河南省部分校2026-2027学年高二上学期10月测评数学试题

2026~2027学年高二10月测评 数学 (试卷满分：150分，考试时间：120分钟) 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上，并将条形码粘贴在答题卡上的指 定位置。 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改 动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号；回答非选择题时，用0.5mm的黑色字迹签字笔将 答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。 3.考试结束后，请将答题卡上交。 4.本卷主要命题范围：选择性必修第一册第一章~第二章2.3。 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合 题目要求的 1.直线√3x十y+2026=0的倾斜角为 A若 B晋 c D晋 2.已知点A(3,2,-1),B(4,1,-2),C(-5,4,3),且四边形ABCD是平行四边形，则点D的坐 标为 A.(-1,2,6) B.(3,-2,7) C.(-6,5,4) D.(-6,1,-3) 3.已知直线l1:x一2y十1=0，l2:2x十ay-1=0,若4⊥2，则实数a的值为 A.1 B c.-元 D.-2 4.已知A,B,C三点不共线，对平面ABC外的任一点O,下列条件中能确定点M,A,B,C共面的是 A.oi=2oi+号oi-0d B.OM=3 OA-2 0B-20C C.OM-0A+0B+00 n.oM=号oi+oi-od 5,直线y=x十1关于直线y=2x对称的直线方程为 A.3x-y-1=0 B.7x-y-5=0 C.5x-y-3=0 D,4x-y-2=0 6,已知向量a=(2,一1,3)，b=(一4,2，)的夹角为饨角，则实数t的取值范围为 A.(-∞，-6) B(-,) (唱+m） D(-∞，-6U(-6,)》 【高二数学第1页（共4页）】 7040B 7、经过直线：y=一2x一1和2：y=2x+3的交点，且倾斜角是直线L2的倾斜角的两倍的直线 方程为 A.2x+y+1=0 B.x-4y+3=0 C.4x+3y+1=0 D.3x+4y-1=0 8.在空间直角坐标系中，已知A(1,1,一1)，B(1,2,2),C(-3;4,2),则点A到直线BC的距 离为 A2S B.√10 c n 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要 求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 9.已知空间向量a=(1,2,-1),b=(3,一2，-1)，则 A.lal-6 B.a∥b C.a⊥b D(a+b)·b=10 10.已知两条平行直线l:x一y十1=0和2：x一y+m=0之间的距离小于2，则实数m的值可 能为 A.0 B.1 C.2 D.-1 11.如图，在直三棱柱ABC-A,B1C中，ACLBC,AC-BC=CC=1,D为 AB,上一点，E为AB上一点，DE⊥AB,A它=AAB(0<入<1)，则 A.直线CE和C1D为异面直线 B异面直线DE与AC,的夹角为开 C.CD-(1-A)CA+ACB+ACC D.1Cd1=√3x2-2+1 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分 12,已知A(0,2),B(3,0),C(m,1一m)三点共线，则m= 13,已知在空间直角坐标系z0y中，点A的坐标为(1,2，一3)，点B的坐标为(0，一1，一4)，点A 与点C关于x轴对称，则BC= 14,若直线y=kx十k与曲线y=x2一x有4个交点，则k的取值花围为 【高二数学第2页（尖4页）】 7040B 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤。 15.(本小题满分13分) 如图，在空间直角坐标系中，正方体ABCD一AB,C,D,的棱长为1，E,在A1B,上，F,在 GD上，且BE=Dr=是AB (1)求向量BE,D的坐标， (2)求BE与DF1所成角的余弦值. 16.(本小题满分15分) 已知△ABC的顶点坐标为A(-1,6),B(-3,-1),C(4,2). (I)若点D是AC边上的中点，求直线BD的方程； (2)求AB边上的高所在的直线方程 17.(本小题满分15分) 如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为直角梯形，AD∥BC,AB⊥BC,AP⊥平面ABCD, Q为线段PD上的点，DQ=2PQ,AB=BC=PA=1,AD=2. (1)证明：BP∥平面ACQ; (2)求直线PC与乎面ACQ所成角的正弦值. 【高二数学第3页（共4页）】 7040B 18.(术小题满分17分) 在△ABC中，顶点A在直线y=x上，顶点B的坐标为(-4,0)，AB边的中线CD所在的直 线方程为5x+7-2=0,BC边的垂直平分线的斜率为号。 (1)求直线AC的方程； (2)若直线1过点B,且点A、点C到直线l的距离相等，求直线l的方程. 19.(本小题满分17分) 如图，在直四棱柱ABCD-A1B1CD,中，底面四边形ABCD为等腰梯形，AD∥BC, BC=2AD=4,∠BCD= (1)证明：A1B1⊥CD, (2)若直线AB与平面B,CD,所成角的正弦值为，点M为线段BD上-点，求点M到平 面B1CD1的距离； (3)求平面D,AD与平面D1AB夹角的取值范围. 【高二数学：第4页（共4页）】 7040B2026~2027学年高二10月测评·数学 参考答案、提示及评分细则 1.C由v5x+y叶2026=0化为y-一5x-2026,即该直线斜率为-5，所以其倾斜角为红.故选C 2.C由线段AC和BD共中点，AC的中点为(-1,3,1)，可得点D的坐标为(-6,5,4)，故选C. 3.A由l1⊥l2→1×2+(-2)×a=0→a=1.故选A. 4.D设OM=xOA+yO+xO元，若点M与点A,B,C共面，则x+y十=1，故选D. 5.B联立方程x+1, 解得交点坐标为(1,2)，点P(0,1)在直线y=x十1上，设点P关于直线y=2x的对 y=2x, n-1 1 m 2 m= 称点的坐标为Q(m,n),有 解得 则直线y=x十1关于直线y=2x对称的直线方程为 n十1 =m, 5 2 3 5 y-2= (x-1),整理为7x-y一5=0.故选B. 1 4 6.D由a·b=-10十31<0得1<号.当a/b时，=-6,1的取值范用为(-0，一6U(-6,号)，故选D, 7.C联立方程=-2x- 1y=2x十3， 解得/1， y=1, 又由所求直线的斜率为号=一专所求直线的方程为y一1 (x十1)，整理为4x十3y十1=0.故选C. 3 8.A 由AB=(0,1,3),BC=(-4,2,0),有A=√0，BC=25,AB·BC=2,则A到BC的距离为 A- AB·BC 9.AC因为a=√1十(-2)+(-1)严=√6，所以A正确： 因为不存在λ使a=b,所以B错误； 因为a·b=1×3十2×(-2)十(-1)×(-1)=0，所以a⊥b,所以C正确； 因为a十b=(4,0,-2),所以(a+b)·b=4×3十0×(-2)十(-2)×(-1)=14，所以D错误.故选AC. 10.AC直线4：x一y十1=0和2：x-y十m=0平行，则m≠1，两条平行直线间距离m1<2,解得 √2 一1<m<3且m≠1，故0和2符合要求.故选AC. 11.BCD由DE∥BB:∥CC,可得C,E,D,C四点共面，直线CE和CD共面，故选项A错误； 由DE∥BB∥CC,可得异面直线DE与AC的夹角为∠ACC=元，故选项B正确； 由DE∥BB,AE=AAB(0<A<1),有AD=入ABi,有CD-CA=A(CB-CA),有CD=(1-)CA+ACB, 有CD=(1-)CA+x(C市+CC),有CD=(1-X)CA+入CB+入CC,故选项C正确； 由向量CA,CB,CC两两垂直，有CA·C第=CA·CC=C第·CC=0,有|C方 1= √[(1-A)CA十λCB十λCC门=√(1一λ)+2=√/3-2λ十1，故选项D正确.故选BCD. 12,一3直线AB的方程为号十岂=1，代人受+2”=1，解得m=一3， 2 13.√51点C的坐标为(1，-2,3)，BC1=√1+1+49=√51. 【高二数学参考答案第1页（共4页）】 7040B 14.(0,3-2√2)直线y=kx十k恒过点A(-1,0)且为斜率存在的动 直线，又y=lx-x=x十x,0<r<1 /x2一x,x≥1或x≤ y=(3-22)x+3-22 ,作出图象，如图： 易知0(0,0)，C(1,0), 由{义二生消y得到x2十(k1)x十=0， 由△=(k-1)2-4k=0, 得到k=3-22或k=3十22（舍），根据图象可知k∈(0,3-2√2)， 15.解：1)由题意可得B11,0),E(1,子1)，D(0,0,0),F(（0,子1)， 故B配=(0，-是，1)，DF=(0,,1) ………………6分 (2)由1)可知B=(0,-是，1)D=(0,是，1， 所以E1=√+(-)广+1=是，D-√+()+1=年 ………8分 BE·D尿=0X0+(-是)×+1X1=6 ………………10分 7 所以cOs(BE,DF)= BE.DF 7 BE DF 25 ……12分 故BE与DR,所成角的余弦值为云 13分 16,解：1)因为点D是AC边上的中点，则D(号4)，所以km=一1专-9，所以直线BD的方程为y十1= 33 2 9x+3,即10x-9y+21=0: …………7分 (2因为太加=号-子所以AB边上的高所在的直线的斜率为- 2 ，所以AB边上的高所在的直线方 2 程为y-2=一号(x-4),即2江十7y-2=0.…15分 17.(1)证明：如图，连接BD与AC相交于点M,连接MQ.………1分 :BC∥AD,AD=2BC,MD=2BM.…3分 DQ=2PQ,MQ∥BP.……5分 :MQBP,BP寸平面ACQ,MQC平面ACQ,∴.BP∥平面ACQ:…7分 (2)解：由AB,AD,AP两两垂直，以A为坐标原点，建立如图所示空间直角坐 标系， 各点坐标如下：A00,0,C1,1.0),P00,10.Q(0,号，号） …9分 B 设平面ACQ的一个法向量为m=(x,y,z), (AC.m=x+y=0, 由正-110动-(0号号)有m=号y十号=0 3 令x=1,则y=-1,x=1,可得m=(1,-1,1), …12分 由C=(-1,-1,1),有Cp·m=1,Cp1=m=√5，cos(C克，m)= 1 3×√3 1 ……………………………14分 故直线PC与平面ACQ所成角的正弦值为3· ……………15分 【高二数学参考答案第2页（共4页）】 7040B 18,解：1)设顶点A的坐标为(a,a),线段AB的中点D的坐标为(2，号）， 将点D的坐标代入直线5x十7y-2=0,有5(a,+79-2=0, 2 2 解得a=2,可得点A的坐标为(2,2)， ………………3分 由BC边的垂直平分线的斜率为号，可得直线BC的斜率为一子， 直线BC的方程为y=-号(c十4，整理为2x十5y8=0, 5x+7y-2=0, x=6, 联立方程组 解得{ 2x+5y+8=0, y=-4 可得顶点C的坐标为(6，一4)，…6分 直线AC的斜率为226=一号，直线4C的方程为y一2=-号c一2)，整理为3x十2y-10=0, 2-6 由上知，直线AC的方程为3x十2y一10=0；…… 9分 (2)若直线l过点B,且点A、点C到直线l的距离相等，有如下两种情况：…………10分 ①直线1与直线AC平行，设直线1的方程为3x十2y十m=0, 代入点B的坐标，有一12十0十m=0,解得m=12,直线l的方程为3x十2y十12=0；…13分 ②直线1过AC的中点，AC的中点Q的坐标为(4，一1)， 直线1的斜家为9二号=一名直线1的方程为y=一合（红十）整理为x十8y十4=0，…16分 由上知，直线l的方程为3x十2y十12=0或x十8y十4=0，……17分 19.(1)证明：四边形ABCD为等腰梯形，AD∥BC,BC=2AD=4,∠BCD=平，所以AB=DC=E,…1分 取线段BC的中点为N,则ABND为平行四边形，则AB∥DN,所以DN=√2，…2分 又因为NC=2,所以DN2十DC9=NC2,则DN⊥DC,…3分 又因为ABCD-A1BC1D1是直四棱柱，所以DD⊥平面ABCD,DNC平面ABCD,DD⊥DN,又因为DC ∩DD1=D,DC,DD1C平面DCCD1,所以DN⊥平面DCCD,…4分 CD1C平面DCCD,所以DN⊥CD,因为AB∥AB,所以A1B⊥CD1:…5分 (2)解：由(1)知，DN,DC,DD1两两垂直，建立如图所示的空间直角坐标系， 设A1A=h(h>0),所以D(0,0,0),B(2√2，-√2,0)，B1(2√2，-√2，)， C(0w2,0),D(0,0,h),A(2,-√2,0)， B 所以AB=(W2,0,0),CB=(22,-22,h),CD=(0,-√2，h),BC=(-2√2， 22,0),DB=(22,-2,0),… ………6分 设平面B1CD1的一个法向量为n=(xy,), n·CBi=22x-2W2y+hx=0 则 n·cD=-Ey+hz=0 ----*M- 令之=2√2，则x=h,y=2h,所以n=(h,2h,2√E),……8分 B 设直线AB与平面B,CD所成的角为0， 则sin0=|cos(A花，n1=A店·n 2h √6 1AB1|n√2×√/5h+8 6 解得h=2√2，所以n=(1,2,1),……… 10分 所以点B到平面B,CD的距离为d= |BC·n_2223 ,………11分 n √6 3 因为BD·n=0,所以BD⊥n, 【高二数学参考答案第3页（共4页）】 7040B 因为BD不在平面B1CD1内，所以BD∥平面B1CD1, 因为M在线段BD上，所以点M到平面B:CD,的距离等价于点B到平面B,CD,的距离为2 3 故点M到平面BCD,的距离为2。 (3)解：设平面D1AD的法向量n1=(x1,y1,), fm·DD1=0 由 ,解得n1=(1,1,0);……13分 n1·DA=0 设平面D1AB的法向量n2=(x2,y2,2), n2·DA=0 由 m·AB=0 ,解得n2=(0,h,一√2)， 14分 设平面D1AD和平面D1AB的夹角为0， 2 则cos0=cos(m1,n2)|= √2·√+2 2V形+2=2V1-+2 15分 因为>0.且h)-√一子在0，十∞)止单调递增，所以0<c0s号，则0c(冬，受).…17分 2 【高二数学参考答案第4页（共4页）】 7040B