精品解析：甘肃平凉市陕西师范大学平凉实验中学2026-2027学年度第一学期阶段性训练九年级数学试卷

陕师大平凉实验中学2026-2027学年度第一学期阶段性训练 九年级数学试卷 满分：150分 考试时间：120分钟 一、单项选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．） 1. 下列方程是关于的一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】将各方程化简为最简形式，再逐一判断方程是否只含一个未知数且未知数最高次数为，且二次项系数不为． 【详解】解：对选项，未限定，当时，不是一元二次方程； 对选项，整理得，未知数最高次数为，是一元一次方程； 对选项，整理得，该方程是整式方程，只含一个未知数，且的最高次数为，二次项系数不为，是一元二次方程； 对选项，中未知数最高次数为，是一元一次方程． 2. 一元二次方程的根是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】A 【解析】 【详解】解：∵， ∴或， ∴，. 3. 用配方法解方程时，原方程应变形为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】解：移项得， 配方得，即 4. 一元二次方程没有实数根，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】一元二次方程的根与有如下关系：①，方程有两个不相等的实数根，②，方程有两个相等的实数根，③，方程没有实数根． 【详解】解：∵一元二次方程没有实数根， ∴， 即， 解得． 5. 已知等腰三角形的腰和底的长分别是一元二次方程的根，则该三角形的周长为（ ） A. 9 B. 10 C. 9或12 D. 12 【答案】D 【解析】 【分析】先解方程求得两根，再讨论等腰三角形的腰与底，结合三角形三边关系计算周长即可． 【详解】解：， ， 或， 解得，； 当腰长为，底边长为时，由，满足三角形三边关系，故周长为； 当腰长为，底边长为时，由，不满足三角形三边关系，舍去． 6. 广东省统计局的相关数据显示，近年来高技术制造业呈现快速增长态势．某公司工业机器人在今年5月产值达到2500万元，预计7月产值将增至9100万元．设该公司6，7两个月产值的月均增长率为，可列出的方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程的实际应用，涉及平均增长率问题，理解题意找准等量关系列出方程是解题的关键．设该公司6，7两个月产值的月均增长率为，根据连续两个月的月均增长率建立方程即可． 【详解】解：设该公司6，7两个月产值的月均增长率为， 根据题意，得． 故选：A． 7. 已知二次函数的图象上有两点，，则，的大小关系为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】解：把代入，得， 把代入，得， ∵， ∴． 8. 与抛物线的顶点相同，形状也相同，而开口方向相反的抛物线对应的解析式是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】解：∵所求抛物线与顶点相同，形状相同，开口方向相反， ∴其二次项系数为，常数项为， ∴解析式为 9. 对于抛物线，下列说法正确的是（ ） A. 图象开口向下 B. 图象经过原点 C. 顶点坐标为 D. 对称轴为直线 【答案】D 【解析】 【详解】解：∵中，， ∴图象开口向上，A错误； ∵当时，， ∴图象不经过原点，B错误； ∵该抛物线顶点坐标为， ∴C错误； ∵该抛物线对称轴为直线， ∴D正确 10. 在同一平面直角坐标系中，一次函数与二次函数的图象可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】此题主要考查了二次函数及一次函数的图象的性质，用到的知识点为：二次函数和一次函数的常数项是图象与y轴交点的纵坐标． 根据一次函数和二次函数的解析式可得一次函数与轴的交点为，二次函数的开口向上，据此判断二次函数的图象． 【详解】解：当时，一次函数经过一、二、三象限， 二次函数开口向上，且与轴交于正半轴， 没有选项满足要求； 当时，一次函数经过一、二、四象限， 二次函数开口向上，且与轴交于负半轴， 只有C选项满足要求， 故选：C． 二、填空题（共6小题，每题4分，共24分） 11. 将一元二次方程化成一般形式为__________． 【答案】 【解析】 【分析】一元二次方程的一般形式为（，，为常数且），将原方程移项整理即可得到结果． 【详解】解：∵原方程为 ， ∴将所有项移到等号左侧，整理得 ， 即该一元二次方程的一般形式为 ． 12. 将抛物线向右平移2个单位长度，得到的抛物线解析式为__________． 【答案】 【解析】 【分析】抛物线平移遵循“左加右减自变量”的规律即可得到新抛物线解析式． 【详解】解：由题意得，新抛物线解析式为． 13. 已知是一元二次方程的一个根，则的值是__________． 【答案】 【解析】 【分析】利用一元二次方程根的定义得到满足的等式，变形后整体代入所求代数式计算即可. 【详解】解：∵是一元二次方程的一个根， ∴， . 14. 新定义运算：，例如，则方程的根是_______． 【答案】， 【解析】 【分析】本题考查新定义，解一元二次方程，理解新定义的运算，得出方程是解题的关键． 先利用新定义得到，再把方程化为一般式，用因式分解法求解即可． 【详解】解：∵， ， 即， ∴， ∴或， 解得：，． 故答案为：，． 15. 已知方程的两根分别是，，则的值是____． 【答案】 【解析】 【分析】此题考查了一元二次方程根与系数的关系，根据一元二次方程根与系数的关系求解则可，解题的关键熟记，设，是关于的一元二次方程（，，，为常数）的两个实数根，则，． 【详解】∵方程的两根分别是，， ∴，， ∴， 故答案为：． 16. 如图，第1个图形中有3个点，第2个图形中有8个点，第3个图形中有15个点，第4个图形中有24个点，…，按照此规律，第__________个图形中有120个点． 【答案】 【解析】 【分析】观察已知图形中点的个数为：，，，，发现第个图形的点数为，令求解即可． 【详解】解：观察图形中点的数量规律： 第1个图形点的个数为：， 第2个图形点的个数为：， 第3个图形点的个数为：， 第4个图形点的个数为：， 第个图形的点的个数为， 根据题意得，令 整理得： 解得：， ∵为正整数， ∴即第个图形中有个点． 三、解答题（共96分） 17. 用适当的方法解一元二次方程： （1） （2） （3） （4）． 【答案】（1）， （2）， （3）， （4）， 【解析】 【分析】（1）利用配方法解一元二次方程即可； （2）利用配方法解一元二次方程即可； （3）利用因式分解法解一元二次方程即可； （4）利用因式分解法解一元二次方程即可． 【小问1详解】 解：∵， ∴， ∴， ∴，； 【小问2详解】 解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴，； 【小问3详解】 解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴或， ∴，； 【小问4详解】 解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴或， ∴，． 18. 已知是一元二次方程的一个根，求的值及方程另一个根． 【答案】的值是，另一个根是 【解析】 【分析】本题考查了根与系数的关系，将一根代入原方程，转化为关于m的方程，解出m的值,再根据根与系数的关系求出另一根．由于是方程的一个根，直接把它代入方程即可求出的值，然后根据根与系数的关系可以求出方程的另一根． 【详解】解：∵是方程的根， ∴， ∴， 设另一个根为，则， ∴， ∴的值是，另一个根是． 19. 已知关于x的方程．求证：无论m取何实数，此方程都有两个不相等的实数根． 【答案】 证明：∵关于x的方程为 ∴， ∴， ∵； ， ∴无论m取何实数，此方程都有两个不相等的实数根． 【解析】 【分析】本题考查根的判别式，熟记根的判别式与一元二次方程根的关系是解题的关键，计算出根的判别式，进一步利用配方法和非负数的性质证得结论即可． 【详解】略 20. 若是关于x的二次函数． （1）求m的值及函数表达式． （2）写出二次项系数、一次项系数及常数项． 【答案】（1），函数的表达式是 （2）二次项系数是，一次项系数是5，常数项是0 【解析】 【分析】本题主要考查二次函数的定义，掌握二次函数的定义，二次函数一般式是关键． （1）根据二次函数的定义列式求解即可； （2）根据二次函数一般式判定即可． 【小问1详解】 解：根据二次函数的定义得， 由①得，，由②得， ∴，函数的表达式是． 【小问2详解】 解：二次项系数是，一次项系数是5，常数项是0． 21. 已知函数的图象与函数的图象交于点． （1）试求和的值． （2）写出函数的解析式，并求其图象的顶点坐标和对称轴． （3）当取何值时，二次函数中的随的增大而增大？ 【答案】（1）， （2），顶点坐标为，对称轴为轴； （3） 【解析】 【分析】（）利用待定系数法解答即可； （）根据（）可写出函数的解析式，再根据二次函数的图象特征求出其顶点坐标和对称轴即可； （）根据二次函数的性质解答即可． 【小问1详解】 解：∵函数的图象与函数的图象交于点， ∴， 把代入，得， ∴ 【小问2详解】 解：由（）知， ∴二次函数的解析式为， 二次函数的顶点坐标为，对称轴为轴； 【小问3详解】 解：∵， ∴抛物线开口向下， 又∵抛物线的对称轴为轴， ∴当时，随的增大而增大． 22. 用一条长的绳子能否围成一个面积为的矩形区域？如果能围成，求该矩形的长和宽． 【答案】能围成面积为的矩形区域，该矩形的长为，宽为． 【解析】 【分析】先根据绳子总长，设矩形一边长，表示出邻边，利用矩形面积列出一元二次方程，再解方程求出边长，检验结果是否符合实际． 【详解】解：设矩形的一边长为（长宽），则邻边长为． ， 解得，， 矩形的长大于宽， 长为，宽为． 答：能围成面积为的矩形区域，该矩形的长为，宽为． 23. 流感的传染速度很快．已知开始有1个人感染了流感病毒，经过两轮传染后共有64个人感染了流感病毒． （1）每轮传染中平均1个人传染了多少个人？ （2）如果不及时控制，经过三轮传染后共有多少个人感染？ 【答案】（1）每轮传染中平均1个人传染了7个人． （2）经过三轮传染后共有512个人感染． 【解析】 【分析】（1）设每轮每人传染人数为x个人，根据两轮后总感染人数列一元二次方程求解即可； （2）利用每轮总感染人数的增长倍数，计算三轮后的总感染人数即可； 【小问1详解】 解： 设每轮传染中平均1个人传染x个人，第一轮后总感染人数为个人，第二轮后总感染人数为个人， ∵ 经过两轮传染后共有64人感染， ∴，解得，（不合题意舍去）． 答：每轮传染中平均1个人传染了7个人． 【小问2详解】 解：由（1）可知每轮每人传染7人， 经过三轮传染后总感染人数为（人）． 答：经过三轮传染后共有512个人感染． 24. 我们都知道连接凸多边形不相邻的两个顶点的线段叫作多边形的对角线． （1）已知一个凸多边形的对角线有条，求该多边形的边数． （2）同学说：“我求得一个凸多边形的对角线一共有条．”你认为同学的说法正确吗？为什么？ 【答案】（1） （2）同学的说法错误，理由如下： 设凸多边形的边数为正整数，则凸边形的对角线条数为． 令，整理得，解得. 两个解均不是正整数， 不存在这样的凸多边形，同学的说法错误． 【解析】 【分析】（1）利用凸多边形对角线总数公式列一元二次方程，求解并取正整数解得到边数； （2）根据凸多边形对角线总数公式列一元二次方程，通过判断方程是否有正整数解验证说法正误． 【小问1详解】 解：设这个凸多边形的边数为． 由题意得， 整理得， 解得，． 多边形边数为正整数， 不符合题意，舍去， 这个凸多边形的边数为． 【小问2详解】 略 25. 已知直线与抛物线相交于点． （1）求、的值； （2）若直线上点的纵坐标为，抛物线的顶点为，求的面积． 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】（）利用待定系数法解答即可； （）求出点的坐标，根据三角形的面积公式计算即可． 【小问1详解】 解：∵直线与抛物线相交于点 ∴， 把代入，得， 解得； 【小问2详解】 解：把代入，得， ∴， ∴， ∵抛物线的顶点为， ∴， ∴， ∴． 26. 定义：如果关于的一元二次方程满足：，那么我们称这个方程为“黄金方程”． （1）判断一元二次方程是否为“黄金方程”，并说明理由； （2）已知是关于的“黄金方程”，若2是此方程的一个根，直接写出这个“黄金方程”是________； （3）已知是关于的“黄金方程”，若m是此方程的一个根，求的值． 【答案】（1） 在方程中，，，， ∴， 故方程是“黄金方程”． （2） （3）m的值为1或 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的新定义问题，对该新定义的理解以及一元二次方程的相关知识点的掌握是解题的关键． （1）根据“黄金方程”的定义，验证是否等于0； （2）根据“黄金方程”的定义，得出；再根据一元二次方程根的定义，即时方程成立，得出；联合上述两个方程，即可求出a、c的值，最后得出该“黄金方程”的表达式； （3）解题思路与（2）基本一致，根据“黄金方程”的定义和一元二次方程根的定义，得出与m、n相关的两个方程，为便于计算，用m表示n，可得出与m有关的一元二次方程，解出m的值即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵方程是“黄金方程”， ∴， ∵2是此方程的一个根， ∴将代入方程 ，得， 得方程组，解得， ∴该方程为． 故答案为：． 【小问3详解】 解：∵方程是“黄金方程”， ∴， 又∵m是此方程的一个根， ∴，即， 将代入， 得一元二次方程，解得或． 故m的值为1或． 27. 如图，在长方形ABCD中，边AB、BC的长（AB＜BC）是方程x2-7x+12=0的两个根．点P从点A出发，以每秒1个单位的速度沿△ABC边 A→B→C→A的方向运动，运动时间为t（秒）． （1）求AB与BC的长； （2）当点P运动到边BC上时，试求出使AP长为时运动时间t的值； （3）当点P运动到边AC上时，是否存在点P，使△CDP是等腰三角形？若存在，请求出运动时间t的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) AB＝3，BC＝4；(2) t＝4；(3) t为10秒或9.5秒或秒时，△CDP是等腰三角形． 【解析】 【分析】（1）解一元二次方程即可求得边长； （2）结合图形，利用勾股定理求解即可； （3）根据题意，分为：PC＝PD，PD＝PC，PD＝CD，三种情况分别可求解. 【详解】解：(1)∵x2－7x＋12＝0， ∴(x－3)(x－4)＝0， ∴＝3或＝4， 则AB＝3，BC＝4， (2)由题意得， ∴，(舍去)， 则t＝4时，AP＝． (3)存在点P，使△CDP是等腰三角形． ①当PC＝PD＝3时， t＝ ＝10(秒) ． ②当PD＝PC(即P为对角线AC中点)时，AB＝3，BC＝4． ∴AC＝ ＝5，CP1＝ AC＝2.5， ∴t＝ ＝9.5(秒)． ③当PD＝CD＝3时，作DQ⊥AC于Q， ，， ∴PC＝2PQ＝， ∴(秒)， 可知当t为10秒或9.5秒或秒时，△CDP是等腰三角形． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 陕师大平凉实验中学2026-2027学年度第一学期阶段性训练 九年级数学试卷 满分：150分 考试时间：120分钟 一、单项选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．） 1. 下列方程是关于的一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 2. 一元二次方程的根是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 3. 用配方法解方程时，原方程应变形为（ ） A. B. C. D. 4. 一元二次方程没有实数根，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 5. 已知等腰三角形的腰和底的长分别是一元二次方程的根，则该三角形的周长为（ ） A. 9 B. 10 C. 9或12 D. 12 6. 广东省统计局的相关数据显示，近年来高技术制造业呈现快速增长态势．某公司工业机器人在今年5月产值达到2500万元，预计7月产值将增至9100万元．设该公司6，7两个月产值的月均增长率为，可列出的方程为（ ） A. B. C. D. 7. 已知二次函数的图象上有两点，，则，的大小关系为（ ） A. B. C. D. 8. 与抛物线的顶点相同，形状也相同，而开口方向相反的抛物线对应的解析式是（ ） A. B. C. D. 9. 对于抛物线，下列说法正确的是（ ） A. 图象开口向下 B. 图象经过原点 C. 顶点坐标为 D. 对称轴为直线 10. 在同一平面直角坐标系中，一次函数与二次函数的图象可能是（ ） A. B. C. D. 二、填空题（共6小题，每题4分，共24分） 11. 将一元二次方程化成一般形式为__________． 12. 将抛物线向右平移2个单位长度，得到的抛物线解析式为__________． 13. 已知是一元二次方程的一个根，则的值是__________． 14. 新定义运算：，例如，则方程的根是_______． 15. 已知方程的两根分别是，，则的值是____． 16. 如图，第1个图形中有3个点，第2个图形中有8个点，第3个图形中有15个点，第4个图形中有24个点，…，按照此规律，第__________个图形中有120个点． 三、解答题（共96分） 17. 用适当的方法解一元二次方程： （1） （2） （3） （4）． 18. 已知是一元二次方程的一个根，求的值及方程另一个根． 19. 已知关于x的方程．求证：无论m取何实数，此方程都有两个不相等的实数根． 20. 若是关于x的二次函数． （1）求m的值及函数表达式． （2）写出二次项系数、一次项系数及常数项． 21. 已知函数的图象与函数的图象交于点． （1）试求和的值． （2）写出函数的解析式，并求其图象的顶点坐标和对称轴． （3）当取何值时，二次函数中的随的增大而增大？ 22. 用一条长的绳子能否围成一个面积为的矩形区域？如果能围成，求该矩形的长和宽． 23. 流感的传染速度很快．已知开始有1个人感染了流感病毒，经过两轮传染后共有64个人感染了流感病毒． （1）每轮传染中平均1个人传染了多少个人？ （2）如果不及时控制，经过三轮传染后共有多少个人感染？ 24. 我们都知道连接凸多边形不相邻的两个顶点的线段叫作多边形的对角线． （1）已知一个凸多边形的对角线有条，求该多边形的边数． （2）同学说：“我求得一个凸多边形的对角线一共有条．”你认为同学的说法正确吗？为什么？ 25. 已知直线与抛物线相交于点． （1）求、的值； （2）若直线上点的纵坐标为，抛物线的顶点为，求的面积． 26. 定义：如果关于的一元二次方程满足：，那么我们称这个方程为“黄金方程”． （1）判断一元二次方程是否为“黄金方程”，并说明理由； （2）已知是关于的“黄金方程”，若2是此方程的一个根，直接写出这个“黄金方程”是________； （3）已知是关于的“黄金方程”，若m是此方程的一个根，求的值． 27. 如图，在长方形ABCD中，边AB、BC的长（AB＜BC）是方程x2-7x+12=0的两个根．点P从点A出发，以每秒1个单位的速度沿△ABC边 A→B→C→A的方向运动，运动时间为t（秒）． （1）求AB与BC的长； （2）当点P运动到边BC上时，试求出使AP长为时运动时间t的值； （3）当点P运动到边AC上时，是否存在点P，使△CDP是等腰三角形？若存在，请求出运动时间t的值；若不存在，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $