第二章《一元二次方程形》期中复习考点速览 2026-2027学年北师大版数学九年级上册

北师大版九上数学 · 考点讲义系列 北师大版新版数学 · 九年级上册 · 期中知识点及考点讲义系列 第二章 考点速览｜一元二次方程 ——第 2 章〈一元二次方程〉考点速览（期中备考）—— 讲义定位 内容构成 难度层级 建议使用 期中必考 选择·填空·解答 知识点总览 → 考点分析 → 考点 6 项 · 例题 6 · 拔高 6 ★☆☆★★★ 阶梯递进 课前预习 / 课后精练 / 考前逐一过关 使用说明 本资料是第 2 章〈一元二次方程〉的期中复习考点速览：按 6 个考点给“要点归纳 + 精选题卡”——考点 1-4 为四大主干（认识一元二次方程、直接开平方法与配方法、公式法与根的判别式、因式分解法与解法选择），考点 5 根与系数的关系（选学）、考点 6 一元二次方程的实际应用为两大拓展考点；例题 6 道、拔高 6 道共 12 道真题覆盖全部 6 个考点——例 1、例 2 对应考点 1，例 3、例 4 对应考点 2，例 5 对应考点 5，例 6 对应考点 6；拔高 1、拔高 2 对应考点 3，拔高 3、拔高 4 对应考点 4，拔高 5 对应考点 5，拔高 6 对应考点 6——与后续第二章逐考点讲义同一版式、配套使用；每题按【答案】【解析】【详解】三段编写，填空题答案已嵌在空格中（如 ___1___）。 第 2 章是代数计算升级章（★★★）：概念重定义三条件、解方程重方法选择、判别式与韦达重前提检验——例题与拔高题全部选自各地中考真题、期中期末真题，全部为无图代数题，可直接演练；正式使用前请按本校考情与本地考纲校准（根与系数的关系属选学内容，请按本地考纲取舍）。 PART 01 本章 6 个考点知识点总结（含选学与应用考点） 本部分知识总结共六节：一、认识一元二次方程；二、直接开平方法与配方法；三、公式法与根的判别式；四、因式分解法与解法选择；五、根与系数的关系（选学）；六、一元二次方程的实际应用。 考点范围：① 认识一元二次方程（定义三条件、一般式与根的概念）；② 直接开平方法与配方法（配方三步与配方要点）；③ 公式法与根的判别式（求根公式、Δ 三分类）；④ 因式分解法与解法选择（降次依据、分解路径、选择次序）；⑤ 根与系数的关系（选学，韦达定理与对称式）；⑥ 一元二次方程的实际应用（变化率、传播握手、面积利润与验根）。 一、认识一元二次方程 ◆ 一元二次方程的定义三条件：① 方程是整式方程；② 只含有一个未知数；③ 未知数的最高次数是 2——三条缺一不可；判断前先把方程整理成一般式 ＋bx＋c＝0（a≠0），二次项系数含参数时必须先讨论 a≠0。 ◆ 根的概念与“知根求参”：使方程左右两边的值相等的未知数的取值叫做方程的根（解）；已知方程的一个根，把它代回方程即可求出参数——这是填空高频套路（见例 2）；根的个数与判别式挂钩，含参方程先讨论二次项系数、再验 Δ。 二、直接开平方法与配方法 ◆ 直接开平方法：形如 ＝p 或 ＝p 的方程，当 p≥0 时两边直接开平方降次——x＝±、x＋m＝±；p＜0 时方程没有实数根；核心是整体思想：把 x＋m 看成一个未知数。 ◆ 配方法三步：① 移项——把常数项移到方程右边；② 配方——方程两边同加上“一次项系数一半的平方”，把左边配成完全平方式；③ 开平方降次求根；二次项系数不是 1 时，先两边同除以二次项系数化为 1，再配方。 ◆ 配方要点：＋6x＝−9——左边配的是“一次项系数一半的平方”，右边必须把它减回去；配方是求根公式的推导母版（把一般式配方即得公式），也常用于求二次代数式的最值（见例 3、例 4）。 三、公式法与根的判别式 ◆ 求根公式与根的判别式：当 a≠0 时，先算 Δ＝−4ac——Δ＞0 时方程有两个不相等的实数根，Δ＝0 时两个相等的实数根，Δ＜0 时没有实数根；Δ≥0 时 x＝——先把方程化成一般式定 a、b、c，再算 Δ，最后代入公式（见拔高 1、拔高 2）。 四、因式分解法与解法选择 ◆ 因式分解法的降次依据：若 A·B＝0，则 A＝0 或 B＝0——把方程整理成“一边为 0”，另一边分解成两个因式的乘积，二次就降成了两个一次方程； ◆ 两条分解路径：提公因式——−2x＝x(x−2)；公式法——−9＝(x＋3)(x−3)、＋6x＋9＝；本章因式分解只用提公因式与公式法，十字相乘不作要求（见拔高 3、拔高 4）。 ◆ 解法选择次序：① 能分解因式的先分解（最快）；② 能直接开平方的先开方；③ 其余用配方法或公式法——系数简单、一次项系数为偶数优先配方，系数复杂用公式法；拿到方程先看结构再选方法，不要拿到就套公式（见拔高 4）。 五、根与系数的关系（选学） ◆ 根与系数的关系（韦达定理，选学）：若 ＋bx＋c＝0（a≠0）的两个根是 、，则 ＋＝，·＝——不解方程就能得到两根的和与积（见例 5）； ◆ 对称式的运用：＋＝−2——遇 、 的对称式，先变形为“两根之和、两根之积”的组合，再整体代入（见拔高 5）； ◆ 使用注意（选学）：先用 Δ＝−4ac≥0 检验方程确有实数根，再用根与系数的关系；反过来由“和、积”反求 a、b、c 之后同样要验 Δ；本节属教材选学内容（第 2 章第 3 节），正式使用请按本地考纲取舍。 六、一元二次方程的实际应用 ◆ 变化率模型：设平均变化（增长或下降）率为 x，原量为 a，经两轮相同变化后为 b，列方程 ＝b——增长取“1＋x”、下降取“1−x”，解出 x 后按题意取正数根再作答（见拔高 6）； ◆ 传播、握手（比赛）模型：一轮传播后每个源变为 1＋x 个，两轮后的总数列 ＝m；n 个人两两握手（每两人赛一场）总数列 ＝m——数清“轮数”与“对象数”是列对方程的关键（见例 6）； ◆ 面积、利润与验根：面积问题用平移、拼接把图形的各边用同一个未知数表示（长×宽）；利润问题用“单件利润×销量”；列方程解出的根必须代回实际意义检验——长宽须为正、人数须为整数、变化率不能超范围，舍去不合题意的根。 一元二次方程速记表 模块 要点 示例 易错点 认识方程 定义三条件：整式方程、一个未知数、最高次数是 2；一般式 ＋bx＋c＝0（a≠0） 根代回方程使等式成立——已知一根代入可求参数 含参数 a 未先讨论 a≠0，就把方程判成一元二次方程 配方法 移常数 → 两边同加“一次项系数一半的平方” → 开平方；二次项系数不为 1 先化为 1 ＋4x−21＝0 配方为 ＝25 → x＝3 或 x＝−7 配方两边同加只做一边；开平方后漏掉负根 公式法 Δ＝−4ac：Δ＞0 两不等根、Δ＝0 两相等根、Δ＜0 无实数根；Δ≥0 时代求根公式 2−3x−4＝0：Δ＝41＞0，x＝ Δ 计算丢 b、c 的符号；Δ＜0 说成“方程无解” 因式分解法 一边化为 0，另一边提公因式或公式法分解 → A·B＝0 则 A＝0 或 B＝0 −2x＝0 → x(x−2)＝0 → x＝0 或 x＝2 两边同除以含未知数的公因式，把根除丢 根与系数（选学） 两根 ＋＝，＝；用前先验 Δ≥0 ＋ ＝ − 2 不验 Δ≥0 就用；和的符号记成 （应为负） 实际应用 变化率 ＝b；传播 ＝m；握手 ＝m 两次增长后翻倍 → 列 ＝2，解后取正根 解出的根不检验实际意义（负根、超界根未舍去） PART 02 考点分析：特点 · 答题方法 考点总览（本章共 6 个考点，与例题、拔高题对应关系如下）： 考点 1　认识一元二次方程——定义三条件、一般式与根、知根求参（对应例 1、例 2）； 考点 2　直接开平方法与配方法——配方三步、完全平方式（对应例 3、例 4）； 考点 3　公式法与根的判别式——求根公式、Δ 三分类（对应拔高 1、拔高 2）； 考点 4　因式分解法与解法选择——降次依据、分解路径、选择次序（对应拔高 3、拔高 4）； 考点 5　根与系数的关系（选学）——韦达定理、对称式、前提检验（对应例 5、拔高 5）； 考点 6　一元二次方程的实际应用——变化率、传播握手、面积利润与验根（对应例 6、拔高 6）。 考点特点 概念与解法必考：定义三条件、一般式与根的概念是选择填空常客——“含参数 a 时是否保证 a≠0”是高频设误点； 解方程是解答主力：四种解法（直接开平方、配方、公式、因式分解）按结构选择——“先看结构再动手”比“拿到就套公式”又快又稳，解法选择本身常设选择题（见例 3、拔高 4）； 判别式是压轴要素：Δ 三分类与“有没有实数根”“根是否相等”互为翻译，含参方程先讨论 a≠0 再算 Δ（见拔高 1、拔高 2）；根与系数的关系（选学）与实际应用是两大拓展考点，速览阶段各配 2 题入门（见例 5、拔高 5、例 6、拔高 6），更专项的真题训练见后续逐考点资料。 答题方法（三步法） 第一步·定形式：把方程整理成一般式 ＋bx＋c＝0（a≠0），认清二次项系数、一次项系数与常数项——二次项系数含参数时先讨论 a≠0； 第二步·选解法：能分解先分解，能开方先开方，其余配方或公式——一次项系数为偶数、系数简单优先配方，系数复杂用公式法（用公式先算 Δ 定根的个数）； 第三步·验根：判别式定根的个数，应用题的根代回实际意义检验（长宽为正、人数为整数、变化率在合理范围）——含参题、根与系数题先验 Δ≥0 再下结论。 命题边界：限于第 2 章〈一元二次方程〉——概念只考定义三条件、一般式与根的概念；解法只用直接开平方法、配方法、公式法、因式分解法四种，其中因式分解只用提公因式与公式法（不用十字相乘）；根与系数的关系属选学内容，正式使用请按本地考纲取舍；实际应用解出的根一律代回实际意义检验——题目均选自真题，个别真题的官方解析若超出本章范围，本资料详解一律改给界内解法。 PART 03 例题精讲（6 题）· 考点 1、2、5、6 例 1　选择题　　考点 1｜定义三条件的判断 下列方程中，是关于 x 的一元二次方程的是（　　） A．x＋＝0　　B．a＋x＋3＝0 C．＝2　　D．2＋＋2＝0 【答案】C 【解析】逐项对照定义三条件（整式方程、只含一个未知数、未知数的最高次数是 2）：A 分母含未知数，不是整式方程；B 二次项系数 a 没有保证不为 0；D 未知数最高次数是 3；只有 C 三条都满足。故选 C。 【详解】A：x＋＝0 中分母含未知数 x，是分式方程，不是整式方程，排除； B：当 a＝0 时，a＋x＋3＝0 化为 x＋3＝0，是一元一次方程，不一定是一元二次方程，排除； C：＝2 整理得 ＋2x−1＝0，二次项系数是 1（不为 0），只含一个未知数且最高次数是 2，符合定义； D：2＋＋2＝0 中含 项，未知数最高次数是 3，排除。故选 C。 例 2　填空题　　考点 1｜由方程的根求参数 已知关于 x 的一元二次方程 ＋2x＋a−4＝0 的一个根是 x＝1，则 a 的值为 ___1___。 【答案】1 【解析】根的定义：把 x＝1 代回方程，左边等于右边，得到关于 a 的一元一次方程，解出 a 即可。 【详解】把 x＝1 代入方程，得 1＋2＋a−4＝0，解得 a＝1。 【易错警示】“一个根是 x＝1”就是把 x＝1 代入方程成立——代根求参是定义的直接应用；求出 a＝1 后原方程为 ＋2x−3＝0，可解得另一根为 x＝−3，代回检验可加深理解。 例 3　选择题　　考点 2｜配方过程的判断 用配方法解方程 −4x＝1，配方后所得的方程是（　　） A．＝3　　B．＝5 C．＝3　　D．＝5 【答案】B 【解析】一次项系数是 −4，它的一半是 −2，配方要在两边同加上 4——左边配成完全平方式，右边变成 5。故选 B。 【详解】由 −4x＝1，两边同加 4，得 −4x＋4＝1＋4，即 ＝5。故选 B。 【易错警示】两边必须同加同一个数——只给左边加是配方的头号失分点；“−4 的一半是 −2”，配出的是 ，符号别配反。 例 4　填空题　　考点 2｜配方法解一元二次方程 一元二次方程 ＋4x−21＝0 的根是 ___x＝3 或 x＝−7___。 【答案】x＝3 或 x＝−7 【解析】二次项系数已是 1，一次项系数 4 是偶数——配方路线最顺：把常数移到右边，两边同加 4，开平方取“±”得两根。 【详解】移项，得 ＋4x＝21。 两边同加 4（一次项系数 4 的一半的平方），得 ＋4x＋4＝25，即 ＝25。 开平方，得 x＋2＝5 或 x＋2＝−5，解得 x＝3 或 x＝−7。 【易错警示】开平方后“±”两支都要写全——漏掉负根是配方法最常见失分点；两根代回原方程检验均成立。 例 5　选择题　　考点 5｜根与系数的关系（选学） 若 、 是一元二次方程 −6x−7＝0 的两个根，则（　　） A．＋＝6　　B．＋＝−6 C．·＝　　D．·＝7 （注：本题用到根与系数的关系，属选学内容，正式使用请按本地考纲取舍） 【答案】A 【解析】由根与系数的关系：两根之和等于 ，两根之积等于 ——这里 a＝1、b＝−6、c＝−7，代入即可判断各选项。 【详解】由根与系数的关系，得 ＋＝＝6，·＝＝−7。 逐项判断：＋＝6，·＝−7——A 正确；B 的和符号错；C、D 的积都与 −7 不符。故选 A。 【另解·不用根与系数的关系】用因式分解法解方程：−6x−7＝(x−7)(x＋1)＝0，解得 x＝7 或 x＝−1。 所以 ＋＝7＋(−1)＝6，·＝7×(−1)＝−7，同样选 A。 【易错警示】两根之和是 ，b 的符号最易丢——本题 b＝−6，−b＝6；两根之积是 ，本题 c＝−7，积是负数。 例 6　选择题　　考点 6｜传播问题列方程 某人患了流感，经过两轮传染后共有 36 人患了流感．设每一轮传染中平均每人传染了 x 人，则可得到方程（　　） A．x＋(1＋x)＝36　　B．2(1＋x)＝36 C．1＋x＋x(1＋x)＝36　　D．1＋x＋＝36 【答案】C 【解析】传染后本人仍然患病，要计入总数：第一轮后患病人数为 1＋x；第二轮里这 1＋x 人每人再传染 x 人，新增 x(1＋x)——两轮后总数为 1＋x＋x(1＋x)。 【详解】起始患病 1 人。 第一轮传染后：新传染 x 人，患病总人数为 1＋x； 第二轮传染后：1＋x 人每人再传染 x 人，新增 x(1＋x) 人，患病总人数为 1＋x＋x(1＋x)； 由“经过两轮传染后共有 36 人患了流感”，可列方程 1＋x＋x(1＋x)＝36。故选 C。 【易错警示】A 只算了一轮就停；B 把两轮当成人数简单翻倍，漏掉第二轮新增；D 把第二轮新增写成 ——漏掉了最初那名患者在第二轮的再传染（1 人也传染 x 人），正确的新增是 x(1＋x)＝x＋。 PART 04 拔高巩固（6 题）· 考点 3、4、5、6 拔高 1　填空题　　考点 3｜判别式与参数范围 已知关于 x 的一元二次方程 2−4x＋m−1＝0 有两个不相等的实数根，则 m 的取值范围是 ___m＜3___。 【答案】m＜3 【解析】“有两个不相等的实数根”翻译为 Δ＞0——由 a＝2、b＝−4、c＝m−1 算出 Δ，再解不等式即得 m 的范围。 【详解】这里 a＝2，b＝−4，c＝m−1。 Δ＝−4×2×(m−1)＝16−8m＋8＝24−8m。 由 Δ＞0，得 24−8m＞0，解得 m＜3。 【易错警示】Δ 中代入的 c 是 m−1 而不是 m——“整体常数项”的符号最易丢；“有两个不相等的实数根”对应 Δ＞0，“有实数根”才是 Δ≥0，两个条件别混。 拔高 2　解答题　　考点 3｜公式法解一元二次方程 用公式法解方程：2−3x−4＝0。 【答案】x＝ 或 x＝ 【解析】公式法的三步：化一般式定 a、b、c → 算 Δ 定根的个数 → 代入求根公式 x＝。 【详解】这里 a＝2，b＝−3，c＝−4。 Δ＝−4×2×(−4)＝9＋32＝41＞0，所以方程有两个不相等的实数根。 代入求根公式，得 x＝，即 x＝ 或 x＝。 【易错警示】Δ 的符号代入：−4ac＝−4×2×(−4)＝＋32，c 的负号最易丢；公式中 −b 的 b 是 −3，所以 −b＝3 而不是 −3。 拔高 3　填空题　　考点 4｜因式分解法解方程 一元二次方程 −2x＝0 的解是 ___x＝0 或 x＝2___。 【答案】x＝0 或 x＝2 【解析】方程左边两项都含 x，右边已是 0——提公因式 x，把二次方程降成两个一次方程。 【详解】提公因式，得 x(x−2)＝0。 于是 x＝0 或 x−2＝0，解得 x＝0 或 x＝2。 【易错警示】两边同除以 x 会把 x＝0 这个根除丢——降次必须走“移项＋分解”，不能约去含未知数的公因式。 拔高 4　解答题　　考点 4｜选择适当方法解方程 用适当的方法解下列方程： (1) 4＝； (2) ＋4(x−5)＝0。 【答案】(1) x＝0 或 x＝4；(2) x＝5 或 x＝1。 【解析】(1) 两边都是完全平方式，移项后用平方差公式整体分解；(2) 把 (x−5) 看成一个整体提公因式——两题都走因式分解路线降次最快。 【详解】(1) 移项，得 4−＝0，即 −＝0。 由平方差公式，得 [2(x−1)＋(x＋2)][2(x−1)−(x＋2)]＝0，整理得 (3x)(x−4)＝0。 所以 3x＝0 或 x−4＝0，解得 x＝0 或 x＝4。 (2) 把 (x−5) 看作一个整体，提公因式，得 (x−5)[(x−5)＋4]＝0，即 (x−5)(x−1)＝0。 所以 x−5＝0 或 x−1＝0，解得 x＝5 或 x＝1。 【易错警示】(1) ＝，先化成平方差可用的“两式平方差”再分解；(2) 提公因式后剩下的是“和”——(x−5)＋4＝x−1，别把＋4 写成−4。 拔高 5　填空题　　考点 5｜根与系数的关系综合求值 若 m、n 是一元二次方程 −5x＋2＝0 的两个实数根，则代数式 m＋ 的值为 ___7___。 （注：本题用到根与系数的关系，属选学内容，正式使用请按本地考纲取舍） 【答案】7 【解析】n 是方程的根，先用根的定义降次：由 ＝5n−2 把 化成一次式；再用根与系数的关系得 m＋n＝5，整体代入求值。 【详解】因为 n 是方程 −5x＋2＝0 的根，所以 −5n＋2＝0，即 ＝5n−2。 所以 ＝−4n＋4＝(5n−2)−4n＋4＝n＋2。 由根与系数的关系，得 m＋n＝5。 所以 m＋＝m＋(n＋2)＝(m＋n)＋2＝5＋2＝7。 【另解·不用根与系数的关系】用公式法解方程：Δ＝−4×1×2＝25−8＝17＞0，x＝。 不妨设 m＝、n＝，代入 m＋ 逐项计算，化简后结果仍为 7——代数式的值与两根的具体指派无关。 【易错警示】 展开后不要死算，先用根的定义降次——＝5n−2 是全题枢纽；根与系数的关系给的是“整体和”，m、n 不必单独求出。 拔高 6　解答题　　考点 6｜变化率应用与验根 某商场响应国家消费品以旧换新的号召，开展了家电惠民补贴活动．四月份投入资金 20 万元，六月份投入资金 24.2 万元，现假定每月投入资金的增长率相同． (1) 求该商场投入资金的月平均增长率； (2) 按照这个增长率，预计该商场七月份投入资金将达到多少万元？ 【答案】(1) 月平均增长率为 10%；(2) 预计七月份投入资金将达到 26.62 万元。 【解析】四月份到六月份经过两轮相同的增长：设月平均增长率为 x，列 ＝24.2；解出 x 后舍去不合题意的根，再按该增长率预测七月份。 【详解】(1) 设该商场投入资金的月平均增长率为 x。 由题意，四月份的 20 万元经过两轮增长到六月份的 24.2 万元，可列方程 20＝24.2。 整理，得 ＝1.21。 两边开平方，得 1＋x＝1.1 或 1＋x＝−1.1，解得 x＝0.1 或 x＝−2.1。 x＝−2.1 时 1＋x＝−1.1，增长率为负且中间月份投入资金会出现负数，不合题意，舍去；所以 x＝0.1，即月平均增长率为 10%。 (2) 七月份投入资金为 24.2×(1＋10%)＝24.2×1.1＝26.62（万元）。 答：月平均增长率为 10%；预计七月份投入资金将达到 26.62 万元。 【易错警示】开平方后 x＝−2.1 也满足方程，但不合实际意义必须舍去——应用题解出的根要代回检验；“四月份到六月份”是两轮增长（五月一轮、六月一轮），不是三轮。 附录 过关自查表（学生逐题归因，教师复核用） 题号 考点细目 若错，写出错因 订正完成 例 1 定义三条件选择判断 例 2 由方程的根求参数·嵌空填空 例 3 配方过程选择判断 例 4 配方法解方程·嵌空填空 例 5 根与系数的关系判断选择 例 6 传播问题列方程选择 拔高 1 判别式求参数范围·嵌空填空 拔高 2 公式法解方程计算 拔高 3 因式分解法解方程·嵌空填空 拔高 4 选择适当方法解方程 拔高 5 根与系数的关系综合求值·嵌空填空 拔高 6 变化率应用与验根解答 使用建议：订正后让学生在订正完成栏打勾，并保留本表至期中前——只重做打不了勾的题；后续第二章逐考点讲义按考点 1~6 展开，与本表序号一一对应。 1 学科网（北京）股份有限公司 $北师大版九上数学 · 考点讲义系列 北师大版新版数学 · 九年级上册 · 期中知识点及考点讲义系列 第二章 考点速览｜一元二次方程 ——第 2 章〈一元二次方程〉考点速览（期中备考）—— 讲义定位 内容构成 难度层级 建议使用 期中必考 选择·填空·解答 知识点总览 → 考点分析 → 考点 6 项 · 例题 6 · 拔高 6 ★☆☆★★★ 阶梯递进 课前预习 / 课后精练 / 考前逐一过关 使用说明 本资料是第 2 章〈一元二次方程〉的期中复习考点速览：按 6 个考点给“要点归纳 + 精选题卡”——考点 1-4 为四大主干（认识一元二次方程、直接开平方法与配方法、公式法与根的判别式、因式分解法与解法选择），考点 5 根与系数的关系（选学）、考点 6 一元二次方程的实际应用为两大拓展考点；例题 6 道、拔高 6 道共 12 道真题覆盖全部 6 个考点——例 1、例 2 对应考点 1，例 3、例 4 对应考点 2，例 5 对应考点 5，例 6 对应考点 6；拔高 1、拔高 2 对应考点 3，拔高 3、拔高 4 对应考点 4，拔高 5 对应考点 5，拔高 6 对应考点 6——与后续第二章逐考点讲义同一版式、配套使用；每题按【答案】【解析】【详解】三段编写，填空题答案已嵌在空格中（如 ___1___）。 第 2 章是代数计算升级章（★★★）：概念重定义三条件、解方程重方法选择、判别式与韦达重前提检验——例题与拔高题全部选自各地中考真题、期中期末真题，全部为无图代数题，可直接演练；正式使用前请按本校考情与本地考纲校准（根与系数的关系属选学内容，请按本地考纲取舍）。 PART 01 本章 6 个考点知识点总结（含选学与应用考点） 本部分知识总结共六节：一、认识一元二次方程；二、直接开平方法与配方法；三、公式法与根的判别式；四、因式分解法与解法选择；五、根与系数的关系（选学）；六、一元二次方程的实际应用。 考点范围：① 认识一元二次方程（定义三条件、一般式与根的概念）；② 直接开平方法与配方法（配方三步与配方要点）；③ 公式法与根的判别式（求根公式、Δ 三分类）；④ 因式分解法与解法选择（降次依据、分解路径、选择次序）；⑤ 根与系数的关系（选学，韦达定理与对称式）；⑥ 一元二次方程的实际应用（变化率、传播握手、面积利润与验根）。 一、认识一元二次方程 ◆ 一元二次方程的定义三条件：① 方程是整式方程；② 只含有一个未知数；③ 未知数的最高次数是 2——三条缺一不可；判断前先把方程整理成一般式 ＋bx＋c＝0（a≠0），二次项系数含参数时必须先讨论 a≠0。 ◆ 根的概念与“知根求参”：使方程左右两边的值相等的未知数的取值叫做方程的根（解）；已知方程的一个根，把它代回方程即可求出参数——这是填空高频套路（见例 2）；根的个数与判别式挂钩，含参方程先讨论二次项系数、再验 Δ。 二、直接开平方法与配方法 ◆ 直接开平方法：形如 ＝p 或 ＝p 的方程，当 p≥0 时两边直接开平方降次——x＝±、x＋m＝±；p＜0 时方程没有实数根；核心是整体思想：把 x＋m 看成一个未知数。 ◆ 配方法三步：① 移项——把常数项移到方程右边；② 配方——方程两边同加上“一次项系数一半的平方”，把左边配成完全平方式；③ 开平方降次求根；二次项系数不是 1 时，先两边同除以二次项系数化为 1，再配方。 ◆ 配方要点：＋6x＝−9——左边配的是“一次项系数一半的平方”，右边必须把它减回去；配方是求根公式的推导母版（把一般式配方即得公式），也常用于求二次代数式的最值（见例 3、例 4）。 三、公式法与根的判别式 ◆ 求根公式与根的判别式：当 a≠0 时，先算 Δ＝−4ac——Δ＞0 时方程有两个不相等的实数根，Δ＝0 时两个相等的实数根，Δ＜0 时没有实数根；Δ≥0 时 x＝——先把方程化成一般式定 a、b、c，再算 Δ，最后代入公式（见拔高 1、拔高 2）。 四、因式分解法与解法选择 ◆ 因式分解法的降次依据：若 A·B＝0，则 A＝0 或 B＝0——把方程整理成“一边为 0”，另一边分解成两个因式的乘积，二次就降成了两个一次方程； ◆ 两条分解路径：提公因式——−2x＝x(x−2)；公式法——−9＝(x＋3)(x−3)、＋6x＋9＝；本章因式分解只用提公因式与公式法，十字相乘不作要求（见拔高 3、拔高 4）。 ◆ 解法选择次序：① 能分解因式的先分解（最快）；② 能直接开平方的先开方；③ 其余用配方法或公式法——系数简单、一次项系数为偶数优先配方，系数复杂用公式法；拿到方程先看结构再选方法，不要拿到就套公式（见拔高 4）。 五、根与系数的关系（选学） ◆ 根与系数的关系（韦达定理，选学）：若 ＋bx＋c＝0（a≠0）的两个根是 、，则 ＋＝，·＝——不解方程就能得到两根的和与积（见例 5）； ◆ 对称式的运用：＋＝−2——遇 、 的对称式，先变形为“两根之和、两根之积”的组合，再整体代入（见拔高 5）； ◆ 使用注意（选学）：先用 Δ＝−4ac≥0 检验方程确有实数根，再用根与系数的关系；反过来由“和、积”反求 a、b、c 之后同样要验 Δ；本节属教材选学内容（第 2 章第 3 节），正式使用请按本地考纲取舍。 六、一元二次方程的实际应用 ◆ 变化率模型：设平均变化（增长或下降）率为 x，原量为 a，经两轮相同变化后为 b，列方程 ＝b——增长取“1＋x”、下降取“1−x”，解出 x 后按题意取正数根再作答（见拔高 6）； ◆ 传播、握手（比赛）模型：一轮传播后每个源变为 1＋x 个，两轮后的总数列 ＝m；n 个人两两握手（每两人赛一场）总数列 ＝m——数清“轮数”与“对象数”是列对方程的关键（见例 6）； ◆ 面积、利润与验根：面积问题用平移、拼接把图形的各边用同一个未知数表示（长×宽）；利润问题用“单件利润×销量”；列方程解出的根必须代回实际意义检验——长宽须为正、人数须为整数、变化率不能超范围，舍去不合题意的根。 一元二次方程速记表 模块 要点 示例 易错点 认识方程 定义三条件：整式方程、一个未知数、最高次数是 2；一般式 ＋bx＋c＝0（a≠0） 根代回方程使等式成立——已知一根代入可求参数 含参数 a 未先讨论 a≠0，就把方程判成一元二次方程 配方法 移常数 → 两边同加“一次项系数一半的平方” → 开平方；二次项系数不为 1 先化为 1 ＋4x−21＝0 配方为 ＝25 → x＝3 或 x＝−7 配方两边同加只做一边；开平方后漏掉负根 公式法 Δ＝−4ac：Δ＞0 两不等根、Δ＝0 两相等根、Δ＜0 无实数根；Δ≥0 时代求根公式 2−3x−4＝0：Δ＝41＞0，x＝ Δ 计算丢 b、c 的符号；Δ＜0 说成“方程无解” 因式分解法 一边化为 0，另一边提公因式或公式法分解 → A·B＝0 则 A＝0 或 B＝0 −2x＝0 → x(x−2)＝0 → x＝0 或 x＝2 两边同除以含未知数的公因式，把根除丢 根与系数（选学） 两根 ＋＝，＝；用前先验 Δ≥0 ＋ ＝ − 2 不验 Δ≥0 就用；和的符号记成 （应为负） 实际应用 变化率 ＝b；传播 ＝m；握手 ＝m 两次增长后翻倍 → 列 ＝2，解后取正根 解出的根不检验实际意义（负根、超界根未舍去） PART 02 考点分析：特点 · 答题方法 考点总览（本章共 6 个考点，与例题、拔高题对应关系如下）： 考点 1　认识一元二次方程——定义三条件、一般式与根、知根求参（对应例 1、例 2）； 考点 2　直接开平方法与配方法——配方三步、完全平方式（对应例 3、例 4）； 考点 3　公式法与根的判别式——求根公式、Δ 三分类（对应拔高 1、拔高 2）； 考点 4　因式分解法与解法选择——降次依据、分解路径、选择次序（对应拔高 3、拔高 4）； 考点 5　根与系数的关系（选学）——韦达定理、对称式、前提检验（对应例 5、拔高 5）； 考点 6　一元二次方程的实际应用——变化率、传播握手、面积利润与验根（对应例 6、拔高 6）。 考点特点 概念与解法必考：定义三条件、一般式与根的概念是选择填空常客——“含参数 a 时是否保证 a≠0”是高频设误点； 解方程是解答主力：四种解法（直接开平方、配方、公式、因式分解）按结构选择——“先看结构再动手”比“拿到就套公式”又快又稳，解法选择本身常设选择题（见例 3、拔高 4）； 判别式是压轴要素：Δ 三分类与“有没有实数根”“根是否相等”互为翻译，含参方程先讨论 a≠0 再算 Δ（见拔高 1、拔高 2）；根与系数的关系（选学）与实际应用是两大拓展考点，速览阶段各配 2 题入门（见例 5、拔高 5、例 6、拔高 6），更专项的真题训练见后续逐考点资料。 答题方法（三步法） 第一步·定形式：把方程整理成一般式 ＋bx＋c＝0（a≠0），认清二次项系数、一次项系数与常数项——二次项系数含参数时先讨论 a≠0； 第二步·选解法：能分解先分解，能开方先开方，其余配方或公式——一次项系数为偶数、系数简单优先配方，系数复杂用公式法（用公式先算 Δ 定根的个数）； 第三步·验根：判别式定根的个数，应用题的根代回实际意义检验（长宽为正、人数为整数、变化率在合理范围）——含参题、根与系数题先验 Δ≥0 再下结论。 命题边界：限于第 2 章〈一元二次方程〉——概念只考定义三条件、一般式与根的概念；解法只用直接开平方法、配方法、公式法、因式分解法四种，其中因式分解只用提公因式与公式法（不用十字相乘）；根与系数的关系属选学内容，正式使用请按本地考纲取舍；实际应用解出的根一律代回实际意义检验——题目均选自真题，个别真题的官方解析若超出本章范围，本资料详解一律改给界内解法。 PART 03 例题精讲（6 题）· 考点 1、2、5、6 例 1　选择题　　考点 1｜定义三条件的判断 下列方程中，是关于 x 的一元二次方程的是（　　） A．x＋＝0　　B．a＋x＋3＝0 C．＝2　　D．2＋＋2＝0 例 2　填空题　　考点 1｜由方程的根求参数 已知关于 x 的一元二次方程 ＋2x＋a−4＝0 的一个根是 x＝1，则 a 的值为 ______。 例 3　选择题　　考点 2｜配方过程的判断 用配方法解方程 −4x＝1，配方后所得的方程是（　　） A．＝3　　B．＝5 C．＝3　　D．＝5 例 4　填空题　　考点 2｜配方法解一元二次方程 一元二次方程 ＋4x−21＝0 的根是 _____。 例 5　选择题　　考点 5｜根与系数的关系（选学） 若 、 是一元二次方程 −6x−7＝0 的两个根，则（　　） A．＋＝6　　B．＋＝−6 C．·＝　　D．·＝7 （注：本题用到根与系数的关系，属选学内容，正式使用请按本地考纲取舍） 例 6　选择题　　考点 6｜传播问题列方程 某人患了流感，经过两轮传染后共有 36 人患了流感．设每一轮传染中平均每人传染了 x 人，则可得到方程（　　） A．x＋(1＋x)＝36　　B．2(1＋x)＝36 C．1＋x＋x(1＋x)＝36　　D．1＋x＋＝36 PART 04 拔高巩固（6 题）· 考点 3、4、5、6 拔高 1　填空题　　考点 3｜判别式与参数范围 已知关于 x 的一元二次方程 2−4x＋m−1＝0 有两个不相等的实数根，则 m 的取值范围是 ___＜___。 拔高 2　解答题　　考点 3｜公式法解一元二次方程 用公式法解方程：2−3x−4＝0。 拔高 3　填空题　　考点 4｜因式分解法解方程 一元二次方程 −2x＝0 的解是 ______。 拔高 4　解答题　　考点 4｜选择适当方法解方程 用适当的方法解下列方程： (1) 4＝； (2) ＋4(x−5)＝0。 拔高 5　填空题　　考点 5｜根与系数的关系综合求值 若 m、n 是一元二次方程 −5x＋2＝0 的两个实数根，则代数式 m＋ 的值为 ______。 （注：本题用到根与系数的关系，属选学内容，正式使用请按本地考纲取舍） 拔高 6　解答题　　考点 6｜变化率应用与验根 某商场响应国家消费品以旧换新的号召，开展了家电惠民补贴活动．四月份投入资金 20 万元，六月份投入资金 24.2 万元，现假定每月投入资金的增长率相同． (1) 求该商场投入资金的月平均增长率； (2) 按照这个增长率，预计该商场七月份投入资金将达到多少万元？ 附录 过关自查表（学生逐题归因，教师复核用） 题号 考点细目 若错，写出错因 订正完成 例 1 定义三条件选择判断 例 2 由方程的根求参数·嵌空填空 例 3 配方过程选择判断 例 4 配方法解方程·嵌空填空 例 5 根与系数的关系判断选择 例 6 传播问题列方程选择 拔高 1 判别式求参数范围·嵌空填空 拔高 2 公式法解方程计算 拔高 3 因式分解法解方程·嵌空填空 拔高 4 选择适当方法解方程 拔高 5 根与系数的关系综合求值·嵌空填空 拔高 6 变化率应用与验根解答 使用建议：订正后让学生在订正完成栏打勾，并保留本表至期中前——只重做打不了勾的题；后续第二章逐考点讲义按考点 1~6 展开，与本表序号一一对应。 1 学科网（北京）股份有限公司 $