2025八年级上·全国·专题练习）给出下列式子：①；②；③；④；⑤其中在实数范围内能用完全平方公式分解因式的有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】本题考查了用完全平方公式分解因式. 逐一整理后根据完全平方公式进行判断即可． 【详解】解：①，不能用完全平方公式分解因式； ②，能用完全平方公式分解因式； ③，不能用完全平方公式分解因式； ④，能用完全平方公式分解因式； ⑤，能用完全平方公式分解因式； 所以能用完全平方公式分解因式的有3个． 故选：C． 【题型三】利用公式法分解因式求参数的值 1．（25-26八年级上·江苏苏州·期中）若多项式能用完全平方公式进行因式分解，则的值是 ． 【答案】 【分析】本题考查分解因式，熟练掌握完全平方公式是解题的关键． 多项式能用完全平方公式分解，设多项式可分解为，则，那么，解得，然后分两种情况，求出的值即可． 【详解】解：设多项式可分解为， 那么， 则，解得， 当时，， ∴， ∴； 当时，， ∴， ∴； 故答案为：． 2．（25-26八年级上·山东淄博·阶段练习）若能用完全平方公式因式分解，则n的值为 ． 【答案】或 【分析】此题考查了完全平方式，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．利用完全平方公式的结构特征判断即可确定出的值． 【详解】∵能用完全平方公式因式分解为， ∴， 解得：或． 故答案为：或 【题型一】因式分解在有理数简算中的应用 简便运算步骤： ①观察数的特征，有公因式先提公因式； ②没有公因式则考虑是否符合平方差公式或完全平方公式. 1．（25-26八年级上·吉林长春·期中）利用公式简便运算： (1)； (2)． 【答案】(1)1 (2)900 【分析】本题考查平方差公式，完全平方公式，掌握公式的逆用是解题的关键． （1）根据平方差公式进行计算，即可求解； （2）根据完全平方公式进行计算即可求解． 【详解】（1）原式 ； （2）原式 ． 2．（25-26七年级上·上海·期中）简便计算： 【答案】 【分析】本题考查了完全平方公式与平方差公式因式分解的应用，根据完全平方公式与平方差公式因式分解即可求解． 【详解】解： 3．（25-26八年级上·全国·课后作业）利用因式分解简便计算： (1)． (2)． 【答案】(1) (2)0 【分析】本题考查有理数的混合运算，因式分解，熟练掌握相关运算法则是解题的关键． （1）（2）利用提公因式法因式分解后计算即可． 【详解】（1）解：原式 （2）解：原式 ． 【题型二】利用十字相乘法分解因式 十字相乘法口诀：首尾分解，交叉相乘，实验筛选，求和凑中. 1．（25-26八年级上·江苏苏州·期中）若可分解为两个一次因式的积，则整数的所有可能值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了因式分解中十字相乘法的应用，熟练掌握因式分解中十字相乘法是解题关键． 对于二次三项式，利用十字相乘法，将常数项分解为两个整数的乘积，这两个整数的和即为的可能值，列出所有分解情况并计算和，得到的所有可能值． 【详解】设 ，则展开后比较系数得 且 ， 当 时，， 当 时，， 当 时，， 当 时，， 综上，整数的所有可能值为：． 故答案为． 2．（24-25九年级下·四川内江·月考）分解因式： ． 【答案】 【分析】本题考查分解因式，熟练掌握因式分解的常用方法是解题的关键． 将看成一个整体，利用十字相乘法因式分解即可． 【详解】解：， 故答案为：． 3．（24-25七年级下·山东聊城·期末）阅读材料：将一个形如的二次三项式因式分解时，如果能满足且，则可以把因式分解成．例如分解时，具体做法是先分解二次项系数，分别写在十字交叉线的左上角和左下角，再分解常数项，分别写在十字交叉线的右上角和右下角，然后交叉相乘，求代数和，使其等于一次项系数，这种方法称为“十字相乘法”．这样，我们可以得到：．利用材料中的十字相乘法，分解因式： ． 【答案】 【分析】本题考查了因式分解——十字相乘法．对于形如的多项式，进行因式分解时，关键是要找到两个数，使这两个数的乘积等于常数项，同时这两个数的和恰好等于它的一次项系数．分解时要注意观察、尝试，并体会它的实质是二项式乘法的逆过程． 按照“十字相乘法”的步骤逐一分解即可． 【详解】解：先分解二次项系数：， 再分解常数项：， 交叉相乘，求代数和：，2等于一次项系数，如图所示： ∴， 故答案为 ：． 4．（2025八年级下·全国·专题练习）分解因式： ． 【答案】 【分析】本题主要考查了利用十字相乘法分解，首先根据多项式乘以多项式的法则把原式整理，可得：原式，再把看作一个整体，利用多项式乘以多项式的法则展开，可得：原式，把看作一个整体利用十字相乘法分解因式即可． 【详解】解： ， 故答案为：． 【题型三】利用分组分解法分解因式 常见的分组形式： 多项式的项 分组情况 特点 4 2+2 1）按字母分组2）按系数分组3）符合公式的两项分组 3+1 先完全平方公式后平方差公式 5 3+2 各组之间有公因式 6 3+3或2+2+2 各组之间有公因式 3+2+1 可化为两次三项式 1．（24-25九年级下·广东东莞·自主招生）因式分解 ． 【答案】 【分析】本题考查了分解因式，要求灵活使用各种方法对多项式进行因式分解．先分组，再根据完全平方公式和平方差公式分解因式即可求解． 【详解】解： ， 故答案为：． 2．（23-24七年级下·湖南娄底·期末）阅读下面的文字与例题． 将一个多项式分组后，可提公因式或运用公式继续分解的方法是分组分解法．例如： （1） （2） 试用上述方法分解因式：= ． 【答案】 【分析】此题考查了因式分解，要能够熟练运用分组分解法、提公因式法和完全平方公式．首先进行合理分组，然后运用提公因式法和公式法进行因式分解． 【详解】解： ， 故答案为：． 3．（25-26八年级上·江苏苏州·期中）综合与实践 【阅读材料，掌握知识】 常用的分解因式的方法有提取公因式法、公式法等，但有的多项式不能直接用上述两种方法进行分解.某数学学习小组对分解因式题目进行了如下探究： 分解因式： 解法一： 解法二： 小结：对项数较多的多项式无法直接进行因式分解时，我们可以将多项式分为若干组，再利用提公因式法、公式法达到因式分解的目的，这就是因式分解的分组分解法． 【理解知识，尝试应用】 （1）因式分解：； 【提炼思想，拓展应用】 （2）已知三角形的三边长分别是，，，且满足，试判断这个三角形的形状，并说明理由． 【答案】 (1) (2) 等腰三角形，理由见解析 【分析】本题主要考查了分解因式，熟练掌握分组分解因式的方法是解题的关键． (1) 对多项式进行分组，提取公因式后因式分解； (2) 将等式变形为因式乘积形式，利用三角形三边关系判断其形状. 【详解】（1）解： 原式 （2）∵ ∴ ∵三角形的三边长分别是，， ∴ ∴即 ∴这个三角形是等腰三角形. 【题型四】利用拆添项法分解因式 解题方法：拆项和添项: 1）因式分解时，题目项数较少，可添加一项再利用提公因式法或公式法进行因式分解； 2）因式分解时，某项系数较大或较小不适合利用提公因式法或公式法进行因式分解，可将该项拆成两部分，使其可以利用提公因式法或公式法进行因式分解. 1．（25-26八年级上·山东淄博·期中）阅读理解：对于二次三项式可以直接用公式法分解为的形式，但对于二次三项式，就不能直接用公式法了，我们可以在二次三项式中先加上一项，使其成为完全平方式，再减去这项，使整个式子的值不变．于是有： 像这样把二次三项式分解因式的方法叫做添（拆）项法． 学以致用： (1)请认真阅读以上的添（拆）项法，并用上述方法将二次三项式分解因式； (2)请用上述的添（拆）项法将二次三项式因式分解，并直接写出使等式成立的的值． 【答案】(1) (2)，或 【分析】本题考查了因式分解的应用，正确理解题意、熟练掌握分解因式的方法是关键． （1）根据示例，先利用添项法把配成完全平方式，再分解因式即可， （2）根据示例，可得，再根据积等于0，则必有因式等于即可得出的值． 【详解】（1）解： ． ． （2） ． 所以，使等式，则或， 故或． 2．（2025八年级上·全国·专题练习）请利用拆项法分解因式完成下列题目： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查因式分解，理解题中拆项法是解答的关键． （1）将拆成，然后重新组合，利用完全平方公式和平方差公式分解因式即可； （2）将拆成，然后重新组合，利用完全平方公式和平方差公式分解因式即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 3．（24-25八年级上·安徽淮南·月考）我们已经学过将一个多项式分解因式的方法有提公因式法和运用公式法，其实分解因式的方法还有分组分解法、拆项法等等 ①分组分解法：例如： ． ②拆项法：例如： ． (1)仿照以上方法，按照要求分解因式： ①（分组分解法）； ②（拆项法）； (2)当，，满足时，求，，的值． 【答案】(1)①；② (2)，， 【分析】本题主要考查了因式分解及其因式分解的应用，解题的关键是熟练掌握因式分解的方法． （1）根据题干中提供的信息用分组分解法和拆项法分解因式即可； （2）根据得出，根据非负数的性质求出结果即可． 【详解】（1）解：① ； ② ； （2）解：， ， ， ，，， ，，， ，，． 【题型五】利用换元法分解因式 解题方法： 1）整体换元：多次出现同一个式子，用一个字母代替这个式子. 2）和积换元：不是直接代换相近的式子，而是取一个中间值进行换元，换元后，使得式子的和或者积是非常容易计算的. 【注意】 1）分解后，再将字母换回成代换的式子； 2）换回以后，注意看能不能继续分解，如果能分解，需要继续分解. 1．（24-25八年级下·全国·假期作业）阅读材料： 将进行因式分解． 解：将“”看成整体，令，则原式． 再将“A”还原，原式． 将多项式中某些部分看作一个整体，用一个新的字母代替（即换元），不仅可以简化要分解的多项式的结构，而且能使式子的特点更加明显，便于观察如何进行因式分解，我们把这种因式分解的方法称为“换元法”． 根据以上材料，解答下列问题： (1)分解因式：； (2)分解因式：； (3)求证：若n为正整数，则代数式的值一定是某个整数的平方． 【答案】(1) (2) (3)见解析 【分析】本题考查运用换元法进行因式分解，读懂题意，理解换元法是解题的关键． （1）令，根据材料的方法进行求解即可； （2），根据材料的方法进行求解即可； （3）将式子化为，令，则式子可化为，即可证明． 【详解】（1）解：令，则 原式． （2）解：令，则原式． （3）解：原式． 令， 则原式． 为正整数， 为正整数． 代数式的值一定是某个整数的平方． 2．（25-26八年级上·福建泉州·期中）阅读材料，完成以下任务． 【主题】换元法在因式分解中的应用探究． 【知识链接】在因式分解中，把多项式中的某些部分看作是一个整体，用一个新的字母代替（即“换元”），这样不仅可以简化要分解的多项式的结构，而且能使式子的特点更加明显，便于观察如何进行因式分解，我们把这种因式分解的方法称为“换元法”． 【分析探究】下面是小华同学用“换元法”对多项式进行因式分解的过程． 解：设． 原式 ． 【推广延伸】请你用“换元法”对多项式进行因式分解． 【拓展迁移】由平方的非负性可知有最小值，请求出最小值． 任务： (1)小林认为小华因式分解的结果不彻底，请你写出该因式分解的最后结果：______． (2)请你解答推广延伸的问题． (3)请你解答拓展迁移的问题． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了因式分解及其应用； （1）将继续用完全平方公式进行分解，即可求解； （2）设，由（1）同理进行因式分解，即可求解； （3）设，进行配方，由平方的非负性，即可求解； 掌握因式分解的方法是解题的关键． 【详解】（1）解：不彻底， 设． 原式 ； 故答案为：； （2）解：设， 原式 ； （3）解：设， 原式 ， 最小值为． 3．（22-23八年级下·四川成都·月考）小福同学在课后探究学习中遇到题目：分解因式：．小福同学经过几次尝试后发现如下做法： 因式分解： 解：原式 设 ∴原式 小福和组内同学分享学习心得时总结： 当有四个一次式连续相乘时，我选择了每两个一次式分别乘积；经过我多次尝试，我发现选择哪两个一次式相乘也很重要，我最后选择了“常数之和相等”的分组相乘方式，之后在乘积中有整体出现，选择了换元完成分解． 另外，我发现在划横线那个步骤时，有时也会选择“常数乘积相等”的分组相乘方式． 小福同学分享了解题方法和学习心得之后很多同学有了自己的思考和理解，纷纷跃跃欲试 请你结合自己的思考和理解完成下列变式训练： (1)分解因式：； (2)分解因式：． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据常数之和相等进行分组相乘，然后换元计算即可． （2）根据常数乘积相等进行分组相乘，然后换元计算即可． 【详解】（1） 设， ∴原式 ； （2） 设， ∴原式 ． 【点睛】本题考查了因式分解的十字相乘法和换元法．看懂和理解题例是解决本题的关键． 学科网（北京）股份有限公5 / 5 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题01 因式分解（6知识&9题型&3易错&5方法清单） 【清单01】因式分解 定义：把一个多项式化成几个整式的_________的形式，叫做把这个多项式因式分解，也叫做把这个多项式分解因式. 【补充说明】 1）因式分解分解对象是_________，分解结果必须是几个整式_________的形式. 2）每个因式都要分解到不能再分解为止. 因式分解与整式乘法的关系：因式分解和整式乘法是互逆的运算，如.因式分解是把和差化为_________的形式，而整式乘法是把积化为_________的形式，两者都是_________变形，但它们是_________的两个过程. 【清单02】提公因式法分解因式 公因式的概念：多项式的各项都含有的_________叫做这个多项式各项的公因式. 确定公因式的方法： 方法 说明 举例： 一看系数 公因式的系数是各项系数绝对值的_________ 6，4，2的最大公约数是_________， 故公因式的系数是_________ 二看字母 公因式中的字母应是各项中都含有的_________ 式子中各项都含有_________， 所以公因式中必含字母_________ 三看字母次数 公因式中字母的次数是相同字母的_________ a的最低次数是_________，b的最低次数是_________， 所以这个多项式的公因式是_________ 提公因式法的概念：如果多项式的各项含有公因式，那么就可以把这个公因式提到括号外，将多项式写成公因式与另一个多项式的乘积的形式，这种因式分解的方法叫提公因式法，即：. 提公因式法的步骤： 说明 举例： 确定公因式 可按照确定公因式的方法先确定系数， 再确定字母，最后确定字母次数 公因式是_________ 提取公因式并确定另一个因式 多项式除以公因式，所得的商作为另一个因式，把多项式写成公因式与另一个因式的乘积的形式 【清单03】公式法分解因式 定义：如果把乘法公式反过来用，就可以用来把某些多项式分解因式，这种因式分解的方法叫做公式法. 平方差公式逆用： 【解读】应用平方差公式分解因式的特征：①等号的左边是两个数的平方差的形式； ②等号的右边是这两个数的和与这两个数的差的积. 完全平方公式逆用： 【解读】应用完全平方公式分解因式的特征： ①等号的左边是两个数的平方和加上(或减去)这两个数的积的2倍. ②等号的右边是这两个数的和(或差)的平方. 【清单04】因式分解的一般步骤 【清单05】十字相乘法（选学） 定义：利用十字交叉线来分解系数，将二次三项式分解因式的方法叫做十字相乘法.十字相乘法简单来讲就是十字左边相乘等于二次项系数，右边相乘等于常数项，交叉相乘再相加等于一次项系数.即 【清单06】分组分解法（选学） 定义：当一个多项式既不能提公因式，又不能运用公式分解，且这个多项式的项数在4项或4项以上时，可以考虑将这个多项式分组，进行合理的分组之后，则有可能找到每一组各自的公因式，然后再分解.分组分解法的分解原则是:分组之后的每组之间能够提公因式或能够套用公式.如. 【题型一】判断是否因式分解 1．（25-26八年级上·全国·期末）下列各式从左到右的变形，是因式分解的是（  ） A． B． C． D． 2．（24-25八年级上·甘肃武威·期末）下列等式从左到右的变形中，属于因式分解的是（      ） A． B． C． D． 3．（24-25七年级下·安徽合肥·期末）下列各式中，自左向右变形属于正确的因式分解的是（　　） A． B． C． D． 4．（24-25八年级上·甘肃张掖·期末）下列等式中，从左到右的变形是因式分解的有（　　）． ①；②；③． A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【题型二】已知因式分解的结果求参数 1．（24-25八年级上·山东烟台·期末）将多项式进行因式分解得到，则的值为 ． 2．（24-25八年级上·新疆巴音郭楞·期末）若多项式能分解成两个因式的积，且其中一个因式为，则的值为 ． 3．（22-23八年级上·吉林长春·期末）1637年笛卡尔（R．Descartes，1596－1650）在其《几何学》中，首次应用待定系数法最早给出因式分解定理．关于笛卡尔的“待定系数法”原理，举例说明如下： 分解因式：． 解：观察可知，当时，原式． ∴原式可分解为与另一个整式的积． 设另一个整式为．则， ∵， ∴ ∵等式两边同次幂的系数相等， 则有：，解得． ∴． 根据以上材料，理解并运用材料提供的方法，解答以下问题： (1)根据以上材料的方法，分解因式的过程中，观察可知，当______时，原式，所以原式可分解为______与另一个整式的积．若设另一个整式为．则______，______． (2)已知多项式（为常数）有一个因式是，求另一个因式以及的值． 下面是小明同学根据以上材料方法，解此题的部分过程，请帮小明完成他的解答过程． 解：设另一个因式为，则． …… (3)已知二次三项式（为常数）有一个因式是，则另一个因式为______，的值为______． 【题型三】提公因式法分解因式 1．（25-26八年级上·河南南阳·期中）把提公因式后， 则另一个因式为（    ） A． B． C． D． 2．（25-26八年级上·山西临汾·期中）如图，长方形的长、宽分别为、，面积为6，比大2，则的值为（   ） A．12 B．21 C．8 D．49 3．（25-26八年级上·北京·期中）若，则的值是 ． 4．（2025七年级上·全国·专题练习）分解因式： (1)； (2) 【题型四】公式法分解因式 1．（25-26八年级上·江苏南通·期中）因式分解： 2．（24-25八年级下·云南普洱·期末）分解因式： ． 3．（25-26八年级上·全国·课后作业）分解因式： (1)； (2)． 【题型五】综合提公因式法和公式法分解因式 1．（25-26八年级上·福建泉州·期中）泉小伍是一名密码翻译爱好者，在他的密码手册中有这样一条信息：，，，，，，分别对应下列六个字：五，爱，我，泉，丽，美，现将因式分解，结果呈现的密码信息可能是（    ） A．美丽 B．我爱美丽 C．泉五美 D．我爱泉五 2．（25-26七年级下·河北·单元测试）因式分解： ． 3．（25-26七年级上·上海闵行·期中）因式分解： ． 4．（25-26八年级上·四川内江·期中）因式分解或利用因式分解计算 (1) (2) (3)； (4)． 5．（25-26八年级上·北京·月考）因式分解： (1) (2) (3) (4) 【题型六】多次运用提公因式法 1．（25-26八年级上·贵州铜仁·阶段练习）先阅读下列因式分解的过程，再回答所提出的问题． ． (1)上述分解因式的方法是 ，共应用了 次； (2)分解因式：． (3)若分解，则需应用上述方法 次，结果是 ．（n为正整数） 【题型七】因式分解的应用--整除中的应用 1．（25-26八年级上·全国·随堂练习）当为整数时，能被4整除吗？请说明理由． 2．（25-26八年级上·河南南阳·期中）观察下列各式：；；；…；发现规律：比任意一个偶数大3的数与此偶数的平方差能被3整除． (1)的结果是3的______倍； (2)设偶数为2n，试说明比大7的数与的平方差能被7整除； (3)比任意一个整数大5的数与此整数的平方差被10整除的余数是几？说明理由． 【题型八】因式分解的应用--在三角形判断中的应用 1．（24-25八年级下·四川成都·期末）已知是的三边，且满足，则为 三角形（填写“等腰”、“等边”、“直角”中的一个）． 2．（25-26八年级上·全国·课后作业）已知一个三角形的三边长分别为a，b，c，且，证明这个三角形是等腰三角形． 3．（24-25七年级下·河北秦皇岛·期末）在学习完“因式分解”这章内容后，为了开拓学生的思维，张老师在黑板上写了下面两道题目让学生解答，同学们经过小组活动交流，得到了如下答案： （1） （分成两组） （提公因式） （提公因式） （2） （分成两组） （运用公式） （运用公式） 请在她们的解法启发下解答下面各题： (1)因式分解：； (2)若，求的值； (3)若的三边，，满足，则是什么三角形？ 【题型九】利用因式分解证明 1．（25-26八年级上·山东潍坊·期中）小明发现：对于任意两个连续的正整数的乘积与较大数的和，一定为较大数的平方． 例如4和5，有． (1)【证明结论】请填写该结论证明过程的依据． 设m，n是连续的正整数，且， 可得； 所以        （______）                         （______） 所以一定是正数n的平方． (2)【类比证明】小红发现：任意两个连续正整数的乘积与较小数的差，一定为较小数的平方．请你完成证明． 2．（25-26八年级上·湖南·月考）先阅读下列材料，再解答下列问题： 材料：． 解：将“”看成整体，令，则原式； 再将“A”还原，得：原式． 上述解题用到的是“整体思想”，整体思想是数学解题中常用的一种思想方法，请你解下列问题： (1)类比应用，求______； (2)通过计算，证明：不论取何值，总有比大2； (3)若n为正整数，判断式子的值是否是某一个整数的平方，并说明理由． 3．（24-25八年级上·安徽合肥·期末）如果一个正整数能写成的形式（其中a、b均为自然数），则称之为聪明数，比如6和24均是聪明数，因为，． (1)请证明：22和88都是聪明数； (2)请证明：任何两个聪明数的乘积依旧是聪明数． 【题型一】判断公因式 1．（24-25八年级上·天津滨海新·期末）把多项式分解因式时，应提取的公因式是（　　） A． B． C． D． 2．（2024·河北石家庄·一模）整式，，下列结论： 结论一：． 结论二：，的公因式为． 下列判断正确的是（   ） A．结论一正确，结论二不正确 B．结论一不正确，结论二正确 C．结论一、结论二都正确 D．结论一、结论二都不正确 3．（2025八年级上·全国·专题练习）将因式分解，则应提取的公因式为 ． 4．（25-26八年级上·全国·随堂练习）给出下列四组代数式：①和；②和；③和；④和．其中没有公因式的一组是 ．（填序号） 【题型二】判断能否运用公式法分解因式 1．（25-26八年级上·山东烟台·期中）下列多项式能用公式法因式分解的是（    ） A． B． C． D． 2．（25-26八年级上·广东广州·期中）下列各多项式中不能用公式法分解的是（   ） A． B． C． D． 3．（25-26八年级上·山西晋城·期中）若多项式★可以因式分解，则★不能是（） A． B． C． D． 4．（2025八年级上·全国·专题练习）给出下列式子：①；②；③；④；⑤其中在实数范围内能用完全平方公式分解因式的有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【题型三】利用公式法分解因式求参数的值 1．（25-26八年级上·江苏苏州·期中）若多项式能用完全平方公式进行因式分解，则的值是 ． 2．（25-26八年级上·山东淄博·阶段练习）若能用完全平方公式因式分解，则n的值为 ． 【题型一】因式分解在有理数简算中的应用 简便运算步骤： ①观察数的特征，有公因式先提公因式； ②没有公因式则考虑是否符合平方差公式或完全平方公式. 1．（25-26八年级上·吉林长春·期中）利用公式简便运算： (1)； (2)． 2．（25-26七年级上·上海·期中）简便计算： 3．（25-26八年级上·全国·课后作业）利用因式分解简便计算： (1)． (2)． 【题型二】利用十字相乘法分解因式 十字相乘法口诀：首尾分解，交叉相乘，实验筛选，求和凑中. 1．（25-26八年级上·江苏苏州·期中）若可分解为两个一次因式的积，则整数的所有可能值为 ． 2．（24-25九年级下·四川内江·月考）分解因式： ． 3．（24-25七年级下·山东聊城·期末）阅读材料：将一个形如的二次三项式因式分解时，如果能满足且，则可以把因式分解成．例如分解时，具体做法是先分解二次项系数，分别写在十字交叉线的左上角和左下角，再分解常数项，分别写在十字交叉线的右上角和右下角，然后交叉相乘，求代数和，使其等于一次项系数，这种方法称为“十字相乘法”．这样，我们可以得到：．利用材料中的十字相乘法，分解因式： ． 4．（2025八年级下·全国·专题练习）分解因式： ． 【题型三】利用分组分解法分解因式 常见的分组形式： 多项式的项 分组情况 特点 4 2+2 1）按字母分组2）按系数分组3）符合公式的两项分组 3+1 先完全平方公式后平方差公式 5 3+2 各组之间有公因式 6 3+3或2+2+2 各组之间有公因式 3+2+1 可化为两次三项式 1．（24-25九年级下·广东东莞·自主招生）因式分解 ． 2．（23-24七年级下·湖南娄底·期末）阅读下面的文字与例题． 将一个多项式分组后，可提公因式或运用公式继续分解的方法是分组分解法．例如： （1） （2） 试用上述方法分解因式：= ． 3．（25-26八年级上·江苏苏州·期中）综合与实践 【阅读材料，掌握知识】 常用的分解因式的方法有提取公因式法、公式法等，但有的多项式不能直接用上述两种方法进行分解.某数学学习小组对分解因式题目进行了如下探究： 分解因式： 解法一： 解法二： 小结：对项数较多的多项式无法直接进行因式分解时，我们可以将多项式分为若干组，再利用提公因式法、公式法达到因式分解的目的，这就是因式分解的分组分解法． 【理解知识，尝试应用】 （1）因式分解：； 【提炼思想，拓展应用】 （2）已知三角形的三边长分别是，，，且满足，试判断这个三角形的形状，并说明理由． 【题型四】利用拆添项法分解因式 解题方法：拆项和添项: 1）因式分解时，题目项数较少，可添加一项再利用提公因式法或公式法进行因式分解； 2）因式分解时，某项系数较大或较小不适合利用提公因式法或公式法进行因式分解，可将该项拆成两部分，使其可以利用提公因式法或公式法进行因式分解. 1．（25-26八年级上·山东淄博·期中）阅读理解：对于二次三项式可以直接用公式法分解为的形式，但对于二次三项式，就不能直接用公式法了，我们可以在二次三项式中先加上一项，使其成为完全平方式，再减去这项，使整个式子的值不变．于是有： 像这样把二次三项式分解因式的方法叫做添（拆）项法． 学以致用： (1)请认真阅读以上的添（拆）项法，并用上述方法将二次三项式分解因式； (2)请用上述的添（拆）项法将二次三项式因式分解，并直接写出使等式成立的的值． 2．（2025八年级上·全国·专题练习）请利用拆项法分解因式完成下列题目： (1)； (2)． 3．（24-25八年级上·安徽淮南·月考）我们已经学过将一个多项式分解因式的方法有提公因式法和运用公式法，其实分解因式的方法还有分组分解法、拆项法等等 ①分组分解法：例如： ． ②拆项法：例如： ． (1)仿照以上方法，按照要求分解因式： ①（分组分解法）； ②（拆项法）； (2)当，，满足时，求，，的值． 【题型五】利用换元法分解因式 解题方法： 1）整体换元：多次出现同一个式子，用一个字母代替这个式子. 2）和积换元：不是直接代换相近的式子，而是取一个中间值进行换元，换元后，使得式子的和或者积是非常容易计算的. 【注意】 1）分解后，再将字母换回成代换的式子； 2）换回以后，注意看能不能继续分解，如果能分解，需要继续分解. 1．（24-25八年级下·全国·假期作业）阅读材料： 将进行因式分解． 解：将“”看成整体，令，则原式． 再将“A”还原，原式． 将多项式中某些部分看作一个整体，用一个新的字母代替（即换元），不仅可以简化要分解的多项式的结构，而且能使式子的特点更加明显，便于观察如何进行因式分解，我们把这种因式分解的方法称为“换元法”． 根据以上材料，解答下列问题： (1)分解因式：； (2)分解因式：； (3)求证：若n为正整数，则代数式的值一定是某个整数的平方． 2．（25-26八年级上·福建泉州·期中）阅读材料，完成以下任务． 【主题】换元法在因式分解中的应用探究． 【知识链接】在因式分解中，把多项式中的某些部分看作是一个整体，用一个新的字母代替（即“换元”），这样不仅可以简化要分解的多项式的结构，而且能使式子的特点更加明显，便于观察如何进行因式分解，我们把这种因式分解的方法称为“换元法”． 【分析探究】下面是小华同学用“换元法”对多项式进行因式分解的过程． 解：设． 原式 ． 【推广延伸】请你用“换元法”对多项式进行因式分解． 【拓展迁移】由平方的非负性可知有最小值，请求出最小值． 任务： (1)小林认为小华因式分解的结果不彻底，请你写出该因式分解的最后结果：______． (2)请你解答推广延伸的问题． (3)请你解答拓展迁移的问题． 3．（22-23八年级下·四川成都·月考）小福同学在课后探究学习中遇到题目：分解因式：．小福同学经过几次尝试后发现如下做法： 因式分解： 解：原式 设 ∴原式 小福和组内同学分享学习心得时总结： 当有四个一次式连续相乘时，我选择了每两个一次式分别乘积；经过我多次尝试，我发现选择哪两个一次式相乘也很重要，我最后选择了“常数之和相等”的分组相乘方式，之后在乘积中有整体出现，选择了换元完成分解． 另外，我发现在划横线那个步骤时，有时也会选择“常数乘积相等”的分组相乘方式． 小福同学分享了解题方法和学习心得之后很多同学有了自己的思考和理解，纷纷跃跃欲试 请你结合自己的思考和理解完成下列变式训练： (1)分解因式：； (2)分解因式：． 学科网（北京）股份有限公5 / 5 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $