第2章 专题5 根的判别式和根与系数的关系的应用-【勤径学升】2026-2027学年九年级上册数学同步练测教师用书Word（北师大版·新教材）

利用根的判别式判断含字母系数的方程的根的情况　　 常数a，b，c在数轴上的位置如图所示，则关于x的一元二次方程ax2＋bx＋c＝0根的情况是(C) 1题图 A．有两个相等的实数根 B．无实数根 C．有两个不相等的实数根 D．无法确定 已知关于x的一元二次方程x2－mx＋2m－4＝0. (1)判断方程的根的情况； (2)若方程有一个实数根为负数，求正整数m的值. 解：(1)因为Δ＝(－m)2－4×(2m－4)＝m2－8m＋16＝(m－4)2. 因为(m－4)2≥0，所以方程总有两个实数根． (2)方程x2－mx＋2m－4＝0可变形为 (x－2)(x－m＋2)＝0，解得x1＝2，x2＝m－2. 若方程有一个根为负数，则m－2<0， 所以m<2. 又因为m为正整数，所以m＝1. 利用根的判别式求字母的值或取值范围　　 (德阳中考)若关于x的一元二次方程－2x2＋4x＋k＝0有两个相等的实数根，则k的值是(C) A．2 B．0 C．－2 D．－4 (东营中考)若关于x的方程(k2－1)x2＋(k＋1)x＋＝0无实根，则k的取值范围是k≤－1． 已知a，b，c是△ABC的三边长，且关于a的方程x2＋2(a－b)x－(a2＋b2－c2)2＝0有两个相等的实数根，判断△ABC的形状． 解：根据题意，得Δ＝4(a－b)2＋4(a2＋b2－c2)2＝0， ∴(a－b)2＋(a2＋b2－c2)2＝0， ∴a－b＝0且a2＋b2－c2＝0， 即a＝b且a2＋b2＝c2， ∴△ABC为等腰直角三角形． 利用根与系数的关系求字母的值　　 已知关于x的方程x2－(2m－1)x＋m2＝0的两实数根为x1，x2，若(x1＋1)(x2＋1)＝3，则m的值为(A) A．－3 B．－1 C．－3或1 D．－1或3 已知关于x的一元二次方程x2－(m－1)x－2(m＋3)＝0. (1)求证：无论m取任何实数，方程都有两个不相等的实数根； (2)设x1，x2为方程的两个实数根，且x＋x＝16，求m的值． (1)证明：∵a＝1，b＝－(m－1)，c＝－2(m＋3)， ∴Δ＝b2－4ac＝[－(m－1)]2－4×1×[－2(m＋3)]＝m2＋6m＋25＝(m＋3)2＋16. ∵(m＋3)2≥0，∴(m＋3)2＋16>0，即Δ>0， ∴无论m取任何实数，方程都有两个不相等的实数根． (2)解：∵x1，x2为方程x2－(m－1)x－2(m＋3)＝0的两个实数根， ∴x1＋x2＝m－1，x1x2＝－2(m＋3)， ∴x＋x＝(x1＋x2)2－2x1x2＝(m－1)2－2[－2(m＋3)]＝16， ∴m2＋2m－3＝0，解得m1＝－3，m2＝1， ∴m的值为－3或1. 利用根与系数的关系求代数式的值　　 (泸州中考)若一元二次方程2x2－6x－1＝0的两根为α，β，则2α2－3α＋3β的值为10． 利用根与系数的关系解决新定义问题　　 若关于x的一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)有两个实数根，且其中一个根为另一个根的2倍，则称这样的方程为“倍根方程”．例如：一元二次方程x2－9x＋18＝0的两个根是3和6，则方程x2－9x＋18＝0就是“倍根方程”． (1)若关于x的一元二次方程x2－6x＋k＝0是“倍根方程”，求k的值； (2)若关于x的一元二次方程nx2－(3n＋3m)x＋8m＝0(n≠0)是“倍根方程”，求该方程的根． 解：(1)设这个方程的两个根分别为α和2α， 则α＋2α＝－＝6，解得α＝2， 即这个方程的一个根为2. 将x＝2代入方程x2－6x＋k＝0，得4－12＋k＝0， 解得k＝8. (2)设这个方程的两个根分别为β和2β， 由题意，得 整理，得(m－n)2＝0，∴m＝n. 将m＝n代入①，得β＋2β＝＝6，解得β＝2， ∴2β＝2×2＝4，∴该方程的根为x1＝2，x2＝4. 利用根与系数的关系解决几何问题　　 已知关于x的一元二次方程kx2－(4k＋1)x＋3k＋3＝0，其中k是整数． (1)求证：方程有两个不相等的实数根； (2)若方程的两个实数根分别为x1，x2，若x1，x2是斜边长为的直角三角形的两直角边长，求k的值． (1)证明：∵kx2－(4k＋1)x＋3k＋3＝0， ∴Δ＝[－(4k＋1)]2－4×k(3k＋3)＝16k2＋8k＋1－12k2－12k＝4k2－4k＋1＝(2k－1)2. ∵k是整数，∴2k－1≠0，∴(2k－1)2>0， ∴方程有两个不相等的实数根． (2)解：关于x的一元二次方程kx2－(4k＋1)x＋3k＋3＝0的两个实数根分别为x1，x2，k≠0， ∴x1＋x2＝，x1x2＝. ∵x1，x2是斜边长为的直角三角形的两直角边长， ∴x＋x＝，∴(x1＋x2)2－2x1x2＝， ∴－2＝， 整理，得5k2－8k－4＝0，解得k1＝－，k2＝2. ∵k是整数，∴k的值为2. 如图，四边形ABCD是边长为4的菱形，对角线AC，BD的长分别是一元二次方程x2－(m＋1)x＋2m＝0的两个实数根，DH是AB边上的高，求DH的值． 11题图 解：∵四边形ABCD是菱形， ∴AB＝4，AC⊥BD，AC＝2AO，BD＝2BO，∴∠AOB＝90°， ∴AO2＋BO2＝AB2＝42＝16. ∵对角线AC，BD的长分别是一元二次方程x2－(m＋1)x＋2m＝0的两个实数根， ∴AC＋BD＝m＋1，AC·BD＝2m， 即2AO＋2BO＝m＋1，2AO·2BO＝2m， ∴AO＋BO＝(m＋1)，AO·BO＝m， ∴AO2＋BO2＝(AO＋BO)2－2AO·BO＝(m＋1)2－m＝16，解得m1＝9，m2＝－7. 当m＝－7时，AO·BO＝－3.5<0，不合题意，舍去， ∴m＝9，∴AC·BD＝2m＝18. ∵DH是AB边上的高，∴S菱形ABCD＝AB·DH＝AC·BD， ∴4DH＝×18，解得DH＝. 利用根与系数的关系解决论证与猜想问题　　 若x1，x2是一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0，a，b，c为常数)的两个根，则x1＋x2＝－，x1x2＝.这个定理叫作韦达定理． 如：x1，x2是方程x2＋2x－1＝0的两个根，则x1＋x2＝－2，x1x2＝－1. 已知M，N是方程x2－x－1＝0的两根，记S1＝M＋N；S2＝M2＋N2；…；Sn＝Mn＋Nn. (1)S1＝1，S2＝3； (2)当n≥3且为整数时，猜想Sn，Sn－1，Sn－2之间有何关系？并证明． 解：(1)[解析]由题意，得M＋N＝1，MN＝－1， ∴S1＝M＋N＝1，S2＝M2＋N2＝(M＋N)2－2MN＝12－2×(－1)＝3. (2)Sn＝Sn－1＋Sn－2.证明如下： ∵M，N是方程x2－x－1＝0的两根， ∴M2＝M＋1，N2＝N＋1， ∴Sn－1＋Sn－2＝Mn-1＋Nn-1＋Mn-2＋Nn-2＝＋＋＋＝＋＝＋＝Mn＋Nn＝Sn. 学科网（北京）股份有限公司 $