精品解析：河南省平顶山市鲁山县第六教研区2025-2026学年八年级上学期12月月考数学试题

河南省平顶山市鲁山县第六教研区2025-2026学年八年级上学期12月月考数学试题 （满分：120分 考试时间：100分钟） 注意事项： 1．本试卷共6页，三个大题，满分120分，考试时间100分钟． 2．闭卷考试，考生必须独立完成答题，严禁与他人讨论． 一、选择题（每小题3分，共30分．下列各小题均有四个选项，其中只有一个是正确的） 1. 在实数（每隔一个 1 增加一个 0 ）中，有理数有（ ） A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个 2. 下列方程中，属于二元一次方程的是（ ） A. B. C. D. 3. 点都在直线（、均为常数）上，则与的大小关系是（ ） A. B. C. D. 4. 下列计算正确的是 （ ） A. B. C. D. 5. 中国象棋文化历史悠久，如图是某次对弈的残局，如果建立平面直角坐标系，使棋子“帅”位于点的位置，则在同一直角坐标系中，“马”所在位置是（ ） A. B. C. D. 6. 小明用张正方形纸片摆成了如图所示的图形，图中空白处的三角形均为直角三角形，若正方形，，的面积依次为，，，则正方形的面积为（ ） A. B. C. D. 7. 若关于x、y的方程组和有相同的解，则的值为（    ） A. 0 B. C. 1 D. 2021 8. 如图，在同一平面直角坐标系中，一次函数和的图像可能是（ ） A. B. C. D. 9. 《九章算术》是中国古代数学专著，共有九卷，收录246个问题．在卷八“方程”中记载：“今有五雀六燕，集称之衡，雀俱重，燕俱轻．一雀一燕交而处，衡适平．并雀、燕重一斤．问雀、燕一枚各重几何？”译文：“现在有5只雀、6只燕，分别集中放在天平上称重，聚在一起的雀重燕轻．将一只雀一只燕交换位置而放，天平恰好平衡．5只雀、6只燕重量共一斤．问雀和燕各重多少？”中国古代的1斤为16两，设1只雀重x两，一只燕重y两，则符合题意的方程组是（ ） A. B. C. D. 10. 在物体运动的速度v关于时间t的函数图象中，阴影部分的面积等于物体从到这个时间段的运动路程．某车以的速度驶向隧道，到达限速标志位置（隧道前500m）时开始减速，从开始减速到车头进入隧道用了20s，其速度v关于时间t的函数图象如图所示，和是两次雷达测速的时刻，已知第一次雷达测速仪闪光时，车速已经降到了，第二次雷达测速仪闪光时，车速已经降到了，则下列说法不正确的是（ ） A. 该车进入隧道时的速度为 B. C. D. 到时间段内该车的平均速度为 二、填空题（每小题3分，共15分） 11. 的立方根与的算术平方根的和是_____． 12. 窗花是我国民间传统剪纸艺术，如图，蝴蝶窗花可以看作轴对称图形，将其放置在平面直角坐标系中，对称轴是y轴，A，B是一对对应点，若点A的坐标为，则点B的坐标为______． 13. 已知，如图，长方形中，，将此长方形折叠，使点D与点B重合，折痕为，则的面积为_________． 14. 花灯是一种传统民俗工艺品．如图①是一种方形花灯，如图②，现有a张长方形宣纸和b张正方形宣纸，作为花灯的侧面和下底面，制作如图③的竖式和横式两种无盖花灯．若做出竖式花灯x个，横式花灯y个，恰好用完所有宣纸，则的值为________．（用含x，y的式子表示） 15. 如图，在平面直角坐标系中，直线，与轴分别相交于两点，将沿过点的直线折叠，使点落在x轴负半轴上的点处，，折痕所在直线交y轴正半轴于点C．把直线AB向左平移，使之经过点，则平移后直线的函数关系式是_____． 三、解答题（共8小题，共75分） 16. 计算： （1）； （2）． 17. 解方程组： （1） （2） 18. 如图，三个顶点的坐标分别为，，． （1）请画出关于y轴对称的图形，并写出，，的坐标； （2）求的面积． 19. “农场小达人”社团计划在春天到来之前整修教学楼顶层的平台，用于建设菜园和花圃．如图，处是顶层平台自来水管的位置，，两处分别计划修建菜园和花圃，，两处相距，，两处相距，，两处相距．为了便于用水，小华在图纸上帮助设计了两种水管铺设方案． 甲方案：沿线段，铺设段水管． 乙方案：过点作的垂线，垂足为．沿线段，，铺设段水管 （1）判断的形状，并说明理由； （2）小华设计的哪一种方案需要铺设的水管更短？为什么？ 20. 在平面直角坐标系中，我们定义点的“关联点”为．且规定：当时，点的坐标为；当时，点的坐标为． （1）点的“关联点”坐标为_____； （2）若点的“关联点”在函数的图象上，求点的坐标． 21. 国产动画《哪吒》系列电影的卓越品质给无数观众留下了深刻的印象．某文创店老板打算从批发商处购进“哪吒”“敖丙”和“太乙真人”三种手办，第一批只购进了“哪吒”和“敖丙”两种手办进行试销．其进货单如图所示，其中部分数据被墨水覆盖，已知每套“敖丙”手办的进价比每套“哪吒”手办贵5元． （1）求出每套“哪吒”手办和每套“敖丙”手办的进价； （2）受电影热度影响，第一批购进的两种手办全部售完，老板将第一批手办的销售额全部用于购进第二批手办，已知三种手办都需要购进，且购进“哪吒”和“敖丙”手办的数量相等．但每套“哪吒”手办的进价比原来提高20%，每套“敖丙”手办的进价比原来降低，每套“太乙真人”手办的进价不变，若购进套“太乙真人”手办，套“哪吒”手办． ①试推算与应满足的数量关系； ②若三种手办的售价不变，当“太乙真人”手办的数量不少于130套时，直接写出销售完第二批手办可获得利润的最大值． 22. 在《二元一次方程的“图象”》数学活动中，同学们对二元一次方程的解与这个二元一次方程的图形进行如下探究： 步骤1：计算并填写表格，使上下每对，的值都是方程的解． … 0 1 2 … … 0 1 2 … 步骤2：如图，在平面直角坐标系中，将以上表格中各对数值作为点的坐标，例如，即点坐标，在平面直角坐标系中依次描出所对应的点； 步骤3：按照的取值从小到大的顺序，将这些点连起来，发现是一条直线，同时还发现在这条直线上任取一个点，这个点的坐标也是方程的一个解．如果我们把这条直线叫做二元一次方程的图象，请解答下列问题： （1）模仿一元一次方程图象的画法．在同一个平面直角坐标系中画出二元一次方程的图象，并根据图象，直接写出方程组的解； （2）如果把二元一次方程的图象向上平移个单位长度，得到新的二元一次方程，求方程组的解； （3）如果二元一次方程的图象与二元一次方程图象的没有交点，求常数的值． 23. 如图，在平面直角坐标系中，直线与直线交于点，直线与轴正半轴交于点B，与y轴交于点，直线与轴负半轴交于点D，与y轴交于点E，且． （1）分别求出直线与的表达式． （2）已知P是直线上位于轴上方的一个动点，设点P的横坐标为a． ①用含a的式子表示的面积； ②是否存在点P恰好使得?若存在，求出点P的坐标：若不存在，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 河南省平顶山市鲁山县第六教研区2025-2026学年八年级上学期12月月考数学试题 （满分：120分 考试时间：100分钟） 注意事项： 1．本试卷共6页，三个大题，满分120分，考试时间100分钟． 2．闭卷考试，考生必须独立完成答题，严禁与他人讨论． 一、选择题（每小题3分，共30分．下列各小题均有四个选项，其中只有一个是正确的） 1. 在实数（每隔一个 1 增加一个 0 ）中，有理数有（ ） A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了有理数的定义，二次根式的化简，求一个数的立方根． 根据有理数的定义判断即可． 【详解】解：， 有理数有共3个． 故选：B． 2. 下列方程中，属于二元一次方程的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】此题考查二元一次方程的定义：含有两个未知数，且含未知数项的次数都是1的整式方程叫做二元一次方程． 根据定义依次判断即可． 【详解】解：A、方程中含有分式，不是整式方程，故此选项错误； B、方程中含有3个未知数，不符合题意，故此选项错误； C、含有2个未知数，整理后含未知数的次数的项的最高次数是2，不符合题意，故此选项错误； D、符合二元一次方程定义，故此选项正确． 故选D． 3. 点都在直线（、均为常数）上，则与的大小关系是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了一次函数的性质．熟练掌握“当时，一次函数的随着的增大而增大”是解题关键． 根据，得到随着的增大而增大，即可判断求解． 【详解】解：， 随着的增大而增大， ， ． 故选：C． 4. 下列计算正确的是 （ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的混合运算． 根据二次根式的运算法则计算即可． 【详解】A．不是同类二次根式，不能相加，原计算错误； B．，原计算正确； C． ，原计算错误； D．，原计算错误； 故选：B． 5. 中国象棋文化历史悠久，如图是某次对弈的残局，如果建立平面直角坐标系，使棋子“帅”位于点的位置，则在同一直角坐标系中，“马”所在位置是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了点的坐标，根据“帅”的位置建立平面直角坐标系，即可得到“马”所在位置． 【详解】解：如图建立直角坐标系， 则“马”所在位置是， 故选：C． 6. 小明用张正方形纸片摆成了如图所示的图形，图中空白处的三角形均为直角三角形，若正方形，，的面积依次为，，，则正方形的面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理，熟练掌握勾股定理是解题的关键．根据勾股定理得：，然后进行计算即可求解． 【详解】解：由勾股定理得：， 又正方形，，的面积依次为，，， ， ， 故选：D． 7. 若关于x、y的方程组和有相同的解，则的值为（    ） A. 0 B. C. 1 D. 2021 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查二元一次方程组的同解问题． 利用不含参的两个方程联立方程组求解，再代入含参方程列二元一次方程组后两式相加即可． 【详解】解：由题可列方程组， 解得， 把代入得， ①+②得， ， ． 故选：B． 8. 如图，在同一平面直角坐标系中，一次函数和的图像可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据正比例函数图像所在的象限判定k的符号，根据k的符号来判定一次函数图像所经过的象限，然后再判断即可． 【详解】解：当，正比例函数图像经过第一、三象限，则一次函数图像经过第一、三、四象限，故A选项错误，选项错误； 当，正比例函数图像经过第二、四象限，则一次函数图像经过第一、二、三象限，选项正确、C选项错误． 9. 《九章算术》是中国古代数学专著，共有九卷，收录246个问题．在卷八“方程”中记载：“今有五雀六燕，集称之衡，雀俱重，燕俱轻．一雀一燕交而处，衡适平．并雀、燕重一斤．问雀、燕一枚各重几何？”译文：“现在有5只雀、6只燕，分别集中放在天平上称重，聚在一起的雀重燕轻．将一只雀一只燕交换位置而放，天平恰好平衡．5只雀、6只燕重量共一斤．问雀和燕各重多少？”中国古代的1斤为16两，设1只雀重x两，一只燕重y两，则符合题意的方程组是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查二元一次方程组的实际应用．根据将一只雀一只燕交换位置而放，天平恰好平衡，5只雀、6只燕重量共一斤，列出方程组即可．找准等量关系，是解题的关键． 【详解】解：设1只雀重x两，一只燕重y两， 由题意，得：． 故选B． 10. 在物体运动的速度v关于时间t的函数图象中，阴影部分的面积等于物体从到这个时间段的运动路程．某车以的速度驶向隧道，到达限速标志位置（隧道前500m）时开始减速，从开始减速到车头进入隧道用了20s，其速度v关于时间t的函数图象如图所示，和是两次雷达测速的时刻，已知第一次雷达测速仪闪光时，车速已经降到了，第二次雷达测速仪闪光时，车速已经降到了，则下列说法不正确的是（ ） A. 该车进入隧道时的速度为 B. C. D. 到时间段内该车的平均速度为 【答案】B 【解析】 【分析】根据到达限速标志位置（隧道前500m）时开始减速，判断出图中梯形的面积为500，进而根据梯形的面积判断出当时对应的速度，即可判断出选项是否正确；然后求出与之间的函数关系式，取和22求得对应的时间，即可判断和是否正确；根据所给提示算出平均速度即可判断选项是否正确． 【详解】解：∵函数图象与横轴以及直线所围成的图形（阴影部分）面积等于物体从到这个时间段的运动路程，某车以的速度驶向隧道，到达限速标志位置（隧道前500m）时开始减速， 图中函数图象与横轴、纵轴、直线围成的梯形的面积为500． 设时对应的车速为， ． 解得：． ∴该车进入隧道时的速度为. 故A选项正确，不符合题意； 设v与t的函数关系式为：． 解得： ． ． 当时，． 解得：． 即． 故B错误，符合题意； 当时，． 解得： 即． 故C正确，不符合题意； 到时间段内该车的平均速度为：. 故D正确，不符合题意． 故选：B． 【点睛】本题考查动点问题的函数图象．解决本题的关键是理解并应用函数图象与横轴以及直线所围成的图形（阴影部分）面积等于物体从到时间段的运动路程． 二、填空题（每小题3分，共15分） 11. 的立方根与的算术平方根的和是_____． 【答案】0 【解析】 【分析】本题主要考查了立方根、算术平方根，熟练掌握立方根、算术平方根的概念是解决本题的关键．根据算术平方根、立方根的概念解决此题． 【详解】解：因为，所以的立方根是． ， 所以的算术平方根是 3 ， 所以． 故答案为：0． 12. 窗花是我国民间传统剪纸艺术，如图，蝴蝶窗花可以看作轴对称图形，将其放置在平面直角坐标系中，对称轴是y轴，A，B是一对对应点，若点A的坐标为，则点B的坐标为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查坐标与轴对称，根据关于y轴对称的点的特征：横坐标互为相反数，纵坐标相同，作答即可． 【详解】解：点A的坐标为， ∴点B的坐标为； 故答案为：． 13. 已知，如图，长方形中，，将此长方形折叠，使点D与点B重合，折痕为，则的面积为_________． 【答案】6 【解析】 【分析】本题主要考查了勾股定理与折叠问题，设，，利用勾股定理建立方程，解方程求出，再由三角形面积公式求解． 【详解】解：由折叠的性质可得 设，， ∵长方形， ∴，， 在中，由勾股定理得， ∴， 解得， ∴， ∴， ∴， 故答案为：6． 14. 花灯是一种传统民俗工艺品．如图①是一种方形花灯，如图②，现有a张长方形宣纸和b张正方形宣纸，作为花灯的侧面和下底面，制作如图③的竖式和横式两种无盖花灯．若做出竖式花灯x个，横式花灯y个，恰好用完所有宣纸，则的值为________．（用含x，y的式子表示） 【答案】 【解析】 【分析】本题考查的是二元一次方程组的应用，制作个竖式花灯需要张长方形宣纸，张正方形宣纸；制作个横式花灯需要张长方形宣纸，张正方形宣纸，进一步列方程组求解即可． 【详解】解：根据题意可知，制作个竖式花灯需要张长方形宣纸，张正方形宣纸；制作个横式花灯需要张长方形宣纸，张正方形宣纸． ∴方程组为， ∴． 故答案为： 15. 如图，在平面直角坐标系中，直线，与轴分别相交于两点，将沿过点的直线折叠，使点落在x轴负半轴上的点处，，折痕所在直线交y轴正半轴于点C．把直线AB向左平移，使之经过点，则平移后直线的函数关系式是_____． 【答案】 【解析】 【分析】先求得的坐标，然后由勾股定理求出，再由折叠的性质得出，求得，在中，根据勾股定理，列出方程，解方程即可求得点的坐标，即可求得平移后的解析式． 【详解】解：∵直线，与轴分别相交于两点， 令，解得，令，解得， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 设， ∴， 在中， ， 即， 解得， ∴， ∴平移后的直线的解析式为． 故答案为： 【点睛】本题考查了勾股定理与折叠的性质，一次函数的平移，一次函数与坐标轴的交点，求得点的坐标是解题的关键． 三、解答题（共8小题，共75分） 16. 计算： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查二次根式的运算，熟练掌握运算法则是解题的关键． （1）先计算零次幂、去绝对值计算、算术平方根计算，再计算加减法即可； （2）利用平方差公式和完全平方公式进行计算即可． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： ． 17. 解方程组： （1） （2） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查解二元一次方程组，熟练掌握二元一次方程组的解法是解题的关键． （1）利用代入法进行求解即可； （2）先将方程化为整式方程，再利用加减消元法进行求解即可． 【小问1详解】 解： 将②代入①，得， 解得， 将代入②，得， 解得， ∴原方程组的解为； 【小问2详解】 解： 原方程组可变形为 ，得， 解得， 将代入①，得，解得， ∴原方程组的解为． 18. 如图，三个顶点的坐标分别为，，． （1）请画出关于y轴对称的图形，并写出，，的坐标； （2）求的面积． 【答案】（1） 解：如图所示， 由图知，，， （2） 【解析】 【分析】此题考查了图形与坐标，轴对称图形的作图等知识，准确作图是关键． （1）作出点关于y轴对称的对应点，，，顺次连接即可得到，并写出点的坐标即可； （2）利用包含三角形的正方形面积减去周围三个直角三角形的面积即可得到答案． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：． 19. “农场小达人”社团计划在春天到来之前整修教学楼顶层的平台，用于建设菜园和花圃．如图，处是顶层平台自来水管的位置，，两处分别计划修建菜园和花圃，，两处相距，，两处相距，，两处相距．为了便于用水，小华在图纸上帮助设计了两种水管铺设方案． 甲方案：沿线段，铺设段水管． 乙方案：过点作的垂线，垂足为．沿线段，，铺设段水管 （1）判断的形状，并说明理由； （2）小华设计的哪一种方案需要铺设的水管更短？为什么？ 【答案】（1） 解：是直角三角形， 理由：，，， ，， ， 是直角三角形； （2） 解:甲方案铺设的水管更短， 理由：， ， ， ， 甲方案铺设的水管更短． 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理的逆定理，三角形的面积公式，熟练掌握勾股定理的逆定理是解题的关键． （1）根据勾股定理的逆定理即可得到结论； （2）根据三角形的面积公式，即可求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 20. 在平面直角坐标系中，我们定义点的“关联点”为．且规定：当时，点的坐标为；当时，点的坐标为． （1）点的“关联点”坐标为_____； （2）若点的“关联点”在函数的图象上，求点的坐标． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了新定义，一次函数的图象及性质，熟练掌握一次函数的图象及性质，理解“关联点”的定义，并能灵活运用定义是解题的关键． （1）由定义直接求解即可； （2）分两种情况讨论：时，A点的“关联点”为，再由，可得不符合题意；当时，A点的“关联点”为，再由，得到； 【小问1详解】 解：点， 点的“关联点”坐标为，即， 故答案为：； 【小问2详解】 当时，点的“关联点”为， 点在函数的图象上， ， ， 此时，不符合题意； 当时，点的“关联点”为， 点在函数的图象上， ， ；点 综上所述：点 21. 国产动画《哪吒》系列电影的卓越品质给无数观众留下了深刻的印象．某文创店老板打算从批发商处购进“哪吒”“敖丙”和“太乙真人”三种手办，第一批只购进了“哪吒”和“敖丙”两种手办进行试销．其进货单如图所示，其中部分数据被墨水覆盖，已知每套“敖丙”手办的进价比每套“哪吒”手办贵5元． （1）求出每套“哪吒”手办和每套“敖丙”手办的进价； （2）受电影热度影响，第一批购进的两种手办全部售完，老板将第一批手办的销售额全部用于购进第二批手办，已知三种手办都需要购进，且购进“哪吒”和“敖丙”手办的数量相等．但每套“哪吒”手办的进价比原来提高20%，每套“敖丙”手办的进价比原来降低，每套“太乙真人”手办的进价不变，若购进套“太乙真人”手办，套“哪吒”手办． ①试推算与应满足的数量关系； ②若三种手办的售价不变，当“太乙真人”手办的数量不少于130套时，直接写出销售完第二批手办可获得利润的最大值． 【答案】（1）每套“哪吒”手办的进价为15元，每套“敖丙”手办的进价为20元 （2）①；②10860元 【解析】 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，二元一次方程的应用以及一次函数的应用，解决本题的关键是找准等量关系，正确列出二元一次方程组；根据各数量之间的关系，找出a和b应满足的数量关系，再根据各数量关系找出w关于a的函数关系式． （1）设每套“哪吒”手办的进价为x元，每套“敖丙”手办的进价为y元，利用进货总价进货单价进购数量，结合每套“敖丙”手办的 进价比每套“哪吒”手办的进价贵5元，可列出二元一次方程组，解之即可得出结论； （2）①利用进货总价进货单价进购数量，可列出关于a，b的二元一次方程，整理后，可得出a与b应满足的关系； ②设销售完第二批手办可获得的利润为w元，利用总利润每套利润购进数量，可找出w关于a的函数关系式，再利用一次函数的性质，即可解决最值问题． 【小问1详解】 解：设每套“哪吒”手办的进价为x元，每套“敖丙”手办的进价为y元， 根据题意得：， 解得， 答：每套“哪吒”手办的进价为15元，每套“敖丙”手办的进价为20元； 【小问2详解】 解：①第一批手办的销售额为元， 第二批每套“哪吒”手办的进价为元， 第二批每套“敖丙”手办的进价为元， 根据题意得：， 整理可得：； ②设销售完第二批手办可获得的利润为w元， 则， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴w随a的增大而减小， ∵a与b均为正整数，，且， ∴a的最小值为132， ∴当时，w取得最大值，最大值为元， ∴销售完第二批手办可获得利润的最大值为10860元． 22. 在《二元一次方程的“图象”》数学活动中，同学们对二元一次方程的解与这个二元一次方程的图形进行如下探究： 步骤1：计算并填写表格，使上下每对，的值都是方程的解． … 0 1 2 … … 0 1 2 … 步骤2：如图，在平面直角坐标系中，将以上表格中各对数值作为点的坐标，例如，即点坐标，在平面直角坐标系中依次描出所对应的点； 步骤3：按照的取值从小到大的顺序，将这些点连起来，发现是一条直线，同时还发现在这条直线上任取一个点，这个点的坐标也是方程的一个解．如果我们把这条直线叫做二元一次方程的图象，请解答下列问题： （1）模仿一元一次方程图象的画法．在同一个平面直角坐标系中画出二元一次方程的图象，并根据图象，直接写出方程组的解； （2）如果把二元一次方程的图象向上平移个单位长度，得到新的二元一次方程，求方程组的解； （3）如果二元一次方程的图象与二元一次方程图象的没有交点，求常数的值． 【答案】（1） 列表如下： … … … … 如图所示，函数图象即为所求： 方程组的解为 （2） （3） 【解析】 【分析】本题主要考查了解二元一次方程组，描点法画图象，图象的交点坐标与方程组的解的关系，熟练掌握数形结合的思想求解是解题关键． （1）仿照题意列表，再画出对应的函数图象，根据函数图象得两直线的交点坐标即可求解； （2）通过加减消元法解二元一次方程组即可； （3）由得，代入，得，由题意的两方程组图象无交点，即方程无解，即可求解． 【小问1详解】 解：略 由函数图象可知：直线与直线交于点， 方程组的解为． 【小问2详解】 解： ①②，得：，解得：， 将代入①，得：，解得：， 方程组的解为． 【小问3详解】 解：由得，代入， 得：， ， 二元一次方程的图象与二元一次方程图象的没有交点， 无论为何值，等式都不成立， ，解得：． 23. 如图，在平面直角坐标系中，直线与直线交于点，直线与轴正半轴交于点B，与y轴交于点，直线与轴负半轴交于点D，与y轴交于点E，且． （1）分别求出直线与的表达式． （2）已知P是直线上位于轴上方的一个动点，设点P的横坐标为a． ①用含a的式子表示的面积； ②是否存在点P恰好使得?若存在，求出点P的坐标：若不存在，请说明理由． 【答案】（1）直线的表达式为，直线的表达式为； （2）①；②点P的坐标为或． 【解析】 【分析】本题主要考查了一次函数的图象和性质，待定系数法求函数解析式． （1）先求出点B，D的坐标，再利用待定系数法解答，即可求解； （2）①由题意求得点P的纵坐标，再利用三角形面积公式求解即可； ②先求得，再利用三角形面积公式列式求解即可． 【小问1详解】 解：设直线的表达式为， 把代入得， 解得， ∴直线的表达式为， 令，则， 解得， ∴，， ∵， ∴， ∴， 设直线的表达式为， 把，代入得， 解得， ∴直线的表达式为； 【小问2详解】 解：①∵P是直线上位于轴上方的一个动点，设点P的横坐标为a且， ∴点P的纵坐标为， ∴的面积； ②令，则， ∴， ∴， ∵， ∴， 整理得， 解得， ∴点P的坐标为或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $