第2章 教材素材拓展 一元二次方程几何解法-【勤径学升】2026-2027学年九年级上册数学同步练测教师用书Word（北师大版·新教材）

【阅读】许多数学家曾研究过一元二次方程的几何解法，下面以方程x2＋2x－35＝0即x(x＋2)＝35为例加以说明． 三国时期的数学家赵爽在其所著的《勾股圆方图注》中记载的方法是：构造图1，一方面，图中大正方形的边长是(x＋x＋2)，它的面积可利用正方形的面积公式计算；另一方面，这个大正方形的面积又等于四个全等矩形的面积加上中间小正方形的面积． 公元9世纪，阿拉伯数学家阿尔·花拉子米采用的方法是：构造图2，一方面，图中大正方形的面积为(x＋1)2；另一方面，它又等于35＋1，据此可得x＝5. 图1　　　　　　　　　图2 【完成任务】 (1)数学家阿尔·花拉子米求解过程中所用的方法与下列哪种方法是类似的？(C) A．直接开平方法　　　　　 B．公式法　　　　　　 C．配方法　　　　　　 D．因式分解法 (2)根据数学家赵爽的方法求出x的值； 【探究思考】 (3)上述几何解法有何弊端，请说明这种弊端产生的原因； 【拓展延伸】 (4)根据赵爽记载的方法，在下列三个构图中(矩形的顶点均落在边长为1的小正方形网格格点上)，能够得到方程x2＋3x－10＝0的正数解的构图是②(请填写序号). 解：(2)一方面，大正方形的面积可表示为(x＋x＋2)2， 另一方面，也可表示为4x(x＋2)＋(x＋2－x)2， ∴(x＋x＋2)2＝4x(x＋2)＋(x＋2－x)2. 又∵x(x＋2)＝35，∴(2x＋2)2＝4×35＋4＝144. ∵x>0，∴2x＋2＝12，∴x＝5. (3)上述几何解法的弊端是容易漏解． 原因：几何解法中正方形的边长与面积均为正数，无法构造出与负数相关的图形，导致只能求出一元二次方程的正数根，无法求出负数根． 学科网（北京）股份有限公司 $