第3章圆单元夯实巩固小练2026-2027学年苏科版九年级上册数学

**基本信息** 聚焦圆单元核心知识，以"基础巩固-综合应用-拓展探究"分层设计，通过概念辨析、情境应用与创新题型，培养抽象能力、推理意识与应用意识。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础层|外心定义、点圆位置关系、弧长公式|单选题1-5、填空题11-13，直接考查概念与公式，夯实基础| |中档层|内接四边形、圆锥展开、切线性质|单选题6-8、填空题14-16，结合几何图形综合应用，培养推理能力| |提升层|动态几何、新定义"等弦圆"、综合证明|解答题25-27，设置探究情境与跨知识整合，发展创新意识|

第3章圆单元夯实巩固小练 一、单选题 1.(25-26九年级上江苏常州阶段检测)三角形的外心是三角形中（) A.三条高的交点 B.三条中线的交点 C,三条角平分线的交点 D.三边垂直平分线的交点 2.(25-26七年级下.山东菏泽阶段检测)已知⊙0的半径为10cm,点A为平面内一点，且 0A=8cm 则点4与00的位置关系是{) A,点A在O0上B,点A在⊙0内 C.点A在⊙O外 D.无法判断 3.(2026湖南邵阳·模拟预测)在⊙0中，如果108°的圆心角所对的弧长是3πCm,那么⊙0的半径 是() A.4cm B.5cm C.8cm D.10cm 4.(2026云南昆明模拟预测)如图，AB是半圆O的直径，∠BAC=60°，D是半圆上任意一点，那 么∠D的度数是() A.60° B.45 C.30° D.90° 5.(2026四川泸州模拟预测)小区草坪上的自动喷水装置的旋转角为120°，且它的喷灌区域是一 个扇形.若它能喷灌的扇形草坪面积为4π平方米，则这个扇形的半径是（) A.6米 B.25米 c.o米 D.25米 6.(2026湖南长沙.一模)如图，四边形ABCD内接于⊙0，连接OB,OD.若∠BCD=115°，则 ∠BOD 的度数是() A.650 B.115° C.130° D.140° 7. 2026山东二模)如图，O0中，AB=AC,∠1CB=75°，半径r=1,若将扇形B0C围成一个圆 锥，则圆锥的底面圆的半径为（) 1 A·12 B:6 c.4 D.3 8,(2026山东临沂二模)如图，矩形ABCD中，AB=4,BC=6,以A、D为圆心，半径分别为2 和1画圆，E、F分别是⊙A、⊙D上的一动点，P是BC上的一动点，则PE+PF的最小值是 () D A.6 B.7 C.8 D.10 9,(2026山西阳泉·二模)为改善宜居环境，某社区在广场修建一处圆形花坛.花坛设计图如图所 示，已知M,N是⊙0上两点，以点M,N为圆心画弧，分别与⊙0交于点C,D,E,F,且直径AB与 D,F相切于点0，其中空白部分种植花卉，阴影部分种植草坪，若48=10m,则种植草坪的面积 为（)】 M D B 25w m 25255m A·3 B.34 (100m-255m2 c.3 10.(2025·山东滨州模拟预测)如图，△ABC的角平分线CD交其外接圆O于点D,以下说法不正 确的是（) B D A.若∠ACB=60,则V5CD=C1+CB B.若∠ACB=90 ，则V2CD=CA+CB C.若∠ACB=120°，则CD=CA+CB D.若∠ACB=150°， 则6-V5)cD=CA+CB 二、填空题 11.(25-26九年级上浙江湖州阶段检测)已知直角△ABC中，AB=8,AC=6,则其外接圆的半 径是■ 12.(25-26七年级下.山东潍坊期末)已知⊙0的半径为5cm,P是o0内一点，OP=3cm,则点P 到⊙O上各点的最大距离是 cm. 13,(2026吉林.中考真题)如图，车轮的半径01=30cm,车轮边缘上一点A绕点0转过的角 ∠AOB=80° AB cm 则劣弧的长为 (结果保留) 80° 14.(2026浙江台州.二模)如图，AC是⊙0的直径，AB与⊙0相切，A为切点，连接BC,交⊙0 于点D,已知∠ABC=50°，4C=6.则D的长为 15.(25-26八年级下江苏南京期末)如图，四边形ABCD是O0的内接四边形，BE是⊙0的直径 连接CE,若∠BAD=104°，∠DCE= 16. (2026,广东肇庆三模)如图.PA,PB是O0的两条切线，A,B是切点，C是MB 上一点，过 点C画⊙O的切线，分别交PA,PB于点D,E,PA=l2cm,则△PDE的周长是 cm. A 17.(2026浙江绍兴.二模)如图，在⊙0中，弦AB,AC分别是O0的内接正三角形和内接正方形 的一条边，连接BC,BC也是⊙O的内接正n边形的一条边，则n的值是 18.(2026浙江杭州二模)如图，一个长为8，宽为6的长方形木板斜靠在水平桌面上的一个小方 块上，其长边与水平桌面成30°夹角，将长方形木板按逆时针方向做两次无滑动的翻滚，使其长边恰 好落在水平桌面1上，则木板上点A滚动所经过的路径长为 (结果保留π) 309 19.(2026江苏连云港.三模)定义：有一个圆分别和一个三角形的三条边各有两个交点，截得的三 条弦相等，我们把这个圆叫作“等弦圆”，现在有一个斜边长为10的等腰直角三角形，当等弦圆最大 时，这个圆的半径为 20.(2026广东广州二模)如图，已知四边形ABCD是边长为6的正方形，E为CD上一点，且 DE=2 F BC E,EG⊥AF P AB 为射线上一动点，过点作 1于点P,交直线1B于点G.当BF=2用 “时 GE= F PC ；在 点运动过程中，的最小值为」 D P B 三、解答题 21,(25-26九年级上山东菏泽阶段检测)如图，P是⊙O的弦BA延长线上的一点，BA=AP=2 OP=5 ⊙0 求 的半径. A 22.(2026广东一模)如图，在⊙0中，半径为5，AB=6 B (1)请用尺规作图法过点O作AB的垂线，交AB于点C,交劣弧AB于点D,保留作图痕迹（不写作 法)； (2)求CD的长. 23.(25-26九年级上·北京·阶段检测)石拱桥是中国传统桥梁四大基本形式之一，它的主桥拱是圆 弧形.如图，已知某公园石拱桥的跨度AB=16米，拱高CD=4米，那么桥拱所在圆的半径是多少米？ 入 B 24.(2026宁夏.中考真题)如图，△ABC内接于⊙0，AB是直径，∠ABC=40°.点D是⊙0上一点 且与点C位于AB两侧，D=CD,过点D作DE1CB交CB的延长线于E,连接CD D B (1)求∠DCB的度数： (2)求证：DE是OO的切线. 25.(2026·广东江门三模)如图，经过A,B两点的优弧与海岸线AB围成的区域是一个暗礁区，点 O是该优弧所在圆的圆心，船C在暗礁区外行驶，连接AC交优弧于D. (1)实践与操作：使用直尺和圆规，在图中确定暗礁区内离海岸线AB最远的点E;(保留作图痕迹， 不要求写作法) (2)应用与说理：连接AE,BE,测得∠AEB=60°，若要使船C不会进入暗礁区，则∠ACB的大小应保 持在什么范围内？ 26.(25-26九年级上·云南昆明期末)如图，⊙O是△ABC的外接圆，AB为⊙0的直径，∠ACB的平 分线CD交AB于点F,交OO于点D,连接AD,过点D作DE‖AB,交CB的延长线于点E. D D B 备用图 (1)若∠BAC=20°，求∠ADC的度数； (2)求证：直线DE是⊙0的切线； (3)是否存在常数m,n,使得等式ACBC=mCD2-AD成立？若存在，请直接写出一个m的值和一 个的值，并证明你的结论；若不存在，请说明理由· 27,(2026·内蒙古通辽·三模)综合与实践 问题提出：探究线段之间的数量关系，通常将一个图形分割成几个图形，根据面积不变，获得线段 之间的数量关系. D 图1 图2 图3 (1)探究发现：如图1，在矩形ABCD中，AB=3,∠ABO=60°，P是BC边上一点，过点P作 PH LBD于点PN AC王N PH+PN 于点，则 (2)实践应用：如图2，在△ABC中，AB=8,BC=3,∠B=60°，把△ABC绕点A逆时针旋转到 △AED E BC CD、AEP P,PH⊥AC-LHPN⊥ADN 点在延长线上，连接交于点，过点”作 于点 于点 求PH+PW的值； (3)拓展延伸：如图3，已知AB是半圆OO的直径，AC,BE是弦，AC=BE,P是AB上一点， PD⊥AC 垂足为点D,MB=13AD=1.BD=40.求Sc+S腰的值 答案 题号 1 2 3 6 7 8 9 10 答案 D B B C D C B B D D 1.D 【详解】三角形的外心是三角形中三边垂直平分线的交点， 故选：D. 2.B 【详解】：⊙O的半径r=10cm,点A到圆心O的距离OA=8cm ..OA<r ⊙0 “点 内 3.B 【详解】解：设⊙0的半径为rcm =mr 180· n=108°，1=3πcm :代入公式得3玩=108u 180 解得r=5,即⊙0的半径为5cm, 4.C 【详解】解：连接BC 是半圆O的直径 B.:AB .∠ACB=90° :∠BAC=60° .∠ABC=90°-∠BAC=30° AC=AC ,∠D=∠ABC=30° 5.D 【详解】设该扇形的半径为R米， nπR2 扇形面积公式 S扇形=360， 本题中n=120°，S扇形=4π 120元R2 =4π ∴.代入公式得360 元R2 =4π 化简得3 R2 等式两边同时除以不，得了4 整理得R2=12 半径为正数 R=D=25米 故选：D. 6.c 【详解】解：四边形ABCD内接于⊙O ∴∠A=180°-∠BCD=65° 由圆周角定理可得：∠BOD=2∠A=130°， 7.B 【详解】解：连接AB A B ·AB-AC .AB=AC, .∠ACB=75°=∠ABC .∠A=180°-2×75°=30° ∴.∠BOC=2∠A=60° 设圆锥的底面圆的半径为x:则2xr-60x 180 1 解得x= 6 8.B 【详解】解：如图，以BC为轴作矩形ABCD的对称图形A'BCD'以及对称⊙D',连接 交BC于P则EF就是 AD'、BCP E+PF 最小值 A 矩形 中， 的半径为2， 的 D'i ABCD AB=4BC=6⊙A ⊙D 半径为1， .A'D'=BC=6 AA'=2AB=8 AE=2 D'F'=DF=1 .AD=V62+82=10 .EF'=10-2-1=7 :(PE+PF)in=PE+PF'=EF'=7 9.D 【详解】解：连接OM,OD,MD过点O作OH⊥MD M 则OD=OM=MD=5 .△OMD是等边三角形 .∠DOM=60°，∠DOB=30° m-月 .om5 1 4 xx×5-55-25255 60° ∴弧MD与线段MD围成的面积为： π- 4 6 4 25255 ~弧0D与线段0D围成的面积为：6π- 4 30° ~弧OD,弧BD与线段O8围成的面积为.360×x5-( 5常 4 ∴阴影部分的面积为 -小4=255- 25325m）】 ∴.种植草坪的面积为 3/m2 10.D 【详解】解：如图所示，连接DA,DB,延长CB至E,使得BE=AC,连接DE, E △ABC的角平分线CD交其外接圆O于点D, .∠ACD=∠BCD AD=BD ∴AD=BD, ·四边形ADBC是圆内接四边形 .∠ADB+∠ACB=180° .∠ACB=60° .∠ADB=120°，∠ACD=∠BCD=30° ∠CAD+∠CBD=-180°，∠CBD+∠DBE=180° .∠DBE=∠DAC 又：DB=DA,BE=AC ·△DBE≌aDAC(SAS) .∠E=∠DCA=∠DCE=30° 过点D作DF⊥CE于点F, ..CD=2DF CF=EF .CF-DF-cp 2 、CB+AC=CB+BE=CE=2CF=V5CD,即V5CD=CA+CB.故A正确： 如图所示，∠ACB=90°，同理可得 DBE≌ADAC(SAS) ∴.∠E=∠DCE=45° :V2CD=CE=CA+CB,故B正确： B …E D 如图所示，∠ACB=I20°，同理可得△DBE≌aD1C(SAS) .∠E=∠DCE=60° .CD=CE=CA+CB,故C正确； C B E D 如图所示，∠CB=150°，同理可得△DBE≌aDAC(SAS) .∠E=∠DCE=75°，CE=CA+CB B E O. D 如图所示，作△CDE的外接圆⊙P,连接PC,PD,PE,延长DP交CE于点？， D E :∠CDE=180°-2∠DCE=30° .∠CPE=2∠CDE=60° .PC=PE .△PCE是等边三角形 ·DC=DE,PC=PE .DQ⊥CE 0-o0-i0-5ce D0-cE-cE-c 在R0p.0-@0-f-cE-62c 6+2=*5+4)- cD-cecr √2 2 ncE-20-6c0 1+V32 6-CD-CA+CB ∴.2 故D不正确 故选：D. 11.4或5 【详解】解：当AB=8是直角边时，斜边BC=VG+8=10,则其外接圆的半径是 }c-5 当AB=8是斜边时，则其外接圆的半径是)4B=4. 故答案为：4或5. 12.8 【详解】解：⊙0的半径为5cm,OP=3cm, ..OP<5cm p⊙O 即点在内， 点？到00上各点的最大距离为 +3=8cm 40 13.3π 【详解】解：由题意可知，车轮半径r=30cm,圆心角n=80° 劣弧AB的长= 0-π·30 180 2400元 180 40」 3π. 4 4 【详解】解：连接OD 4C是0的直径，4B与0 ∠ABC=50° 相切 ∴.∠BCA=40°， 即∠DCA=40° .∠DOA=80° D :AC=6 .0C=3 80×π×34 :D的长为180 =一π 3 15.14 【详解】解：：四边形ABCD是⊙O的内接四边形 .∠BAD+∠BCD=180° 又∠BAD=104° .∠BCD=76° :BE是⊙O的直径， .∠BCE=90° .∠DCE=∠BCE-∠BCD=14° 16.24 【详解】解：：PA和PB是⊙O的两条切线， :PA=PB=12 同理可得：DA=DC,EB=EC ∴△PDE的周长=PD+DE+PE PD+DC+EC+PE PD+DA+EB+PE PA+PB=24(cm) 17.12 【详解】解：连接OA、OB、OC,如图 B ,AB,AC分别为⊙O的内接正三角形和内接正方形的一条边， ∠A0C=360 4 =90°，∠40B=360° =120° 3 ∴.∠BOC=∠AOB-∠AOC=30° ,BC也是⊙O的内接正n边形的一条边 360° ∴.n= 30° 12 23_23π 18.3π13 【详解】解：由勾股定理得矩形的对角线长为V⑧+6=10 第-次翻滚，点4经过的路径长为1=60x8_8。 18037, 第二次翻滚点4经过的路径长为马=90X10 5π 180 侧点4滚动所经过的路径长为+5=。 8 π. 19.10-5√2 【详解】解：如图所示： D 如图，⊙0与等腰直角△ABC的三条边都有两个交点，截得的三条弦CG,DE,CF相等， ·,同一个圆中，弦相等则弦心距相等， ∴.等弦圆OO的圆心到等腰直角△ABC三条边的距离相等，故圆心O就是等腰直角△ABC 的内心 ∴当⊙O过C时，且在等腰直角三角形ABC的三边上截得的弦相等，即CG=CF=DE 此时⊙0最大， 过点O分别作弦CG,CF,DE的垂线，垂足分别为P,N,M,连接OC,OA,OB .CG=CF=DE ∴.OP=OM=ON ∠ACB=90°，AB=10,AC=BC :4C=BC=5x10=5N2 2 S40c+S.Boc+S.408=S.48c COPC.OW 设OM=x,则OP=ON=x :.5V2x+5V2x+10x=5V2x5V2 解得：x=5V2-5 即OP=ON=52-5 在.CON中，∠0Cv-5AC8=45 0C=V20N=10-5N2 210 √34-10 20 【详解】如图1，过点E作EH∥AD交AB于点H. A 0 E P G 四边形 是正方形 B 图1 ABCD .∠B=∠HAD=90°AH∥EDAB=AD EG⊥AF .∠GPF=90° .∠B+∠GPF=180° '∠B+∠GPF+∠BGP+∠BFP=360° ∴.∠BGP+∠BFP=180° ·.·∠BGP+∠HGE=180° .∠BFP=∠HGE :AHI‖EDEH∥AD ∴四边形AHED是平行四边形， ∠HAD=90° “平行四边形AHED是矩形 ∴.EH=AD∠AHE=90° ,∴.EH=AB=6∠GHE=180°-90°=90° ∴.∠GHE=∠B=90° 在△EIHG和△ABF中， ∠HGE=∠BFA ∠GHE=∠B EH=AB ∴△EHG≌△ABF(A,A,S) ∴HG=BF=2 在Rt△EHG中GE=VHG2+EH=V2+6=2V10 如图2，取AE的中点O,过点O作OK∥AD交DE于点K,连接OC. F 图2 :EG⊥AF ∴.∠APE=90° 1 点P在以4为直径，点为圆心的圆上.作出0.并设00与0C交于点”，连接 0 ⊙0 OP PC≥OC-OP=OC-OP'=CP 当点'与点尸重合时。PC有最小值最小值为CP的长. P' CP “点◇为的中点 AE OK∥AD OK=KE_OE 1 AD DEAE2 0K=40=x6=3,KE=DE=x2=1, .CK=KE+(CD-DE)=1+(6-2)=5 ABCD 四边形 是正方形 .∠ADC=90° .OK I AD .∠OKC=∠ADC=90° 在RtAOKC中，OC=VOK2+CK2=V32+5=V34 在Rt△ADE中AE=VAD2+DE2=V6+2=210 00的半径为号1E=V10 ∴.Op'=V10 .CP'=OC-OP'=34-10 即PC的最小值为VS4-i0 21.7 【详解】解：如图，过点O作OC⊥BA于点C,连接OA, B OC⊥BA于点C,BA=2 :.4C-1B4-1 2 .AP=2 .CP=AC+AP=3 ..OP=5 ∴在Rt△COP中，OC=VOp2-Cp=4 在RtaA0C中，0A=VOC2+AC=V7 即00的半径为而 22.(1) 解：如图所示： B (2)OC⊥AB 六4C=CB=54B=3,∠AC0=w 半径OA=5 ∴在Rt△AC0中0C=VOAP-AC=V52-32=4 .CD=OD-OC=5-4=1 23.10米 【详解】解：：OC经过圆心O,且OC⊥AB,垂足为D,AB=16m :AD=BD=14B-8m 2 设⊙0的半径是r .CD=4m :0D=0C-CD=(-4)m 由勾股定理得到OA=AD2+OD 故2=(-4}+8 解得r=10 ∴.桥拱所在圆的半径是10米. 24 【详解】(1)解：如图所示，连接AD :AC=AC∠ABC=40° D ∴.∠ADC=∠ABC=40 AD=CD ∠DCA=∠DAC=180°.∠ADC=1809.40°=70° 2 2 AB⊙O 是 的直径， .∠ACB=90° ∴.∠DCB=∠ACB-∠DCA=90°-70°=20° (2)证明：如图所示，连接OD D E A DE⊥CB .∠E=90° ∴.∠CDE=90°-∠DCE=90°-20°=70° BD=BD ∴.∠DAB=∠DCE=20° .OA=OD .∠ODA=∠OAD=20° .∠ODC=∠ADC-∠AD0=40°-20°=20° .∠ODE=∠ODC+∠CDE=20°+70°=90°OD⊥DE ,即 又：OD是⊙O的半径 DE是o0 切线· 25.(1)如图所示，点E即为所求； E B (2)解：如图，连接BD E 则由圆周角定理可得，∠ADB=∠AEB=60° 要使得船C不会进入暗礁区，则点C在优弧AB外即可， .∠ADB>∠ACB .0°<∠ACB<60° 26 【详解】(1)解：AB是⊙O的直径 .∠ACB=90°. .在Rt△ABC中，∠BAC=20° .∠ABC=90°-∠BAC=70° .∠ADC=∠ABC=70° (2)证明：连接OD,BD B :CD是∠ACB的平分线 由(1)知，∠ACB=90° .∠ACD=∠BCD=45° AD=BD .AD=BD 又.OA=OB .OD⊥AB ·DE I AB .DE⊥OD ,OD是⊙0的半径， 直线DE是⊙O的切线· (3)存在，m=1,n=1. 证明：连接BD,过点A作AH⊥CD于点H,过点B作BG⊥CD于点G,设 AH=a,DH=b 则∠AHD=∠DGB=90° ∴.∠ADH+∠DAH=90° 0 G :AB是⊙O的直径， .∠ADB=90° .∠ADH+∠BDG=90° .∠DAH=∠BDG 由(2)知，AD=BD .△ADH≌△DBG(AAS) .DG=AH=a,BG=DH=b 由(2)知∠ACD=∠BCD=45° .∠AHC=∠BGC=90° ∴.△ACH和△BCG都是等腰直角三角形， ..CH=AH=a BG=CG=b AC=AH+CH=a BC=BG2+CG=2b .AC.BC=2ab .CD=(CH+HD)=a+2ab+b AD2=AH2+DH2=+b .CD2-AD2=2ab .AC.BC=CD2-AD2 即AC·BC=1CD-1·AD2 ∴.m=1n=1成立. 7ag6 (2)PH+PN-J5 (35c+5pe=30 【详解】(1)解：四边形ABCD是矩形 :.0A-OC-AC.OB=2BD.AC=BD:ZABC-90 2 2 ..OA=OB .·∠AOB=60° .△AOB是等边三角形 ..OA=OB=OC=AB=3 .AC=6 .BC=VAC2-AB2=V62-32=3V5 5e=4B-8c3x35-9y5 2， 95 4 连接OP,如图， H 图1 :PH⊥BD于点H,PN⊥AC于点N, OC.P3xP5 2 PI P (2)解：由旋转性质得，AB=AE,AC=AD,∠BAC=∠EAD .∠B=60° ∴△ABE为等边三角形 .∠BAE=60° BE=AB=8 .∠EAD=∠BAC ∴.∠EAD+∠CAE=∠BAC+∠CAE ∴.∠CAD=∠BAE=60° △ACD为等边三角形 过点A作AG⊥CE于点G:如图则BG=)BE=4 2 M D B CG 图1 .CG=BG-BC=4-3=1 AG=AB2-BG2=8-4=43 AC=G+CG-(4)+P-7 .AD=AC=7. 过点D作DM⊥4C于点M则4M=号4C-子 2 .CDM-CPHDPN 1 2 pm+W=DM-5 (3)解：如图2，延长AC、BE相交于点T,过点P作PS⊥BE于点S,连接BC,设 CD=x T E 是半圆的直径 图2 .·AB 0 .∠ACB=90° AB=13 AD=1 BD=410 在RiAABC中， BC2=AB2-AC2-132-(1+x月 在RtABCD中，BC2=BD2-CD=(41O-x2 (41o-x2=132-(1+x} 解得x=4, ..BE=AC=AD+CD=1+4=5 .AC=BE .AC=BE :AE=BC ∴.∠ABT=∠BAT ..TA=TB 连接TP BC⊥TA,PD⊥AC,PS⊥BE Sam48c-7D+Bs ∴.BC=PD+PS BC=VAB2-AC2=V132-52=12 .PD+PS=12 .AC=BE Se+5E4C-pD+E时 1 =xAC(PD+PS) 2 ×5×12 2 =30