2026-2027学年人教版八年级数学上册期中考试卷（培优卷）

2026-2027学年度人教版八年级上册期中考试卷（培优卷） 测试范围：八年级上册第十三章~第十五章 本卷满分120分，考试时间120分钟 注意事项： 1. 答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2. 回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3. 考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第I卷（选择题） 一、单选题（共10小题，每小题3分，共30分） 1．下列图形中，不是轴对称图形的是（     ） A． B． C． D． 2．如图，已知，点、分别在、上，与相交于点，下列条件中不能得到的是（   ） A． B． C． D． 3.如图，在直角三角形中，，，若，，则的长为（    ） A．2 B．4 C．6 D．8 4.如图，在中，高和交于点H，且，则的度数为（   ） A． B． C． D． 5.若a，b为等腰的两边，且满足，则的周长为（　　） A．16 B．18 C．20 D．16或20 6.如图，在中，，，平分，点是上的一点，连接，若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 7.如图，点P，M，N分别在等边的各边上，且于点P，于点M，点N，若，则的长为（    ） A． B． C． D． 8.如图，在中，，以顶点A为圆心，适当长为半径画弧，分别交、于点M、N，再分别以点M、N为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点P，作射线交边于点D，点E在上．若，，，当长度最小时，的周长是（    ） A． B． C． D． 9.如图，在中，，点D是BC上一点，BD的垂直平分线交AB于点E，将沿AD折叠，点C恰好与点E重合，则等于（    ） A．19° B．20° C．24° D．25° 10.如图，在平面直角坐标系中，已知AOB，在x轴上确定点C，使ABC为等腰三角形，若，则符合条件的点共有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 第II卷（非选择题） 二、填空题（共6小题，每小题3分，共18分） 11.如图，已知，请添加一个条件使与全等的是__________． 12.如图，与关于直线对称，E、F、G是线段上的任意三点，若，，则图中阴影部分的面积是______ ． 13.如图，在中，平分交于点，于点，若 ， ，则的度数是 ________ ． 14.如图，在等边三角形中，D是的中点，于点E，于点F，若，则______ 15.如图，在中，，，，则的度数是_______度． 16.如图，点是等边内一点，，等于，点是等边外一点，，，连接、．则当的度数为__________时，是等腰三角形． 三、解答题（共8小题，共72分） 17.（8分）如图，在平面直角坐标系中，，，，． (1)在图中作出关于轴对称的； (2)写出，，三点的坐标： ， ， ． (3)在（1）（2）的条件下，连接，， 直接写出的面积为 ． 18.（8分）如图，中，于点D，是的角平分线，交于点E，，，求的度数． 19.（8分）如图，，相交于点，连接，，平分，交延长线于．(1)给出下列三个事项：①，②，③，请你从其中选取两个事项作为条件，另一个事项作为结论组成命题，并证明你的结论；你选的条件：___________，结论：___________．（填序号），写出证明过程；(2)在（1）中的条件下，若，求的度数． 20.（8分）如图，是的平分线，，垂足为点，交的延长线于点，已知平分，．若，求的长． 21.（10分）如图， 在中，，，交于点G，，，点E，F分别在边，上， 连接，，．(1)求的长； (2)若，求证：． 22. （10分）定义：若三角形的两个内角与满足，则称该三角形为“准互余三角形”，α与β为“准互余角”． (1)若为“准互余三角形”，，和是“准互余角”，______． (2)如图，在中，，若AD平分，试说明是“准互余三角形”． 23（10分）.如图，在四边形中，，，．连接，过点D作分别交，于点E，F．若，，求的长 ． 24．（12分）△ABC是等边三角形，D在射线AC上，延长BC至E，使CE＝AD，连接DB，DE． （1）图1，若AD＝DC，求证：DB＝DE； （2）图2，当D在线段AC延长线上时，求证：DB＝DE； （3）图3，当D在线段AC延长线上时，AF⊥BC交DB于F，CG⊥BD交BD于G，∠BDE＝150°，BF，则△CGD的面积为　 　 ．（直接写结果） 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年度人教版八年级上册期中考试卷（培优卷） 测试范围：八年级上册第十三章~第十五章 本卷满分120分，考试时间120分钟。 注意事项： 1. 答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2. 回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3. 考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第I卷（选择题） 一、单选题（共10小题，每小题3分，共30分） 1．下列图形中，不是轴对称图形的是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】轴对称图形的识别 【分析】根据轴对称图形的概念逐一判断即可，即如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形． 【详解】解：A.是轴对称图形，故本选项不符合题意； B.不是轴对称图形，故本选项符合题意； C.是轴对称图形，故本选项不符合题意； D.是轴对称图形，故本选项不符合题意． 2．如图，已知，点、分别在、上，与相交于点，下列条件中不能得到的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】添加条件使三角形全等（全等三角形的判定综合） 【分析】本题考查全等三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定方法是解答的关键．根据全等三角形的判定与性质，结合已知条件和各选项中条件逐个分析判断即可． 【详解】解：A、∵， ∴，又，， ∴， ∴．故此选项不符合题意； B、∵，，， ∴， ∴．故此选项不符合题意； C、由，，不能判定，即不能证明，故此选项符合题意； D、连接， ∵，，， ∴， ∴．故此选项不符合题意； 故选：C． 3.如图，在直角三角形中，，，若，，则的长为（    ） A．2 B．4 C．6 D．8 【答案】C 【知识点】直角三角形的两个锐角互余、含30度角的直角三角形 【分析】本题考查了含的直角三角形. 先求出，通过含的直角三角形性质得，，最后通过线段和差即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 故选：C． 4.如图，在中，高和交于点H，且，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】直角三角形的两个锐角互余、同(等)角的余(补)角相等的应用、全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、等边对等角 【分析】由同角的余角相等，结合已知可证，可得，从而可得，进而可得的度数． 【详解】解：∵和是的高， ∴，， ∴，， ∴，， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴的度数为． 故选：D． 【点睛】本题考查同角的余角相等，三角形全等的判定和性质，等边对等角，直角三角形的两个锐角互余． 5.若a，b为等腰的两边，且满足，则的周长为（　　） A．16 B．18 C．20 D．16或20 【答案】C 【知识点】三角形三边关系的应用、绝对值非负性、等腰三角形的定义 【分析】本题考查绝对值和平方的非负性，三角形的三边关系等知识点，结合等腰三角形的特点进行分类讨论，利用三边关系进行验证是解题关键． 根据非负数的性质求出a和b的值，再结合等腰三角形的性质和三角形三边关系确定周长． 【详解】解：由题意，， 因平方和绝对值均非负，故，解得，， 等腰的两边为4和8，需分情况讨论： 1. 若腰为4，则三边为4、4、8。此时，不满足三角形三边关系（两边之和需大于第三边），无法构成三角形， 2. 若腰为8，则三边为8、8、4，此时，，满足三边关系，周长为． 综上，的周长为20， 故选：C． 6.如图，在中，，，平分，点是上的一点，连接，若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】三角形的外角的定义及性质、与角平分线有关的三角形内角和问题、等边对等角 【分析】本题考查了三角形内角和定理，角平分线的定义，等边对等角，三角形外角的性质． 根据三角形内角和得到，根据平分得到，根据等边对等角得到，根据三角形外角的性质即可求出的度数． 【详解】解：∵，， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴． 故选：D． 7.如图，点P，M，N分别在等边的各边上，且于点P，于点M，点N，若，则的长为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、含30度角的直角三角形、等边三角形的判定和性质 【分析】本题考查了等边三角形的判定和性质，三角形全等的性质与判定，含30度角的直角三角形的性质，根据等边三角形的性质得出，进而得出，再根据平角的定义即可得出，即可证得是等边三角形；根据全等三角形的性质得到，，从而求得，根据直角三角形角所对的直角边等于斜边的一半得出，即可求得的长，进而得出的长． 【详解】解：是等边三角形， ， ，，， ， ， ， 是等边三角形， ， ， ，， ， 在中，， ， ， ， ， 故选：C． 8.如图，在中，，以顶点A为圆心，适当长为半径画弧，分别交、于点M、N，再分别以点M、N为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点P，作射线交边于点D，点E在上．若，，，当长度最小时，的周长是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】垂线段最短、作角平分线(尺规作图)、全等的性质和HL综合（HL）、角平分线的性质定理 【分析】由垂线段最短可知，当时，长度最小，由作图过程可知平分，结合角平分线性质得到，证明，利用全等三角形性质得到，求出，最后利用三角形周长公式求解即可． 【详解】解：如图所示，由垂线段最短可知，当时，长度最小， 由作图过程可知平分， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴的周长是． 故选：D． 【点睛】本题考查了垂线段最短，角平分线的尺规作图及性质，全等三角形性质与判定，熟练掌握角平分线性质是解题的关键． 9.如图，在中，，点D是BC上一点，BD的垂直平分线交AB于点E，将沿AD折叠，点C恰好与点E重合，则等于（    ） A．19° B．20° C．24° D．25° 【答案】B 【知识点】解一元一次方程（三）——去分母、三角形的外角的定义及性质、折叠问题、三角形内角和定理的应用 【分析】根据垂直平分线和等腰三角形性质，得；根据三角形外角性质，得；根据轴对称的性质，得，，；根据补角的性质计算得，根据三角形内角和的性质列一元一次方程并求解，即可得到答案． 【详解】∵BD的垂直平分线交AB于点E， ∴ ∴ ∴ ∵将沿AD折叠，点C恰好与点E重合， ∴，， ∵ ∴ ∵ ∴ ∴ 故选：B． 【点睛】本题考查了轴对称、三角形内角和、三角形外角、补角、一元一次方程的知识；解题的关键是熟练掌握轴对称、三角形内角和、三角形外角的性质，从而完成求解． 10.如图，在平面直角坐标系中，已知AOB，在x轴上确定点C，使ABC为等腰三角形，若，则符合条件的点共有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【知识点】等边三角形的判定、直线上与已知两点组成等腰三角形的点、等腰三角形的性质和判定 【分析】本题考查了等腰三角形的判定、等边三角形的性质和判定，熟练掌握以上知识点是解题的关键． 根据等腰三角形的判定分类讨论即可． 【详解】解：如图： ∵， ∴， 当为三角形的腰时，或均符合题意； 时，， ∴为等边三角形； 当为三角形的底时，作线段的垂直平分线与轴交于，此时， ∵， ∴为等边三角形，此时与重合； 故有两个点符合题意． 故选：B ． 第II卷（非选择题） 二、填空题（共6小题，每小题3分，共18分） 11.如图，已知，请添加一个条件使与全等的是__________． 【答案】（答案不唯一） 【知识点】添加条件使三角形全等（全等三角形的判定综合） 【分析】要使，已知，，具备了两组边相等，还缺少边或角对应相等的条件，结合判定方法及图形进行选择即可，答案不唯一． 【详解】解：添加条件是， 在和中， ∵， ∴． 12.如图，与关于直线对称，E、F、G是线段上的任意三点，若，，则图中阴影部分的面积是______ ． 【答案】9 【知识点】根据成轴对称图形的特征进行求解 【分析】本题主要考查了轴对称的性质，根据轴对称的性质，将阴影部分的面积转化为的面积，再结合及的长进行计算即可． 【详解】解：与关于直线对称， ，，， 阴影部分的面积可转化为的面积． ，， ， ， 即图中阴影部分的面积是 故答案为： 13.如图，在中，平分交于点，于点，若 ， ，则的度数是 ________ ． 【答案】 【知识点】与三角形的高有关的计算问题、与角平分线有关的三角形内角和问题、三角形内角和定理的应用、邻补角的定义理解 【分析】根据垂直的定义和三角形的内角和求得，然后根据角平分线的定义和三角形的内角和求得，再根据邻补角进行求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵ ， ∴ ， ∵平分， ∴ ， ∵ ， ∴， ∴． 14.如图，在等边三角形中，D是的中点，于点E，于点F，若，则______ 【答案】 【知识点】等边三角形的性质、含30度角的直角三角形 【分析】本题考查了含30度角的直角三角形，等边三角形的性质，根据等边三角形的性质可得，，再根据线段中点的定义可得，然后利用垂直定义可得，从而可得，最后分别在和中，利用含30度角的直角三角形的性质进行计算，即可解答． 【详解】解：是等边三角形， ，， 是的中点， ， ，， ， ，， ， ， ， ， 故答案为：． 15.如图，在中，，，，则的度数是_______度． 【答案】13 【知识点】三角形的外角的定义及性质、三角形内角和定理的应用、等边对等角 【分析】本题主要考查等腰三角形的性质，还涉及三角形内角和定理，三角形外角的性质． 设，构建方程即可解决问题． 【详解】解：∵， ∴设， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 16.如图，点是等边内一点，，等于，点是等边外一点，，，连接、．则当的度数为__________时，是等腰三角形． 【答案】或或 【知识点】等边三角形的性质、三角形内角和定理的应用、全等的性质和SAS综合（SAS） 【分析】本题主要考查了等边三角形和等腰三角形的性质以及全等三角形的判定与性质，注意分类讨论思想的应用．先证是等边三角形得到，根据，，得出，先证明，可得，可得，，，再分情况讨论：①；②；③，即可得出答案． 【详解】解：∵，， ∴为等边三角形， ∴， ∵，﹐ ∴； ∵和均为等边三角形， ∴，，， ∴， 即， 在和中， ， ∴； ∴， ∵为等边三角形， ∴， ∴， 又， ∴， ∵是等腰三角形， ①， 即， 解得， ②， 即， 解得， ③， 即， 解得， 综上：当或或时，是等腰三角形， 故答案为： 或或． 三、解答题（共8小题，共72分） 17.（8分）如图，在平面直角坐标系中，，，，． (1)在图中作出关于轴对称的； (2)写出，，三点的坐标： ， ， ． (3)在（1）（2）的条件下，连接，，直接写出的面积为 ． 【答案】(1)如图，为所作； (2)、、 (3) 【知识点】坐标与图形变化——轴对称、画轴对称图形、利用网格求三角形面积 【分析】（1）分别作出点A，B，C关于y轴的对称点，，，然后顺次连接即可； （2）根据图形写出点，，的坐标即可； （3）利用割补法求解即可． 【详解】（1）略 （2）解：根据图形可得：、、． （3）解：连接，，如图所示： ． 18.（8分）如图，在中，于点D，是的角平分线，交于点E，，，求的度数． 【答案】的度数为 【知识点】垂线的定义理解、三角形的外角的定义及性质、角平分线的有关计算、三角形内角和定理的应用 【分析】先由得，再根据三角形外角的性质得到，然后利用角平分线的定义得，最后利用三角形内角和定理即可求的度数． 【详解】解：， ， ，， ， 是的角平分线， ， ， ． 19.（8分）如图，，相交于点，连接，，平分，交延长线于． (1)给出下列三个事项：①，②，③， 请你从其中选取两个事项作为条件，另一个事项作为结论组成命题，并证明你的结论； 你选的条件：___________，结论：___________．（填序号） 证明： (2)在（1）中的条件下，若，求的度数． 【答案】(1) 当选①②为条件，③为结论时， 证明：∵， ∴， 在和中，， ∴， ∴； 当选①③为条件，②为结论时， 同理可证明， ∴； 当选②③为条件，①为结论时， 在和中，， ∴ ∴， ∴． (2) 【知识点】根据平行线判定与性质证明、角平分线的有关计算、全等三角形综合问题 【分析】本题考查全等三角形的判定与性质，全等三角形的判定方法有：、、、及，熟练掌握并灵活运用适当的判定方法是解题关键． （1）分别选择①②，③、①③，②、②③，①，利用、、证明，即可得答案； （2）由（1）可知三个条件都成立，根据平行线的性质得出，根据角平分线的定义得出，再利用平行线的性质即可得答案． 【详解】（1）略 （2）解：由（1）可知，无论怎么选择，三个条件都成立， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∴． 20.（8分）如图，是的平分线，，垂足为点，交的延长线于点，已知平分，．若，则的长为___________． 【答案】2.5 【知识点】全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、两直线平行内错角相等、等腰三角形的性质和判定 【分析】本题主要考查了角平分线的定义，等腰三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，平行线的性质，根据平行线的性质和角平分线的定义得出，证明是等腰三角形，根据三线合一得出，证明，得出，即可求解． 【详解】解：∵， ∴． ∵平分， ∴， ∴， ∴是等腰三角形． ∵是的平分线， ∴． 在与中， ， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 故答案为：2.5． 21.（10分）如图， 在中，，，交于点G，，，点E，F分别在边，上， 连接，，． (1)求的长； (2)若，求证：． 【答案】(1)8 (2) 证明：∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∵是等边三角形，， ∴， ∴， 即． 【知识点】全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、含30度角的直角三角形、等腰三角形的性质和判定、等边三角形的判定和性质 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，线段垂直平分线的性质，解含的直角三角形，等边三角形的判定与性质及全等三角形的判定与性质． （1）先利用等腰三角形的性质得出，再由线段垂直平分线的性质并通过解直角三角形得到的值，根据已知条件证得是等边三角形，进而求得结果； （2）先根据已知条件并利用角度的和差关系得出，证明得到，再利用等边三角形的性质及线段的等量关系求得相关证明结论即可． 【详解】（1）解：∵，， ∴， 又∵，， ∴， ∴在中，， ∵， ∴是等边三角形， ∴． （2） 略 22.（10分）定义：若三角形的两个内角与满足，则称该三角形为“准互余三角形”，α与β为“准互余角”． (1)若为“准互余三角形”，，和是“准互余角”，______． (2)如图，在中，，若AD平分，试说明是“准互余三角形”． 【答案】(1) (2) 证明：平分， ， 是的外角，， ， ， 是“准互余三角形”． 【知识点】直角三角形的两个锐角互余、三角形的外角的定义及性质、与角平分线有关的三角形内角和问题、三角形内角和定理的应用 【分析】本题考查三角形的内角和定理，角平分线的定义，外角的性质，理解准互余三角形定义是解题关键． （1）根据题意求出，根据内角和即可求解； （2）根据角平分线和外角的性质即可解答． 【详解】（1）解：为“准互余三角形”， ，和是“准互余角”， ， 根据内角和可得； 故答案为：； （2）略 23.（10分）如图，在四边形中，，，．连接，过点D作分别交，于点E，F．若，，求的长． 【答案】6 【分析】本题考查了等边三角形的判定与性质，平行线的性质，含30度角的直角三角形的性质，线段垂直平分线的性质，熟练掌握知识点，正确添加辅助线是解题的关键．连接交于点O，证明为等边三角形，则设，则，由，则在中，，得到一元一次方程，解方程即可解答． 【详解】解：连接交于点O， ∵，， ∴是的垂直平分线， ∴，， ∵，， ∴是等边三角形， ∴，， ∵， ∴，， ∴， ∴为等边三角形， 设， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 在中，， ∴， 解得：， ∴； 故答案为：6． 24．（12分）△ABC是等边三角形，D在射线AC上，延长BC至E，使CE＝AD，连接DB，DE． （1）如图1，若AD＝DC，求证：DB＝DE； （2）如图2，当D在线段AC延长线上时，求证：DB＝DE； （3）如图3，当D在线段AC延长线上时，AF⊥BC交DB于F，CG⊥BD交BD于G，若∠BDE＝150°，BF，则△CGD的面积为　　 ．（直接写结果） 【分析】（1）由等边三角形的性质可得AD＝CD，∠CBD＝30°，由等腰三角形的性质可得∠CED＝30°＝∠CBD，可证DB＝DE． （2）过点D作DF∥AB交BE于F，由“SAS”可证△BCD≌△EFD，可得DB＝DE． （3）如图3中，连接CF．证明CF垂直平分线段BC，推出BF＝CF，再证明△CGD是等腰直角三角形，求出CG即可解决问题． 【解答】（1）证明：如图1中， ∵△ABC是等边三角形 ∴∠ABC＝∠BCA＝60°， ∵点D为线段AC的中点， ∴BD平分∠CBA，AD＝CD， ∴∠CBD＝30°， 又∵AD＝CE， ∴CD＝CE， ∠CDE＝∠CED， 又∵∠CDE+∠CED＝∠BCD， ∴2∠CED＝60°， ∴∠CED＝30°＝∠CBD， ∴DB＝DE． （2）证明：如图2中，过点D作DF∥AB交BE于F， ∴∠CDF＝∠A，∠CFD＝∠ABC， ∵△ABC是等边三角形 ∴∠ABC＝∠BCA＝∠A＝60°，BC＝AC＝AB， ∴∠CDF＝∠CFD＝60°＝∠ACB＝∠DCF， ∴△CDF为等边三角形 ∴CD＝DF＝CF， 又AD＝CE， ∴AD﹣CD＝CE﹣CF， ∴BC＝AC＝EF， ∵∠BCD＝∠CFD+∠CDF＝120°， ∠DFE＝∠FCD+∠FDC＝120°， ∴∠BCD＝∠DFE，且BC＝EF，CD＝DF， ∴△BCD≌△EFD（SAS） ∴DB＝DE． （3）解：如图3中，连接CF． ∵△ABC是等边三角形，AF⊥BC， ∴AF平分线段BC， ∴AF垂直平分线段BC， ∴BF＝FC， ∴∠FCB＝∠FBC， 由（2）可知，DB＝DE， ∴∠E＝∠DBE， ∵∠BDE＝150°， ∴∠DBC＝∠E＝∠BCF＝15°， ∴∠CFG＝∠FBC+∠FCB＝15°+15°＝30°， ∵CG⊥BD， ∴∠CGF＝∠CGD＝90°， ∴CGCF， ∵∠ACB＝∠DBC+∠BDC＝60°， ∴∠CDG＝60°﹣15°＝45°， ∴∠GCD＝∠GDC＝45°， ∴CG＝GD， ∴S△CGD•CG•DG． 故答案为：． 【点评】本题属于三角形综合题，考查了全等三角形的判定和性质，等边三角形的性质，添加恰当辅助线构造全等三角形是本题的关键． 学科网（北京）股份有限公司 $