精品解析：上海外国语大学附属大境中学2026-2027学年第一学期10月调研高二年级数学试题

上外附属大境中学 2026 学年度第一学期 10 月调研 高二年级数学试题 (90 分钟内完成， 总分 120 分) 一. 填空题 (本大题共 12 题， 1-6 每题 4 分， 7-9 每题 5 分， 共 54 分) 1. 用符号表示“平面与相交于直线”________． 【答案】 【解析】 【分析】由点、线、面位置关系的符号表示即可得解. 【详解】“平面与相交于直线”的符号表示， 故答案为：. 2. 已知球的半径为3,则该球的体积为_____. 【答案】 【解析】 【详解】半径为3的球的体积为. 3. 已知，，则直线m、n的位置关系为_______________________（填平行、相交、异面） 【答案】平行或异面 【解析】 【分析】利用线面平行的定义直接判断即可. 【详解】由，得直线与平面无公共点，而， 因此直线没有公共点，所以直线m、n的位置关系为平行或异面. 故答案为：平行或异面 4. 以边长为2的正方形的一边所在直线为旋转轴,将该正方形旋转一周所得圆柱的侧面积为_____. 【答案】 【解析】 【详解】以边长为2的正方形的一边所在直线为旋转轴，将该正方形旋转一周所得圆柱母线长为2，底面半径为2，侧面积为. 5. 已知正三棱锥的底面边长为 ，高为，则该三棱锥的侧棱长为_____． 【答案】2 【解析】 【分析】作出几何体的直观图，作出三棱锥的高，求得相关线段的长，即可求得答案． 【详解】如图，正三棱锥中，底面是边长为的等边三角形， 设侧棱，设为底面的中心，取中点，连接， 则在上，为三棱锥的高，则， 在中，， 所以， 故， 所以正三棱锥的侧棱长为2． 6. 球的表面积为，用一个平面截球，使截面圆的半径为，则截面与球心的距离是______ 【答案】 【解析】 【分析】根据球的表面积可求得球的半径；由球的性质知所求距离. 【详解】由球的表面积得：球的半径 截面与球心的距离 故答案为 【点睛】本题考查球的截面问题，关键是能够根据球的性质明确球心到截面的距离、截面圆半径和球的半径满足. 7. 在的二面角的一个面上有一点，它到棱的距离等于，则点到另一个平面的距离为__． 【答案】1 【解析】 【分析】利用二面角的定义，点到平面距离的意义求解即得. 【详解】二面角大小为，点，于，且， 过作于，连接，显然，而平面， 则平面，又平面，因此，是二面角的平面角， 即，于是， 所以点到另一个平面的距离为1. 故答案为：1 8. 已知圆锥的底面周长为 ，侧面积为 ，则过该圆锥顶点的平面截此圆锥所得截面面积的最大值为_____ 【答案】 【解析】 【分析】由题可求出圆锥底面半径和母线长，先求当截面过中心轴时顶角为钝角，然后得出截面面积的最大值即可. 【详解】设圆锥底面半径为，母线长为. 由底面周长和侧面积可得，解得. 如图所示， 设当截面过中心轴时，，， 圆锥轴截面（过顶点和底面直径的截面）的顶角为. 由余弦定理，则顶角是钝角. 过圆锥顶点的截面都是以顶点为顶角、两条母线为腰的等腰三角形， 设其顶角为，取值范围是， 则截面面积.而在上单调递增， 因此当时，取到最大值， 此时截面面积最大. 9. 以正棱柱两个底面的内切圆面为底面的圆柱叫作正棱柱的内切圆柱. 若正三棱柱的高为 6 ，其内切圆柱的体积为 ，则该正三棱柱的底面边长为_____ 【答案】 【解析】 【分析】先求得底面正三角形的内切圆的半径，结合圆柱的体积公式，列出方程，即可求解. 【详解】由正三棱柱的底面为边长为的等边三角形，可得底面三角形内切圆的半径， 所以内切圆柱的体积为 因为内切圆柱的体积为，可得，解得，所以， 所以该正三棱柱的底面边长为. 10. 已知一个正四面体的顶点是一个正方体的顶点， 那么正四面体的表面积是正方体表面积的_____倍. 【答案】## 【解析】 【分析】正方体的棱长为，则正四面体的棱长为，分别求出正方体和正四面体的表面积，即可得解. 【详解】解：如图所示，正四面体的顶点是一个正方体的顶点， 设正方体的棱长为，则正四面体的棱长为， 则， , 所以， 所以正四面体的表面积是正方体表面积的倍. 11. 如图，已知正方体的棱长为2，长为2的线段MN的一个端点M在棱DD1上运动，点N在正方体的底面ABCD内运动，则MN的中点P的轨迹与正方体从顶点D出发的三个面所围成的几何体的表面积是________. 【答案】 【解析】 【分析】所求几何体的表面积相当于点的轨迹面面积和点的轨迹面与正方体从顶点D出发的三个面所围成部分的面积之和.连接、，根据直角三角形性质可知点的轨迹为球面，且在正方体内部的部分为个球面，利用球的表面积公式，即可求得的轨迹面积，点的轨迹面与正方体从顶点D出发的三个面所围成部分的面积等于以点为圆心，为半径的圆的面积的，即可求解. 【详解】连接，则为直角三角形，在中，，为的中点，连接，则 所以点在以D为球心,半径的球面上， 又因为点只能落在正方体上或其内部， 所以点的轨迹的面积等于该球面面积的， 即， 又点的轨迹面与正方体从顶点D出发的三个面所围成部分的面积为以点为圆心，为半径的圆的面积的， 即， 故所求几何体的表面积. 故答案为：. 12. 体积为的正四面体内有一个球，球与该正四面体的各面均有且只有一个公共点，，是球的表面上的两动点，点在该正四面体的表面上运动，当最大时，的最大值是___________． 【答案】 【解析】 【分析】记该正四面体为，由题意得出球是该正四面体的内切球，球心也是外接球的球心，在高上，由体积求得正四面体的棱长，并求出内切球半径，最大时，是球的直径，由数量积的运算得出取最大值时，只要最大即可得． 【详解】记该正四面体为，如图，由题意球是该正四面体的内切球， 显然在其高上，是底面正的中心，设， 则，， ，得到， 因为是正四面体，则是内切球球心也是其外接球球心， 设内切球半径为，即，又， 由，得，解得， 当最大时，是球的直径， ， 因为点在正四面体的表面上运动，当是正四面体的顶点时， 取得最大值，最大值为， 所以的最大值是． 故答案为：． 二. 选择题 (本大题共 4 题， 每题 4 分， 共 16 分) 13. 给定空间中的直线l及平面a，条件“直线l与平面a内无数条直线都垂直”是“直线l与平面a垂直”的（ ）条件 A. 充要 B. 充分非必要 C. 必要非充分 D. 既非充分又非必要 【答案】C 【解析】 【详解】直线与平面a内的无数条平行直线垂直，但该直线未必与平面a垂直，即充分性不成立. 直线l与平面a垂直，则直线l与平面a内任意直线都垂直，所以直线l与平面a内无数条直线都垂直，必要性成立，选C. 14. 下列命题错误的是（ ） A. 侧棱垂直于底面的棱柱一定是直棱柱 B. 底面是正多边形的棱柱一定是正棱柱 C. 棱柱的侧面都是平行四边形 D. 斜棱柱的侧面有可能是矩形 【答案】B 【解析】 【分析】根据棱柱的概念逐一判断即可. 【详解】对A，侧棱垂直于底面的棱柱一定是直棱柱，正确； 对B，底面是正多边形的直棱柱定是正棱柱，故错误； 对C，棱柱的侧面都是平行四边形，正确； 对D，斜棱柱的侧面有可能是矩形，正确. 故选：B 15. 如图，在长方体中，，点为上的动点，则的最小值为（ ） A. 5 B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】将绕翻折到与共面，连接，则的长度即为的最小值，利用勾股定理计算可得. 【详解】将绕翻折到与共面，平面图形如下所示： 连接，则的长度即为的最小值， 因为，所以 ， 所以，所以，即的最小值为. 故选：D 16. 如图，四边形ABCD是边长为1的正方形，平面ABCD，平面ABCD，且，点G为MC的中点.则下列结论中不正确的是（ ） A. B. 平面平面ABN C. 直线GB与AM是异面直线 D. 直线GB与平面AMD无公共点 【答案】D 【解析】 【分析】根据给定条件，证明判断A；利用线面、面面平行的判定推理判断B；取DM中点O，证得四边形是梯形判断CD作答. 【详解】因为平面ABCD，平面ABCD，则， 取的中点，连接，如图，点G为MC的中点， 则，且，于是四边形是平行四边形， ，在正方形中，，则， 因此四边形为平行四边形，，而，点G为MC的中点， 有，所以，A正确； 因为，平面，平面，则平面， 又，平面，平面，则平面， 而平面，所以平面平面ABN，B正确； 取DM中点O，连接，则有，即四边形为梯形， 因此直线必相交，而平面AMD，于是直线GB与平面AMD有公共点，D错误； 显然点平面，点平面，直线平面，点直线，所以直线GB与AM是异面直线，C正确. 故选：D 【点睛】结论点睛：经过平面内一点和外一点的直线，与平面内不经过该点的直线是异面直线. 三、解答题 (8+8+10+10+14) 17. 如图，在四棱锥中，底面ABCD是矩形，平面ABCD，，E是PB的中点，求异面直线EC和AD所成的角（结果用反三角函数值表示） 【答案】 【解析】 【分析】由题意可知，或其补角为异面直线EC和AD所成的角，证明，则在中，可求，进而异面直线EC和AD所成的角. 【详解】，所以或其补角为异面直线EC和AD所成的角， 又平面ABCD， ， 又，，、面， 面， ， 于是在中，，， ， 异面直线EC和AD所成的角是. 18. 如图，在三棱锥中，，，分别为棱，的中点，平面. （1）求证：平面； （2）求证：平面平面. 【答案】（1） 由于分别为棱的中点，故， 又平面，且不在平面上， 所以平面； （2） 由于平面，且平面，故， 又，且为棱的中点，故， 因为，平面，故平面， 又平面，故平面平面. 【解析】 【分析】（1）根据已知得，再由线面平行的判定定理即可证结论； （2）由线面垂直的性质、等腰三角形的性质得、，再由线面垂直的判定有平面，最后根据面面垂直的判定即可证结论. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 19. 如图所示，某建筑物模型无下底面，有上底面，其外观是圆柱，底部挖去一个圆锥；已知圆柱与圆锥的底面大小相同，圆柱的底面半径为，高为，圆锥母线为． （1）计算该模型的体积； （2）现需使用油漆对个该种模型进行涂层，油漆费用为每平方厘米元，总费用是多少？ 【答案】（1） （2）元 【解析】 【分析】（1）计算出圆柱和圆锥的体积，然后将圆柱的体积减去圆锥的体积可得出几何体的体积； （2）计算出每个几何体的表面积，结合题意可得出涂个这样的模型所花的费用. 【小问1详解】 设圆锥的高为，由题意得圆锥母线为，圆锥的底面半径为，则， 设圆柱的底面半径为，高为，由已知可得，， 所以圆柱的体积， 圆锥的体积， 故该几何体的体积为. 【小问2详解】 圆柱的侧面积为，圆柱的上底面的面积为， 圆锥侧面积为. 一个模型的表面积， 所以总费用为（元）. 20. 如图，几何体是圆柱的一部分，它是由矩形ABCD(及其内部)以AB边所在直线为旋转轴旋转120°得到的，G是的中点. (1)设P是上的一点，且AP⊥BE，求∠CBP的大小； (2)当AB＝3，AD＝2时，求二面角E－AG－C的大小. 【答案】（1）；（2） 【解析】 【分析】试题分析: (1)第(1)问,直接证明BE⊥平面ABP得到BE⊥BP,从而求出∠CBP的大小. (2)第（2）问，可以利用几何法求，也可以利用向量法求解. 【详解】解： (1) 因为AP⊥BE，AB⊥BE，AB，AP⊂平面ABP，AB∩AP＝A，所以BE⊥平面ABP. 又BP⊂平面ABP，所以BE⊥BP.又∠EBC＝120°，所以∠CBP＝30°. (2)方法一：如图，取的中点H，连接EH，GH，CH. 因为∠EBC＝120°，所以四边形BEHC为菱形， 所以AE＝GE＝AC＝GC＝. 取AG的中点M，连接EM，CM，EC， 则EM⊥AG，CM⊥AG， 所以∠EMC为所求二面角的平面角． 又AM＝1，所以EM＝CM＝. 在△BEC中，由于∠EBC＝120°， 由余弦定理得EC2＝22＋22－2×2×2×cos 120°＝12， 所以EC＝2，所以△EMC为等边三角形， 故所求的角为60°. 方法二： 以B为坐标原点，分别以BE，BP，BA所在的直线为x，y，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系B－xyz. 由题意得A(0,0,3)，E(2,0,0)，G(1，，3)，C(－1，，0)， 故＝(2,0，－3)，＝(1，，0)，＝(2,0,3)． 设＝(x1，y1，z1)是平面AEG的一个法向量， 由可得 取z1＝2，可得平面AEG的一个法向量＝(3，－，2)． 设＝(x2，y2，z2)是平面ACG的一个法向量． 由可得 取z2＝－2，可得平面ACG的一个法向量n＝(3，－，－2)． 所以cos〈〉＝＝. 故所求的角为60°. 点睛：本题的难点主要是计算，由于空间向量的运算，所以大家在计算时，务必仔细认真. 21. 已知点是边长为2的菱形所在平面外一点，且点P在底面上的射影是与的交点．已知，是等边三角形． （1）求证：； （2）求点到平面的距离； （3）若点是线段上的动点．问：点在何处时，直线与平面所成的角最大？求出这个最大角，并说明点此时所在的位置． 【答案】（1）证明：点在底面上的射影是与的交点， 平面， 平面， ， 四边形为菱形， ， ，平面， 平面， 平面， ； （2）； （3）在线段上与点相距处 【解析】 【分析】（1）由题可得平面，故，根据菱形的性质可得，再根据线面垂直的判定定理与性质定理即可证明； （2）由题干数据结合即可求解； （3）由线面平行的判定定理可得平面，可得到平面的距离即为到平面的距离，过作垂线平面交于点，要使角最大，则需使最小，此时，从而求解. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由题意可得､与都是边长为2的等边三角形， ，， ， ， ， 设点到平面的距离为， 由，得， 即，解得. 故点到平面的距离为. 【小问3详解】 设直线与平面所成的角为， ，不在面内，面，则平面， 到平面的距离即为到平面的距离. 过作垂线平面交于点，则， 此时，要使最大，则需使最小，此时. 由题意可知：，， 平面，且， ，， 在中，由余弦定理可得： ， ， 由面积相等， 即，解得：， ，，即， 即点在线段上靠近点的4分点处，此时，. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 上外附属大境中学 2026 学年度第一学期 10 月调研 高二年级数学试题 (90 分钟内完成， 总分 120 分) 一. 填空题 (本大题共 12 题， 1-6 每题 4 分， 7-9 每题 5 分， 共 54 分) 1. 用符号表示“平面与相交于直线”________． 2. 已知球的半径为3,则该球的体积为_____. 3. 已知，，则直线m、n的位置关系为_______________________（填平行、相交、异面） 4. 以边长为2的正方形的一边所在直线为旋转轴,将该正方形旋转一周所得圆柱的侧面积为_____. 5. 已知正三棱锥的底面边长为 ，高为，则该三棱锥的侧棱长为_____． 6. 球的表面积为，用一个平面截球，使截面圆的半径为，则截面与球心的距离是______ 7. 在的二面角的一个面上有一点，它到棱的距离等于，则点到另一个平面的距离为__． 8. 已知圆锥的底面周长为 ，侧面积为 ，则过该圆锥顶点的平面截此圆锥所得截面面积的最大值为_____ 9. 以正棱柱两个底面的内切圆面为底面的圆柱叫作正棱柱的内切圆柱. 若正三棱柱的高为 6 ，其内切圆柱的体积为 ，则该正三棱柱的底面边长为_____ 10. 已知一个正四面体的顶点是一个正方体的顶点， 那么正四面体的表面积是正方体表面积的_____倍. 11. 如图，已知正方体的棱长为2，长为2的线段MN的一个端点M在棱DD1上运动，点N在正方体的底面ABCD内运动，则MN的中点P的轨迹与正方体从顶点D出发的三个面所围成的几何体的表面积是________. 12. 体积为的正四面体内有一个球，球与该正四面体的各面均有且只有一个公共点，，是球的表面上的两动点，点在该正四面体的表面上运动，当最大时，的最大值是___________． 二. 选择题 (本大题共 4 题， 每题 4 分， 共 16 分) 13. 给定空间中的直线l及平面a，条件“直线l与平面a内无数条直线都垂直”是“直线l与平面a垂直”的（ ）条件 A. 充要 B. 充分非必要 C. 必要非充分 D. 既非充分又非必要 14. 下列命题错误的是（ ） A. 侧棱垂直于底面的棱柱一定是直棱柱 B. 底面是正多边形的棱柱一定是正棱柱 C. 棱柱的侧面都是平行四边形 D. 斜棱柱的侧面有可能是矩形 15. 如图，在长方体中，，点为上的动点，则的最小值为（ ） A. 5 B. C. D. 16. 如图，四边形ABCD是边长为1的正方形，平面ABCD，平面ABCD，且，点G为MC的中点.则下列结论中不正确的是（ ） A. B. 平面平面ABN C. 直线GB与AM是异面直线 D. 直线GB与平面AMD无公共点 三、解答题 (8+8+10+10+14) 17. 如图，在四棱锥中，底面ABCD是矩形，平面ABCD，，E是PB的中点，求异面直线EC和AD所成的角（结果用反三角函数值表示） 18. 如图，在三棱锥中，，，分别为棱，的中点，平面. （1）求证：平面； （2）求证：平面平面. 19. 如图所示，某建筑物模型无下底面，有上底面，其外观是圆柱，底部挖去一个圆锥；已知圆柱与圆锥的底面大小相同，圆柱的底面半径为，高为，圆锥母线为． （1）计算该模型的体积； （2）现需使用油漆对个该种模型进行涂层，油漆费用为每平方厘米元，总费用是多少？ 20. 如图，几何体是圆柱的一部分，它是由矩形ABCD(及其内部)以AB边所在直线为旋转轴旋转120°得到的，G是的中点. (1)设P是上的一点，且AP⊥BE，求∠CBP的大小； (2)当AB＝3，AD＝2时，求二面角E－AG－C的大小. 21. 已知点是边长为2的菱形所在平面外一点，且点P在底面上的射影是与的交点．已知，是等边三角形． （1）求证：； （2）求点到平面的距离； （3）若点是线段上的动点．问：点在何处时，直线与平面所成的角最大？求出这个最大角，并说明点此时所在的位置． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $