上海市黄浦区向明中学2024-2025学年高二上学期12月月考数学试卷

2024-2025学年上海市黄浦区向明中学高二（上）月考数学试卷（12月份） 一、单选题：本题共4小题，每小题3分，共12分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.当我们停放自行车时，只要将自行车的撑脚放下，自行车就稳了，这用到了(    ) A. 三点确定一个平面 B. 不在同一直线上的三点确定一个平面 C. 两条相交直线确定一个平面 D. 两条平行直线确定一个平面 2.若的展开式中第5项的二项式系数最大，则n不可能取值(    ) A. 7 B. 8 C. 9 D. 10 3.已知无穷等比数列，若，则的取值范围为(    ) A. B. C. D. 4.设为数列的前n项和，k为常数且，，有以下两个命题： ①若是公差不为零的等差数列，则…是…的充分非必要条件； ②若是等比数列，则是…的充要条件，那么(    ) A. ①是真命题，②是假命题 B. ①、②都是真命题 C. ①是假命题，②是真命题 D. ①、②都是假命题 二、填空题：本题共12小题，共42分。 5.空间中，直线与平面所成角的范围为______. 6.表面积为的球的半径为______. 7.空间垂直于同一直线的两直线的位置关系为______. 8.如果圆锥的底面圆半径为1，母线长为2，则该圆锥的侧面积为______. 9.满足等式的所有整数x组成的集合为______. 10.展开式中项的系数为______用数字作答 11.已知数列的通项公式为，若数列是严格增数列，则实数t的取值范围是______. 12.设x，，向量且，则______. 13.将4本不同的书分给3位同学，每人至少一本，不同的分法有______种. 14.将一个棱长为a的正方体切成64个全等的小正方体，其表面积增加了______. 15.已知棱长为1的正方体中，E为侧面中心，F在棱AD上运动， 正方体表面上有一点P满足，则所有满足条件的P点构成图形的面积为______. 16.从1、2、3、…、10这10个数中任取4个不同的数、、、，则存在且i，，使得的取法种数为______用数字作答 三、解答题：本题共5小题，共46分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 17.本小题6分 如图所示，已知点平面，且直线直线，点A，D与点B，C分别在平面的两侧，直线，直线求证：P，Q，R三点共线. 18.本小题8分 如图，在直三棱柱中，，，点E，F分别为棱AB，的中点. 求异面直线与AF的夹角； 求点F到平面的距离. 19.本小题10分 已知数列的前n项和为， 若数列为等差数列，，求数列的通项公式； 若数列为等比数列，，求满足时，正整数n的最小值. 20.本小题10分 如图，某种风筝的骨架模型是四棱锥，四边形ABCD是等腰梯形，，，平面ABCD，，，，E在PB上． 为保证风筝飞行稳定，需要在E处引一尼绳，使得，求证：直线平面AEC； 实验表明，当时，风筝表现最好，求此时直线PA与平面PBC所成角的正弦值． 21.本小题12分 如图，已知四面体ABCD中，平面BCD， 求证：； 《九章算术》中将四个面都是直角三角形的四面体称为“鱉臑”，若此“鱉臑”中，，有一根彩带经过面ABC与面ACD，且彩带的两个端点分别固定在点B和点D处，求彩带的最小长度； 若在此四面体中任取两条棱，记它们互相垂直的概率为；任取两个面，记它们互相垂直的概率为；任取一个面和不在此面上的一条棱，记它们互相垂直的概率为试比较概率、、的大小. 答案和解析 1.【答案】B  【解析】解：自行车前后轮与撑脚分别接触地面，此时三个接触点不在同一条线上， 所以可以确定一个平面，即地面，从而使得自行车稳定． 故选： 自行车前后轮与撑脚分别接触地面，使得自行车稳定，此时自行车与地面的三个接触点不在同一条线上． 本题考查不同线的三个点确定一个平面，属于基础题． 2.【答案】D  【解析】解：利用代入法，当时，展开式一共有8项，故第4和第5项的二项式系数最大，故A正确； 当时，展开式一共有9项，故第5项的二项式系数最大，故B正确； 当时，展开式一共有10项，故第5和第6项的二项式系数最大，故C正确； 当时，展开式一共有11项故第6项的二项式系数最大，故D错误． 故选： 直接利用代入法判定A、B、C、D的结论． 本题考查的知识点：二项式系数的最大项，主要考查学生的运算能力，属于基础题． 3.【答案】B  【解析】解：无穷等比数列，， 根据等比数列的求和公式可知，，则， ， ， 是以为公比的等比数列，且，此时， ， 的取值范围为 故选： 利用无穷等比数列的前n项和公式及性质即可得解． 本题考查等比数列的求和，涉及等比数列的性质，属于中档题． 4.【答案】B  【解析】解：根据题意，对于命题①，是公差不为零的等差数列，若， 则在，…中，至少有一项为0， 假设，， 则， 必有， 反之，在等差数列中， 若，则，， 则有，则成立， 但不成立， 故…是…的充分非必要条件，故①正确； 对于命题②，若是等比数列，设其公比为q， 若，时，有， 则，，…，中，至少有一项为0，则， 假设， 则有， 必有，又由，必有n为偶数且， 故， 反之，若，则， 必有，则有，， 则， 若是等比数列且，， 则是…的充要条件，故②正确． 故选： 根据题意，由等差数列和等差数列的前n项和性质分析①的真假； 由等比数列和等比数列的前n项和性质分析②的真假，综合可得答案． 本题考查了等差、等比数列的性质及求和公式，属于中档题． 5.【答案】  【解析】解：根据直线与平面所成角的定义， 可得一条直线与一个平面所成角的取值范围是 空间中，直线与平面所成角的范围 故答案为： 根据直线与平面所成角的定义，即可得到答案． 本题考查线面角等基础知识，考查运算求解能力，是基础题． 6.【答案】2  【解析】解：设球的半径为R， 则球的表面积为，解得 故答案为： 根据球的表面积公式，即可求解． 本题考查球的表面积公式的应用，属基础题． 7.【答案】平行、相交、异面  【解析】解：在正方体中，，AD，，同时和垂直， 则，与AD相交，与为异面直线， 空间垂直于同一直线的两直线的位置关系为平行、相交或异面． 故答案为：平行、相交或异面． 根据空间直线的位置关系进行判断即可． 本题主要考查空间直线的位置关系的判断，利用正方体是解决本题的关键． 8.【答案】  【解析】解：由圆锥的侧面积公式 故答案为： 由圆锥的侧面积公式即可求解． 考查圆锥的侧面积公式，属于基础题． 9.【答案】  【解析】解：由， 得，或， 解得：或 故答案为： 由组合数公式的性质列式求解． 本题考查组合及组合数公式的应用，是基础题． 10.【答案】  【解析】解：的展开式的通项为， 令，0得，的系数为 故答案为： 根据二项式定理即可求解． 本题考查了二项式定理的应用，属于基础题． 11.【答案】  【解析】解：根据题意，数列的通项公式为， 则，变形可得， 又由且，则有，即实数t的取值范围是 故答案为： 根据题意，由数列单调性可得性质可得，变形分析可得答案． 本题考查数列的函数特征，涉及数列的单调性，属于基础题． 12.【答案】3  【解析】解： 且， 且， ，， ，，， ， 故答案为： 利用空间向量的垂直与共线，列出方程组求解即可 本题考查空间向量的垂直与共线，向量的模的求法，是基础题． 13.【答案】36  【解析】解：将4本不同的书分给3位同学，每人至少一本，不同的分法有种． 故答案为： 利用排列组合知识求解． 本题主要考查了排列组合知识，属于基础题． 14.【答案】  【解析】解：由题意可知正方体的表面积为， 小正方体的棱长为， 小正方体的表面积为， 64个全等的小正方体的表面积为， 表面积增加了 故答案为： 求出正方体的表面积，然后求出一个小正方体的表面积，即可得到结论． 本题考查正方体的结构特征，属于中档题． 15.【答案】  【解析】解：，，E，F，P四点共面， 设，E，F，P四点确定的平面为，则与平面的交线与平行， ①当F与D重合时，取BC的中点M，连接EM，DM，则， 则此时P的轨迹为折线， ②当F与A重合时，， 此时P的轨迹为折线， 当F在棱AD上运动时，符合条件的P点在正方体表面围成的图形为，直角梯形ABMD， 故答案为： 根据面面平行的性质确定P的轨迹边界，从而得出轨迹图形，结合三角形，梯形的面积公式即可求解． 本题考查了棱柱的结构特征，平面向量的基本定理，属于中档题． 16.【答案】175  【解析】解：根据题意，从1、2、3、…、10中任取4个不同的数、、、，有种取法， 假设， 若不存在且i，，使得，则有， 在1、2、3、…、7中任取4个不同的数，依次表示、、、， 此时有种不符合题意的取法， 则有种符合题意的取法． 故答案为： 根据题意，用间接法分析：先计算“从1、2、3、…、10中任取4个不同的数”的取法，排除其中不符合题意的取法，即可得答案． 本题考查排列组合的应用，注意间接法的应用，属于中档题． 17.【答案】证明：直线AB与CD相交，可以唯一确定一个平面，设两直线确定的平面为， 又由平面且平面，所以，点两平面交线l， 同理，点Q，，所以三点共线．  【解析】根据题意，设直线AB与CD确定的平面为，分析可得P、Q、R都在平面、的交线上，即可得结论． 本题考查平面的基本性质，涉及平面与平面相交的性质，属于基础题． 18.【答案】解：以A为原点建立空间直角坐标系， 则，，，， 所以，， 设直线与直线AF的夹角为，则，， 故直线与直线AF的夹角为 由知， 所以，， 设平面的法向量为，则， 令，则， 所以点F到平面的距离为  【解析】以A为原点建立空间直角坐标系，利用向量法求异面直线所成角即可； 利用向量法求点到平面的距离即可． 本题考查立体几何的综合应用，熟练掌握利用向量法求异面直线所成角，点到平面的距离是解题的关键，考查空间立体感，逻辑推理能力和运算能力，属于中档题． 19.【答案】解：根据题意，设等差数列的公差为d， 又由，， 则， 又，则，解得， 所以； 根据题意，设的公比为q， ，， 则，解可得， 则，而， 若，则有， 化简得， 又由且， 则有， n的最小值为  【解析】根据、，利用等差数列的前n项和公式算出公差d，进而可得的通项公式； 求出等比数列的公比，求出和的关表达式，将化简为关于n的不等式，进而求得n的最小值． 本题考查等差数列与等比数列的通项公式、利用公式法求数列的前n项和、数列与不等式的综合等知识，属于中档题． 20.【答案】证明：四边形ABCD是等腰梯形，，，， 连接EO，，， 平面AEC，平面AEC， 平面 解：平面ABCD，平面ABCD，， ，，， ， 以O为坐标原点，分别以OB，OC，OP所在直线为x，y，z轴，建立空间直角坐标系， ，，，，， ， 设平面PBC的法向量为， ， 令，，，， 设PA与平面PBC所成角为， PA与平面PBC所成角的正弦值为  【解析】本题考查直线与平面平行的判断定理的应用，直线与平面所成角的求法，考查空间想象能力，转化思想以及计算能力，是中档题． 连接EO，说明，然后证明平面 以O为坐标原点，分别以OB，OC，OP所在直线为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，求出平面PBC的法向量利用空间向量的数量积求解PA与平面PBC所成角的正弦值． 21.【答案】证明：因为平面BCD，平面BCD， 所以， 又，，AB，平面ABC， 所以平面ABC， 因为平面ABC， 所以； 将面ABC与面ACD沿AC展开成如图所示的平面图形，连接BD， 由知：， 因为平面BCD，平面BCD， 所以， 因为， 所以， 故展开后， 所以彩带的最小长度为此平面图中BD长， 由余弦定理得：， 所以彩带的最小长度为； 条棱中任选2条，共有种情况， 其中，，，，， 所以， 四个面任取两个面，共有种情况， 其中平面平面BCD，平面平面ACD，平面平面BCD， 故， 任取一个面和不在此面上的一条棱，先从四个平面任选一个平面，有种情况， 再从不在此面上的三条棱中选1条，有种情况，故共有种情况， 其中满足垂直关系的有2种，分别为平面BCD和棱AB，平面ABC和棱CD， 故， 所以  【解析】由线面垂直得到，结合得到线面垂直，进而证明出线线垂直； 将面ABC与面ACD沿AC展开成如图所示的平面图形，连接BD，即为所求，利用余弦定理求出答案即可； 利用组合知识及列举法求出、、的大小，比较出大小关系． 本题考查空间中两点间的距离的最小值的求法，古典概率的公式的应用，属于中档题． 第1页，共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$