第1章 特殊平行四边形 易错疑难集训一-【勤径学升】2026-2027学年九年级上册数学同步练测教师用书Word（北师大版·新教材）

对中点四边形和特殊平行四边形理解不透彻　 如图，E，F，G，H分别是四边形ABCD的边AB，BC，CD，DA的中点，则下列说法中，正确的个数是(A) ①若AC＝BD，则四边形EFGH为矩形； ②若AC⊥BD，则四边形EFGH为菱形； ③若四边形EFGH是菱形，则AC与BD互相平分； ④若四边形EFGH是正方形，则AC与BD互相垂直且相等． A．1 B．2 C．3 D．4 1题图 　　　 3题图 符合题意的图形不唯一　 已知四边形ABCD为菱形，该菱形的周长为16，面积为8，则∠ABC的度数为30°或150°． 如图，正方形OABC的两边OA，OC分别在x轴、y轴上，点D(6，4)在边AB上，以点C为旋转中心，把△CDB旋转90°，则旋转后点D的对应点D′的坐标为(2，12)或(－2，0)． 如图，在矩形ABCD中，AB＝4，BC＝6，若点P在AD边上，连接BP，PC，△BPC是以PB为腰的等腰三角形，求PB的长． 　4题图 解：如答图①，当BC为底边时，PB＝PC. 易证△ABP≌△DCP， 所以AP＝PD＝AD＝BC＝3. 在Rt△ABP中，由勾股定理，得PB＝＝＝5； 如答图②，当CP为底边时，则BP＝BC＝6. 综上所述，PB的长为5或6. 4题答图①　　　　4题答图② 利用特殊平行四边形的对称性求最值　 如图，在边长为4的正方形ABCD中，E，F分别是边BC，CD上的动点，且BE＝CF，连接BF，DE，则BF＋DE的最小值为(D) A．2 B．2 C．4 D．4 　　　　　 如图，四边形ABCD是边长为1的正方形，分别延长BD，DB至点E，F，使BF＝DE＝.连接AE，AF，CE，CF. (1)求证：四边形AECF是菱形； (2)求四边形AECF的面积； (3)如果M为AF的中点，P为线段EF上的一动点，求PA＋PM的最小值． (1)证明：如答图，连接AC，交BD于点O.∵四边形ABCD是正方形，∴BD⊥AC，BO＝DO，AO＝CO.∵BF＝DE，∴OD＋DE＝OB＋BF，即OE＝OF，∴四边形AECF是平行四边形．又∵EF⊥AC，∴四边形AECF是菱形． (2)解：∵四边形ABCD是边长为1的正方形， ∴AB＝AD＝1，∴BD＝AC＝，∴EF＝3， ∴四边形AECF的面积为AC·EF＝××3＝3. (3)解：四边形AECF是菱形，∴点A与点C关于直线EF对称．由(2)知EF＝3，AC＝，∴OF＝EF＝，OC＝AC＝.在Rt△OCF中，CF＝＝. 6题答图 如答图，连接CM，交EF于点P，连接PA.此时PA＋PM的值最小(当C，P，M三点不共线时，PC＋PM>CM)，最小值等于CM的长，过点C作CN⊥AF于点N，则AC2－AN2＝CN2＝CF2－NF2. 设AN＝x，∴()2－x2＝()2－(－x)2，解得x＝， ∴MN＝AF－AN＝. ∵CM2－MN2＝AC2－AN2， ∴CM2－＝()2－，∴CM＝， 故PA＋PM的最小值为. 学科网（北京）股份有限公司 $