九上数学第一章《特殊平行四边形》期中考点总结与练习——考点6《特殊平行四边形（包括平行四边形）的综合》2026-2027学年北师大版数学九年级上册

北师大版九上数学 · 考点讲义系列 北师大版新版数学 · 九年级上册 · 期中知识点及考点讲义系列 第一章 考点 6｜特殊平行四边形（包括平行四边形）的综合——平四联动升级、三大模型链、定形—取性—算量主线 ——第 1 章〈特殊平行四边形〉考点 6—— 讲义定位 内容构成 难度层级 建议使用 期中必考·平四升级·模型链·定形取性算量 知识点总结 → 考点分析 → 例题 6 · 变式 10 · 拔高 8 ★☆☆★★★ 阶梯递进 课前预习 / 课后精练 / 考前逐一过关 使用说明 本资料共 24 题，全部选自网络试卷原题（期中、期末、月考、单元测试等）；原题的点、线位置关系均已改写为文字说明，数值与设问未作改动； 每题按【答案】【解析】【详解】三段式编排，【详解】按学生卷面解题格式逐行分步书写，便于对照板书、模仿格式； 题目空格中的红色文字即为该空答案（含双解与分类讨论），学生自测时可先遮住红色部分再核对； 建议用法：例题教师精讲、学生模仿方法；变式学生限时独立完成；拔高供学有余力者挑战，也可作考前第二轮素材。 本考点与考点速览考点 6 对齐（★★☆~★★★），三条主线：一线平四联动升级——先落实「是平行四边形」再谈特殊性质，书写顺序不能倒；二线三大模型链——对角线模型、中点＋平行模型（常与斜边中线接力）、折叠模型；三线定形—取性—算量——先定形状、分层取性质、界内算量，每一步写明依据——例题学方法，变式练同法，拔高串综合。 PART 01 本考点知识点总结（与考点速览考点 6 保持一致） 考点范围：平四联动升级（判定菱形、矩形的规范书写：先证平行四边形，再加特殊条件——邻边相等得菱形、对角线相等得矩形、菱形加一个直角得正方形；升级行为不可倒序）、三大模型链（对角线模型：平四对角线互相平分，OA=OC、OB=OD，矩形对角线相等、菱形对角线互相垂直；中点＋平行模型：中位线（平行＋一半）、斜边中线（直角＋中点）常接力出现；折叠模型：对应边相等、对应角相等、折痕两旁全等）、定形—取性—算量（先定形状→分层取性质→界内算量：勾股定理及逆定理、等积法、含30°角的直角三角形、全等转移线段）——与考点速览考点 6 三条主线一致。 一、平四联动升级——先「是平四」再「特殊」 ◆ 升级路径：一组对边平行且相等（或对角线互相平分）→平行四边形；加邻边相等→菱形；加对角线相等→矩形；菱形加一个直角（或矩形加邻边相等）→正方形。 ◆ 书写铁律：综合题里判定菱形、矩形必须分两步走——第一步先证四边形是平行四边形，第二步再加特殊条件升级；直接引用特殊性质而跳过平四，是最高频失分点。 二、三大模型链——对角线·中点＋平行·折叠 ◆ 对角线模型：平四对角线互相平分→OB＋OC＝对角线和的一半，常用于周长转化；矩形对角线相等→OA=OB=OC=OD；菱形对角线互相垂直→面积＝对角线乘积的一半。 ◆ 中点＋平行模型：见中点＋平行想中位线（位置＋数量双结论）；见直角＋中点想斜边中线（等于斜边的一半）；两者常与折叠、平四联动接力。折叠模型：折叠后对应边相等、对应角相等、折痕两旁全等，常与平行角链（内错角、同旁内角）接力算角。 三、定形—取性—算量——解题主线 ◆ 定形：判断或证明目标四边形的形状（平行四边形→菱形/矩形/正方形，或直角三角形、等腰三角形）；取性：按定好的形状分层取性质——菱形取邻边相等、对角线互相垂直平分，矩形取对角线相等、四个角是直角，正方形全取；算量：全等转移线段、勾股定理、等积法、含30°角的直角三角形列式计算。 平四升级·模型链·定形算量速记表 主线 核心公式/性质 典型应用 易错点 平四联动升级 先证平四，再加条件：邻边相等→菱形；对角线相等→矩形；＋一个直角→正方形 「求证：四边形××是菱形（矩形）」 跳过平四直接用特殊性质，顺序颠倒 对角线模型 平四对角线互相平分；矩形对角线相等；菱形对角线互相垂直且平分 周长转化（OB＋OC＝对角线和的一半）、多结论判断 平分/相等/垂直三性质用错对象 中点＋平行模型 中位线（平行＋数量的一半）；斜边中线（等于斜边的一半） OE 与 AB 的数量关系、双直角共斜边、面积平分 中位线与斜边中线混用 折叠模型 对应边相等、对应角相等、折痕两旁全等 折叠角链（外角、内错角接力）算角 对应角找错、遗漏平行条件 定形—取性—算量 先定形→分层取性→界内算量（勾股、等积、30°直角边、勾股逆定理） 多结论选择题、不变量探究、周长面积 未定形先取性、算量无依据 易混警示 垂直平分线三件套：垂直＋平分＋到两端等距；过交点作垂线即垂直平分线 MA=MC 周长转化、分类讨论双解 分类讨论遗漏（垂足位置、双解） ◆ 算量四件套：勾股定理（设未知数列方程）、勾股逆定理（验直角）、等积法（同一图形两种底×高）、含30°角的直角三角形（30°角所对的直角边等于斜边的一半）；每一步都写明依据，性质取用与形状严格对应。 四、易错辨析——对角线三性质与双解意识 ◆ 对角线三性质分清：平四只保证互相平分；矩形才保证相等；菱形才保证互相垂直——「相等」与「垂直」都不能提前用。双解与分类：垂足在线段上还是延长线上、动点从两侧相遇、折叠落点位置都可能产生双解，填空题漏解即全错；动点题设未知数 t，按「一组对边平行且相等」列方程。 PART 02 考点分析：特点 · 答题方法 · 注意事项 考点特点 平四联动升级是本章综合的灵魂：判定菱形、矩形的规范书写永远是「先证平行四边形，再加特殊条件」，书写顺序不能倒； 三大模型链覆盖全章综合题：对角线模型（交点O平分对角线，周长、面积由此转化）、中点＋平行模型（中位线、斜边中线接力）、折叠模型（对应边角相等＋平行角链算角）； 定形—取性—算量是解题主线：先定形状→分层取性质→界内算量，每一步写明依据；算量核心是勾股定理及逆定理、等积法、含30°角的直角三角形与全等转移； 本考点与考点速览考点 6 对齐（★★☆~★★★），常以综合解答题与多结论选择题的形式压轴呈现。 答题方法（三步法） 第一步·定形：判断或证明目标四边形的形状——平行四边形→菱形/矩形/正方形逐级升级，书写先平四、再特殊； 第二步·取性：按定好的形状分层取性质——菱形取邻边相等、对角线互相垂直平分；矩形取对角线相等、四个直角；正方形全取； 第三步·算量：用全等转移线段，用勾股定理、等积法、含30°角的直角三角形、勾股逆定理列式计算；设未知数列方程是压轴通法。 注意事项（易错警示） 书写顺序不能倒：跳过平四直接写「因为对角线相等所以是矩形」是综合题最高频失分点； 对角线三性质分清：平四只保证互相平分；矩形才保证相等；菱形才保证互相垂直——取性必须与定形严格对应； 分类讨论别遗漏：垂足在线段上还是延长线上、动点两侧相遇、折叠落点位置都要分情形验证，填空双解漏一即全错； 折叠题先找对应角，再接力平行角链（内错角、外角）；多结论选择题逐条用模型验证，反证法可否决「中点型」结论。 期中常见考法速览 题型 考什么 常见设问 难度 判定与升级 先证平四再升级菱形/矩形/正方形 「求证：四边形××是菱形（矩形）」 ★★☆ 对角线模型 对角线互相平分、相等、垂直的组合应用 「周长为____」「正确结论的个数」 ★★☆ 中点＋平行 中位线、斜边中线、过交点直线平分面积 「OE 与 AB 的数量关系」「面积关系」 ★★☆ 折叠模型 折叠对应角＋平行角链接力算角 「∠AMF 等于____」「∠FED′ 的大小」 ★★★ 定形取性算量 勾股、等积法、30°直角边、勾股逆定理 「周长及面积」「求 AE 的长」 ★★★ 动点与探究 动点截平四条件、不变量、多结论 「当 t 为何值」「值不变的是」 ★★★ 命题边界：本考点考平行四边形与特殊平行四边形的综合（判定与升级、对角线模型、中点＋平行与折叠模型、定形—取性—算量）；素材选自期中、期末、月考、单元测试等网络试卷原题；推理工具均为九年级上册第一章及之前所学内容（平行四边形与特殊平行四边形的性质判定、全等三角形、勾股定理及其逆定理、等腰三角形、直角三角形斜边上的中线、含30°角的直角三角形、中位线、垂直平分线、角平分线、轴对称与折叠），未使用相似、三角比、圆等后续内容。 PART 03 例题精讲（6 题） 例题覆盖：中点＋平行造新平四算周长（选择）→ 平四对角线和转化周长（填空）→ 平四折叠角链（填空）→ 平四对角线垂直平分线证菱形＋周长对角线算面积 → 平四延长线证矩形＋等腰三线合一算线段 → 斜边中线＋中位线接力证菱形。变式覆盖：中位线数量关系（选择）→ 垂直平分线转化周长（填空）→ 角平分线＋等腰算线段（填空）→ 高的位置分类讨论（填空双解）→ 动点截平四（填空）→ 折叠角链＋外角（填空）→ 对角线模型证全等＋矩形判定 → 过中点直线证平四（窗格）→ 平四判定＋30°勾股算线段 → 矩形全等＋等边三角形算面积。拔高覆盖：对角线模型多结论（选择）→ 定形取性算量不变量（选择）→ 正方形多结论＋反证法（选择）→ 平四→菱形→正方形三级联动 → 双高线算周长与面积 → 全等＋等积面积关系 → 正方形构造全等算线段 → 证矩形＋勾股逆定理＋等积算高。 例题组方法提要（先读再做） ◆ 例 1 教中点＋平行：过 D、C 作平行线造新平四 OCED 算周长（选择）； ◆ 例 2、例 3 教对角线模型与折叠：OB＋OC＝对角线和的一半转化周长（填空）；折叠对应角＋平四对边平行接力算角链（填空）； ◆ 例 4、例 5 教平四联动升级：垂直平分线→对角线互相垂直平分→菱形；对角线相等→矩形——先证平四再加条件； ◆ 例 6 教中点＋平行接力：斜边中线接力中位线证菱形； ◆ 计算通法：设未知数→勾股/等积列方程→回代检验。 例 1　选择题 （26-27·四川月考）平行四边形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，过点D作DE∥AC，过点C作CE∥BD，DE与CE相交于点E。若AC=3，BD=5，则四边形OCED的周长为（　　） A.4　B.6　C.8　D.16 【答案】C 【解析】DE∥OC、CE∥OD→四边形OCED是平行四边形→周长=2×(OC+OD)；OC=AC=1.5，OD=BD=2.5→周长=2×4=8。 【详解】 ∵ DE∥AC，CE∥BD ∴ DE∥OC，CE∥OD ∴ 四边形OCED是平行四边形 ∴ C四边形OCED=OC+OD+DE+CE=2×(OC+OD) ∵ 四边形ABCD是平行四边形 ∴ OC=AC=×3=1.5，OD=BD=×5=2.5 ∴ C四边形OCED=2×(1.5+2.5)=8 故选C 例 2　填空题 （25-26·云南期末）在平行四边形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，AD=10，AC+BD=24，则△BOC的周长为____22____。 【答案】22 【解析】平四对角线互相平分→OB=BD、OC=AC→OB+OC=(AC+BD)=12→周长=BC+OB+OC=10+12=22。 【详解】 ∵ 四边形ABCD是平行四边形 ∴ BC=AD=10，OB=BD，OC=AC ∴ OB+OC=BD+AC=(AC+BD)=×24=12 ∴ C△BOC=BC+OB+OC=10+12=22 例 3　填空题 （24-25·广西期末）在平行四边形ABCD中，∠A=70°，将平行四边形折叠，使点D、C分别落在点F、E处（点F、E都在AB所在的直线上），折痕为MN，则∠AMF等于____40°____。 【答案】40° 【解析】CD∥AB→∠D=180°−∠A=110°；折叠→∠MFE=∠D=110°→∠AFM=180°−110°=70°；△AMF中∠AMF=180°−∠A−∠AFM=40°。 【详解】 ∵ 四边形ABCD是平行四边形 ∴ CD∥AB，∠A+∠D=180° ∴ ∠D=180°−70°=110° 由折叠的性质，得 ∠MFE=∠D=110° ∵ 点F、E都在AB所在的直线上 ∴ ∠AFM+∠MFE=180° ∴ ∠AFM=180°−110°=70° 在△AMF中，∠A=70°，∠AFM=70° ∴ ∠AMF=180°−70°−70°=40° 例 4　解答题 （25-26·达州模拟）在平行四边形ABCD中，对角线AC的垂直平分线EF与AD相交于点E，与BC相交于点F，连接AF，CE。 （1）求证：四边形AFCE是菱形； （2）若四边形AFCE的周长是40，两条对角线的和是28，求四边形AFCE的面积。 【答案】（1）证明见【详解】；（2）S四边形AFCE=96。 【解析】（1）EF是AC的垂直平分线→OA=OC，∠AOE=∠COF=90°；平四对边平行→∠EAO=∠FCO→ASA△AOE≌△COF→EO=FO→对角线互相垂直平分→菱形。（2）菱形周长40→边长10；设AC=2a、EF=2b，则a+b=14，+=100→2ab=96→S=×2a×2b=2ab=96。 【详解】 （1） 设EF交AC于点O ∵ EF是AC的垂直平分线 ∴ OA=OC，EF⊥AC，即∠AOE=∠COF=90° ∵ 四边形ABCD是平行四边形 ∴ AD∥BC ∴ ∠EAO=∠FCO（两直线平行，内错角相等） 在△AOE和△COF中：∠AOE=∠COF，OA=OC，∠EAO=∠FCO ∴ △AOE≌△COF（ASA） ∴ OE=OF ∴ AC与EF互相垂直平分 ∴ 四边形AFCE是菱形 （2） ∵ 四边形AFCE是菱形，周长是40 ∴ AF=FC=CE=EA==10 设AC=2a，EF=2b，则AO=a，OE=b 在Rt△AOE中，∠AOE=90° ∴ +==100 ∵ 两条对角线的和是28 ∴ AC+EF=2a+2b=28，即 a+b=14 ∴ =196 即 +2ab+=196 ∴ 2ab=196−100=96 ∴ S四边形AFCE=×AC×EF=×2a×2b=2ab=96 例 5　解答题 （24-25·自贡期末）在平行四边形ABCD中，O为AD的中点，延长BO交CD的延长线于点E，连接AE，BD，BE=BC。 （1）求证：四边形ABDE是矩形； （2）连接OC，若AB=2，∠AOB=60°，求OC的长。 【答案】（1）证明见【详解】；（2）OC=2。 【解析】（1）AD∥CE→∠OAB=∠ODE、∠OBA=∠DOE；OA=OD→ASA△AOB≌△DOE→AB=DE；AB∥DE 且 AB=DE→平四ABDE；BE=BC=AD→对角线相等→矩形。（2）矩形→OA=OB；∠AOB=60°→△ABO等边→OB=AB=2；全等→OE=OB→O是BE的中点；BC=AD=BE=4，CE=CD+DE=2+2=4→△BCE等腰→CO是底边BE上的中线→三线合一 CO⊥BE；Rt△COB中 OC==2。 【详解】 （1）∵ 四边形ABCD是平行四边形 ∴ AD∥BC，AB∥CD，AD=BC ∵ 点E在CD的延长线上 ∴ AB∥DE，∠OAB=∠ODE，∠OBA=∠DOE ∵ O是AD的中点 ∴ OA=OD 在△AOB和△DOE中：∠OAB=∠ODE，OA=OD，∠OBA=∠DOE ∴ △AOB≌△DOE（ASA） ∴ AB=DE 又 AB∥DE ∴ 四边形ABDE是平行四边形 ∵ BE=BC，BC=AD ∴ BE=AD 即平行四边形ABDE的对角线BE与AD相等 ∴ 四边形ABDE是矩形 （2）∵ 四边形ABDE是矩形 ∴ OA=OB=AD（矩形的对角线相等且互相平分） ∵ ∠AOB=60°，OA=OB ∴ △ABO是等边三角形 ∴ OB=AB=2 由（1）△AOB≌△DOE 得 OE=OB=2 ∴ O是BE的中点，BE=4 ∵ BE=BC ∴ BC=4 ∵ AD=BE=4 ∴ OA=OB=2 ∵ 四边形ABCD是平行四边形 ∴ CD=AB=2 又 DE=AB=2 ∴ CE=CD+DE=2+2=4 ∴ BC=CE，即△BCE是等腰三角形 ∵ O是底边BE的中点 ∴ CO⊥BE（等腰三角形底边上的中线与底边上的高重合） 在Rt△COB中，∠COB=90° ∴ OC====2 例 6　解答题 （25-26·贵州一模）在Rt△ABC中，∠BAC=90°，D是BC的中点，E是AD的中点，过点A作AF∥BC交BE的延长线于点F。 （1）求证：AF=BD； （2）判断四边形ADCF的形状，并说明理由。 【答案】（1）证明见【详解】；（2）四边形ADCF是菱形。 【解析】（1）AF∥BD；E是AD的中点→AE=DE；∠AEF=∠DEB（对顶角）、∠FAE=∠BDE（平行）→AAS△AEF≌△DEB→AF=BD。（2）斜边中线AD=BC=BD=CD→AF=CD 且 AF∥CD→平四ADCF；AD=CD→菱形。 【详解】 （1） ∵ AF∥BC ∴ AF∥BD，∠FAE=∠BDE（两直线平行，内错角相等） ∵ ∠AEF与∠DEB是对顶角 ∴ ∠AEF=∠DEB ∵ E是AD的中点 ∴ AE=DE 在△AEF和△DEB中：∠FAE=∠BDE，AE=DE，∠AEF=∠DEB ∴ △AEF≌△DEB（AAS） ∴ AF=BD （2）四边形ADCF是菱形，理由如下： ∵ ∠BAC=90°，D是BC的中点 ∴ AD=BC（直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半） ∴ AD=BD=CD 由（1）得 AF=BD ∴ AF=CD 又 AF∥CD ∴ 四边形ADCF是平行四边形（一组对边平行且相等） 又 AD=CD ∴ 四边形ADCF是菱形 PART 04 变式练习（10 题） 与例题同考点、同方法，换数字换情境，供学生独立限时完成；填空题答案已嵌在空格中，建议先遮住答案自测 变式组训练要点 ◆ 变 1（选择）对应例 6：中位线数量关系； ◆ 变 2~变 6 五道填空：垂直平分线转化周长、角平分线等腰算线段、分类讨论双解、动点截平四、折叠角链＋外角——设元验证与角链接力，对应例 4 的垂直平分线与例 3 的折叠角链； ◆ 变 7~变 9 解答题：对角线模型证全等与矩形判定、过中点直线证平四、平四判定＋30°勾股算线段——对应例 2 与例 5； ◆ 变 10 对应例 5：矩形全等＋等边三角形算面积。 变式 1　选择题 （25-26·广西模拟）在平行四边形ABCD中，O是对角线AC的中点，E是边AD的中点，连接OE。下列数量关系中一定成立的是（　　） A.OE=AD　B.OE=BC　C.OE=AB　D.OE=AC 【答案】C 【解析】平四对角线互相平分→O是AC的中点，也是对角线的交点；△ACD中，E、O分别是AD、AC的中点→OE是△ACD的中位线→OE=CD；平四对边相等→CD=AB→OE=AB。 【详解】 ∵ 四边形ABCD是平行四边形，对角线AC与BD相交于点O ∴ O是AC的中点，即AO=OC ∵ E是AD的中点 ∴ AE=DE 在△ACD中，E、O分别是AD、AC的中点 ∴ OE是△ACD的中位线 ∴ OE=CD ∵ 四边形ABCD是平行四边形 ∴ CD=AB ∴ OE=AB 故选C 变式 2　填空题 （25-26·山西期末）平行四边形ABCD的对角线相交于点O，且AD≠CD，过点O作OM⊥AC，交AD于点M。如果△CDM的周长为8，那么平行四边形ABCD的周长是____16____。 【答案】16 【解析】平四对角线互相平分→OA=OC；OM⊥AC 且 OM 过 AC 的中点 O→OM 是 AC 的垂直平分线→MA=MC→C△CDM=CD+DM+MC=CD+DM+MA=CD+DA=8→平四周长=2(CD+DA)=16。 【详解】 ∵ 四边形ABCD是平行四边形，对角线相交于点O ∴ OA=OC 又 OM⊥AC，即 OM 经过 AC 的中点 O 且垂直于 AC ∴ OM 是 AC 的垂直平分线 ∴ MA=MC ∴ C△CDM=CD+DM+MC=CD+DM+MA=CD+DA=8 ∴ CD+DA=8 ∴ C平行四边形ABCD=2(CD+DA)=2×8=16 变式 3　填空题 （25-26·广西月考）在平行四边形ABCD中，∠BCD的平分线CE交AB于点E，若AD=2，则BE=____2____。 【答案】2 【解析】CE平分∠BCD→∠BCE=∠ECD；AD∥BC→∠BEC=∠ECD（内错角相等）→∠BCE=∠BEC→BE=BC（等角对等边）；平四对边相等→BC=AD=2→BE=2。 【详解】 ∵ CE平分∠BCD ∴ ∠BCE=∠ECD ∵ 四边形ABCD是平行四边形 ∴ AD∥BC，BC=AD ∴ ∠BEC=∠ECD（两直线平行，内错角相等） ∴ ∠BCE=∠BEC ∴ BE=BC（等角对等边） ∵ AD=2 ∴ BC=2 ∴ BE=2 变式 4　填空题 （25-26·贵州月考）在平行四边形ABCD中，AD=BD，BE是AD边上的高，∠EBD=20°，则∠A的度数为____55°或35°____。 【答案】55°或35° 【解析】BE是AD边上的高→垂足E的位置分两种情况：①垂足E在线段AD上：Rt△BDE中∠BDE=90°−20°=70°，即∠ADB=70°；AD=BD→∠A=∠ABD==55°。②垂足E在线段AD的延长线上：Rt△BDE中∠BDE=70°→∠ADB=180°−70°=110°；∠A==35°。 【详解】 ∵ BE是AD边上的高 ∴ BE⊥AD，即∠BED=90° 垂足E的位置分两种情况： 情况一：垂足E在线段AD上 在Rt△BDE中，∠BED=90°，∠EBD=20° ∴ ∠BDE=90°−20°=70°，即∠ADB=70° ∵ AD=BD ∴ ∠A=∠ABD（等边对等角） ∴ ∠A===55° 情况二：垂足E在线段AD的延长线上 在Rt△BDE中，∠BED=90°，∠EBD=20° ∴ ∠BDE=90°−20°=70° ∵ D在线段AE上 ∴ ∠ADB=180°−∠BDE=180°−70°=110° ∵ AD=BD ∴ ∠A=∠ABD（等边对等角） ∴ ∠A===35° 综上，∠A的度数为55°或35° 变式 5　填空题 （25-26·湖南月考）在四边形ABCD中，AD∥BC，AD=9cm，BC=6cm，点P在AD边上以每秒2cm的速度从点A向点D运动，点Q在BC边上以每秒1cm的速度从点C向点B运动，当t=____2或3____秒时，直线PQ在四边形ABCD内部能截出一个平行四边形。 【答案】2或3 【解析】设运动t秒，则AP=2t cm，PD=(9−2t) cm，CQ=t cm，BQ=(6−t) cm；AD∥BC→AP∥BQ、PD∥CQ。①四边形APQB是平四→AP=BQ→2t=6−t→t=2；②四边形PDCQ是平四→PD=CQ→9−2t=t→t=3。 【详解】 设运动时间为t秒，则 AP=2t cm，PD=(9−2t) cm，CQ=t cm，BQ=(6−t) cm ∵ AD∥BC ∴ AP∥BQ，PD∥CQ 截出的平行四边形分两种情况： 情况一：截出的平行四边形是四边形APQB ∴ AP=BQ ∴ 2t=6−t 解得 t=2 情况二：截出的平行四边形是四边形PDCQ ∴ PD=CQ ∴ 9−2t=t 解得 t=3 综上，t=2或3 变式 6　填空题 （26-27·四川月考）在平行四边形ABCD中，E为边CD上一点，将△ADE沿AE折叠至△AD′E处，AD′与CE交于点F，若∠B=55°，∠DAE=20°，则∠FED′的大小为____30°____。 【答案】30° 【解析】平四对角相等→∠D=∠B=55°；折叠→∠AD′E=∠D=55°、∠EAD′=∠DAE=20°、∠AED′=∠AED；△ADE内角和→∠AED=180°−20°−55°=105°→∠AED′=105°；E、D、C共线，F在CE上→∠AEF=180°−∠AED=75°；∠FED′=∠AED′−∠AEF=105°−75°=30°。 【详解】 ∵ 四边形ABCD是平行四边形 ∴ ∠D=∠B=55° 在△ADE中，∠AED=180°−∠DAE−∠D=180°−20°−55°=105° 由折叠的性质，得 ∠AD′E=∠D=55°，∠EAD′=∠DAE=20°，∠AED′=∠AED=105° ∵ E为边CD上一点，F在CE上 ∴ E、D、C在同一条直线上，射线EF与射线ED相反 ∴ ∠AEF=180°−∠AED=180°−105°=75° ∴ ∠FED′=∠AED′−∠AEF=105°−75°=30° 变式 7　解答题 （25-26·广东期末）平行四边形ABCD的对角线AC、BD相交于点O。E、F是AC上的两点，并且AE=CF，连接DE、BF。 （1）求证：△DOE≌△BOF； （2）若BD=EF，连接DE、BF。判断四边形EBFD的形状，并说明理由。 【答案】（1）证明见【详解】；（2）四边形EBFD是矩形，理由见【详解】。 【解析】（1）平四→OB=OD；AE=CF、OA=OC→OE=OF（OA−AE=OC−CF）；OD=OB、∠DOE=∠BOF（对顶角）、OE=OF→SAS△DOE≌△BOF。（2）OE=OF、OB=OD→对角线EF与BD互相平分→平四EBFD；BD=EF→对角线相等→矩形。 【详解】 （1）∵ 四边形ABCD是平行四边形 ∴ OB=OD，OA=OC ∵ AE=CF ∴ OE=OA−AE=OC−CF=OF 在△DOE和△BOF中：OD=OB，∠DOE=∠BOF（对顶角相等），OE=OF ∴ △DOE≌△BOF（SAS） （2）四边形EBFD是矩形，理由如下： ∵ OE=OF，OB=OD ∴ 四边形EBFD的对角线EF与BD互相平分 ∴ 四边形EBFD是平行四边形 又 ∵ BD=EF ∴ 平行四边形EBFD的两条对角线相等 ∴ 四边形EBFD是矩形 变式 8　解答题 （25-26·贵州模拟）传统建筑中的一种窗格，其窗框结构如下：点O为平行四边形ABCD的对角线BD的中点，直线EF经过点O，分别交BA、DC的延长线于点E、F，分别连接BF和DE。求证：四边形BFDE是平行四边形。 【答案】证明见【详解】。 【解析】连接AC；平四对角线互相平分→O也是AC的中点→OA=OC；BA∥DC→∠OEA=∠OFC；∠AOE=∠COF（对顶角）→AAS△OAE≌△OCF→AE=CF；E在BA的延长线上→AE=AB+BE，F在DC的延长线上→CF=CD+DF，AB=CD→BE=DF；BE∥DF（BA∥DC）→一组对边平行且相等→平四BFDE。 【详解】 连接AC ∵ 四边形ABCD是平行四边形，对角线AC与BD相交于点O ∴ 对角线互相平分，即 OA=OC ∵ E在BA的延长线上，F在DC的延长线上，且 BA∥DC ∴ EA∥FC ∴ ∠OEA=∠OFC（两直线平行，内错角相等） 在△OAE和△OCF中：∠OEA=∠OFC，∠AOE=∠COF（对顶角相等），OA=OC ∴ △OAE≌△OCF（AAS） ∴ AE=CF ∵ 四边形ABCD是平行四边形 ∴ AB=CD ∵ E在BA的延长线上 ∴ AE=AB+BE ∵ F在DC的延长线上 ∴ CF=CD+DF ∴ AB+BE=CD+DF ∴ BE=DF 又 ∵ BE∥DF（BA∥DC） ∴ 四边形BFDE是平行四边形（一组对边平行且相等） 变式 9　解答题 （25-26·湖北期末）将平行四边形ABCD的AD边延长至点E，使DE=AD，连接CE，F是BC边的中点，连接FD。 （1）求证：四边形CEDF是平行四边形； （2）若AB=6，AD=8，∠A=60°，求CE的长。 【答案】（1）证明见【详解】；（2）CE=2。 【解析】（1）平四→AD=BC、AD∥BC；DE=AD，F是BC的中点→FC=BC=AD=DE，且 DE∥FC（AD∥BC）→一组对边平行且相等→平四CEDF。（2）过点D作DN⊥BC，垂足为N；平四→∠BCD=∠A=60°、CD=AB=6、BC=AD=8；Rt△CDN中∠CDN=30°→NC=CD=3，DN==3；FC=BC=4→FN=FC−NC=1；Rt△DFN中 DF===2；平四对边相等→CE=DF=2。 【详解】 （1）∵ 四边形ABCD是平行四边形 ∴ AD=BC，AD∥BC ∵ DE=AD，F是BC的中点 ∴ FC=BC=AD=DE 又 ∵ DE∥FC（AD∥BC，E在AD的延长线上） ∴ 四边形CEDF是平行四边形（一组对边平行且相等） （2）过点D作DN⊥BC，垂足为N ∵ 四边形ABCD是平行四边形 ∴ ∠BCD=∠A=60°，CD=AB=6，BC=AD=8 在Rt△CDN中，∠CDN=90°−60°=30° ∴ NC=CD=×6=3（直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半） ∴ DN====3 ∵ F是BC的中点 ∴ FC=BC=×8=4 ∴ FN=FC−NC=4−3=1 在Rt△DFN中，∠DNF=90° ∴ DF====2 ∵ 四边形CEDF是平行四边形 ∴ CE=DF=2 变式 10　解答题 （25-26·福建模拟）如图，在四边形中，，若分别是四边形各边、、、的中点． （1）求证：四边形是平行四边形； （2）当时，求证：四边形是菱形； （3）在（2）的条件下，四边形满足_____________时，四边形是正方形．（直接写答案） 【答案】 见解答 见解答 【解析】 （1）连接BD，利用三角形中位线的性质证明即可； （2）连接AC，BD，根据三角形中位线的性质转化为平行四边形EFGH的邻边相等证明即可； （3）根据三角形中位线的性质转化为菱形EFGH有一个角为 证明即可. 【解答】 （1）证明：如图所示，连接BD， 在 中，点E，H分别是AB，AD的中点， 在 中，点F，G分别是BC，DC的中点， 四边形FECH是平行四边形 四边形EFGH是平行四边形. （2）证明：如图所示，连接AC，BD， 在 中，点E，H分别是AB，AD的中点， 在 中，点E，F分别是AB，BC的中点， 又：由（1）知，四边形EFGH是平行四边形，且 .四边形EFGH是菱形. （3）解：四边形ABCD满足AC BD时，四边形EFGH是正方形，理由如下： 在 中，点E，F分别是AB，BC的中点， 在 中，点E，H分别是AB，AD的中点， 由（2）知，四边形EFGH是菱形，且 四边形EFGH是正方形. PART 05 拔高巩固（8 题） 特殊平行四边形（包括平行四边形）的综合——平四联动升级、三大模型链、定形—取性—算量 拔高组闯关要点 ◆ 拔高 1 的台阶在对角线模型多结论：ASA 全等转移线段与面积，逐条验证； ◆ 拔高 2 的台阶在定形取性算量的不变量：中位线定分点＋勾股相减出 xy 为定值； ◆ 拔高 3 的台阶在正方形多结论：SAS 全等＋反证法否决中点结论； ◆ 拔高 4 的台阶在三级联动：平四→斜边中线得菱形→再加直角成正方形，一题串完升级链； ◆ 拔高 5 的台阶在双高线：∠EAF 与 ∠C 互补定角，30°直角边定边长； ◆ 拔高 6 的台阶在全等＋等积：全等转移面积，平四对角线平分面积； ◆ 拔高 7 的台阶在构造全等：在 B 侧延长线截长补短，角链推出等腰转移线段； ◆ 拔高 8 的台阶在矩形判定＋勾股逆定理：先定形，再等积算高。 拔高 1　选择题 （25-26·江苏期末）在平行四边形ABCD中，点O是BD的中点，过点O的直线EF分别交AD、BC于点E、F。下列结论：①AB∥DC；②EO=ED；③∠A=∠C；④，其中正确结论的个数为（　　） A.1个　B.2个　C.3个　D.4个 【答案】C 【解析】①正确③正确（平四对边平行、对角相等）。②错误：AD∥BC→∠ODE=∠OBF，∠DOE=∠BOF（对顶角），OD=OB→ASA△DOE≌△BOF→EO=FO，但EO与ED不一定相等。④正确：对角线BD平分平四面积→S△ABD=S△BCD；全等→S△DOE=S△BOF；，→相等。 【详解】 ∵ 四边形ABCD是平行四边形 ∴ AB∥DC，∠A=∠C ∴ ①③正确 ∵ AD∥BC ∴ ∠ODE=∠OBF（两直线平行，内错角相等） 在△DOE和△BOF中：∠ODE=∠OBF，OD=OB，∠DOE=∠BOF（对顶角相等） ∴ △DOE≌△BOF（ASA） ∴ EO=FO，= ∵ EO 与 ED 不一定相等 ∴ ②错误 ∵ 对角线BD把平行四边形ABCD分成面积相等的两部分 ∴ S△ABD=S△BCD ∵ ， ∴ ∴ ④正确 ∴ 正确的结论是①③④，共3个 故选C 拔高 2　选择题 （25-26·四川月考）在平行四边形ABCD中，AC，BD相交于点O，AC=2，BD=2。过点A作AE⊥BC交BC于点E，记BE长为x，BC长为y。当x，y的值发生变化时，下列代数式的值不变的是（　　） A.x+y　B.x−y　C.xy　D.+ 【答案】C 【解析】过O作OH⊥BC于H→OH∥AE 且 O是AC的中点→在△ACE中 OH 是中位线→H是CE的中点→CH=，BH=；OB=，OC=1；勾股相减：−=−=(BH+CH)(BH−CH)=y·x=3−1=2→xy=2 为定值。 【详解】 过点O作OH⊥BC，垂足为H ∵ AE⊥BC ∴ OH∥AE ∵ 四边形ABCD是平行四边形，对角线相交于点O ∴ OA=OC=AC=×2=1，OB=OD=BD=×2= ∵ 点E在BC上，BE=x，BC=y ∴ CE=y−x 在△ACE中，O是AC的中点，且 OH∥AE ∴ H是CE的中点 ∴ CH=CE= ∴ BH=BC−CH=y−= 在Rt△OHB中，=+ 在Rt△OHC中，=+ 两式相减，得 −=− ∴ 3−1=(BH+CH)(BH−CH) ∵ BH+CH=BC=y BH−CH=−=x ∴ xy=2，是定值 ∴ 当x，y的值发生变化时，xy的值不变 故选C 拔高 3　选择题 E、F分别是正方形ABCD的边AB、BC上的点，且AE=BF，CE和DF相交于点O，有下列结论：①CE=DF；②CE⊥DF；③CO=OE；④S△COD=S四边形OEBF。其中正确的有（　　） A.4个　B.3个　C.2个　D.1个 【答案】B 【解析】AE=BF、AB=BC→BE=CF；∠EBC=∠FCD=90°、BC=CD→SAS△BEC≌△CFD→CE=DF（①正确）、∠BEC=∠DFC→∠DFC+∠ECB=90°→CE⊥DF（②正确）；假设CO=OE→O是CE中点且DF⊥CE→点F在CE的垂直平分线上→FC=FE，但Rt△BEF中EF>BE=CF，矛盾（③错误）；S△BEC=S△CFD→S△COD=S△CFD−S△COF=S△BEC−S△COF=S四边形OEBF（④正确）→3个。 【详解】 ∵ AE=BF，AB=BC ∴ BE=AB−AE，CF=BC−BF ∴ BE=CF 在△BEC和△CFD中：BE=CF，∠EBC=∠FCD=90°，BC=CD ∴ △BEC≌△CFD（SAS） ∴ CE=DF，∠BEC=∠DFC ∴ ①正确 在Rt△EBC中，∠BEC+∠ECB=90° ∴ ∠DFC+∠ECB=90° 在△OFC中，∠OFC=∠DFC，∠OCF=∠ECB ∴ ∠COF=180°−(∠OFC+∠OCF)=90° ∴ CE⊥DF ∴ ②正确 ③错误，理由如下： 假设CO=OE，则点O是CE的中点 由②知 CE⊥DF，且点O、F都在直线DF上 ∴ 直线DF是线段CE的垂直平分线 ∴ FC=FE 在Rt△BEF中，∠EBF=90° ∴ =+> ∴ EF>BE 又 BE=CF ∴ EF>CF，与FC=FE矛盾 ∴ CO≠OE，③错误 ④正确，理由如下： 由全等得 S△BEC=S△CFD ∵ 点O在DF上 ∴ S△CFD=S△COD+S△COF ∴ S△COD=S△CFD−S△COF=S△BEC−S△COF ∵ 点O在CE上，点F在BC上 ∴ S四边形OEBF=S△BEC−S△COF ∴ S△COD=S四边形OEBF ∴ 正确的是①②④，共3个 故选B 拔高 4　填空题 （26-27·四川月考）如图，在矩形纸片中，，，点P是的中点，点Q是边上的一个动点，将沿所在直线翻折，得到，连接，，则当是以为腰的等腰三角形时，的长是__或2______． 【答案】 或2 【解析】 ①当DE=DC时，连接DP,DQ，可得 和 ，根据折叠得PE=PB=2，即可求得 DP=6=PE+ED，则点P，E，D三点共线，进一步得到 ，设BQ=x，则QE=x，CQ= ，利用勾股定理得 解得x即可； ②当DE=EC时，则点E在线段CD的垂直平分线上，且点E在线段AB的垂直平分线上，则EP是AB的垂直平分线，结合折叠得到四边形BPEQ是正方形，即可求得BQ=PB. 【解答】 解： ①当 时，如图，连接 点P是AB的中点， 四边形ABCD是矩形， 将 沿PQ所在直线翻折，得到 点P，E，D三点共线， 设 ，则 在Rt 和Rt 中， 根据勾股定理得： 解得： ②当 时，如图， 点E在线段CD的垂直平分线上， 点E在线段AB的垂直平分线上， 点P是AB的中点， EP是AB的垂直平分线， 将 沿PQ所在直线翻折，得到 四边形BPEQ是正方形， 综上所述：BQ的长为 或2. 故答案为： 或2. 拔高 5　填空题 （2026·湖南模拟）如图，在矩形中，对角线的垂直平分线分别交，于点E，F，，，则的值为___6_____． 【答案】 6 【解析】 设AC、EF交于点O，根据矩形的性质证明 ，证明四边形AECF是菱形，再得到 是等边三角形，即可得到答案. 【解答】 解：设AC、EF交于点O， 矩形ABCD， , , , , 是AC的垂直平分线， , EF AC， , , , 在 和 中， , , , , 四边形AECF是平行四边形， AC , 四边形AECF是菱形， , , 是等边三角形， , . 拔高 6　解答题 （26-27四川月考）如图，在 中， ， 是上一点， 和 关于点 对称．连接，． （1）求证：四边形 是平行四边形； （2）已知 ， ，求四边形 是菱形时 的长． 【答案】 见解答 【解析】 （1）根据中心对称的性质：成中心对称的两个图形，对应点的连线经过对称中心，且被对称中心平分；可得对角线互相平分，即可求证； （2）根据勾股定理先计算AB的长，再根据菱形的性质可知对角线互相垂直，根据等面积法可计算OC的长，进而根据勾股定理就可以计算AO的长. 【解答】 （1）证明：连接CF 和 关于点O对称， 点B与E关于O对称，点C与F关于O对称， ， ，即四边形BCEF的对角线互相平分， 四边形BCEF是平行四边形； （2）解：在Rt 中， ，AC=4，BC=3. 四边形BCEF是菱形， 在Rt 中， 拔高 7　解答题 （26-27·湖南开学）如图，平面直角坐标系中，矩形的两条邻边分别在轴、轴上，． （1）求出所在直线的解析式． （2）把矩形沿直线对折使点落在点处，直线与、、的交点分别为，求点和点的坐标． （3）若点在轴上，则在平面直角坐标系中是否存在这样的点，使得以为顶点的四边形是菱形？若存在．请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】 D（6，0），E（10，8） (0，8)或（20，8）或（10，-8）或 【解析】 （1）根据矩形的性质和点B的坐标可求出 ，设AC所在直线的解析式为 ，利用待定系数法求解，即可解题； （2）连接AD，由折叠性质可知， ，设 ，则 ，利用勾股定理建立等式求出m，即可得到点D的坐标，同理求出BE，即可得到点E的坐标； （3）分三种情况：当CE，NE为菱形的边时，当CE，ME为菱形的边时，当CM，CN为菱形的边时，讨论求解即可. 【解答】 （1）解： 四边形OABC为矩形， 设AC所在直线的解析式为 解得 所在直线的解析式为 (2) 解：如图所示，连接AD， 由折叠的性质可知 设 OD=m ，则 AD=CD=16-m， , 由勾股定理得 即 解得 m=6， 同理可得 BE=6， 则 AE=10， ; (3) 解：当CE，NE为菱形的边时，则 ，由（2）可得 点M在x轴上， 轴 点N的纵坐标为8，横坐标为10-10=0或10+10=20， 点N的坐标为（0，8）或（20，8）； 当 为菱形的边时，则CM垂直平分EN， 点 E到CM的距离等于点 N到CM的距离， 点M在x轴上， 点E与点N关于x轴对称， 当CM，CN为菱形的边时，则EN=CN，EN CM， 点N的坐标为（10，-8）； 点M在x轴上， 轴， 设N（t，8）. 解得 点N的坐标为 综上所述，点N的坐标为（0，8）或（20，8）或（10，-8）或 拔高 8　解答题 （26-27·河南月考） 【问题情境】已知在四边形中，E为边上一点（不与点A、D重合），连接，将沿折叠得到，点A的对应点为点F． （1）【问题解决】如图1，若四边形是正方形，点F落在对角线上，连接并延长交于点G．求的度数； （2）【拓展变式】如图2，若四边形是矩形，点F恰好落在的垂直平分线上，与交于点O． 求证：； （3）如图3，若四边形是平行四边形，，，点F落在线段上，连接，，，与交于点H，与交于点G，求的长度． 【答案】 见解答 【解析】 （1）利用正方形的性质、折叠的性质、平行线的性质，以及等边对等角，进行解答即可； （2）先连接 AF，再利用线段的垂直平分线的性质、折叠的性质、等边三角形的性质、等角对等边，以及含 角的直角三角形的性质，即可得证； （3）先连接 AF，HF，过点 H作 HI FD于点 I，再利用平行四边形的判定与性质、平行线的性质、线段的垂直平分线的性质、折叠的性质、菱形的判定与性质、等边三角形的判定与性质、勾股定理，以及二次根式的化简，进行解答即可. 【解答】 （1）解： 四边形ABCD是正方形，点F落在对角线BD上， 由翻折可知：AB=BF， （2）证明：如图，连接AF. 垂直平分线段AB， ， ， 由折叠的性质可得： ， 是等边三角形， 由折叠的性质可得： ， 在Rt 中， （3）解： 四边形ABCD是平行四边形，BC=2AB=8， AD=BC=8，CD=AB=4， 如图，连接AF，HF，过点H作HI FD于点I， 将 沿BE折叠得到 四边形ABFE为菱形， 与BE互相垂直平分， 为等边三角形， 四边形EBFD是平行四边形， 为等腰三角形， 又 为等边三角形， 附录 过关自查表（学生逐题归因，教师复核用） 题号 考点细目 若错，写出错因 订正完成 例 1 中点＋平行：作平行线出平四OCED（选择） 例 2 对角线模型：平分对角线算周长（嵌空） 例 3 折叠模型：折叠角链求∠AMF（嵌空） 例 4 平四＋垂直平分线证菱形、对角线和算面积 例 5 平四延长线上证矩形＋等腰三线合一 例 6 中点＋平行＋斜边中线接力证菱形 变式 1 中位线判别线段倍分关系（选择） 变式 2 对角线交点＋垂直平分线算周长（嵌空） 变式 3 角平分线＋内错角出等腰（嵌空） 变式 4 高的垂足位置分类讨论（嵌空） 变式 5 动点截平四：分情况列方程（嵌空） 变式 6 折叠模型：折叠角链求角（嵌空） 变式 7 对角线模型：SAS全等＋证矩形 变式 8 中点＋平行：AAS全等证平四BFDE 变式 9 中点＋平行证平四、作高算CE 变式 10 中点四边形、特殊四边形综合 拔高 1 对角线模型：全等判多结论（选择） 拔高 2 中位线＋勾股找不变量（选择） 拔高 3 正方形旋转全等判多结论（选择） 拔高 4 三角形→矩形→正方形三级联动 拔高 5 平行四边形→矩形→菱形三级联动 拔高 6 平行四边形→菱形→勾股定理三级联动 拔高 7 菱形→矩形→一次函数 拔高 8 平行四边形＋菱形＋正方形综合 使用建议：订正后让学生在订正完成栏打勾，并保留本表至考前——期中前只重做打不了勾的题。本考点为第一章压轴综合：先按「定形—取性—算量」三步口述每题的形状判定与性质依据，再动笔；题目空格中的红色文字即为该空答案（含解答题补充证明的空格），自测时先遮住再核对。 1 学科网（北京）股份有限公司 $北师大版九上数学 · 考点讲义系列 北师大版新版数学 · 九年级上册 · 期中知识点及考点讲义系列 第一章 考点 6｜特殊平行四边形（包括平行四边形）的综合——平四联动升级、三大模型链、定形—取性—算量主线 ——第 1 章〈特殊平行四边形〉考点 6—— 讲义定位 内容构成 难度层级 建议使用 期中必考·平四升级·模型链·定形取性算量 知识点总结 → 考点分析 → 例题 6 · 变式 10 · 拔高 8 ★☆☆★★★ 阶梯递进 课前预习 / 课后精练 / 考前逐一过关 使用说明 本资料共 24 题，全部选自网络试卷原题（期中、期末、月考、单元测试等）；原题的点、线位置关系均已改写为文字说明，数值与设问未作改动； 每题按【答案】【解析】【详解】三段式编排，【详解】按学生卷面解题格式逐行分步书写，便于对照板书、模仿格式； 题目空格中的红色文字即为该空答案（含双解与分类讨论），学生自测时可先遮住红色部分再核对； 建议用法：例题教师精讲、学生模仿方法；变式学生限时独立完成；拔高供学有余力者挑战，也可作考前第二轮素材。 本考点与考点速览考点 6 对齐（★★☆~★★★），三条主线：一线平四联动升级——先落实「是平行四边形」再谈特殊性质，书写顺序不能倒；二线三大模型链——对角线模型、中点＋平行模型（常与斜边中线接力）、折叠模型；三线定形—取性—算量——先定形状、分层取性质、界内算量，每一步写明依据——例题学方法，变式练同法，拔高串综合。 PART 01 本考点知识点总结（与考点速览考点 6 保持一致） 考点范围：平四联动升级（判定菱形、矩形的规范书写：先证平行四边形，再加特殊条件——邻边相等得菱形、对角线相等得矩形、菱形加一个直角得正方形；升级行为不可倒序）、三大模型链（对角线模型：平四对角线互相平分，OA=OC、OB=OD，矩形对角线相等、菱形对角线互相垂直；中点＋平行模型：中位线（平行＋一半）、斜边中线（直角＋中点）常接力出现；折叠模型：对应边相等、对应角相等、折痕两旁全等）、定形—取性—算量（先定形状→分层取性质→界内算量：勾股定理及逆定理、等积法、含30°角的直角三角形、全等转移线段）——与考点速览考点 6 三条主线一致。 一、平四联动升级——先「是平四」再「特殊」 ◆ 升级路径：一组对边平行且相等（或对角线互相平分）→平行四边形；加邻边相等→菱形；加对角线相等→矩形；菱形加一个直角（或矩形加邻边相等）→正方形。 ◆ 书写铁律：综合题里判定菱形、矩形必须分两步走——第一步先证四边形是平行四边形，第二步再加特殊条件升级；直接引用特殊性质而跳过平四，是最高频失分点。 二、三大模型链——对角线·中点＋平行·折叠 ◆ 对角线模型：平四对角线互相平分→OB＋OC＝对角线和的一半，常用于周长转化；矩形对角线相等→OA=OB=OC=OD；菱形对角线互相垂直→面积＝对角线乘积的一半。 ◆ 中点＋平行模型：见中点＋平行想中位线（位置＋数量双结论）；见直角＋中点想斜边中线（等于斜边的一半）；两者常与折叠、平四联动接力。折叠模型：折叠后对应边相等、对应角相等、折痕两旁全等，常与平行角链（内错角、同旁内角）接力算角。 三、定形—取性—算量——解题主线 ◆ 定形：判断或证明目标四边形的形状（平行四边形→菱形/矩形/正方形，或直角三角形、等腰三角形）；取性：按定好的形状分层取性质——菱形取邻边相等、对角线互相垂直平分，矩形取对角线相等、四个角是直角，正方形全取；算量：全等转移线段、勾股定理、等积法、含30°角的直角三角形列式计算。 平四升级·模型链·定形算量速记表 主线 核心公式/性质 典型应用 易错点 平四联动升级 先证平四，再加条件：邻边相等→菱形；对角线相等→矩形；＋一个直角→正方形 「求证：四边形××是菱形（矩形）」 跳过平四直接用特殊性质，顺序颠倒 对角线模型 平四对角线互相平分；矩形对角线相等；菱形对角线互相垂直且平分 周长转化（OB＋OC＝对角线和的一半）、多结论判断 平分/相等/垂直三性质用错对象 中点＋平行模型 中位线（平行＋数量的一半）；斜边中线（等于斜边的一半） OE 与 AB 的数量关系、双直角共斜边、面积平分 中位线与斜边中线混用 折叠模型 对应边相等、对应角相等、折痕两旁全等 折叠角链（外角、内错角接力）算角 对应角找错、遗漏平行条件 定形—取性—算量 先定形→分层取性→界内算量（勾股、等积、30°直角边、勾股逆定理） 多结论选择题、不变量探究、周长面积 未定形先取性、算量无依据 易混警示 垂直平分线三件套：垂直＋平分＋到两端等距；过交点作垂线即垂直平分线 MA=MC 周长转化、分类讨论双解 分类讨论遗漏（垂足位置、双解） ◆ 算量四件套：勾股定理（设未知数列方程）、勾股逆定理（验直角）、等积法（同一图形两种底×高）、含30°角的直角三角形（30°角所对的直角边等于斜边的一半）；每一步都写明依据，性质取用与形状严格对应。 四、易错辨析——对角线三性质与双解意识 ◆ 对角线三性质分清：平四只保证互相平分；矩形才保证相等；菱形才保证互相垂直——「相等」与「垂直」都不能提前用。双解与分类：垂足在线段上还是延长线上、动点从两侧相遇、折叠落点位置都可能产生双解，填空题漏解即全错；动点题设未知数 t，按「一组对边平行且相等」列方程。 PART 02 考点分析：特点 · 答题方法 · 注意事项 考点特点 平四联动升级是本章综合的灵魂：判定菱形、矩形的规范书写永远是「先证平行四边形，再加特殊条件」，书写顺序不能倒； 三大模型链覆盖全章综合题：对角线模型（交点O平分对角线，周长、面积由此转化）、中点＋平行模型（中位线、斜边中线接力）、折叠模型（对应边角相等＋平行角链算角）； 定形—取性—算量是解题主线：先定形状→分层取性质→界内算量，每一步写明依据；算量核心是勾股定理及逆定理、等积法、含30°角的直角三角形与全等转移； 本考点与考点速览考点 6 对齐（★★☆~★★★），常以综合解答题与多结论选择题的形式压轴呈现。 答题方法（三步法） 第一步·定形：判断或证明目标四边形的形状——平行四边形→菱形/矩形/正方形逐级升级，书写先平四、再特殊； 第二步·取性：按定好的形状分层取性质——菱形取邻边相等、对角线互相垂直平分；矩形取对角线相等、四个直角；正方形全取； 第三步·算量：用全等转移线段，用勾股定理、等积法、含30°角的直角三角形、勾股逆定理列式计算；设未知数列方程是压轴通法。 注意事项（易错警示） 书写顺序不能倒：跳过平四直接写「因为对角线相等所以是矩形」是综合题最高频失分点； 对角线三性质分清：平四只保证互相平分；矩形才保证相等；菱形才保证互相垂直——取性必须与定形严格对应； 分类讨论别遗漏：垂足在线段上还是延长线上、动点两侧相遇、折叠落点位置都要分情形验证，填空双解漏一即全错； 折叠题先找对应角，再接力平行角链（内错角、外角）；多结论选择题逐条用模型验证，反证法可否决「中点型」结论。 期中常见考法速览 题型 考什么 常见设问 难度 判定与升级 先证平四再升级菱形/矩形/正方形 「求证：四边形××是菱形（矩形）」 ★★☆ 对角线模型 对角线互相平分、相等、垂直的组合应用 「周长为____」「正确结论的个数」 ★★☆ 中点＋平行 中位线、斜边中线、过交点直线平分面积 「OE 与 AB 的数量关系」「面积关系」 ★★☆ 折叠模型 折叠对应角＋平行角链接力算角 「∠AMF 等于____」「∠FED′ 的大小」 ★★★ 定形取性算量 勾股、等积法、30°直角边、勾股逆定理 「周长及面积」「求 AE 的长」 ★★★ 动点与探究 动点截平四条件、不变量、多结论 「当 t 为何值」「值不变的是」 ★★★ 命题边界：本考点考平行四边形与特殊平行四边形的综合（判定与升级、对角线模型、中点＋平行与折叠模型、定形—取性—算量）；素材选自期中、期末、月考、单元测试等网络试卷原题；推理工具均为九年级上册第一章及之前所学内容（平行四边形与特殊平行四边形的性质判定、全等三角形、勾股定理及其逆定理、等腰三角形、直角三角形斜边上的中线、含30°角的直角三角形、中位线、垂直平分线、角平分线、轴对称与折叠），未使用相似、三角比、圆等后续内容。 PART 03 例题精讲（6 题） 例题覆盖：中点＋平行造新平四算周长（选择）→ 平四对角线和转化周长（填空）→ 平四折叠角链（填空）→ 平四对角线垂直平分线证菱形＋周长对角线算面积 → 平四延长线证矩形＋等腰三线合一算线段 → 斜边中线＋中位线接力证菱形。变式覆盖：中位线数量关系（选择）→ 垂直平分线转化周长（填空）→ 角平分线＋等腰算线段（填空）→ 高的位置分类讨论（填空双解）→ 动点截平四（填空）→ 折叠角链＋外角（填空）→ 对角线模型证全等＋矩形判定 → 过中点直线证平四（窗格）→ 平四判定＋30°勾股算线段 → 矩形全等＋等边三角形算面积。拔高覆盖：对角线模型多结论（选择）→ 定形取性算量不变量（选择）→ 正方形多结论＋反证法（选择）→ 平四→菱形→正方形三级联动 → 双高线算周长与面积 → 全等＋等积面积关系 → 正方形构造全等算线段 → 证矩形＋勾股逆定理＋等积算高。 例题组方法提要（先读再做） ◆ 例 1 教中点＋平行：过 D、C 作平行线造新平四 OCED 算周长（选择）； ◆ 例 2、例 3 教对角线模型与折叠：OB＋OC＝对角线和的一半转化周长（填空）；折叠对应角＋平四对边平行接力算角链（填空）； ◆ 例 4、例 5 教平四联动升级：垂直平分线→对角线互相垂直平分→菱形；对角线相等→矩形——先证平四再加条件； ◆ 例 6 教中点＋平行接力：斜边中线接力中位线证菱形； ◆ 计算通法：设未知数→勾股/等积列方程→回代检验。 例 1　选择题 （26-27·四川月考）平行四边形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，过点D作DE∥AC，过点C作CE∥BD，DE与CE相交于点E。若AC=3，BD=5，则四边形OCED的周长为（　　） A.4　B.6　C.8　D.16 例 2　填空题 （25-26·云南期末）在平行四边形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，AD=10，AC+BD=24，则△BOC的周长为________。 例 3　填空题 （24-25·广西期末）在平行四边形ABCD中，∠A=70°，将平行四边形折叠，使点D、C分别落在点F、E处（点F、E都在AB所在的直线上），折痕为MN，则∠AMF等于________。 例 4　解答题 （25-26·达州模拟）在平行四边形ABCD中，对角线AC的垂直平分线EF与AD相交于点E，与BC相交于点F，连接AF，CE。 （1）求证：四边形AFCE是菱形； （2）若四边形AFCE的周长是40，两条对角线的和是28，求四边形AFCE的面积。 例 5　解答题 （24-25·自贡期末）在平行四边形ABCD中，O为AD的中点，延长BO交CD的延长线于点E，连接AE，BD，BE=BC。 （1）求证：四边形ABDE是矩形； （2）连接OC，若AB=2，∠AOB=60°，求OC的长。 例 6　解答题 （25-26·贵州一模）在Rt△ABC中，∠BAC=90°，D是BC的中点，E是AD的中点，过点A作AF∥BC交BE的延长线于点F。 （1）求证：AF=BD； （2）判断四边形ADCF的形状，并说明理由。 PART 04 变式练习（10 题） 与例题同考点、同方法，换数字换情境，供学生独立限时完成；填空题答案已嵌在空格中，建议先遮住答案自测 变式组训练要点 ◆ 变 1（选择）对应例 6：中位线数量关系； ◆ 变 2~变 6 五道填空：垂直平分线转化周长、角平分线等腰算线段、分类讨论双解、动点截平四、折叠角链＋外角——设元验证与角链接力，对应例 4 的垂直平分线与例 3 的折叠角链； ◆ 变 7~变 9 解答题：对角线模型证全等与矩形判定、过中点直线证平四、平四判定＋30°勾股算线段——对应例 2 与例 5； ◆ 变 10 对应例 5：矩形全等＋等边三角形算面积。 变式 1　选择题 （25-26·广西模拟）在平行四边形ABCD中，O是对角线AC的中点，E是边AD的中点，连接OE。下列数量关系中一定成立的是（　　） A.OE=AD　B.OE=BC　C.OE=AB　D.OE=AC 变式 2　填空题 （25-26·山西期末）平行四边形ABCD的对角线相交于点O，且AD≠CD，过点O作OM⊥AC，交AD于点M。如果△CDM的周长为8，那么平行四边形ABCD的周长是________。 变式 3　填空题 （25-26·广西月考）在平行四边形ABCD中，∠BCD的平分线CE交AB于点E，若AD=2，则BE=________。 变式 4　填空题 （25-26·贵州月考）在平行四边形ABCD中，AD=BD，BE是AD边上的高，∠EBD=20°，则∠A的度数为________。 变式 5　填空题 （25-26·湖南月考）在四边形ABCD中，AD∥BC，AD=9cm，BC=6cm，点P在AD边上以每秒2cm的速度从点A向点D运动，点Q在BC边上以每秒1cm的速度从点C向点B运动，当t=_______秒时，直线PQ在四边形ABCD内部能截出一个平行四边形。 变式 6　填空题 （26-27·四川月考）在平行四边形ABCD中，E为边CD上一点，将△ADE沿AE折叠至△AD′E处，AD′与CE交于点F，若∠B=55°，∠DAE=20°，则∠FED′的大小为________。 变式 7　解答题 （25-26·广东期末）平行四边形ABCD的对角线AC、BD相交于点O。E、F是AC上的两点，并且AE=CF，连接DE、BF。 （1）求证：△DOE≌△BOF； （2）若BD=EF，连接DE、BF。判断四边形EBFD的形状，并说明理由。 变式 8　解答题 （25-26·贵州模拟）传统建筑中的一种窗格，其窗框结构如下：点O为平行四边形ABCD的对角线BD的中点，直线EF经过点O，分别交BA、DC的延长线于点E、F，分别连接BF和DE。求证：四边形BFDE是平行四边形。 变式 9　解答题 （25-26·湖北期末）将平行四边形ABCD的AD边延长至点E，使DE=AD，连接CE，F是BC边的中点，连接FD。 （1）求证：四边形CEDF是平行四边形； （2）若AB=6，AD=8，∠A=60°，求CE的长。 变式 10　解答题 （25-26·福建模拟）如图，在四边形中，，若分别是四边形各边、、、的中点． （1）求证：四边形是平行四边形； （2）当时，求证：四边形是菱形； （3）在（2）的条件下，四边形满足____________时，四边形是正方形．（直接写答案） PART 05 拔高巩固（8 题） 特殊平行四边形（包括平行四边形）的综合——平四联动升级、三大模型链、定形—取性—算量 拔高组闯关要点 ◆ 拔高 1 的台阶在对角线模型多结论：ASA 全等转移线段与面积，逐条验证； ◆ 拔高 2 的台阶在定形取性算量的不变量：中位线定分点＋勾股相减出 xy 为定值； ◆ 拔高 3 的台阶在正方形多结论：SAS 全等＋反证法否决中点结论； ◆ 拔高 4 的台阶在三级联动：平四→斜边中线得菱形→再加直角成正方形，一题串完升级链； ◆ 拔高 5 的台阶在双高线：∠EAF 与 ∠C 互补定角，30°直角边定边长； ◆ 拔高 6 的台阶在全等＋等积：全等转移面积，平四对角线平分面积； ◆ 拔高 7 的台阶在构造全等：在 B 侧延长线截长补短，角链推出等腰转移线段； ◆ 拔高 8 的台阶在矩形判定＋勾股逆定理：先定形，再等积算高。 拔高 1　选择题 （25-26·江苏期末）在平行四边形ABCD中，点O是BD的中点，过点O的直线EF分别交AD、BC于点E、F。下列结论：①AB∥DC；②EO=ED；③∠A=∠C；④，其中正确结论的个数为（　　） A.1个　B.2个　C.3个　D.4个 拔高 2　选择题 （25-26·四川月考）在平行四边形ABCD中，AC，BD相交于点O，AC=2，BD=2。过点A作AE⊥BC交BC于点E，记BE长为x，BC长为y。当x，y的值发生变化时，下列代数式的值不变的是（　　） A.x+y　B.x−y　C.xy　D.+ 拔高 3　选择题 E、F分别是正方形ABCD的边AB、BC上的点，且AE=BF，CE和DF相交于点O，有下列结论：①CE=DF；②CE⊥DF；③CO=OE；④S△COD=S四边形OEBF。其中正确的有（　　） A.4个　B.3个　C.2个　D.1个 拔高 4　填空题 （26-27·四川月考）如图，在矩形纸片中，，，点P是的中点，点Q是边上的一个动点，将沿所在直线翻折，得到，连接，，则当是以为腰的等腰三角形时，的长是_______． 拔高 5　填空题 （2026·湖南模拟）如图，在矩形中，对角线的垂直平分线分别交，于点E，F，，，则的值为________． 拔高 6　解答题 （26-27四川月考）如图，在 中， ， 是上一点， 和 关于点 对称．连接，． （1）求证：四边形 是平行四边形； （2）已知 ， ，求四边形 是菱形时 的长． 拔高 7　解答题 （26-27·湖南开学） 如图，平面直角坐标系中，矩形的两条邻边分别在轴、轴上，． （1）求出所在直线的解析式． （2）把矩形沿直线对折使点落在点处，直线与、、的交点分别为，求点和点的坐标． （3）若点在轴上，则在平面直角坐标系中是否存在这样的点，使得以为顶点的四边形是菱形？若存在．请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 拔高 8　解答题 （26-27·河南月考）【问题情境】已知在四边形中，E为边上一点（不与点A、D重合），连接，将沿折叠得到，点A的对应点为点F． （1）【问题解决】如图1，若四边形是正方形，点F落在对角线上，连接并延长交于点G．求的度数； （2）【拓展变式】如图2，若四边形是矩形，点F恰好落在的垂直平分线上，与交于点O． 求证：； （3）如图3，若四边形是平行四边形，，，点F落在线段上，连接，，，与交于点H，与交于点G，求的长度． 附录 过关自查表（学生逐题归因，教师复核用） 题号 考点细目 若错，写出错因 订正完成 例 1 中点＋平行：作平行线出平四OCED（选择） 例 2 对角线模型：平分对角线算周长（嵌空） 例 3 折叠模型：折叠角链求∠AMF（嵌空） 例 4 平四＋垂直平分线证菱形、对角线和算面积 例 5 平四延长线上证矩形＋等腰三线合一 例 6 中点＋平行＋斜边中线接力证菱形 变式 1 中位线判别线段倍分关系（选择） 变式 2 对角线交点＋垂直平分线算周长（嵌空） 变式 3 角平分线＋内错角出等腰（嵌空） 变式 4 高的垂足位置分类讨论（嵌空） 变式 5 动点截平四：分情况列方程（嵌空） 变式 6 折叠模型：折叠角链求角（嵌空） 变式 7 对角线模型：SAS全等＋证矩形 变式 8 中点＋平行：AAS全等证平四BFDE 变式 9 中点＋平行证平四、作高算CE 变式 10 中点四边形、特殊四边形综合 拔高 1 对角线模型：全等判多结论（选择） 拔高 2 中位线＋勾股找不变量（选择） 拔高 3 正方形旋转全等判多结论（选择） 拔高 4 三角形→矩形→正方形三级联动 拔高 5 平行四边形→矩形→菱形三级联动 拔高 6 平行四边形→菱形→勾股定理三级联动 拔高 7 菱形→矩形→一次函数 拔高 8 平行四边形＋菱形＋正方形综合 使用建议：订正后让学生在订正完成栏打勾，并保留本表至考前——期中前只重做打不了勾的题。本考点为第一章压轴综合：先按「定形—取性—算量」三步口述每题的形状判定与性质依据，再动笔；题目空格中的红色文字即为该空答案（含解答题补充证明的空格），自测时先遮住再核对。 1 学科网（北京）股份有限公司 $