精品解析：广东省广州市铁一中学2026-2027学年高二上学期10月月考数学试卷

2026-2027学年第一学期高二年级10月月考数学试卷 一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 若为复数， ，则（　　） A. B. C. D. 2. 已知直线与直线间的距离为1，则实数m的值为（ ） A. 14 B. -14 C. 6 D. -14或6 3. 已知函数，若，则的值是（     ）． A. B. C. 或 D. 或 4. 已知平行六面体的所有棱长均为，，则异面直线与所成角的余弦值为（     ） A. B. C. D. 5. 设函数，，若对均成立，则下列结论中一定成立的是（     ） A. ，总有 B. ，总有 C. ，总有 D. ，总有 6. 已知在中，顶点在轴，，若边上的中线所在直线的斜率为，则的面积为（     ） A. B. C. D. 7. 已知三棱锥中，与是边长为的等边三角形，当三棱锥的体积取得最大值时，三棱锥的外接球的表面积为（   ） A. B. C. D. 8. 过点的直线可表示为，若直线与两坐标轴围成三角形的面积为4，则这样的直线有（    ） A. 1条 B. 2条 C. 3条 D. 4条 二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．） 9. 下列说法正确的是（   ） A. 某小组有3名男生和2名女生，从中任选2名同学参加演讲比赛，“至少一名男生”和“全是女生”是对立事件 B. 数据13，27，24，12，14，30，15，17，19，23的分位数是23 C. 抛一颗质地均匀的骰子一次，事件“向上点数1或4”，事件“向上点数是奇数”则 D. 数据的平均数为2，方差为3，则数据的平均数为11，方差为27 10. 已知直线：，：，，以下结论正确的是（ ） A. 不论为何值时，与都互相垂直 B. 当变化时，与分别经过定点和 C. 不论为何值时，与都关于直线对称 D. 设为坐标原点，如果与交于点，则的最大值是 11. 已知正四面体的棱长为2，点，分别为和的重心，为线段上一点，则下列结论正确的是（ ） A. 若取得最小值，则 B. 若，则平面 C. 若平面，则三棱锥外接球的表面积为 D. 直线到平面的距离为 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 设是关于的方程的解，则___________． 13. 已知点，点，则点到直线的距离为________. 14. 在平面直角坐标系中，已知动点到两直线与的距离之和为，则的取值范围是______. 四、解答题（本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15. 某校园文创社团对高一进行文创手作体验的学生进行时长调查（单位：分钟），随机抽取了100名学生并将其时长分成五组：第一组，第二组，第三组，第四组，第五组，绘制成如图所示的频率分布直方图． （1）求第一组的频率，并求这100名学生进行文创手作体验时长的平均数（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）； （2）从第四、第五两组学生中采用分层随机抽样的方法选出6名学生，再从这6名学生中随机选出2名学生，求这2名学生来自不同组的概率； （3）若第四组的时长的平均数为54，方差为4，第五组的时长的平均数为66，方差为7，求这两组时长的总平均数和总方差． 16. 如图，在直三棱柱中，，点D、E、F分别为的中点， . （1）求证：平面； （2）求直线与平面所成角的正弦值； （3）求平面与平面夹角的余弦值． 17. 已知直线与直线． （1）若，求的值； （2）若点在直线上，直线过点P，且在两坐标轴上的截距之和为0，求直线的方程； （3）中，为直线过的定点，边上的高所在直线的方程为，边上的中线所在直线的方程为，求直线的方程． 18. 如图，在中，点在边上，且，． （1）若，求； （2）若为的角平分线，求的面积； （3）若为锐角三角形，求的取值范围． 19. 如图，棱长为2的正方体中，E、F分别是棱的中点，G为棱上的动点． （1）是否存在一点G，使得平面？若存在，指出点G位置，并证明，若不存在，说明理由； （2）若直线与平面所成的角为，求三棱锥的体积； （3）（ⅰ）若直线与平面所成角为，求的最大值； （ⅱ）求三棱锥的外接球半径的最小值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年第一学期高二年级10月月考数学试卷 一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 若为复数， ，则（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】因为 ， 所以， 即， 即 可得. 因此的共轭复数为. 2. 已知直线与直线间的距离为1，则实数m的值为（ ） A. 14 B. -14 C. 6 D. -14或6 【答案】D 【解析】 【详解】由题，直线，则两直线距离为或6. 3. 已知函数，若，则的值是（     ）． A. B. C. 或 D. 或 【答案】C 【解析】 【分析】分和两种情况，结合指数运算法则和对数运算法则，代入对应的函数解析式求解. 【详解】因为， 若，则，可得，则， 所以； 若，则，可得，解得（舍去）或； 综上所述：的值是2或0. 4. 已知平行六面体的所有棱长均为，，则异面直线与所成角的余弦值为（     ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】设，则，， ，， ， ，，， ， 则， ， 设异面直线与的夹角为， 则. 5. 设函数，，若对均成立，则下列结论中一定成立的是（     ） A. ，总有 B. ，总有 C. ，总有 D. ，总有 【答案】C 【解析】 【分析】通过确定函数的对称轴为，进而利用奇偶性和对称性的公式结合换元法即可求解. 【详解】因为，所以，所以直线为函数的对称轴， 所以有，令， 代入上式可得，化简为，故C成立； 若成立，令， 代入上式得，即为函数的对称中心， 由三角函数的性质可得若为函数的对称轴， 那么不为函数的对称中心，矛盾，故D错误， ， 若，即， 整理得，要使该式对恒成立， 由于，不恒为0，故，即，与矛盾，故A错误， 若，即， 整理得，要使该式对恒成立， 由于，不恒为0，故，即，与矛盾，故B错误. 6. 已知在中，顶点在轴，，若边上的中线所在直线的斜率为，则的面积为（     ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先利用已知点坐标求出底边及其中点的坐标，结合已知斜率写出中线的方程从而解出位于轴上的顶点的坐标，最后利用点到直线距离公式求出三角形的高，进而计算出的面积. 【详解】直线的方程为，即. 设中点为，即， 则边上的中线AD的方程为， 令，则，解得，所以， 所以到直线的距离为，而， 所以. 7. 已知三棱锥中，与是边长为的等边三角形，当三棱锥的体积取得最大值时，三棱锥的外接球的表面积为（   ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由题意知，当三棱锥的体积取得最大值时，二面角是直二面角，分别过与的外心作两平面的垂线，两垂线的交点即为外接球的球心，然后求出半径，由半径求出外接球的表面积即可. 【详解】当三棱锥的体积取得最大值时，二面角是直二面角，如图，取的中点，连接， 则，且， 且， . 取为与的中心（也是外心）， 过两点分别作直线的垂线，两直线交于点， 因为，，所以，所以平面， 同理平面， 点是三棱锥的外接球的球心，且四边形为矩形. 与是边长为的等边三角形， 在和中，， 又， ， 又，， 平面，. 在中，， 所以外接球的表面积是. 8. 过点的直线可表示为，若直线与两坐标轴围成三角形的面积为4，则这样的直线有（    ） A. 1条 B. 2条 C. 3条 D. 4条 【答案】C 【解析】 【分析】首先判断直线与坐标轴相交的前提，求出直线在轴和轴上的截距，判断一元二次方程的实根个数，不同的实根对应不同的直线，实根个数即为满足条件的直线条数。 【详解】可化为①， 要使与两坐标轴能围成三角形，则且， 由①令得；令得， 依题意，， 所以或， 所以或， 设，则或，则或， 解得或， 即或， 所以这样的直线有条. 二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．） 9. 下列说法正确的是（   ） A. 某小组有3名男生和2名女生，从中任选2名同学参加演讲比赛，“至少一名男生”和“全是女生”是对立事件 B. 数据13，27，24，12，14，30，15，17，19，23的分位数是23 C. 抛一颗质地均匀的骰子一次，事件“向上点数1或4”，事件“向上点数是奇数”则 D. 数据的平均数为2，方差为3，则数据的平均数为11，方差为27 【答案】ACD 【解析】 【详解】对于A，任选2名同学包含“两名男生”，“两名女生”以及“一男一女”， 则“至少一名男生”和“全是女生”是对立事件，故A正确， 对于B，将数据从小到大排列为12，13，14，15，17，19，23，24，27，30， 由于，故分位数为，故B错误， 对于C，由题意得， 得到，故C正确， 对于D，数据的平均数为2，方差为3， 则数据的平均数为， 方差为，故D正确. 10. 已知直线：，：，，以下结论正确的是（ ） A. 不论为何值时，与都互相垂直 B. 当变化时，与分别经过定点和 C. 不论为何值时，与都关于直线对称 D. 设为坐标原点，如果与交于点，则的最大值是 【答案】ABD 【解析】 【分析】A选项，利用两条直线垂直的充要条件即可求解；B选项，求出两直线恒过的点的坐标；C选项，利用点关于直线的对称点，即可求解；D选项，先求出两直线的交点的坐标，再用两点间距离公式，即可求解. 【详解】由于，所以与互相垂直，故不论为何值时，与都互相垂直；A正确； 直线：，当时，，所以恒过点，：，当时，，所以恒过点，故B正确； 设直线：上任意一点，则点P关于直线的对称点为，将点代入直线，可得：，与在直线：上矛盾，故C错误； 联立方程组：，解得：故M点坐标为，则 ，则的最大值是，D正确. 故选：ABD 11. 已知正四面体的棱长为2，点，分别为和的重心，为线段上一点，则下列结论正确的是（ ） A. 若取得最小值，则 B. 若，则平面 C. 若平面，则三棱锥外接球的表面积为 D. 直线到平面的距离为 【答案】BCD 【解析】 【分析】将正四面体放入正方体中，建立空间直角坐标系，对每个选项逐一分析即可． 【详解】将正四面体放入正方体中，以点为原点，以，，所在直线为轴，轴，轴，如图所示， 因为正四面体的长为2， 所以正方体的棱长为， 则，，， 因为点，分别为和的重心， 所以点的坐标为，点的坐标为 所以 设，则， 所以， 所以， ， 对于Ａ：因为， ， 所以， 当时，即，，取得最小值，故A错误； 对于B：若，则， 所以， 因为，，设平面的一个法向量为， 则，取，则， 因为， 所以平面，即平面，故B正确； 对于C：若平面，则，即， ，即， 设平面的一个法向量为，因为，， 则，取，则， 因为， 所以平面，则三棱锥外接球的球心在直线上， 又因为点为等边三角形的重心， 所以点为等边三角形的外心，外接圆半径为， 设三棱锥外接球的半径为， 则，即，解得， 所以三棱锥P－ABC外接球的表面积为，故C选项正确； 对于D：因为点的坐标为，点的坐标为， 所以， 设平面的一个法向量为， 因为，， 所以，取，则， 因为，且直线平面， 所以直线平面， 所以点到平面的距离就是直线到平面的距离， 则点到平面的距离， 即直线到平面的距离为，故D正确， 故选：BCD． 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 设是关于的方程的解，则___________． 【答案】## 【解析】 【分析】根据韦达定理以及求出，即可利用倍角公式求出. 【详解】由题意可知，，解得， 由韦达定理，， 则，解得，符合题意， 则. 故答案为： 13. 已知点，点，则点到直线的距离为________. 【答案】 【解析】 【分析】先求出直线的方向向量和向量，再代入空间点到直线的向量距离公式计算即可. 【详解】由点，，，得： ， , ， ， , 根据空间点到直线的距离公式 . 14. 在平面直角坐标系中，已知动点到两直线与的距离之和为，则的取值范围是______. 【答案】 【解析】 【分析】由题意可知满足为四边形的四边上任意一点，然后画图由几何意义求解即可. 【详解】将直线与的方程化为一般式为， ，所以到两直线的距离之和为：， 所以①. 当时，①式变形为：； 当时，①式变形为：； 当时，①式变形为：； 当时，①式变形为：； 则动点为如图所示的四边形的边， 的几何意义为正方形边上任意一点与连线的斜率. ，，，. 则的取值范围是：. 故答案为：. 四、解答题（本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15. 某校园文创社团对高一进行文创手作体验的学生进行时长调查（单位：分钟），随机抽取了100名学生并将其时长分成五组：第一组，第二组，第三组，第四组，第五组，绘制成如图所示的频率分布直方图． （1）求第一组的频率，并求这100名学生进行文创手作体验时长的平均数（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）； （2）从第四、第五两组学生中采用分层随机抽样的方法选出6名学生，再从这6名学生中随机选出2名学生，求这2名学生来自不同组的概率； （3）若第四组的时长的平均数为54，方差为4，第五组的时长的平均数为66，方差为7，求这两组时长的总平均数和总方差． 【答案】（1）第一组频率为0.23，平均数为41.3； （2）； （3）总平均数，总方差． 【解析】 【小问1详解】 由频率分布直方图性质可得，解得． 故. 【小问2详解】 第四组人数为，第五组人数为，人数比． 因为分层抽样抽取6人，故第四组抽取4人，第五组抽取2人． 从名学生中任意取两人，不同的取法有种， 两名学生来自不同的组的取法有 种， 故这2名学生来自不同组的概率为. 【小问3详解】 ，，；，，， 故， 又 . 16. 如图，在直三棱柱中，，点D、E、F分别为的中点， . （1）求证：平面； （2）求直线与平面所成角的正弦值； （3）求平面与平面夹角的余弦值． 【答案】（1） 在直三棱柱中，平面，且，则 以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立如下图所示的空间直角坐标系， 则、、、、、、、、，则， 易知平面的一个法向量为，则，故， 平面，故平面. （2） （3） 【解析】 【分析】（1）以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立空间直角坐标系，利用空间向量法可证得结论成立； （2）利用空间向量法可求得直线与平面夹角的正弦值； （3）利用空间向量法可求得平面与平面夹角的余弦值. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：，，， 设平面的法向量为，则， 取，可得，. 因此，直线与平面夹角的正弦值为. 【小问3详解】 解：，， 设平面的法向量为，则， 取，可得，则， 因此，平面与平面夹角的余弦值为. 17. 已知直线与直线． （1）若，求的值； （2）若点在直线上，直线过点P，且在两坐标轴上的截距之和为0，求直线的方程； （3）中，为直线过的定点，边上的高所在直线的方程为，边上的中线所在直线的方程为，求直线的方程． 【答案】（1）或 （2）或 （3） 【解析】 【分析】（1）由两直线互相垂直列方程即可求； （2）根据题意求出，分直线的截距均为0和均不为0两种情况讨论即可； （3）由直线求出，由边上的高方程求出，得到直线的方程，联立直线与求出点，设，求出，代入直线的方程，与直线联立得出，即可求直线的方程. 【小问1详解】 因为，所以， 解得或. 【小问2详解】 因为点在直线上， 所以，解得， 因为直线过点P，且在两坐标轴上的截距之和为0， 当两截距均为0时，设直线方程为， 所以，此时直线的方程为； 当两截距均不为0时，设直线的方程为， 将点代入得，解得， 此时直线的方程为， 综上所述，所以直线的方程为：或. 【小问3详解】 由可得， 由得，所以， 因为边上的高所在直线的方程为， 所以直线， 所以直线的方程为：即， 又因为所在直线的方程为， 由解得，所以， 设，则中点， 代入得，整理得， 由，解得，所以， 所以直线的方程为：即. 18. 如图，在中，点在边上，且，． （1）若，求； （2）若为的角平分线，求的面积； （3）若为锐角三角形，求的取值范围． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）在中求出，在中利用余弦定理求出. （2）利用平面向量基本定理和余弦定理求出和边，从而求出的面积. （3）先由互补角余弦定理得到两边的关系，再由锐角三角形得到两边的取值范围，最后用函数单调性求解的取值范围. 【小问1详解】 因为，且，， 所以，则. 在中，由余弦定理得 ，所以. 【小问2详解】 因为，，为的角平分线， 所以，设，则. 而， 将上式两端平方可得， 所以，即. 又由余弦定理得，代入上式解得， 所以，，而，则. 所以. 【小问3详解】 设，，， 由，则得， 整理得，所以． 则. 因为为锐角三角形，所以有，解得， 令，则在上单调递增， 且，，所以． 19. 如图，棱长为2的正方体中，E、F分别是棱的中点，G为棱上的动点． （1）是否存在一点G，使得平面？若存在，指出点G位置，并证明，若不存在，说明理由； （2）若直线与平面所成的角为，求三棱锥的体积； （3）（ⅰ）若直线与平面所成角为，求的最大值； （ⅱ）求三棱锥的外接球半径的最小值． 【答案】（1）存在一点G，当点G为的中点时，使得平面， 连接，如图所示：   ∵点分别是的中点，，同理， 又平面，平面，所以，则， 同理可证：， 又因为平面，∴平面. （2） （3）（ⅰ）（ⅱ） 【解析】 【分析】（1）取点G为的中点，利用线面垂直的判定定理可证； （2）取的中点，根据求出，利用割补法以及求体积； （3）（ⅰ）以点为坐标原点建系，设，利用表示，结合基本不等式求最值； （ⅱ）求证三棱锥的外接球的球心在上，设外接球球心为， 设，，化简得出，结合基本不等式求出，最后求二次函数最值即可. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 取的中点，连接，，由题意可知，平面，且， 是直线与平面所成的角，即，   在中，， ∴在中，， 又 ， ． 【小问3详解】 （ⅰ）以点为坐标原点，分别以所在直线为轴，建立空间直角坐标系，如图所示， 则，，， 设， 所以，， 设平面的法向量为， 则，令，则 若直线与平面所成角为，则 当且仅当，即，时，等号成立. （ⅱ）因为，， 所以，即， 因为平面，平面，所以平面， 又因为，所以三棱锥的外接球的球心在上， 设外接球球心为， 设，，则的坐标为， 则，即， 所以，设，则，则， 而，当且仅当，即时，等号成立， 因为，所以， 三棱锥的外接球的半径 ， 因为，所以，所以， 三棱锥的外接球半径的最小值为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $