第十四章《全等三角形》专题 三角平分线的性质和判定 学案 2026-2027学年人教版数学八年级上册

第十四章《全等三角形》 专题三 角平分线的常考题型 —— 姓名： 1． 知识回顾 角平分线的做法： 作图依据 1. 如图，在中，，按以下步骤作图：①以点A为圆心，小于AC的长为半径画弧，分别交AB，AC于点E，F；②分别以点E，F为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于点G；③作射线AG交边BC于点D，则的度数为          . 角平分线的性质： 文字语言： 上的点到角两边的 相等. 几何语言： 2. 如图，OP平分，于点A，点Q是射线OM上的一个动点，若则PQ的最小值为       . 第2题图 第3题图 3.如图，D是的平分线上的一点，过点D作，，垂足分别为E，下列结论不一定成立的是      A. B. C. D. 角平分线的判定： 文字语言：角的 到角两边 的点在角的平分线上. 几何语言： 4.如图，在中，，于点E，，，则的度数为     A. B. C. D. 三角形的角平分线： 文字语言：三角形的三条内角平分线 交于一点 ，并且这点到三边的距离 相等 .这个点叫作三角形的内心 常考内容： ①PD=PE=PF ② 5. 如图，的三边AB、AC、BC的长分别为4、6、8，其三条角平分线将分成三个三角形，则：：       . 2． 例题讲解 例1. 如图，的的外角的平分线BD与的外角的平分线CE相交于点求证： （1）点P到三边AB，BC，CA所在直线的距离相等． （2）点P在∠CAB的角平分线上 例2. 如图，四边形ABCD中，，AM平分交BC于点M，M为BC的中点，连接 求证：平分； 例3. 如图，于E，于F，若， 求证：AD平分； 若，，求AB的长. 例4. 如图，，OM平分，直角三角板的顶点P在射线OM上移动，两直角边分别与OA、OB相交于点C、D，问PC与PD相等吗？试说明理由． 变式：如图，PA=PB，∠1+∠2=180°．求证：OP平分∠AOB． 3． 课后作业 1．下列作图中，点到，两边距离相等的是（    ） A． B． C． D． 2．如图，在中，，点在边上，且于点，于点．若，则的度数为（   ） A． B． B． D． 第2题图 第3题图 3.如图所示的是三条相互交叉的公路，现要建一个货物中转站，要求它到三条公路的距离相等，则可供选择的地点有(    ) A. 1处 B. 2处 C. 3处 D. 4处 4．如图，在中，，以点为圆心，小于长为半径画弧分别交、于点、，又分别以、为圆心，大于为半径画弧交于点，连接交于点D．已知，则的面积是（     ） A． B． B． D． 第4题图 第5题图 5．如图，的三边，，的长分别是，，，是内一点，且，则等于（    ） A． B． C． D．不能确定 6．如图，，和分别平分和，过点，且与垂直．若，则点到的距离是（     ） A. B． C． D． 第6题图 第7题图 7．如图，在中，点是，的平分线的交点，，过作于点，且，则的面积是（     ） A．12 B．16 C．24 D．30 8．如图，在中，P为上一点，，垂足为R，，垂足为S，，，下面的结论：①；②；③．其中正确的是（     ） A． ①② B．②③ B． ①③ D．①②③ 第8题图 第9题图 9．如图，、分别是的外角、的平分线．小明经过分析后，得出了以下结论：①点P在的平分线上；②；③点P到、、的距离相等．则正确的是（     ） A． ①② B．①③ C．②③ D．①②③ 10．如图，在中，，平分交于点D，，垂足为E，，求证：平分． 11．已知于，于，、相交于点，平分．求证：． 12．已知点是平分线上一点，的两边，分别与射线，相交于，两点，过点作，垂足为，． (1)若，则点到的距离是________； (2)如图1，当点在线段上时，则和满足什么数量关系？请说明理由； (3)如图2，当点在线段的延长线上时，若，，，求． 学科网（北京）股份有限公司 $第十四章《全等三角形》 专题三角平分线的常考题型 一一 姓名： 知识回顾 角平分线的做法： 作图依据」 B 1.如图，在△ABC中，∠C=90°，∠CAB=50°.按以下 步骤作图：①以点A为圆心，小于AC的长为半径画弧， 分别交AB,AC于点E,F;②分别以点E,F为圆心， 大于二EF的长为半径画弧，两弧相交于点G;③作射 线AG交边BC于点D,则∠ADC 的度数为 角平分线的性质： 文字语言： 上的点到角两边的 相等 几何语言： 2.如图，OP平分∠MON,PA⊥ON于点A,点Q 是射线OM上的一个动点，若PA=2.则PQ的最小值 为 -B 第2题图 第3题图 3.如图，D是∠AOB的平分线上的一点，过点D作 DE⊥OA,DF⊥OB,垂足分别为E,F.下列结论 不一定成立的是() A.DE-DF B.OE=OF C.∠ODE=∠ODF D.OD=DE+DF 角平分线的判定： 文字语言：角的 到角两边 的点在角 的平分线上 几何语言： D B 4.如图，在△ABC中，∠C=90°，DE⊥AB于点E, CD=DE,∠CBD=26,则∠A的度数为() A.34 B.36 D C.38 D.40 三角形的角平分线： 文字语言：三角形的三条内角平分线交于一点一，并 且这点到三边的距离相等这个点叫作三角形的内心 常考内容： ①PD=PE=PF D 1 ②SA4BC= CAABC 2 5.如图，△ABC的三边AB、AC、BC的长分别为4、6、 8,其三条角平分线将△ABC分 成三个三角形，则SoAB: S.OAC:S.oBc= 二. 例题讲解 例1.如图，△ABC的∠ABC的外角的平分线BD与 ∠ACB的外角的平分线CE相交于点P.求证： (1)点P到三边AB,BC,CA所在直线的距离相等. (2)点P在∠CAB的角平分线上 D 例2.如图，四边形ABCD中，∠B=∠C=90°，AM平 分∠BAD交BC于点M,M为BC的中点，连接DM. 求证：(I)DM平分∠ADC; (2)AD=AB+CD. B 例3.如图，DE⊥AB于E,DF⊥AC于F,若 BD=CD,BE=CF. (I)求证：AD平分∠BAC: (2)若AC=6,BE=1,求AB的长. B F 例4.如图，∠AOB=90°，OM平分∠AOB,直角三角 板的顶点P在射线OM上移动，两直角边分别与OA、 OB相交于点C、D,问PC与PD相等吗？试说明理由. M C ○ DB 变式：如图，PA=PB,∠1+∠2=180°.求证：OP平分 ∠AOB. 三.课后作业 1.下列作图中，点M到AB,BC两边距离相等的是() M 2.如图，在△ABC中，∠A=∠C=70°，点D在边AC上， 且DE⊥AB于点E,DF⊥BC于点F.若DE=DF, 则∠ABD的度数为() A.20° B.35 B.40° D.50° 第2题图 第3题图 3.如图所示的是三条相互交叉的公路，现要建一个货物 中转站，要求它到三条公路的距离相等，则可供选择的 地点有() A.1处 B.2处 C.3处 D.4处 4.如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，以点A为圆心， 小于AC长为半径画弧分别交AC、AB于点P、Q,又 分别以P、2为圆心，大于PQ为半径面弧交于点M, 连接AM交BC于点D.己知AB=5,CD=2,则△ABD 的面积是() A.2 B.3 B.4 D.5 A 第4题图 第5题图 5.如图，△ABC的三边AB,AC,BC的长分别是10， 15,20,O是△ABC内一点，且 SAs:S4oc:SBc=2:3:4,则A+∠2+∠3等于（) A.60° B.90° C.120° D.不能确定 6.如图，AB∥CD,BP和CP分别平分∠ABC和∠DCB, AD过点P,且与AB垂直.若AD=8,则点P到BC的 距离是() A.8 B.6 C.4 D.2 R B 第6题图 第7题图 7.如图，在△ABC中，点O是∠ABC,∠ACB的平分线 的交点，AB+BC+AC=12,过O作OD⊥BC于点D, 且OD=2,则△ABC的面积是() A.12 B.16 C.24 D.30 8.如图，在△ABC中，P为BC上一点，PR⊥AB,垂 足为R,PS⊥AC,垂足为S,∠CAP=∠APQ,PR=PS, 下面的结论：①AS=AR;②QP∥AR; ③△BRP≌△CSP.其中正确的是() A.①② B.②③ B.①③ D.①②③ B R B 第8题图 第9题图 9.如图，BP、CP分别是△ABC的外角∠CBD、∠ECB 的平分线.小明经过分析后，得出了以下结论：①点P 在∠BAC的平分线上：②BP=CP:③点P到AD、AE、 BC的距离相等.则正确的是() A.①② B.①③ c.②③ D.①②③ 10.如图，在△ABC中，∠B=90°，AD平分∠BAC交BC 于点D,CE⊥AD,垂足为E,BD=ED,求证：CD平 分∠ACE. 11.己知BE⊥AC于E,CF⊥AB于F,BE、CF相 交于点D,AD平分∠BAC.求证：BD=CD. F 12.已知点C是∠MAN平分线上一点，∠BCD的两边 CB,CD分别与射线AM,AN相交于B,D两点，过 点C作CE⊥AB,垂足为E,∠ABC+∠ADC=180°. -M E B B E 图1 图2 (1)若CE=4,则点C到AN的距离是 (2)如图1，当点E在线段AB上时，则BC和CD满足什 么数量关系？请说明理由： (3)如图2，当点E在线段AB的延长线上时，若AE-5, AD=6,CE=3,求SBcE 第十四章《全等三角形》 专题三 角平分线的常考题型 —— 姓名： 1． 知识回顾 角平分线的做法： 作图依据SSS 1.如图，在中，，按以下步骤作图：①以点A为圆心，小于AC的长为半径画弧，分别交AB，AC于点E，F；②分别以点E，F为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于点G；③作射线AG交边BC于点D，则的度数为          . 【答案】  角平分线的性质： 文字语言： 角平分线 上的点到角两边的 距离 相等. 几何语言： ∵OC平分∠AOB 且PD⊥OA,PE⊥OB ∴PD=PE 2.如图，OP平分，于点A，点Q是射线OM上的一个动点，若则PQ的最小值为      . 【答案】2  【解析】解：根据题意可得：线段PA的长表示点P到ON的距离， 平分，于点A， 点P到OM的距离等于点P到ON的距离， 即点P到OM的距离为2， 故当时，PQ的值最小， 的最小值是 故答案为： 3.如图，D是的平分线上的一点，过点D作，，垂足分别为E，下列结论不一定成立的是      A. B. C. D. 【答案】D  角平分线的判定： 文字语言：角的 内部 到角两边 距离相等 的点在角的平分线上. 几何语言： ∵PD⊥OA,PE⊥OB 且PD=PE ∴OC平分∠AOB 4.如图，在中，，于点E，，，则的度数为     A. B. C. D. 【答案】C  【解析】【分析】 此题主要考查了三角形内角和定理和角平分线的判定，难度适中，熟练掌握三角形内角和定理和角平分线的性质是解题的关键. 首先根据角平分线的判定可得BD平分，即可求得，然后利用三角形内角和定理求解即可. 【解答】 解：于点E，，， 平分， ， ， 故选 三角形的角平分线： 文字语言：三角形的三条内角平分线 交于一点 ，并且这点到三边的距离 相等 .这个点叫作三角形的内心 常考内容： ①PD=PE=PF ② 5.如图，的三边AB、AC、BC的长分别为4、6、8，其三条角平分线将分成三个三角形，则：：      . 【答案】2：3：4  【解析】解：如图，过点O作于点D，于点E，于点F， 是三角形三条角平分线的交点， ， ，，， ：： ：： ：AC：：6：8 ：3： 故答案为：2：3： 过点O作于点D，于点E，于点F，根据角平分线的性质得，再由三角形面积公式即可解决问题． 此题考查了角平分线的性质以及三角形面积等知识，熟练掌握角平分线的性质是解题的关键． 2． 例题讲解 例1. 如图，的的外角的平分线BD与的外角的平分线CE相交于点求证： （1）点P到三边AB，BC，CA所在直线的距离相等． （2）点P在∠CAB的角平分线上 【答案】证明：（1）如图所示，过点P分别作PF，PG，PH垂直于直线AC，BC，AB，垂足分别为点F，G， 是 的平分线，点P在BD上， 同理，   故点P到三边AB，BC，CA所在直线的距离相等． 由（1）得PF=PH， 又∵PF⊥AC,PH⊥AB ∴点P在∠CAB的角平分线上 例2. 如图，四边形ABCD中，，AM平分交BC于点M，M为BC的中点，连接求证： 平分； 【答案】证明：如图，过点M作于点E， ， ，， 平分，，， ， 又为BC的中点， ， ， ，， 平分； 在和中， ， ， ， 同理可证， ，   【解析】过点M作于点E，由角平分线的性质得，再证，即可得出结论； 证，得，同理可证，即可得出结论． 本题考查了全等三角形的判定与性质、角平分线的性质和判定等知识，熟练掌握全等三角形的判定与性质以及角平分线的判定与性质是解题的关键． 例3. 如图，于E，于F，若， 求证：AD平分； 若，，求AB的长. 【答案】证明：，， ， 在和中， ， ， ， 平分； 解：， ， ， ， 在和中， ， ， ， ， 的长为  【解析】根据垂直定义可得，然后利用HL证明，从而可得，最后利用角平分线性质定理的逆定理，即可解答； 利用的结论可得，从而可得，然后再利用HL证明，从而可得，最后利用线段的和差关系进行计算，即可解答． 本题考查了全等三角形的判定与性质，角平分线的性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键． 例4. 如图，，OM平分，直角三角板的顶点P在射线OM上移动，两直角边分别与OA、OB相交于点C、D，问PC与PD相等吗？试说明理由． 【答案】解：PC与PD相等．理由如下： 过点P作于点E，于点 平分，点P在OM上，，， 角平分线上的点到角两边的距离相等 又，， 四边形OEPF为矩形， ， ， 又， ， 在与中， ， ≌， 变式：如图，PA=PB，∠1+∠2=180°．求证：OP平分∠AOB． 【答案】如图，过点P作，垂足分别为E，F 则 ∵， ∴ 在与中， ∴ ∴ ∴OP平分 3． 课后作业 1．下列作图中，点到，两边距离相等的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.85 【知识点】角平分线的性质定理、作角平分线(尺规作图) 【分析】根据角平分线上的点到角两边的距离相等，以及根据作图痕迹进行判断． 【详解】解：由作图得，选项A中点M在的平分线上， ∴点到，两边距离相等，符合题意； 选项B，C，D中点M不在的平分线上，不符合题意． 2．如图，在中，，点在边上，且于点，于点．若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.85 【知识点】角平分线的判定定理、三角形内角和定理的应用 【分析】本题考查了角平分线的判定，三角形的内角和，掌握以上知识是解答本题的关键；根据角平分线的判定求得是的角平分线，然后根据三角形的内角和知识求得，然后即可求解． 【详解】解：连接，如图： ∵于点，于点，， ∴是的角平分线， ∵， ∴， ∵是的角平分线， ∴， 故选：A． 3.如图所示的是三条相互交叉的公路，现要建一个货物中转站，要求它到三条公路的距离相等，则可供选择的地点有(    ) A. 1处 B. 2处 C. 3处 D. 4处 【答案】D  4．如图，在中，，以点为圆心，小于长为半径画弧分别交、于点、，又分别以、为圆心，大于为半径画弧交于点，连接交于点D．已知，则的面积是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.65 【知识点】角平分线的性质定理、与三角形的高有关的计算问题、作角平分线(尺规作图) 【分析】根据作图痕迹可知是的角平分线，利用角平分线的性质可得点到的距离等于的长，再根据三角形面积公式求解即可． 【详解】解：由作图痕迹可知，是的角平分线， 过点作于点， ，即， ， ． 5．如图，的三边，，的长分别是，，，是内一点，且，则等于（    ） A． B． C． D．不能确定 【答案】B 【难度】0.65 【知识点】角平分线的判定定理、三角形内角和定理的应用 【分析】此题考查了角平分线的判定定理，三角形内角和定理，解题的关键是掌握以上知识点． 如图所示，过点O作于点D，过点O作于点E，过点O作于点F，根据得到，求出，，，然后利用三角形内角和定理求解即可． 【详解】解：如图所示，过点O作于点D，过点O作于点E，过点O作于点F， ∵的三边，，的长分别是，，，且， ∴， ∴，， ∴，， ∴， 又∵，， ∴，， ∴． 故选：B． 6．如图，，和分别平分和，过点，且与垂直．若，则点到的距离是（     ） A. B． C． D． 【答案】C 【难度】0.65 【知识点】角平分线的性质定理、两直线平行同旁内角互补、点到直线的距离 【分析】过点作于，根据角平分线的性质得出，，从而得出，根据，求出结果即可． 【详解】解：过点作于，如图所示： ∵，， ， 和分别平分和， ，， ， ， ， ． 7．如图，在中，点是，的平分线的交点，，过作于点，且，则的面积是（     ） A．12 B．16 C．24 D．30 【答案】A 【难度】0.65 【知识点】角平分线的性质定理 【分析】利用角平分线的性质定理得出点到三角形三边的距离相等，将的面积转化为三个小三角形面积之和进行计算． 【详解】解：如图所示，作于点，作于点，连接， ∵点是的平分线的交点，于点，且， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴． 8．如图，在中，P为上一点，，垂足为R，，垂足为S，，，下面的结论：①；②；③．其中正确的是（     ） A． ①② B．②③ C．①③ D．①②③ 【答案】A 【难度】0.61 【知识点】角平分线的判定定理、全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、内错角相等两直线平行 【分析】利用角平分线的判定定理可证平分，通过等量代换得出，即可证明，推出②正确；利用证明，可得，推出①正确；仅一组对边相等，一组对角相等不足以证明，推出③错误． 【详解】解：∵， ∴平分， ∴， ∵， ∴， ∴，故②正确； 在和中， ， ， ，故①正确； ∵和中，仅一组对边相等，一组对角相等， ∴现有条件不能够证明，故③错误； 综上，正确的是①②． 9．如图，、分别是的外角、的平分线．小明经过分析后，得出了以下结论：①点P在的平分线上；②；③点P到、、的距离相等．则正确的是（     ） A． ①② B．①③ C．②③ D．①②③ 【答案】B 【难度】0.65 【知识点】角平分线的判定定理、角平分线的性质定理 【分析】过点P分别向、、作垂线，利用角平分线的性质，说明这三条垂线段相等，从而说明①③正确． 【详解】解：如图，作，，， ∵、分别是的外角、的平分线， ∴，， ∴，③正确， ∴点P在的平分线上，①正确， 对于②，缺乏足够的条件说明． 9．如图，在中，，平分交于点D，，垂足为E，，求证：平分． 【答案】 证明：如图，过点D作于点F， ∵，是的平分线， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴平分． 【难度】0.85 【知识点】角平分线的性质定理、角平分线的判定定理 【分析】本题考查角平分线性质定理，熟练掌握角平分线定理是解题的关键． 过点D作于点F，根据证得，进而证得，根据角平分线定理证明即可． 10．已知于，于，、相交于点，平分．求证：． 【答案】 证明：∵平分， ， 在和中， ， ， ． 【难度】0.85 【知识点】角平分线的性质定理、全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS） 【分析】本题考查了全等三角形的性质和判定，角平分线的性质应用．根据角平分线性质（角平分线上的点到角的两边的距离相等）求出，根据推出，即可证明． 【详解】略 11．已知点是平分线上一点，的两边，分别与射线，相交于，两点，过点作，垂足为，． (1)若，则点到的距离是________； (2)如图1，当点在线段上时，则和满足什么数量关系？请说明理由； (3)如图2，当点在线段的延长线上时，若，，，求． 【答案】(1)4 (2) 理由：如图1，过点作于点，则， ∵点是平分线上一点， ， ，， ， 在和中，， ， ； (3) 【难度】0.52 【知识点】角平分线的性质定理、全等三角形综合问题 【分析】（1）根据角平分线的性质定理即可求解； （2）过点作于点，利用角平分线的性质定理证明即可； （3）过点作于点，利用角平分线的性质定理证明，再证明即可求解． 【详解】（1）解：∵点是平分线上一点，，， ∴点到的距离是4； （2）解：； 理由略； （3）解：过点作于点，如图， 则， ∵点是平分线上一点， ， ，， ， 在和中，， ， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 $