第十三章三角形（期中知识清单）八年级数学上学期新教材人教版

第十三章 三角形　知识清单 一、核心知识总结（必背・单元重点） 1. 三角形的概念 1.1 三角形的定义 由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫作三角形。 组成三角形的线段叫作三角形的边，相邻两边的公共端点叫作三角形的顶点，相邻两边所组成的角叫作三角形的内角，简称三角形的角。 示例：如图，线段 ，， 是三角形的边；点 ，， 是三角形的顶点；，， 是三角形的角。 图1：三角形的边、顶点和角 1.2 三角形的表示 顶点是 ，， 的三角形，记作“”，读作”三角形 “。 的三边有时也用 ，， 来表示：顶点 所对的边 用 表示，顶点 所对的边 用 表示，顶点 所对的边 用 表示。 示例：在 中， 所对的边是 （即 ）， 所对的角是 。 1.3 三角形的分类——按角 按照三个内角的大小，可以将三角形分为锐角三角形、直角三角形和钝角三角形。 示例：三个内角都是锐角的三角形是锐角三角形；有一个内角是直角的三角形是直角三角形；有一个内角是钝角的三角形是钝角三角形。 1.4 等腰三角形与等边三角形 有两边相等的三角形叫作等腰三角形，其中相等的两边叫作腰，另一边叫作底边，两腰的夹角叫作顶角，腰和底边的夹角叫作底角。 三边都相等的三角形叫作等边三角形。等边三角形是特殊的等腰三角形，即底边和腰相等的等腰三角形。 因此，可以先按”是否有边相等”，将三角形分成两类：三边都不相等的三角形和等腰三角形；再将等腰三角形分为底边和腰不相等的等腰三角形和等边三角形。 三角形按边分类 说明 三边都不相等的三角形 三边都不相等 等腰三角形 有两边相等，又分为底边和腰不相等的等腰三角形、等边三角形两种 示例： 中，若 ，则它是等腰三角形，、 是腰， 是底边；若 ，则它是等边三角形。 2. 与三角形有关的线段 2.1 三角形三边的关系 一般地，三角形的两边之和大于第三边，三角形的两边之差小于第三边。 示例：任意一个 中，，，；，。 反过来，对于三条线段：如果三条线段中任意两条线段的和大于第三条线段，那么这三条线段能组成三角形；如果三条线段中有两条线段的和小于或等于第三条线段，那么这三条线段不能组成三角形。 示例：长度分别为 ，， 的三条线段能组成三角形（）；长度分别为 ，， 的三条线段不能组成三角形（）。 2.2 三角形的中线 连接 的顶点 和它所对的边 的中点 ，所得线段 叫作 的边 上的中线。 一个三角形有三条中线，这三条中线相交于一点。三角形三条中线的交点叫作三角形的重心。 示例：若 是 的边 的中点，则 是中线，。 2.3 三角形的角平分线 画 的 的平分线 ，交 所对的边 于点 ，所得线段 叫作 的角平分线。 三角形的三条角平分线相交于一点。 示例：若 是 的角平分线，则 。 2.4 三角形的高 从 的顶点 向它所对的边 所在直线画垂线，垂足为 ，所得线段 叫作 的边 上的高线。三角形的高线简称三角形的高。 三角形类型 三条高的位置 锐角三角形 三条高都在三角形的内部 直角三角形 有两条高恰好是它的两条直角边 钝角三角形 有两条高在三角形的外部，两个垂足落在边的延长线上 图2：锐角三角形、直角三角形、钝角三角形的三条高 示例：在 中，，垂足为 ，则 是边 上的高，。 2.5 三角形的稳定性 三角形是具有稳定性的图形。 示例：将三根木条用钉子钉成一个三角形木架，它的形状不会改变。 3. 三角形的内角与外角 3.1 三角形内角和定理 三角形的内角和等于 。 示例：在 中，。若 ，，则 。 3.2 直角三角形两个锐角互余 直角三角形的两个锐角互余。 直角三角形可以用符号”“表示，直角三角形 可以写成 。 反过来，有两个角互余的三角形是直角三角形。 示例：在 中，，则 。 3.3 三角形的外角 三角形的一边与另一边的延长线组成的角，叫作三角形的外角。 由三角形的内角和定理可以推出：三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和。 示例：在 中，把边 延长得到 ，它是 的一个外角，则 。 图3：三角形内角和定理的证明 二、二级结论与方法技巧 1. 常用二级推论 1.1 三边关系判定的简化 判断三条线段能否组成三角形，只需验证较短两边之和大于最长边即可（等价于任意两边之和大于第三边）。设三边长为 ，则组成三角形的充要条件是 。 【使用提醒】注意”大于”不能取等号： 时三边共线，不能组成三角形。 1.2 已知两边求第三边的范围 已知三角形的两边长 ，（），则第三边 的取值范围是 。 示例：三角形两边长分别为 和 ，则第三边 满足 。 1.3 等腰三角形三边关系 等腰三角形的底边 满足 腰长，且各边都为正。 【使用提醒】等腰三角形已知一条边长求周长时，必须分”已知边是腰”和”已知边是底边”两种情况讨论，并回代验证三边关系。 1.4 直角三角形两锐角互余的逆用 有两个角互余的三角形是直角三角形。据此可由两角之和为 判定直角位置。 1.5 外角与内角的数量关系 三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角之和；三角形的一个外角大于与它不相邻的任何一个内角。 1.6 三个外角之和 三角形的三个外角之和等于 。 示例：。 1.7 两内角平分线的夹角 在 中，两角平分线相交于点 ，则 。 示例： 时，两角平分线的夹角 。 1.8 高与面积的转化 同底（等高）的两个三角形面积之比等于对应高（底）之比。由面积公式 知：同底的两个三角形，面积之比等于高之比。 示例：在 中，，，则边 上的高 与边 上的高 之比为 。 2. 解题方法与操作步骤 2.1 判定三角形与求边长 观察三边中较短两边之和是否大于最长边（或任意两边之和大于第三边）→ 直接判断能否组成三角形；已知两边求第三边范围用 。如三边长为 ，，：，不能组成三角形。 2.2 等腰三角形分类讨论的规范流程 已知等腰三角形的一条边，先按”这条边是腰”或”这条边是底边”分两种情况 → 分别列方程求其余边长 → 逐种验证三边关系（舍去不成立的）→ 综合作答。如腰长是底边长的 倍、周长为 ：设底边 ，则 ，得底边 ，腰 。 【使用提醒】分类后必须回代检验”两边之和大于第三边”，否则可能保留不合题意的解。 2.3 求角的度数的规范流程 先由角平分线、高、外角、互余等条件把已知角标出 → 用内角和定理 或外角等于不相邻两内角之和 → 列式求出目标角。如 ， 平分 ，则 ，再由 内角和求 。 2.4 方向角问题的破题方法 把”北偏东 ““北偏西 ”等方向角转化为三角形内角或同位角、内错角，借助平行线的性质求角。如 ，则 。 3. 大小比较 / 化简 / 运算小技巧 技巧 要点 示例 内角和速算 已知两角求第三角：两角和 两角 ，：第三角 外角速算 外角 两个不相邻内角之和，不必先求第三个内角 ，：外角 互余判定直角 两角之和 且共边 → 直角位置即两角的公共边夹角 ： 是直角三角形 角平分线速算 角平分线把一个角平分为两个相等的小角 ， 平分： 4. 常见考试模型 4.1 “三边能否组成三角形”模型 公式：三边 ，， 能组成三角形，当且仅当 且 且 （可简化为较短两边之和大于最长边）。 限定：取等号时三边共线，不能组成三角形。 示例：如 ，， 能组成三角形（）；，， 不能（）。 4.2 “等腰三角形求边 / 周长”模型 公式：设腰为 、底边为 ，则周长 ；已知一条边分”为腰”与”为底”两类列式。 限定：所有解出的边长都必须满足”两边之和大于第三边”，且边长为正。 示例：如等腰三角形一边长为 ，一边长为 ： 只能为腰不成立（），故腰为 、底为 ，周长 。 【使用提醒】”一边长 ，一边长 “这类题中，长为 的边只能是底边，长为 的边只能是腰，否则不满足三边关系。 4.3 “内角与外角综合求角”模型 公式：内角和 ；外角 不相邻两内角之和；三个外角和 。 限定：外角须”不相邻”，不能加错内角。 示例：如 比 大 ， 比 大 ，设 ，则 ，得 。 三、章节高频易错点 + 错解 / 正解对比 易错点 1：忽略”两边之差小于第三边”，第三边取值范围漏掉下界 典例：已知三角形的两边长分别为 和 ，求第三边 的取值范围。 错解：由两边之和大于第三边，得 ，又边长为正，所以 。 正解：第三边要同时满足”小于两边之和”与”大于两边之差”，即 ，所以 。 原因：概念理解不完整。学生只记住”两边之和大于第三边”这一条，忽略了由它推出的”两边之差小于第三边”，导致第三边下界缺失。实际上三边关系是双向的： 与 必须同时成立，第三边落在”两边之差”与”两边之和”之间的开区间内，两端都不能取等号。 易错点 2：等腰三角形已知一条边，漏分类讨论或讨论后不检验 典例：已知等腰三角形的一边长为 ，一边长为 ，求它的周长。 错解：若 为底边、 为腰，周长为 ；若 为底边、 为腰，周长为 。所以周长为 或 。 正解：当 为腰、 为底边时，，不满足”两边之和大于第三边”，不能组成三角形。所以 只能是底边、 只能是腰，周长为 。 原因：漏检验三边关系。学生按”底边/腰”两种情况机械讨论，却忘了每类都要回代验证能否构成三角形，把根本组不成三角形的 也当作了答案。凡等腰三角形已知边长，都要在分类讨论后逐一检验三边关系，舍去不合题意的解。 易错点 3：求三角形的高时，钝角三角形的两条高画在外部，误判位置 典例：下列说法正确的是：钝角三角形的三条高都在三角形的内部。（判断对错） 错解：正确。任何三角形的三条高都在三角形内部。 正解：错误。只有锐角三角形的三条高都在三角形的内部；钝角三角形有两条高在三角形的外部，两个垂足落在边的延长线上。 原因：对”高”的作图理解错误。学生把高默认为”从顶点到对边的线段，且落在对边上”，忽略了高是从顶点向”对边所在直线”作垂线，钝角三角形的两个钝角顶点向对边作垂线时，垂足落在对边的延长线上，因而两条高在三角形外部。画高时关键看垂足落点，不能凭”线段都要在图形内部”的直觉。 易错点 4：外角误加相邻内角，漏掉”不相邻”这个限定 典例：在 中，，， 是 的一个外角（ 在 的延长线上），求 的度数。 错解：，而 ，所以 。 正解： 是与 相邻的外角，它等于与它不相邻的两个内角 与 的和，即 。 原因：概念理解错误，把”不相邻的两个内角”误当成”相邻的内角”。外角定理的完整表述是”三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和”， 的边 与 相邻的内角是 ，与 不相邻的是 和 。记外角定理时必须盯住”不相邻”三个字，先找准这个外角的两个”不相邻”内角。 易错点 5：用内角和定理列方程时，角度关系设错或漏解 典例：在 中， 比 大 ， 比 大 ，求 各内角的度数。 错解：设 ，则 ，，由 ，得 。 正解：设 ，则 ，。由 ，得 ，。所以 ，，。 原因：审题遗漏导致设未知数错。题目给出的是” 比 大 “，是相对 （）再大 ，学生却把它误写成与 相等。列角度关系式时要逐个读清”谁比谁大（小）多少”，用同一标准层层递推，不能把两个连续比较混成并列关系。 学科网（北京）股份有限公司 $