精品解析：河南郑州市新密市矿区中学2026-2027学年高二上学期9月月考数学试卷

2026-2027学年度高二数学9月月考试卷 本卷满分150分，考试时间120分钟 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 第I卷（选择题） 一、单选题（本题共八题，每小题5分，共40分） 1. 已知向量，且，那么（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 【答案】B 【解析】 【详解】因为，且， 所以，即． 2. 直线的倾斜角为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】求出直线的斜率，故可得倾斜角的正切值，故可求倾斜角. 【详解】设为直线的倾斜角，而直线方程为， 故，，． 故选：C． 3. 设是实数，已知点在同一直线上，则的值为（ ） A. 10 B. -10 C. -15 D. 20 【答案】B 【解析】 【分析】三点在同一条直线上，即向量与共线，利用向量共线定理即可得出． 【详解】，是实数，若点在同一直线上， 则向量与共线． ,1,，,1,， ，，， ． 故选：B. 4. 已知空间向量，则在上的投影向量的模为（ ） A. B. 1 C. 2 D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据给定条件，利用空间向量数量积的坐标表示求解. 【详解】由向量，得，， 则在上的投影向量为， 所以在上的投影的模为． 故选：A 5. 我国古代数学名著《九章算术》中，将底面为矩形且一侧棱垂直于底面的四棱锥称为阳马.如图所示，已知四棱锥是阳马，平面，若，，，且，为的中点，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】结合空间向量线性运算，利用基底表示向量即可. 【详解】因为，所以， 因为， 所以 . 故选：A 6. 已知两条不重合的直线和，，若，则的值为（ ） A. B. 或 C. D. 或 【答案】A 【解析】 【详解】两直线 ，平行， 则，交叉相乘得. 故 或 ，但两直线不重合，需进一步检验. 当 时，，，两直线重合，不符合题意； 当 时，，，两直线不重合，且斜率相等，满足平行. 因此 . 7. 已知平面直角坐标系中的三个点，过点与线段有公共点的直线为，则直线的斜率可以是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】画出图形，利用直线斜率的计算公式，结合直线与线段的位置关系分析求解即可. 【详解】如图所示， 要使过点的直线与线段有公共点，则直线的斜率满足：或， 又， 所以的取值范围为：， 由，所以直线的斜率可以是. 8. 在直三棱柱中，为的重心，则点到平面ACD的距离为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先建立空间直角坐标系，然后列出每个点的坐标，求出平面的法向量的坐标，进而根据向量的数量积进行求解即可. 【详解】取的中点的中点，连接. 因为，所以，且. 以为坐标原点，以所在直线建立如图所示的空间直角坐标系， 则，， 所以，. 设平面的法向量为，则， 令，得，所以点到平面的距离为. 故选：A. 二、多选题 9. 下列说法中，正确的有（ ） A. 直线在y轴上的截距是 B. 直线经过第一、三、四象限 C. 过点且在x轴，y轴上的截距相等的直线方程为 D. 过点，且倾斜角为90°的直线方程为 【答案】AD 【解析】 【详解】直线在y轴上的截距是，故A正确； 直线，即经过第一、二、三象限，故B错误； 若过原点，则过点且横纵截距相等的直线方程为， 若不过原点，则过点且横纵截距相等的直线方程为，故C错误； 过点，且倾斜角为90°的直线方程为，故D正确. 10. 如图所示，在棱长为2的正方体中，分别为棱的中点，则下列结论正确的是（ ） A. B. 点到直线的距离为 C. 直线与直线所成角的余弦值为 D. 直线与直线是异面直线 【答案】ABC 【解析】 【分析】建立空间直角坐标系，利用空间位置关系的向量证明判断AD；利用向量法求出点到直线距离判断B；利用线线角的向量法求解判断C. 【详解】在棱长为2的正方体中，建立如图所示的空间直角坐标系， 点， 对于A，，，则，A正确； 对于B，，点到直线的距离为，B正确； 对于C，，直线与所成角的余弦值，C正确； 对于D，，即，又直线， 因此直线直线，点共面，直线与直线不是异面直线，D错误. 11. 已知两条直线：与，下列说法正确的是（ ） A. 始终过定点 B. 若，则或 C. 若直线的一个方向向量为，则 D. 当时，始终不过第四象限 【答案】AD 【解析】 【分析】A选项，变形后可得方程组，求出所过定点；B选项，时，两直线重合，B错误；C选项，根据直线的方向向量可得直线的斜率，从而得到，两直线不垂直；D选项，将直线转化为斜截式方程，可得始终不过第四象限. 【详解】对于A，直线，由得，始终过定点，A正确； 对于B，当时，直线与直线重合，B错误； 对于C，由选项得直线的斜率，显然， 而，则有， 此时，斜率为，两直线斜率乘积不为， 直线与直线不垂直，C错误； 对于D，当时，， 因为，，所以直线经过第一、二、三象限， 可得始终不过第四象限，D正确． 第Ⅱ卷（非选择题） 三、填空题 12. 已知向量，且，则____________． 【答案】3 【解析】 【分析】利用向量的坐标运算求得求出，根据空间向量模的公式列方程求解即可. 【详解】因为， 所以， 可得， 因为，解得，故答案为3. 13. 在直三棱柱中，已知，，则异面直线与所成角的余弦值为________． 【答案】## 【解析】 【分析】结合题意进而建立空间直角坐标系，进而利用异面直线夹角的向量求法求解即可. 【详解】作，因为，所以是的中点， 过作，由直三棱柱性质得面， 如图，作出符合题意的图形，以为原点建立空间直角坐标系， 因为，所以，由勾股定理得， 则，，，， 可得，， 设异面直线与所成角为， 则. 14. 已知两点，过点的直线l与线段AB有公共点，则直线l的斜率k取值范围是_________，其倾斜角的取值范围是_________． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】求出，根据直线与线段相交可得出直线斜率范围，再由正切函数的性质得出倾斜角的范围. 【详解】因为， 又过点的直线l与线段AB有公共点，如图， 所以，即； 因为，所以， 由正切函数的性质可知或. 故答案为：； 四、解答题 15. 已知的三个顶点，，，点D，E分别为边，的中点． （1）求直线的方程； （2）求边上的高线所在直线的方程． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）设是直线上任意一点，利用的坐标计算得出点的轨迹方程即可； （2）设点是所在直线上任意一点，利用的坐标计算得出点的轨迹方程即可. 【小问1详解】 设是直线上任意一点，则， 因为点D，E分别为边，的中点，所以，， 则，， 所以， 即为直线的方程． 【小问2详解】 设点是所在直线上任意一点，则，所以， 又，，所以， 即为所求直线的方程． 16. 已知向量，，，且，． （1）求，，； （2）求向量与所成夹角的余弦值； （3）求在上的投影向量（用坐标表示）． 【答案】（1），， （2） （3） 【解析】 【小问1详解】 ，，，， 又，，. 因此，，. 【小问2详解】 ，. ，. . 因此向量与所成夹角的余弦值为. 【小问3详解】 在上的投影向量为. 17. 如图，在四棱柱中，四边形是正方形，，，点为的中点． （1）用向量，，表示； （2）求线段的长及向量与夹角的余弦值． 【答案】（1） （2）， 【解析】 【分析】（1）通过向量的线性运算进行表示； （2）通过向量的线性表示与模长公式计算线段，的长度，计算，再通过夹角公式求解. 【小问1详解】 方法一：由题意知， ； 方法二：因为为的中点，所以 ． 【小问2详解】 因为四边形是正方形，，， 所以，，， 所以 ， 所以，即线段的长为． 因为， 所以 ，所以． 又 ， 则向量，夹角的余弦值为. 18. 如图所示，已知四棱锥的底面是梯形，侧棱底面，，，，． （1）求证：平面； （2）求直线与平面所成角的正弦值． 【答案】（1）连接与交于点，连接，如图所示： 因为 ，所以 ，又， 所以，又 ，所以， 所以 ，又，故， 所以，又 平面 ，平面 ， 所以 平面 . （2） 【解析】 【分析】（1）利用已知条件先求出，然后根据线面平行的判定定理证明即可； （2）根据题意建立空间直角坐标系，写出相应的点，从而得出相应向量的坐标，求出平面 的法向量，最后利用向量法求解即可. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 因为 底面，， 所以 两两互相垂直， 故以点为坐标原点， 分别为轴建立如图所示的空间直角坐标系， 由， 则， 又，所以， 即，故， 由已知得，， 设平面 的一个法向量， 则 ， 令 ，则，，故， 设直线 与平面 所成的角为， 所以 ， 所以直线 与平面 所成角的正弦值为. 19. 如图，在四棱锥中，，. （1）求证：平面平面； （2）在线段上是否存在一点，使得平面与平面的夹角的正切值为？若存在，试确定点的位置；若不存在，请说明理由. 【答案】（1） 取的中点，连接、， 因为， 所以，， 又，，所以四边形为平行四边形，所以， 所以，所以，即， 又，平面，所以平面， 又平面，所以平面平面. （2）存在，点在的中点，理由如下： 依题意四边形为等腰梯形，取的中点，连接，则且， 如图建立空间直角坐标系，则，，，， 所以，，， 当与点重合时，平面与平面重合，显然不符合题意； 设，则， 设平面的一个法向量为， 所以，取， 取平面的一个法向量为， 设平面与平面的夹角为，若， 由，解得（负值舍去）， 又， 解得或（舍去）， 解得， 所以存在点，在的中点时，平面与平面的夹角的正切值为. 【解析】 【分析】（1）取的中点，连接、，即可证明、，从而得到平面，即可得证； （2）取的中点，连接，即可得到，建立空间直角坐标系，设，求出平面与平面的法向量，设平面与平面的夹角为，则，利用空间向量法得到方程，解得即可. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年度高二数学9月月考试卷 本卷满分150分，考试时间120分钟 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 第I卷（选择题） 一、单选题（本题共八题，每小题5分，共40分） 1. 已知向量，且，那么（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 2. 直线的倾斜角为（ ） A. B. C. D. 3. 设是实数，已知点在同一直线上，则的值为（ ） A. 10 B. -10 C. -15 D. 20 4. 已知空间向量，则在上的投影向量的模为（ ） A. B. 1 C. 2 D. 5. 我国古代数学名著《九章算术》中，将底面为矩形且一侧棱垂直于底面的四棱锥称为阳马.如图所示，已知四棱锥是阳马，平面，若，，，且，为的中点，则（ ） A. B. C. D. 6. 已知两条不重合的直线和，，若，则的值为（ ） A. B. 或 C. D. 或 7. 已知平面直角坐标系中的三个点，过点与线段有公共点的直线为，则直线的斜率可以是（ ） A. B. C. D. 8. 在直三棱柱中，为的重心，则点到平面ACD的距离为（ ） A. B. C. D. 二、多选题 9. 下列说法中，正确的有（ ） A. 直线在y轴上的截距是 B. 直线经过第一、三、四象限 C. 过点且在x轴，y轴上的截距相等的直线方程为 D. 过点，且倾斜角为90°的直线方程为 10. 如图所示，在棱长为2的正方体中，分别为棱的中点，则下列结论正确的是（ ） A. B. 点到直线的距离为 C. 直线与直线所成角的余弦值为 D. 直线与直线是异面直线 11. 已知两条直线：与，下列说法正确的是（ ） A. 始终过定点 B. 若，则或 C. 若直线的一个方向向量为，则 D. 当时，始终不过第四象限 第Ⅱ卷（非选择题） 三、填空题 12. 已知向量，且，则____________． 13. 在直三棱柱中，已知，，则异面直线与所成角的余弦值为________． 14. 已知两点，过点的直线l与线段AB有公共点，则直线l的斜率k取值范围是_________，其倾斜角的取值范围是_________． 四、解答题 15. 已知的三个顶点，，，点D，E分别为边，的中点． （1）求直线的方程； （2）求边上的高线所在直线的方程． 16. 已知向量，，，且，． （1）求，，； （2）求向量与所成夹角的余弦值； （3）求在上的投影向量（用坐标表示）． 17. 如图，在四棱柱中，四边形是正方形，，，点为的中点． （1）用向量，，表示； （2）求线段的长及向量与夹角的余弦值． 18. 如图所示，已知四棱锥的底面是梯形，侧棱底面，，，，． （1）求证：平面； （2）求直线与平面所成角的正弦值． 19. 如图，在四棱锥中，，. （1）求证：平面平面； （2）在线段上是否存在一点，使得平面与平面的夹角的正切值为？若存在，试确定点的位置；若不存在，请说明理由. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $