专题06 集合与常用逻辑用语综合专项训练（8大题型33题）-2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修第一册

高中数学·题型专项训练系列 专题06 集合与常用逻辑用语综合（8大题型33题）（解析版） 高一数学上学期 人教A版（2019） 题型归纳 · 内容导航 题型一　集合的含义与表示（常考点） 题型二　集合间的基本关系（常考点） 题型三　集合的基本运算与Venn图（重点） 题型四　充分条件与必要条件的判断（重点） 题型五　全称量词与存在量词（常考点） 题型六　常用逻辑用语与集合的综合（重点） 题型七　含参数的集合综合问题（难点） 题型八　集合与常用逻辑用语的创新与拔高问题（拔高） 题型通关 · 靶向提分 题型一　集合的含义与表示（共5小题） 【知识积累】 三个特性：集合中的元素具有确定性、互异性、无序性；“著名的”“较高的”这类说法标准不明确，不能构成集合。 由元素求参数：由 分情况列方程，求出参数后一定要代回检验互异性。 点集与数集： 的元素是有序数对（点），方程组的解集要写成点集。 【典例】 1．下列各项中不能构成集合的是（    ）（26-27高一上·河南安阳·阶段检测） A．方程的实数解 B．所有的圆 C．著名的战斗英雄 D．中国具有教师资格证的所有人 【答案】C 【详解】选项A：方程的实数解为，，元素确定，故A能构成集合； 选项B：所有的圆对象明确，可以构成集合； 选项C：“著名” 没有明确统一的判定标准，无法确定谁属于这个群体，不满足确定性，不能构成集合； 选项D：中国具有教师资格证的所有人，有没有证书是客观可判定的，元素确定，可以构成集合． 【变式训练】 2．设集合，则（    ）（26-27高一上·湖北随州·阶段检测） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】A选项是自然数集，仅包含0和正整数，无法覆盖所有形如的数（比如属于但不属于自然数集）； B选项是整数集，仅包含整数，同样无法覆盖分数（比如属于但不属于整数集）； D选项是实数集，实数中还包含无理数（比如，无法表示为两个整数的比值，不属于）； 因此集合就是有理数集. 3．含有三个实数的集合，若且，求的值（    ）（26-27高一上·北京东城·阶段检测） A．1 B．0 C．0或1 D．2 【答案】A 【详解】对于，由题意得， 若，则，解得，此时， 而，可得或， 当时，不符合互异性，排除， 当，解得（舍去）或，此时，符合题意， 得到. 4．下列结论正确的是（   ）（26-27高一上·陕西西安·阶段检测） A． B．所有能被10整除的数都是偶数 C．， D．， 【答案】AB 【分析】A 直接解二元一次方程组；B 根据整除与偶数的定义判断；C 可取特殊值举反例；D 利用一元二次方程的判别式判断是否存在实数解． 【详解】A：由方程组解得 ，故该方程组的解集为 ，A 正确； B：设整数 能被 整除，则存在整数 ，使 ，所以 为偶数，B 正确； C：取 ，则 ，故 C 错误； D：方程 的判别式 ，所以该方程无实数解，D 错误． 5．若，则__________．（26-27高一上·上海·开学考试） 【答案】 或或 【分析】根据题中条件，由元素与集合之间的关系，列关系式求解，即可得出结果. 【详解】因为， 所以或或， 所以或或或, 根据集合元素的互异性，排除的情况， 所以 或或. 题型二　集合间的基本关系（共5小题） 【知识积累】 符号区分：“”连接元素与集合，“”连接集合与集合； 作元素时用 ，作集合时用 。 空集：空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集。 由包含、相等关系求参数：先列方程，再检验互异性；集合相等时元素一一对应。 【典例】 6．下列关系正确的是（    ）（26-27高一上·全国·课后作业） ①；②；③；④；⑤；⑥；⑦；⑧. A．①②⑧ B．③⑦ C．④⑤ D．④⑤⑥ 【答案】D 【详解】对于①：因为，故①不正确； 对于②：因为，故②不正确； 对于③：因为，故③不正确； 对于④：把看作集合，可得，故④正确； 对于⑤：把看作元素，可得，故⑤正确； 对于⑥：把看作集合，可得，故⑥正确； 对于⑦：把看作集合，可得，故⑦不正确. 对于⑧：因为；故⑧不正确. 综上可得：只有④⑤⑥正确. 【变式训练】 7．已知集合，，则满足的实数的个数为（    ）（26-27高一上·河北保定·阶段检测） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】A 【分析】根据题意，利用集合间的关系，列出方程，结合集合元素的互异性，即可求解. 【详解】由集合和，且， 当时，即，解得，此时集合不满足集合元素的互异性，舍去； 当时，即，此时方程无实数解，不符合题意，舍去； 当时，即，解得或，此时均不满足集合中元素的互异性，舍去； 综上可得，实数的个数为0. 8．设、是实数，集合，，若，则的值为（ ）（26-27高一上·江西九江·开学考试） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】因为、是实数，集合，，且， 因为且，若，则，解得， 此时，集合中的元素不满足互异性，不符合题意； 若，即，解得或， 因为，故应舍去，所以，则， 于是有，可得，符合题意. 综上所述，，，故. 9．若集合，则（    ）（25-26高一上·云南曲靖·阶段检测） A． B． C． D． 【答案】ABD 【分析】根据元素与集合、集合与集合之间的关系逐一判断即可. 【详解】对于A，因为空集是任何集合的子集， 即，故A正确； 对于B，因为，而是集合中的一个元素， 所以，故B正确； 对于C，因为，而是集合中的一个元素， 所以,故C错误； 对于D，因为集合是由集合中的元素组成的， 所以，故D正确. 10．下列说法正确的是（     ）（26-27高一上·黑龙江鸡西·阶段检测） A．空集是任意一个集合的真子集 B．满足为的真子集且条件的集合的个数为3个 C．集合 D． 【答案】BCD 【详解】选项A：空集是任意非空集合的真子集，空集没有真子集.A错误. 选项B：满足条件的集合有，，，B正确. 选项C： ， . C正确. 选项D：，D正确. 题型三　集合的基本运算与Venn图（共5小题） 【知识积累】 数轴法：数集的交、并、补用数轴表示，端点能否取到要单独看。 容斥原理：；三个集合时用 Venn 图从中间往外逐块填数。 由运算结果求参数： 说明 中的另一个元素不属于 。 【典例】 11．已知集合 ， ，则 （    ）（26-27高一上·河南周口·阶段检测） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】集合 ，. 故 . 【变式训练】 12．已知集合，，则（    ）（26-27高一上·河北邯郸·阶段检测） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先求得，进而求得. 【详解】依题意，,， 所以 . 13．某班共有58名学生，学校开设了数学、物理和化学三个兴趣小组，已知报数学小组的有36人，报物理小组的有30人，报化学小组的有20人，有15人同时报数学、物理两个小组，有10人同时报数学、化学两个小组，有8人同时报物理、化学两个小组，三个小组都没有报的有3人，则同时报这三个小组的学生人数为（   ）（26-27高一上·陕西西安·阶段检测） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【详解】设同时报这三个小组的学生人数是．由图可知，解得． 14．某班共有女生30人，班主任对全班女生进行了关于对唱歌、跳舞、书法是否有兴趣的问卷调查，经统计有21人喜欢唱歌，17人喜欢跳舞，10人喜欢书法，同时喜欢唱歌和跳舞的有12人，同时喜欢唱歌和书法的有6人，同时喜欢跳舞和书法的有5人，三种都喜欢的有2人，则三种都不喜欢的人数为（   ）（26-27高一上·宁夏银川·阶段检测） A．1 B．3 C．5 D．7 【答案】B 【详解】作出韦恩图，如图所示， 可知5人只喜欢唱歌，2人只喜欢跳舞，1人只喜欢书法， 同时喜欢唱歌和跳舞但不喜欢书法的有10人， 同时喜欢唱歌和书法但不喜欢跳舞的有4人， 同时喜欢跳舞和书法但不喜欢唱歌的有3人，三种都喜欢的有2人， 则该班女生对唱歌、跳舞、书法至少喜欢一种的人数为， 所以三种都不喜欢的人数为. 15．设全集，，；（26-27高一上·广西桂林·阶段检测） (1)求，. (2)设集合，且，求实数的取值范围. 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）根据给定条件，利用集合的运算求解. （2）利用给定运算结果，结合元素与集合的关系求解. 【详解】（1）由，，得， 而全集，则或，所以. （2）， 因为，，所以且， 所以或， 所以实数的取值范围是. 题型四　充分条件与必要条件的判断（共4小题） 【知识积累】 定义法：分别判断 、，不成立时举一个反例。 集合法：把条件化成集合，“小范围推出大范围”，小的是大的充分条件。 方程的根：两根的符号由根与系数的关系判断，同时要求判别式 。 【典例】 16．下列命题正确的是（   ）（26-27高一上·陕西西安·阶段检测） A．“”是“”的充分条件 B．“四边形对角线互相垂直”是“四边形为菱形”的充要条件 C．“”是“”的必要条件 D．“”是“”的充分不必要条件 【答案】D 【分析】根据充分条件、必要条件、充要条件的定义，对各选项的逻辑关系逐一判断即可. 【详解】 对于A，若，则恒成立，此时与不一定相等，故不能推出， 因此不是的充分条件，故A错误； 对于B，菱形的对角线互相垂直，但对角线互相垂直的四边形不一定是菱形（如对角线垂直但不平分的四边形）， 故“四边形对角线互相垂直”是“四边形为菱形”的必要不充分条件，不是充要条件，故B错误； 对于C，由解得或，故不能推出，因此不是的必要条件，故C错误； 对于D，若，则成立；若，例如，满足，但不满足， 所以“”是“”的充分不必要条件，故D正确. 【变式训练】 17．“”是“关于的方程有两个负根”的条件（    ）（26-27高一上·北京东城·阶段检测） A．充要 B．充分不必要 C．必要不充分 D．既不充分也不必要 【答案】C 【详解】若的方程有两个负根，则，故. 故关于的方程有两个负根的等价条件为， 而为的真子集， 故“”是“关于的方程有两个负根”的必要不充分条件. 18．已知是非零自然数，命题是奇数，命题与中至少有一个是奇数，则是的（   ）（25-26高一上·上海·期末） A．充分非必要条件 B．必要非充分条件 C．充要条件 D．既非充分又非必要条件 【答案】A 【分析】结合充分条件和必要条件定义判断结论. 【详解】是奇数都是奇数， 所以能推出，但推不出， 所以是的充分非必要条件， 故选：A 19．命题“”是命题“”的____________条件．（25-26高一上·广西南宁·阶段检测） 【答案】必要不充分 【分析】按充分性、必要性的定义判断即可. 【详解】设命题，命题， 由推不出，如时，满足，但， 所以充分性不满足； 由能推出， 因为，即， 所以且， 所以是的必要不充分条件. 即命题“”是命题“”的必要不充分条件. 题型五　全称量词与存在量词（共4小题） 【知识积累】 命题的否定：改量词（），否结论，量词后面的范围不变。 真假判断：全称量词命题要对每个元素都成立，举一个反例即为假；存在量词命题找到一个例子即为真。 与集合结合：“，使 ”为假，就是对所有 都有 。 【典例】 20．命题“”的否定为（    ）（26-27高一上·江苏无锡·阶段检测） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据存在量词命题的否定规则，更换量词、保持变量取值范围不变、否定结论即可得. 【详解】因为存在量词命题的否定为全称量词命题， 其否定规则为：将存在量词改为全称量词，保持原命题中变量的取值范围不变，同时否定原命题的结论. 所以原命题为“”的否定为“”. 【变式训练】 21．命题“，．”的否定是（    ）（25-26高一上·河南郑州·期末） A．， B．， C．， D．， 【答案】D 【分析】根据命题的否定的概念直接可得. 【详解】命题“，．”的否定是，， 故选：D. 22．下列说法中，正确的有（   ）（25-26高一上·贵州黔东南·期末） A．命题，则命题的否定为 B．“”是“”的充要条件 C．命题“对任意实数，二次函数的图象关于轴对称”是真命题 D．命题“若，则”是假命题 【答案】ACD 【分析】对A，根据特称命题的否定是全称命题判断；对B，举反例说明；对C，由二次函数的对称性判断；对D，举例说明. 【详解】对于A，命题的否定为，故A正确； 对于B，当时，满足不满足，所以“”不是“”的充要条件，故B错误； 对于C，对任意实数，二次函数的图象关于轴对称，故C正确； 对于D，当时，得，所以命题“若，则”是假命题，故D正确. 故选：ACD. 23．设，，下列选项正确的是（    ）（26-27高一上·江苏泰州·阶段检测） A．集合的子集个数为4 B．若，则 C．存在实数使得为假命题 D．若，则 【答案】ABC 【分析】先求解集合，再结合集合子集性质、交集运算、集合包含关系对各选项逐一分析. 【详解】对于A：，有2个元素，子集个数为，A正确； 对于B：若，则且.由得，解得， 此时，因，故，，，满足条件，B正确； 对于C：由得，即都属于，则，即，无解， 即不存在实数，使得成立，因此存在使得为假命题，C正确； 对于D：若，分情况讨论： ①时，满足； ②时，需，解得； ③时，需，解得； 综上可得，D错误. 题型六　常用逻辑用语与集合的综合（共4小题） 【知识积累】 量词与包含：“，都有 ”就是 ；“，使 ”就是 。 运算性质：；。 充要条件：写出的条件要能推出结论，结论也要能推出条件，两边都要验证。 【典例】 24．设已知集合，，且，都有成立，则的取值为（     ）（26-27高一上·北京·阶段检测） A．或 B．或或 C．或 D．或 【答案】A 【分析】由条件推出是的子集，所以中元素只能等于或，解方程后，利用集合元素互异性检验，舍去造成重复的，得到最终取值． 【详解】由，都有成立，得， 当时，解得或， 若，则，，符合题意； 若，则，，符合题意； 当时，解得，此时，显然不满足集合元素的互异性， 综上，的取值为或． 【变式训练】 25．已知集合M，N的关系如图所示，则下列结论中正确的是（    ） （24-25高一上·福建厦门·阶段检测） A． B．“”是真命题 C．“，使得”是真命题 D． 【答案】ACD 【分析】根据韦恩图（Venn diagram）可知，集合 与集合 有公共部分，但互不包含.结合集合的交集、补集、并集的定义及运算性质，逐一分析各选项即可. 【详解】选项A：由图可知，集合 与集合 有重叠部分，即公共元素，所以 ，故选项A正确； 选项B： 表示集合 在全集 中的补集，即图中 圆圈外部的区域. 由图可知，集合 中有一部分元素在 的外部（即 独有的部分）， 这部分元素属于 但也属于 ，因此“”意味着 中没有元素在 外，即 ， 这与图形不符，故选项B错误； 选项C：命题“，使得”等价于 . 由图可知两集合有交集，故存在这样的元素，选项C正确； 选项D：根据集合运算的德·摩根定律， 恒成立， 表示既不在 中也不在 中的元素集合等于不在 与 并集中的元素集合，故选项D正确. 26．下列命题：①合数一定是偶数，②若，则，③方程的解是，④“”是“”的必要非充分条件，其中真命题的是________.（填写序号）（25-26高一上·上海·期中） 【答案】②④ 【详解】对于①，9是合数，但9不是偶数，故①错误； 对于②，由，可得，故②正确； 对于③，当时，方程无解，故③错误； 对于④，当时满足，但， 当时，可得，则“”是“”的必要非充分条件，故④正确. 27．设集合，，则“”的一个充要条件是_________．（26-27高一上·江苏泰州·阶段检测） 【答案】 【分析】由求出值，再由的取值检验是否满足即得. 【详解】由得，则，解得， 时，，此时，不符合题意， 时，，，符合题意， 所以. 反之，由可得， 所以充要条件是. 题型七　含参数的集合综合问题（共3小题） 【知识积累】 互异性：集合中含参数的元素两两不相等，先写出参数满足的条件。 方程型集合：二次项系数含参数时，先讨论系数为 ；系数不为 时，元素个数由判别式决定。 子集讨论：由 得 ， 可能是空集，要按 、单元素、两个元素分别讨论。 【典例】 28．已知集合．（2026高一上·全国·专题练习） (1)求 满足的条件； (2)若，求 的值. 【答案】(1) (2) 【详解】（1）由题意有： ，即 ，解得， 所以a满足的条件为； （2）由，所以或 ， 当时， ，又因为 ，不满足元素的互异性， 当 时，即 ，且，解得， 所以若，的值是. 【变式训练】 29．已知集合.（26-27高一上·江苏无锡·阶段检测） (1)若集合A中有两个元素，求实数a的取值范围； (2)若集合A最多有两个子集，求实数a的取值范围. 【答案】(1) (2) 【详解】（1）因为集合A中有两个元素， 所以关于x的方程有两个不相等的实数根， 所以，且， 即且， 所以实数的范围是. （2）因为集合A最多有两个子集，所以集合A至多有1个元素， 即关于x的方程无解或只有一个解， 当时，，，只有1个解，符合题意； 当时，若方程有两个相等的实数根，则集合A只有1个元素， 此时，； 若方程没有实数根，则集合A没有元素， 此时，； 综上所述，a的取值范围是. 30．已知集合．（26-27高一上·河北邯郸·阶段检测） (1)若集合中只有一个元素，求实数的值； (2)若，且，求实数的值； (3)若，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2)或或 (3) 【分析】（1）小问，二次方程有相等实根，求解； （2）小问，C可以含有B的一个元素，也可以是空集，进而求出的值； （3）小问，先推出A是B的子集，则A可以是空集，或者含有B的一个元素，或者含有B的两个元素，进而求解. 【详解】（1）因为集合中只有一个元素，所以， 解得． （2）由题意，， 若，且，则， 当时，，满足题意； 当时，，解得； 当时，，解得， 综上所述，或或． （3）因为，且，所以，可得， 当时，无实数根， 可得，解得； 当时，有两相等的实数根， 则此时无解，不符合题意； 当时，有两相等的实数根， 则此时无解，不符合题意； 当 时，有两个实根，， 则此时无解，不符合题意， 综上所述，实数的取值范围为． 题型八　集合与常用逻辑用语的创新与拔高问题（共3小题） 【知识积累】 读懂新定义：新运算 的元素是有序数对，先用题中的例子验证理解，再按定义列举、计数。 因式分解与分类：条件等式先因式分解，分成几种情况，分别求出所求量的取值，再合并成集合。 补集与包含：；，再按判别式分类。 【典例】 31．已知实数，满足，设的所有可能值构成的集合为，则（   ）（2026高一上·全国·专题练习） A．为单元素集 B．为有限集，但不是单元素集 C．为无限集，且有下界 D．为无限集，且无下界 【答案】D 【分析】利用立方和因式分解公式拆分条件，分两类讨论，得到可取全体实数，判断集合的性质. 【详解】因为，， 所以令，原式：，所以或， 当，则，因为，所以； 当，得，得，所以，所以，则， 综上，． 【变式训练】 32．对于集合，，我们把集合记作例如，，，则有：，，，，据此，试回答下列问题：（26-27高一上·河南周口·阶段检测） (1)已知，，求； (2)已知，求集合，； (3)若集合中有个元素，集合中有个元素，试确定中有多少个元素，写出过程. 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）由题意得，； （2）由题意得，，； （3）设，， 则共个元素． 33．已知、，集合，．（26-27高一上·江苏南通·阶段检测） (1)若，求、的值； (2)若，求、的值． 【答案】(1) 或 (2)①当 时， 为任意实数；②当 时，；③当 时，；④当 时，。 【分析】（1）先求出的两根为和，由得，代入求出，再根据的两种情况分别确定； （2）由得，对的判别式按小于零、等于零、大于零三种情况讨论，分别求出满足条件的． 【详解】（1）由题意： ， 对于集合，方程可化为， 所以方程的解为 若，所以， 所以，由，代入的方程得： 此时的方程为 即 由 ，分两种情况： 若，则，满足； 若，则，需，得， 所以 （2）因为，所以， 对中方程的判别式分类讨论： ①当，即时，，显然，此时为任意实数. ②当时： 若，即，则，需，即，得； 若，即，则，需，即，得； ③当时，方程有两个不同实根，要，只能，即（由 解得），此时需，得. 综上： ①当时，为任意实数； ②当时，； ③当时，； ④当时，． 第1页 共1页 学科网（北京）股份有限公司 $高中数学·题型专项训练系列 专题06 集合与常用逻辑用语综合（8大题型33题）（原卷版） 高一数学上学期 人教A版（2019） 题型归纳 · 内容导航 题型一　集合的含义与表示（常考点） 题型二　集合间的基本关系（常考点） 题型三　集合的基本运算与Venn图（重点） 题型四　充分条件与必要条件的判断（重点） 题型五　全称量词与存在量词（常考点） 题型六　常用逻辑用语与集合的综合（重点） 题型七　含参数的集合综合问题（难点） 题型八　集合与常用逻辑用语的创新与拔高问题（拔高） 题型通关 · 靶向提分 题型一　集合的含义与表示（共5小题） 【知识积累】 三个特性：集合中的元素具有确定性、互异性、无序性；“著名的”“较高的”这类说法标准不明确，不能构成集合。 由元素求参数：由 分情况列方程，求出参数后一定要代回检验互异性。 点集与数集： 的元素是有序数对（点），方程组的解集要写成点集。 【典例】 1．下列各项中不能构成集合的是（    ）（26-27高一上·河南安阳·阶段检测） A．方程的实数解 B．所有的圆 C．著名的战斗英雄 D．中国具有教师资格证的所有人 【变式训练】 2．设集合，则（    ）（26-27高一上·湖北随州·阶段检测） A． B． C． D． 3．含有三个实数的集合，若且，求的值（    ）（26-27高一上·北京东城·阶段检测） A．1 B．0 C．0或1 D．2 4．下列结论正确的是（   ）（26-27高一上·陕西西安·阶段检测） A． B．所有能被10整除的数都是偶数 C．， D．， 5．若，则__________．（26-27高一上·上海·开学考试） 题型二　集合间的基本关系（共5小题） 【知识积累】 符号区分：“”连接元素与集合，“”连接集合与集合； 作元素时用 ，作集合时用 。 空集：空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集。 由包含、相等关系求参数：先列方程，再检验互异性；集合相等时元素一一对应。 【典例】 6．下列关系正确的是（    ）（26-27高一上·全国·课后作业） ①；②；③；④；⑤；⑥；⑦；⑧. A．①②⑧ B．③⑦ C．④⑤ D．④⑤⑥ 【变式训练】 7．已知集合，，则满足的实数的个数为（    ）（26-27高一上·河北保定·阶段检测） A．0 B．1 C．2 D．3 8．设、是实数，集合，，若，则的值为（ ）（26-27高一上·江西九江·开学考试） A． B． C． D． 9．若集合，则（    ）（25-26高一上·云南曲靖·阶段检测） A． B． C． D． 10．下列说法正确的是（     ）（26-27高一上·黑龙江鸡西·阶段检测） A．空集是任意一个集合的真子集 B．满足为的真子集且条件的集合的个数为3个 C．集合 D． 题型三　集合的基本运算与Venn图（共5小题） 【知识积累】 数轴法：数集的交、并、补用数轴表示，端点能否取到要单独看。 容斥原理：；三个集合时用 Venn 图从中间往外逐块填数。 由运算结果求参数： 说明 中的另一个元素不属于 。 【典例】 11．已知集合 ， ，则 （    ）（26-27高一上·河南周口·阶段检测） A． B． C． D． 【变式训练】 12．已知集合，，则（    ）（26-27高一上·河北邯郸·阶段检测） A． B． C． D． 13．某班共有58名学生，学校开设了数学、物理和化学三个兴趣小组，已知报数学小组的有36人，报物理小组的有30人，报化学小组的有20人，有15人同时报数学、物理两个小组，有10人同时报数学、化学两个小组，有8人同时报物理、化学两个小组，三个小组都没有报的有3人，则同时报这三个小组的学生人数为（   ）（26-27高一上·陕西西安·阶段检测） A．1 B．2 C．3 D．4 14．某班共有女生30人，班主任对全班女生进行了关于对唱歌、跳舞、书法是否有兴趣的问卷调查，经统计有21人喜欢唱歌，17人喜欢跳舞，10人喜欢书法，同时喜欢唱歌和跳舞的有12人，同时喜欢唱歌和书法的有6人，同时喜欢跳舞和书法的有5人，三种都喜欢的有2人，则三种都不喜欢的人数为（   ）（26-27高一上·宁夏银川·阶段检测） A．1 B．3 C．5 D．7 15．设全集，，；（26-27高一上·广西桂林·阶段检测） (1)求，. (2)设集合，且，求实数的取值范围. 题型四　充分条件与必要条件的判断（共4小题） 【知识积累】 定义法：分别判断 、，不成立时举一个反例。 集合法：把条件化成集合，“小范围推出大范围”，小的是大的充分条件。 方程的根：两根的符号由根与系数的关系判断，同时要求判别式 。 【典例】 16．下列命题正确的是（   ）（26-27高一上·陕西西安·阶段检测） A．“”是“”的充分条件 B．“四边形对角线互相垂直”是“四边形为菱形”的充要条件 C．“”是“”的必要条件 D．“”是“”的充分不必要条件 【变式训练】 17．“”是“关于的方程有两个负根”的条件（    ）（26-27高一上·北京东城·阶段检测） A．充要 B．充分不必要 C．必要不充分 D．既不充分也不必要 18．已知是非零自然数，命题是奇数，命题与中至少有一个是奇数，则是的（   ）（25-26高一上·上海·期末） A．充分非必要条件 B．必要非充分条件 C．充要条件 D．既非充分又非必要条件 19．命题“”是命题“”的____________条件．（25-26高一上·广西南宁·阶段检测） 题型五　全称量词与存在量词（共4小题） 【知识积累】 命题的否定：改量词（），否结论，量词后面的范围不变。 真假判断：全称量词命题要对每个元素都成立，举一个反例即为假；存在量词命题找到一个例子即为真。 与集合结合：“，使 ”为假，就是对所有 都有 。 【典例】 20．命题“”的否定为（    ）（26-27高一上·江苏无锡·阶段检测） A． B． C． D． 【变式训练】 21．命题“，．”的否定是（    ）（25-26高一上·河南郑州·期末） A．， B．， C．， D．， 22．下列说法中，正确的有（   ）（25-26高一上·贵州黔东南·期末） A．命题，则命题的否定为 B．“”是“”的充要条件 C．命题“对任意实数，二次函数的图象关于轴对称”是真命题 D．命题“若，则”是假命题 23．设，，下列选项正确的是（    ）（26-27高一上·江苏泰州·阶段检测） A．集合的子集个数为4 B．若，则 C．存在实数使得为假命题 D．若，则 题型六　常用逻辑用语与集合的综合（共4小题） 【知识积累】 量词与包含：“，都有 ”就是 ；“，使 ”就是 。 运算性质：；。 充要条件：写出的条件要能推出结论，结论也要能推出条件，两边都要验证。 【典例】 24．设已知集合，，且，都有成立，则的取值为（     ）（26-27高一上·北京·阶段检测） A．或 B．或或 C．或 D．或 【变式训练】 25．已知集合M，N的关系如图所示，则下列结论中正确的是（    ） （24-25高一上·福建厦门·阶段检测） A． B．“”是真命题 C．“，使得”是真命题 D． 26．下列命题：①合数一定是偶数，②若，则，③方程的解是，④“”是“”的必要非充分条件，其中真命题的是________.（填写序号）（25-26高一上·上海·期中） 27．设集合，，则“”的一个充要条件是_________．（26-27高一上·江苏泰州·阶段检测） 题型七　含参数的集合综合问题（共3小题） 【知识积累】 互异性：集合中含参数的元素两两不相等，先写出参数满足的条件。 方程型集合：二次项系数含参数时，先讨论系数为 ；系数不为 时，元素个数由判别式决定。 子集讨论：由 得 ， 可能是空集，要按 、单元素、两个元素分别讨论。 【典例】 28．已知集合．（2026高一上·全国·专题练习） (1)求 满足的条件； (2)若，求 的值. 【变式训练】 29．已知集合.（26-27高一上·江苏无锡·阶段检测） (1)若集合A中有两个元素，求实数a的取值范围； (2)若集合A最多有两个子集，求实数a的取值范围. 30．已知集合．（26-27高一上·河北邯郸·阶段检测） (1)若集合中只有一个元素，求实数的值； (2)若，且，求实数的值； (3)若，求实数的取值范围． 题型八　集合与常用逻辑用语的创新与拔高问题（共3小题） 【知识积累】 读懂新定义：新运算 的元素是有序数对，先用题中的例子验证理解，再按定义列举、计数。 因式分解与分类：条件等式先因式分解，分成几种情况，分别求出所求量的取值，再合并成集合。 补集与包含：；，再按判别式分类。 【典例】 31．已知实数，满足，设的所有可能值构成的集合为，则（   ）（2026高一上·全国·专题练习） A．为单元素集 B．为有限集，但不是单元素集 C．为无限集，且有下界 D．为无限集，且无下界 【变式训练】 32．对于集合，，我们把集合记作例如，，，则有：，，，，据此，试回答下列问题：（26-27高一上·河南周口·阶段检测） (1)已知，，求； (2)已知，求集合，； (3)若集合中有个元素，集合中有个元素，试确定中有多少个元素，写出过程. 33．已知、，集合，．（26-27高一上·江苏南通·阶段检测） (1)若，求、的值； (2)若，求、的值． 第1页 共1页 学科网（北京）股份有限公司 $