2026-2027学年人教版八年级数学上册期中学情自测(A)（第13，14，15章提优版）

2026-2027学年八年级数学上学期期中学情自测(A) （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：新教材人教版八年级上册第13章~第15章。 一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。） 1．已知等腰三角形的两边长分别为和，则它的周长等于（    ） A．20 B．20或16 C．16 D．20或18 2．下列四个条件：不能确定是直角三角形的是（     ） A．三个外角的度数之比是 B．的三个内角的度数之比是 C．； D． 3．如图，，若要使，则添加的一个条件后不能判定全等的是（     ） A． B． C． D． 4．如图，在中，点是，的平分线的交点，，过作于点，且，则的面积是（     ） A．15 B．18 C．30 D．36 5．如图，中，，平分，平分， ，过点作，分别交、于、，若周长是24，则长是（     ） A．8 B．12 C．14 D．16 6．如图，在中，，通过尺规作图，得到直线，仔细观察作图痕迹，若，则的度数为（     ） A． B． C． D． 7．如图，过边长为3的等边△ABC的边AB上一点P，作PE⊥AC于E，Q为BC延长线上一点，当PA=CQ时，连接PQ交边AC于点D，则DE的长为（ ） A． B． C． D．不能确定 8．老师布置的作业中有这么一道题： 如图，在中，D为的中点，若，，则的长不可能是（   ） A．5    B．7    C．8    D．9 甲同学认为，，这三条边不在同一个三角形中，无法解答，老师给的题目有错误．乙同学认为可以从中点出发，构造辅助线，利用全等的知识解决．丙同学认为可以从点作平行线，构造辅助线，利用全等的知识解决．你认为正确的是（     ） A．甲、乙 B．甲、丙 C．乙、丙 D．都不正确 9．如图，在和中，，，，点P在的延长线上，的延长线交于点M，连接，则下列结论错误的是（     ） A． B． C． D．点B到的距离不相等 10．如图，在中，，和的平分线交于点，得；和的平分线交于点，得；和的平分线交于点，则（     ） A． B． C． D． 二、填空题（本题共6小题，第11题至第15题每小题4分，第16题6分，共26分．） 11．如图，一束激光射入水面，在点处发生折射，折射光线在杯底形成光斑点．水位下降时，光线保持不变，此时光线在点处发生折射，光斑移动到点．因水面始终与杯底平行，则折射光线．若，，则的度数为________． 12．在中，，，直线经过点，且于，于．当直线绕点旋转到如图所示的位置时，，，线段的长为________． 13．在平面直角坐标系中，点与点关于轴对称，且点在第三象限，则的取值范围是________． 14．如图，在中，，的角平分线，相交于点，过作交的延长线于点，交于点．现有下列结论： ①； ②； ③； 其中所有正确结论的序号为________． 15．如图，在中，，，．现有动点从点开始以的速度向点运动，动点从点开始以的速度向点运动，两点同时运动，同时停止，运动时间记为（单位：）．当为___________s时，是直角三角形． 16．如图，等边中，于点，，点分别在边上，且，在上有一动点，连接，．则（1）______；（2）的最小值为______．    三、解答题（本题共9小题，共94分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 17．(本题8分)已知中，，，． (1)求的取值范围； (2)若为等腰三角形，求的值． 18．(本题8分)解答下列各题： 【任务解决】 如图①，点在的内部，且在线段BC的右侧． (1)求证：； (2)求证：． (3)【拓展延伸】 如图②，如果点在内部，且在线段的左侧，对于（2）中给出的4个角又会有怎样的结论？ 19．(本题8分)在直角坐标系中，的三个顶点的位置如图所示． (1)请画出关于轴对称的（其中，，分别是，，的对应点，不写画法）； (2)直接写出，，三点的坐标：（ ），（ ），（ ）． (3)点在坐标轴上，且满足是等腰三角形，则所有符合条件的点有__________个． 20．(本题10分)全等三角形对应边上的中线有什么关系？并说明理由。 21．(本题10分)如图，某数学小组的同学为了测量湖宽，先在的延长线上选定点；再在的下方选一适当的点，分别连接，，延长至点，使得，延长至点，使得，连接；最后在的延长线上找一点，使得点在同一直线上，这时，只要测出线段的长度就可知湖宽，你能说明其中的道理吗？ 22．(本题12分)如图，点是等边内一点，是外的一点，，，，，连接． (1)求证：是等边三角形； (2)当时，试判断的形状，并说明理由； 23．(本题13分)如图1，在等腰中，，，点是边上一点（不与点、重合），连接，将沿翻折得，连接． (1)①用含的代数式表示______； ②当点落在边上时，若，则______°； (2)当时，在图2中，用无刻度的直尺和圆规作出点D的位置； (3)如图3，当点落在边上，且为等腰三角形时，求的值； (4)当点在边上运动时，存在点落在边上，则的取值范围是______． 24．(本题13分)在中，，， (1)平分，交于点，点为延长线上的一点． ①如图1，当点为线段上一点时，连接，若，则是________三角形； ②如图2，当点为线段的延长线上一点时，若，求证：； (2)如图3，在上取点，使得，连接，将沿翻折，点的对应点为，取的中点，连接，过点作，垂足为，交于点，连接， ①请补全图形； ②求证：． 25．(本题14分)【模型背景】相传，有一位将军拜访古希腊数学家海伦，求教一个百思不得其解的问题：如图①，将军从A地出发，到一条笔直的河边l饮马，然后到B地，到河边什么地方饮马可使他所走的路线全程最短？海伦利用轴对称的知识回答了这个问题，这个问题后来被称为“将军饮马问题”． 【模型解决】如图①，小明将A，B两地抽象为两个点，将河l抽象为一条直线．如图②，小明作点B 关于直线l的对称点，连接与直线l交于点 C，点C就是饮马的地方，此时所走的路程就是最短的，小明对此进行了说明，以下是说明流程： 如图③，在直线l上另取任意一点（与点C不重合），连接，，， 点B与点关于直线l对称， 直线l是的垂直平分线． ______，______ _______ 在中，， 即最小． 请你完成上面填空． 【模型应用】如图④，在 中，直线m是边 的垂直平分线，点P 是直线 m 上的动点． 若，，，则周长的最小值为 ． 【模型拓展】1．如图⑤，已知，P为内一定点，上有一点A，上有一点B，当 的周长取最小值时，的大小是为 度． 2．如图⑥，边长为的等边 中，是上的中线且，点 D在上，连接，在的右侧作等边连接，则 周长的最小值是多少？此时为多少度？ 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年八年级数学上学期期中学情自测(A) （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：新教材人教版八年级上册第13章~第15章。 一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。） 1．已知等腰三角形的两边长分别为和，则它的周长等于（    ） A．20 B．20或16 C．16 D．20或18 【答案】A 【分析】题目中没有明确腰和底边，故要分情况讨论，再结合三角形的三边关系分析即可． 【详解】解：当腰为4时，另外两边为4和8，但，不能构成三角形； 当腰为8时，另外两边为4和8，此时能构成三角形，周长为． 2．下列四个条件：不能确定是直角三角形的是（     ） A．三个外角的度数之比是 B．的三个内角的度数之比是 C．； D． 【答案】B 【分析】验证各选项条件下三角形是否存在内角，即可判断能否确定为直角三角形． 【详解】解：A． 三角形外角和为，最小外角为，对应最大内角为，可确定是直角三角形，故本选项不符合题意； B． 三角形内角和为，最大内角为，为锐角三角形，不能确定是直角三角形，故本选项符合题意； C． ∵， ∴， ∵， ∴，即，可确定是直角三角形，故本选项不符合题意； D． 设，则，， ∵， ∴， 解得， ∴，可确定是直角三角形，故本选项不符合题意． 3．如图，，若要使，则添加的一个条件后不能判定全等的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】已知和公共角，根据全等三角形判定定理逐一验证选项即可． 【详解】解：已知和公共角， A、当时，符合的判定条件，故A不符合题意； B、当时，符合的判定条件，故B不符合题意； C、当时，，，即，再结合已知条件，符合的判定条件，故C不符合题意； D、当时，不符合全等三角形的判定条件，故D符合题意． 4．如图，在中，点是，的平分线的交点，，过作于点，且，则的面积是（     ） A．15 B．18 C．30 D．36 【答案】A 【分析】作于点，作于点，连接，由角平分线的性质定理可得，，再结合三角形的面积公式计算即可得出结果． 【详解】解：如图，作于点，作于点，连接， ∵在中，点是，的平分线的交点，， ∴，， ∴ ． 5．如图，中，，平分，平分， ，过点作，分别交、于、，若周长是24，则长是（     ） A．8 B．12 C．14 D．16 【答案】D 【分析】根据角平分线的定义以及平行线的性质可得，从而得到，再根据直角三角形的性质可得，然后结合周长是24，即可求解． 【详解】解：∵平分，平分， ， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∵周长是24， ∴， ∴． 6．如图，在中，，通过尺规作图，得到直线，仔细观察作图痕迹，若，则的度数为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先根据作图得出是的垂直平分线，得出，推出，再根据垂直的定义得出，求出，最后可得出答案． 【详解】解：根据作图可知，是的垂直平分线， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 7．如图，过边长为3的等边△ABC的边AB上一点P，作PE⊥AC于E，Q为BC延长线上一点，当PA=CQ时，连接PQ交边AC于点D，则DE的长为（ ） A． B． C． D．不能确定 【答案】B 【详解】试题分析：过P作PF∥BC交AC于F，得出等边三角形APF，推出AP=PF=QC，根据等腰三角形性质求出EF=AE，证△PFD≌△QCD，推出FD=CD，推出DE=AC即可． 解：过P作PF∥BC交AC于F， ∵PF∥BC，△ABC是等边三角形， ∴∠PFD=∠QCD，∠APF=∠B=60°，∠AFP=∠ACB=60°，∠A=60°， ∴△APF是等边三角形， ∴AP=PF=AF， ∵PE⊥AC， ∴AE=EF， ∵AP=PF，AP=CQ， ∴PF=CQ， 在△PFD和△QCD中 ， ∴△PFD≌△QCD， ∴FD=CD， ∵AE=EF， ∴EF+FD=AE+CD， ∴AE+CD=DE=AC， ∵AC=3， ∴DE=， 故选B． 点评：本题综合考查了全等三角形的性质和判定，等边三角形的性质和判定，等腰三角形的性质，平行线的性质等知识点的应用，能综合运用性质进行推理是解此题的关键，通过做此题培养了学生分析问题和解决问题的能力，题型较好，难度适中． 8．老师布置的作业中有这么一道题： 如图，在中，D为的中点，若，，则的长不可能是（   ） A．5    B．7    C．8    D．9 甲同学认为，，这三条边不在同一个三角形中，无法解答，老师给的题目有错误．乙同学认为可以从中点出发，构造辅助线，利用全等的知识解决．丙同学认为可以从点作平行线，构造辅助线，利用全等的知识解决．你认为正确的是（     ） A．甲、乙 B．甲、丙 C．乙、丙 D．都不正确 【答案】C 【分析】延长到使得，利用倍长中线模型证明得到，再由三角形三边的关系即可判断乙同学的说法；过作交的延长线于，证明，得，，再由三角形三边的关系即可判断丙同学的说法． 【详解】解：如图，延长到点，使得，连接， 则； 是的中点， ， 在和中， ， ， ， 在中，， 即， ， ， 的长不可能是5； 如图，过作交的延长线于，则， 是的中点， ， 在和中， ， ， ，， ， 在 中，， 即， ， ， 的长不可能是5； 综上所述，甲说法错误，乙和丙说法正确． 9．如图，在和中，，，，点P在的延长线上，的延长线交于点M，连接，则下列结论错误的是（     ） A． B． C． D．点B到的距离不相等 【答案】D 【分析】先说明是等边三角形，可得即可解答A；再根据“边角边”证明，解答B，D；然后根据全等三角形的对应角相等得，再说明是等边三角形，可得，然后求出说明C即可． 【详解】解：∵， ∴是等边三角形， ∴ ∴，则A正确； ∵ ∴， ∴点B到的距离相等， 则B正确，D不正确； ∵， ∴． ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∴，则C正确． 10．如图，在中，，和的平分线交于点，得；和的平分线交于点，得；和的平分线交于点，则（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和，可得，再结合角平分线的定义，找出角变化的规律即可求解． 【详解】解：∵平分，平分， ∴，， ∴， 同理可得， ∴， ∵， ∴． 二、填空题（本题共6小题，第11题至第15题每小题4分，第16题6分，共26分．） 11．如图，一束激光射入水面，在点处发生折射，折射光线在杯底形成光斑点．水位下降时，光线保持不变，此时光线在点处发生折射，光斑移动到点．因水面始终与杯底平行，则折射光线．若，，则的度数为________． 【答案】 【分析】根据三角形外角等于不相邻的两个内角之和，两直线平行，同旁内角互补，进行计算即可． 【详解】解：在中，，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 12．在中，，，直线经过点，且于，于．当直线绕点旋转到如图所示的位置时，，，线段的长为________． 【答案】3 【分析】证明，由全等三角形的性质得出，，最后由线段的和差关系求解即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴． 13．在平面直角坐标系中，点与点关于轴对称，且点在第三象限，则的取值范围是________． 【答案】 【分析】根据关于轴对称的点的坐标特征得到点的坐标，再结合第三象限内点的坐标符号特征列出不等式，求解得到的取值范围． 【详解】解：点与点关于轴对称， 点的坐标为， 点在第三象限， ，解得． 14．如图，在中，，的角平分线，相交于点，过作交的延长线于点，交于点．现有下列结论： ①； ②； ③； 其中所有正确结论的序号为________． 【答案】 ①② 【分析】根据三角形内角和定理及角平分线定义求出的度数，进而求出判断；通过计算角度证明，结合角平分线及公共边利用证明判断②；利用全等三角形性质及外角性质判断③，进行解答，即可． 【详解】解：在中，， ， 分别平分，， ，， ， ，故结论①正确； ， ， ， ， ， 在和中， ， ，故结论②正确； ，， 平分， ， ， 在和中， ， ， ， 是的外角， ， ， ，故结论③错误， 正确的是①②． 15．如图，在中，，，．现有动点从点开始以的速度向点运动，动点从点开始以的速度向点运动，两点同时运动，同时停止，运动时间记为（单位：）．当为___________s时，是直角三角形． 【答案】或 【分析】根据直角三角形性质求出长及度数，用含的代数式表示和，分和两种情况，利用含角的直角三角形性质列方程求解． 【详解】解：，，， ，， 由题意得：，， ， 当是直角三角形时，分两种情况讨论： ①当时， ， ， ， 即， 解得； ②当时， ， ， ，即， 解得； 综上所述，当或时，是直角三角形． 16．如图，等边中，于点，，点分别在边上，且，在上有一动点，连接，．则（1）______；（2）的最小值为______．    【答案】 5 【分析】本题主要考查了等边三角形的性质与判定，全等三角形的性质与判定，熟知等边三角形的性质与判定定理是解题的关键． （1）由等边三角形的性质可得，根据线段的和差关系求出的长即可得到答案； （2）在上截取，连接，可证明是等边三角形，得到；证明，得到，则可得到当Q、E、F三点共线时，有最小值，最小值为的长，据此可得答案． 【详解】解：（1）∵是等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， 故答案为：； （2）如图所示，在上截取，连接，    ∵是等边三角形， ∴，， ∴， ∴是等边三角形， ∴； ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴当Q、E、F三点共线时，有最小值，最小值为的长， ∴的最小值为5． 故答案为：5． 三、解答题（本题共9小题，共94分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 17．已知中，，，． (1)求的取值范围； (2)若为等腰三角形，求的值． 【答案】(1) (2)4.5 【分析】（1）根据三角形三边关系列不等式组求解即可； （2）分情况作答即可． 【详解】（1）解：在中，，，， ， ， 解得：； （2）解：当时，，不符合题意； 当时，，符合三角形三边的关系， 则， 解得：． 18．解答下列各题： 【任务解决】 如图①，点在的内部，且在线段BC的右侧． (1)求证：； (2)求证：． (3)【拓展延伸】 如图②，如果点在内部，且在线段的左侧，对于（2）中给出的4个角又会有怎样的结论？ 【答案】(1)证明：如图①，延长交于点． ，， ． (2)证明：延长交于点． ，， ． (3)． 【分析】（1）延长交于点，根据三角形的外角性质证明即可； （2）延长交于点，运用两次三角形的外角性质求解即可； （3）连接，运用两次三角形内角和定理求解即可． 【详解】（1）略 （2）略 （3）解：如图②，连接． ，， ， ． 19．在直角坐标系中，的三个顶点的位置如图所示． (1)请画出关于轴对称的（其中，，分别是，，的对应点，不写画法）； (2)直接写出，，三点的坐标：（ ），（ ），（ ）． (3)点在坐标轴上，且满足是等腰三角形，则所有符合条件的点有___________个． 【答案】(1)如图，即为所求． (2)4，1；2，3；， (3)10 【分析】（1）根据题意作图即可； （2）结合图形写出点的坐标即可； （3）分三种情况以点为圆心、长为半径画圆，以点为圆心、长为半径画圆，两圆的交点连接可得的垂直平分线，结合图形即可求解． 【详解】（1）略 （2）略 （3）解：如图，以点为圆心、长为半径画圆与坐标轴相交可得到四个点，所以有4个以为腰的等腰三角形， 以点为圆心、长为半径画圆与坐标轴相交可得到四个点，所以有4个以为腰的等腰三角形， 将两圆的交点连接可得的垂直平分线，交坐标轴于两个点，所以有2个以为底的等腰三角形， 综上，所有符合条件的点有10个． 20．全等三角形对应边上的中线有什么关系？并说明理由。 【详解】已知：如图，，、分别是，的对应边上的中线．求证：=． ，证明如下： ∵， ∴； ∵、分别是，的对应边上的中线， ∴， ∴， ∴， ∴． 21．如图，某数学小组的同学为了测量湖宽，先在的延长线上选定点；再在的下方选一适当的点，分别连接，，延长至点，使得，延长至点，使得，连接；最后在的延长线上找一点，使得点在同一直线上，这时，只要测出线段的长度就可知湖宽，你能说明其中的道理吗？ 【答案】证明：在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 即只要测出线段的长度就可知湖宽． 【分析】先证出，根据全等三角形的性质可得，再根据平行线的判定与性质可得，然后证出，根据全等三角形的性质即可得． 【详解】证明：略． 22．如图，点是等边内一点，是外的一点，，，，，连接． (1)求证：是等边三角形； (2)当时，试判断的形状，并说明理由； 【答案】(1)证明：∵是等边三角形， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴是等边三角形． (2)是直角三角形，理由如下： ∵， ∴， ∵， ∴， ∵是等边三角形． ∴， ∴，， ∴是直角三角形． 【分析】（1）利用可得，，结合等量代换可得，命题得证； （2）先计算出与，结合等边三角形的性质计算出的内角，从而确定形状． 【详解】（1）略 （2）略 23．如图1，在等腰中，，，点是边上一点（不与点、重合），连接，将沿翻折得，连接． (1)①用含的代数式表示______； ②当点落在边上时，若，则______°； (2)当时，在图2中，用无刻度的直尺和圆规作出点D的位置； (3)如图3，当点落在边上，且为等腰三角形时，求的值； (4)当点在边上运动时，存在点落在边上，则的取值范围是______． 【答案】(1)①，②； (2)点的位置如下图所示， (3)或； (4) 【分析】（1）①根据等腰三角形两底角相等即可求解。 ②由题意可得，，从而得出，进而求出． （2）当时，交于点，利用平行线和折叠可得，再由等腰三角形的判定，可得，从而得出在的中点，按照垂直平分线的画法作出中点即可． （3）当 为等腰三角形时，可分三种情况：，，，从而根据等腰三角形的性质分情况讨论即可． （4）当存在点落在边上时，根据，可得，所以，再根据，点可与点重合，不与点重合，可得，代数可得，即，综上可得． 【详解】（1）解：①∵， ∴， ①当点落在边上时，，如图： ， 由折叠可知：， ∴， ∴． （2）解：当时，如图所示，    ∴，， 由折叠可知：，， ∴， ∴， ∴ ， 故是的中点． 作图略； （3）解：当 为等腰三角形时，可分三种情况： 当时， ∵，， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 解得：． 当时， 由上可得， ∵， ∴， ∴， 解得（不符题意舍去）． 当时， 由上可得， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 即， 解得， 综上可得，或． （4）解：当存在点落在边上时，， 即，， ∴， 由上可得，点可与点重合，不与点重合， ∴， ∴， 解得， 综上可得． 24．在中，，， (1)平分，交于点，点为延长线上的一点． ①如图1，当点为线段上一点时，连接，若，则是________三角形； ②如图2，当点为线段的延长线上一点时，若，求证：； (2)如图3，在上取点，使得，连接，将沿翻折，点的对应点为，取的中点，连接，过点作，垂足为，交于点，连接， ①请补全图形； ②求证：． 【答案】(1)①等腰三角形 ②证明：如图，作于F点， ∵平分，，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴． (2)①如图： ②证明：如图，过D点作交的延长线于G点，则， ∵中，，， ∴， 根据翻折的性质可得，，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵F是的中点， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 【分析】（1）①根据角平分线的定义和平行线的性质可得，从而可得是等腰三角形． ②作于F点，根据证明，，从而可得，．由即可得证． （2）①依据题意补全图形即可； ②过D点作交的延长线于G点，先根据证明，则可得，．由可得．再根据证明，则可得，由可得． 【详解】（1）①解：∵平分， ∴， ∵ ∴，， ∴， ∴， ∴是等腰三角形． ②略 （2）①略 ②略 25．【模型背景】相传，有一位将军拜访古希腊数学家海伦，求教一个百思不得其解的问题：如图①，将军从A地出发，到一条笔直的河边l饮马，然后到B地，到河边什么地方饮马可使他所走的路线全程最短？海伦利用轴对称的知识回答了这个问题，这个问题后来被称为“将军饮马问题”． 【模型解决】如图①，小明将A，B两地抽象为两个点，将河l抽象为一条直线．如图②，小明作点B 关于直线l的对称点，连接与直线l交于点 C，点C就是饮马的地方，此时所走的路程就是最短的，小明对此进行了说明，以下是说明流程： 如图③，在直线l上另取任意一点（与点C不重合），连接，，， 点B与点关于直线l对称， 直线l是的垂直平分线． ______，______ _______ 在中，， 即最小． 请你完成上面填空． 【模型应用】如图④，在 中，直线m是边 的垂直平分线，点P 是直线 m 上的动点． 若，，，则周长的最小值为 ． 【模型拓展】1．如图⑤，已知，P为内一定点，上有一点A，上有一点B，当 的周长取最小值时，的大小是为 度． 2．如图⑥，边长为的等边 中，是上的中线且，点 D在上，连接，在的右侧作等边连接，则 周长的最小值是多少？此时为多少度？ 【答案】模型解决：，，，模型应用：9；模型拓展1：100；2：， 【分析】本题考查轴对称性质、垂直平分线性质、等边三角形的性质与判定，全等三角形的性质与判定，熟知轴对称的性质是解题的关键． 模型解决：利用点B与点关于直线l对称，根据垂直平分线性质得，，将转化为，再依据三角形三边关系，证得最小，核心是借轴对称和三角形性质转化、推导最短路径 ． 模型应用：1：根据题意知点C关于直线m的对称点为点B，故当点P与点D重合时，值的最小，周长有最小值，求出长度即可得到结论． 模型拓展：设点P关于、对称点分别为、，当点A、B在上时，周长为，此时周长最小．根据轴对称的性质，可求出的度数． 2：因为，所以当最小时，周长取得最小值，由此作出轴对称图形，利用全等三角形的性质和等边三角形的性质求解即可． 【详解】解：模型解决：如图③，在直线l上另取任意一点（与点C不重合），连接，，． 点B与点关于直线l对称， 直线l是的垂直平分线． ，， ． 在中，， ，即最小． 故答案为：，，， 模型应用：如图，设直线m与交于点D， ∵直线m垂直平分， ∴B、C关于直线m对称， ∴当P和D重合时，的值最小，最小值等于的长， ∵，，的周长， ∴周长的最小值是． 故答案为：9； 模型拓展1：分别作点P关于、的对称点，连接、、，交、于点A、B，连接、，此时周长的最小值等于． 由轴对称性质可得，，，， ∴， ∴， 又∵，， ∴． 故答案为：100； 2：连接并延长，作点关于射线的对称点，连接，，连接交的延长线于点，连接，如下图： 和是等边三角形， ，，， ，即， ， ， ，是上的中线， 且平分， ， ，即点在射线上运动， 点和点关于射线对称， ，，， ， 是等边三角形， ， ∴和是两个全等的等边三角形， 同理可得， ， ， 又， 当最小时（此时点E与点N重合），的周长取得最小值， ∵的最小值为， ， 此时． 学科网（北京）股份有限公司 $2026-2027学年八年级数学上学期期中学情自测(A) 一、 选择题 题号 2 3 4 6 8 9 10 答案 B D A D B C D B 二、 填空题 题号 11 12 13 14 15 16 答案 80° 3 3 m> ①2 1或2.5 5 三、解答题 17.【详解】(1)解：在△ABC中，AB=5,BC=2x+3,AC=12 .AC-AB<BC<AC+AB:.12-5<2x+3<12+5 2<x<7 解得： (2)解：当AB=BC=5时，5+5=10<12，不符合题意： 当AC=BC=12时，5+12=17>12，符合三角形三边的关系 则2x+3=12,解得：x=4.5. 18.【详解】(1)证明：如图①，延长CD交AB于点E 图① ·∠BDC>∠BED,∠BED>∠A, .∠BDC>∠A. (2)证明：延长CD交AB于点E: B :∠BDC=∠B+∠BED∠BED=∠A+∠C :∠BDC=∠B+∠C+∠A (3)∠BDC+∠B+∠C+∠BAC=360° 解：如图②，连接AD B 图② :∠B+∠BDA+∠BAD=180°∠C+∠CDA+∠CAD=180° ∴.∠B+∠BDA+∠BAD+∠C+∠CDA+∠CAD=360° ∴.∠BDC+∠B+∠C+∠BAC=360° 19.【答案】(1)如图.△A'BC即为所求 5 B 5 2)4,1；2,3;-1,-2 (3)解：如图，以点B为圆心、BC长为半径画圆与坐标轴相交可得到四个点，所以有4个 以BC为腰的等腰三角形 以点C为圆心、BC长为半径画圆与坐标轴相交可得到四个点，所以有4个以BC为腰的等 腰三角形 将两圆的交点连接可得BC的垂直平分线，交坐标轴于两个点，所以有2个以BC为底的等 腰三角形 综上，所有符合条件的Q点有10个· 8 7 20.已知：如图，△ABC≌△AB'C',AD、AD'分别是△ABC,△A'B'C'的对应边上的 中线.求证：AD=A'D有什么关系 B D 【答案】AD=A'D',证明如下： △ABC≌△AB'C .AB=AB,BC=B'C,∠B=∠B'; AD、A'D'分别是△ABC,△A'B'C'的对应边上的中线， .BD-1BC.BD'=IBC :BD=B'D' △ABD≌△AB'D'(SAS) :AD=A'D' 21.【答案】证明：在△BCM和△B'C'M中 MB=MB' ∠BMC=∠B'MC' MC=MC" △BCM≌AB'C"M(SAS) .∠C=∠C ACI‖A'C .∠A'=∠A 在△A'B'M和△ABM中 「∠A=∠A ∠A'MB'=∠AMB MB'=MB △A'B'M≌AABM(AAS) .A'B'=AB 即只要测出线段A'B的长度就可知湖宽AB 22.【答案】(1)证明：△ABC是等边三角形， .∠ACB=60° .△BOC≌AADC .∠ACD=∠BCO,CD=CO ∴.∠OCD=∠ACD+∠ACO=∠BCO+∠ACO=∠ACB=60°， .△OCD是等边三角形. (2)△AOD是直角三角形，理由如下： ·.△BOC≌AADC .∠ADC=∠BOC=a=150° .∠AOB=110° .∠AOC=360°-∠A0B-∠B0C=100° :△OCD是等边三角形. .∠COD=∠CD0=60° .∠AD0=∠ADC-∠CDO=90°，∠AOD=∠AOC-∠COD=40° .△AOD是直角三角形. 23.【详解】(1)解：①：∠BAC=C,AB=AC ∠ABC=∠4CB=180-a=90- 2 2 ①当点E落在边BC上时，a=120°，如图： D ×120°=30° E ~C∠ABC=∠ACB=90°- 2 由折叠可知：∠BAC=∠BED=a=120° .∠DEC=180°-∠BED=60° .∠EDC=180°-∠ACB-∠DEC=180°-30°-60°=90°， (2)解：当BD∥CE时，如图所示， .∠ADB=∠ACE,∠BDE=∠DEC 由折叠可知：∠BDE=∠ADB,AD=DE ·.∠DEC=∠ACE .DE=CD :AD=CD, 故D是AC的中点.如图作图； (3)解：当△CDE为等腰三角形时，可分三种情况： 当DE=EC时 ·△ABD≌△EBD,∠BAC=a ∴.∠BAC=∠BED=a ·AB=AC,∠BAC=C ∠ABC=∠ACD=180°-a 2 ·DE=EC .∠ACE=∠EDC= 180°-a 2 .·∠DEB=∠EDC+∠ACB 180°-a,180°-a 2 2 解得：a=90° 当DE=CD时 由上可得∠DEC=∠ACB=180°-a ·∠BED=∠BAC=a ∴.∠DEC=180°-a 180°-a=180°-a 2 解得aα=180°（不符题意舍去）· 当CE=CD时 由上可得∠ACB=180°-a 2 :∠BED=∠BAC=a .∠DEC=180°-a ·CE=CD .∠DEC=∠EDC=180°-a .∠DEC+∠EDC+∠ACB=180° 即(180°-a)×2+180-a=180e】 2 解得a=108° 综上可得，a=108°或a=90° (4)解：当存在点E落在边AC上时，△ABD≌△EBD 即∠ADB=∠EDB=90°，∠BAC=∠BED=a, .a<90° 由上将∠4B:l”点e与点C重合个与点D合 ∴.∠BED2∠ACB a≥180°-a 2 解得a≥60° 综上可得60°≤a<90° 24.【详解】(1)①解：AE平分∠BAC .∠CAE=∠EAB ·MN∥AE ∴.∠CAE=∠AMN, ∠EAB=∠ANM .∠AMN=∠ANM .AM=AN .△AMN是等腰三角形. ②证明：如图，作EF⊥AB于F点 B 'AE平分∠BAC,∠C=90°，EF⊥AB, .EC=EF 在Rt△ACE和RtAFE中 「AE=AE EC=EF Rt△ACE≌RtAAFE(HL) .AC=AF 在Rt△MEC和RtANEF中， ME=NE EC=EF RtAMEC≌RtANEF(HL) ∴.CM=FN ·:AN=AF+FN .AN=AC+CM=AC+AC+AM=24C+AM (2)①如图 2证明：如图，过D点作DG⊥CB交CP的延长线于G点，则∠CDG=90° A B RtAACD中，∠ACD=90°，CD=CA .∠CAD=∠CDA=45° 根据翻折的性质可得∠ACD=90°，CD=C',∠CAD=∠CDA=45° ∴.∠A'CD=∠CDG=90° ∴.∠ACG+∠GCD=90° ·AF⊥CP .∠AHC=90° .∠ACG+∠CA'F=90° .∠CA'F=∠GCD 在△CA'F和△DCG中， [∠ACD=∠CDG CA∥=CD ∠CA'F=∠GCD ACA'F≌ADCG(ASA) .A'F=CG CF=DG F是CD的中点， ..CF=FD .FD=GD .∠CDG=90°，∠CDA=45° .∠GDA'=45° ∴.∠CDA'=∠GDA 又DP=DP △FDP≌AGDP(SAS) .PF=PG ·CG=CP+PG ..CG=CP+PF .A'F=CP+PF 25、【详解】解：模型解决：如图3，在直线上另取任意一点C'(与点C不重合)，连 接AC,BC',B'C :点B与点B关于直线/对称， BB' “直线/是的垂直平分线· ∴CB=CBCB=CB ∴.AC+CB=AC+CB'=AB △ACB 在 AB'<AC+CB' 中 .AC+CB<AC"+CB' AC+CB 即 最小 故答案为：CB,C'B,CB,AB' 模型应用：如图，设直线m与AB交于点D, B 直线m垂直平分BC, ∴.B、C关于直线m对称， 当P和D重合时，AP+CP的值最小，最小值等于AB的长， AB=5,AC=4,△APC的周长=AP+CP+AC ∴.△MPC周长的最小值是AB+AC=5+4=9. 故答案为：9； 模型拓展1：分别作点P关于OM、ON的对称点P、P,连接OP'、OP、P'p”,交OM、 ON 于点A、B连接P以、PB.此时△PA P'p" 周长的最小值等于 DI M 由轴对称性质可得，OP'=OP”=OP,∠P'OA=∠POA,∠P"OB=∠POB .∠P'OP"=2∠M0N=-2×40°=80° ∠0P'P"=∠0P"P'=(180°-80）÷2=50° 又∠BPO=∠OP"B=50°，∠APO=∠AP'0=50° .∠APB=∠APO+∠BPO=100°. 故答案为：100； 2:连接CE并延长，作点A关于射线CE的对称点M,连接AM,CM,连接FM交CE的 延长线于点N,连接AN,如下图： M 和 是等边三角形 D :△ABC AADE ∴·AB=ACAD=AE∠BAC=∠ABC=∠ACB=∠DAE=6O ∴.∠BAD+∠DAC=∠DAC+∠CAE ∠BAD=∠CAE 即 ∴.△BAD≌△CAE(SAS) ∴.∠ABD=∠ACE .AB=AC BF AC 是上的中线 ∴.BF⊥ACBF 且r平分 ∠ABC ∴.∠ABD=∠CBD=∠ACE=30 ∴.∠BCE=∠ACB+∠ACE=90° 即点E在射线CE上运动 CE A M CE 点”和点”关于射线对称 ∴.∠MCE=∠ACE=-30°，CE⊥AM,CA=CM ∴.∠ACM=60° ∴△ACM 是等边三角形 .AM=AC=AB .△ACM和△ABC是两个全等的等边三角形， 同理可得MF⊥AC」 :BF⊥AC ∴.FM=BF=b 又？CA=AF+AE+EF=号a+AE+EE ∴·当AE+EF最小时（此时点E与点W重合），△AEF的周长取得最小值 :AE+EF的最小值为FN+MN=MF=b :.CAAEF 20+6 此时∠CFE=90°