第一章 专题03 集合的基本运算专项训练（8大题型44题）-2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修第一册

高中数学·题型专项训练系列 专题03 集合的基本运算（8大题型44题）（解析版） 高一数学上学期 人教A版（2019） 题型归纳 · 内容导航 题型一　交集与并集的运算（常考点） 题型二　补集及交、并、补的混合运算（重点） 题型三　用Venn图表示集合的运算（常考点） 题型四　集合中元素的个数（容斥原理）（常考点） 题型五　由交集、并集的运算结果求参数（重点） 题型六　由补集及混合运算求参数（难点） 题型七　集合运算的性质与新定义运算（常考点） 题型八　集合运算的综合问题（拔高） 题型通关 · 靶向提分 题型一　交集与并集的运算（共7小题） 【知识积累】 定义： 且 ， 或 。 方法：先化简集合；列举法表示的集合直接找公共元素或合并元素（重复的只写一次）；连续数集借助数轴，注意端点能否取到。 点集的交集：两个点集的交集就是方程组的解（交点坐标）组成的集合，应写成 的形式。 【典例】 1．已知集合，，则（     ）（26-27高一上·江苏淮安·阶段检测） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】因为，， 所以. 【变式训练】 2．已知集合，则（ ）（26-27高一上·宁夏陕西·期中） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据交集的定义即可求解. 【详解】因为集合， 所以. 3．已知集合，，则（ ）（26-27高一上·山东·期中） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意，利用并集的定义与运算，直接求解，即可得到答案. 【详解】由集合，， 根据集合并集的定义与运算，可得. 4．已知集合，，则（    ）（26-27高一上·河北邢台·阶段检测） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由得，又，所以． 由得或，所以． 因此． 5．设集合，，则（    ）（25-26高一上·福建莆田·阶段检测） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先求解三次方程得到集合A，再根据并集的定义求解即可. 【详解】由，得，即，解得或或， 所以. 因此. 6．已知集合那么（    ）（26-27高一上·天津滨海新区·阶段检测） A．， B． C． D． 【答案】D 【分析】首先可求出直线与的交点坐标，然后根据交集的相关性质即可得出结果. 【详解】由于直线与的交点坐标为， 已知集合， 则，故D正确. 7．设集合，则________．（25-26高一上·上海松江·阶段检测） 【答案】 【详解】联立方程，解得或. 所以. 题型二　补集及交、并、补的混合运算（共7小题） 【知识积累】 补集： 且 ；，。 运算顺序：有括号先算括号内的；求补集时注意全集，数集的补集借助数轴，端点“取”与“不取”互换。 常用结论：，。 【典例】 8．设全集，集合，，则（    ）（26-27高一上·黑龙江佳木斯·阶段检测） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由，得，因为，因此， 因为，所以. 【变式训练】 9．设集合 ， ， ，求：（26-27高一上·河南周口·阶段检测） (1); (2). 【答案】(1) . (2). 【详解】（1）因为，， 所以 ，； （2）因为， ， 故 或，又 所以 . 10．已知，，的子集个数为_______（26-27高一上·陕西西安·阶段检测） 【答案】 【详解】因为， 所以，, 所以的子集个数为个. 11．已知全集，，，．求：（26-27高一上·山东泰安·阶段检测） (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用列举法求得集合，然后利用交集与并集的运算求解即可； （2）先利用补集的定义求得，进而利用并集的运算求解即可. 【详解】（1）因为，． 所以，又因为，所以； （2）因为，，， 所以，所以. 12．已知全集，，，则集合的真子集个数为______．（26-27高一上·天津河西·阶段检测） 【答案】 【详解】由题设，且，则，故其真子集的个数为个. 13．已知全集，集合，集合，求：（26-27高一上·天津滨海新区·阶段检测） (1)； (2)； (3). 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）集合，集合， 则. （2）全集，则， 所以. （3）因为，， 所以， 因为， 所以. 14．已知集合或，．（26-27高一上·河北邯郸·阶段检测） (1)求，； (2)，． 【答案】(1)，或 (2)或， 【分析】（1）根据题意，分别利用集合的交集和并集运算即可求解； （2）根据题意，结合集合的交并补运算即可求解. 【详解】（1）由题意得，， 因为或，， 所以，或. （2）因为或，所以， 因为，所以或， 则或，. 题型三　用Venn图表示集合的运算（共5小题） 【知识积累】 看图写式子：阴影部分在哪个集合内就“交”哪个集合，在哪个集合外就“交”它的补集，如在 内且在 外的部分是 。 由关系画图：若 ，则 ，，。 【典例】 15．如图，是全集，是的三个子集，则阴影部分所表示的集合是（    ）（26-27高一上·河南周口·阶段检测） (注：图中阴影部分为集合与的交集，但排除集合的部分) A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由图可知，阴影部分位于集合和的交集内部，但位于集合的外部. 因此表示为 . 【变式训练】 16．设全集，集合，，则图中阴影部分表示的集合的真子集的个数为（   ）（26-27高一上·河北邯郸·阶段检测） A．3 B．4 C．7 D．8 【答案】C 【分析】先计算出图中阴影部分表示的集合，从而得到真子集的个数 【详解】，，， 图中阴影部分表示的集合为， 其中， 故， 故阴影部分表示的集合的真子集的个数为. 17．已知全集，集合，，给出下列4种方式表示图中阴影部分：①；②；③；④，正确的有几个？（    ）（26-27高一上·广东揭阳·阶段检测） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【详解】由图可知阴影部分所表示的集合为，，故②③正确； 由，，， 则，， 所以，，故①正确，④错误. 18．已知集合是全集，集合，的关系如图所示，则（    ）（26-27高一上·河北邢台·阶段检测） A． B． C． D． 【答案】BCD 【分析】根据Venn图及集合间的关系、基本运算逐一判断即可. 【详解】对于A，由Venn图可知，故A错误； 对于B，因为，所以，故B正确； 对于C，因为，设，则，所以， 所以，故C正确； 对于D，因为，所以， 所以，又， 所以，故D正确. 19．已知集合，，Venn图如图所示，则阴影部分所表示的集合的元素共有________个．（26-27高一上·山东济宁·阶段检测） 【答案】2 【分析】先根据集合交集的运算求解. 【详解】阴影部分对应的集合为，包含元素为不小于且不大于的正奇数， 即，共有个元素. 题型四　集合中元素的个数（容斥原理）（共3小题） 【知识积累】 两个集合：。 三个集合： 等于三个集合的元素个数之和，减去两两交集的元素个数之和，再加上 。 Venn图法：从三个集合的公共部分开始，由内向外依次填出各部分的人数。 【典例】 20．某学校先举办了一次田径运动会，某班有9名同学参赛，该校又举办了一次球类运动会，这个班有10名同学参赛，两次运动会都参赛的同学有5名．两次运动会中，这个班共有名同学参赛，则（    ）（26-27高一上·云南·阶段检测） A．13 B．14 C．15 D．19 【答案】B 【详解】设为参加田径运动会的人数，则， 设为参加球类运动会的人数，则， 因为两次运动会都参赛的同学有5名，所以， 因为这个班共有名同学参赛，所以， 则. 【变式训练】 21．某学校举办运动会，比赛项目包括田径、游泳、球类，经统计高一年级有57人参加田径比赛，有11人参加游泳比赛，有62人参加球类比赛．参加球类比赛的同学中有14人参加田径比赛，有4人参加游泳比赛；同时参加田径比赛和游泳比赛的有8人；同时参加三项比赛的有2人．则高一年级参加比赛的同学有（     ）（26-27高一上·陕西西安·阶段检测） A．110人 B．108人 C．106人 D．104人 【答案】C 【详解】 高一年级有57人参加田径比赛，有11人参加游泳比赛，有62人参加球类比赛． 参加球类比赛的同学中有14人参加田径比赛，有4人参加游泳比赛； 同时参加田径比赛和游泳比赛的有8人；同时参加三项比赛的有2人． 作出韦恩图可得高一年级参加比赛的同学有人. 22．某校“五一田径运动会”上，共有12名同学参加100米、400米、1500米三个项目，其中有8人参加“100米比赛”，有7人参加“400米比赛”，有5人参加“1500米比赛”，“100米和400米”都参加的有4人，“100米和1500米”都参加的有3人，“400米和1500米”都参加的有3人，则下列说法正确的是（    ）（26-27高一上·黑龙江佳木斯·阶段检测） A．只参加400米比赛的有3人 B．只参加100米比赛的有2人 C．三项比赛都参加的有2人 D．只参加1500米比赛的有3人 【答案】C 【详解】记“参加100米比赛同学”，“参加400米比赛同学”，“参加1500米比赛同学”， 不妨用表示集合的元素个数，则由集合的容斥原理： 设三个项目都参加的人数为，即, 由题意， ，解得，即三项都参加的有人，正确； 计算只参加各项目人数： 只参加100米比赛人数：，错误； 只参加400米比赛人数：，错误； 只参加1500米比赛人数：，错误. 题型五　由交集、并集的运算结果求参数（共7小题） 【知识积累】 转化：，。 不要漏空集：含参数的集合 满足 时，先讨论 的情况。 整数元素问题：交集中恰有几个整数时，借助数轴确定端点的位置，注意端点能否取等。 【典例】 23．若，，，则实数的取值范围是（   ）（26-27高一上·陕西西安·阶段检测） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据补集的性质及条件可得，再结合数轴可得实数的取值范围. 【详解】由补集的性质知，又因为，所以. 又，，所以. 即实数的取值范围是. 【变式训练】 24．已知集合，，若中恰有个元素，则的取值范围为（     ）（26-27高一上·北京·阶段检测） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由得，解得， 又，故， 因为，即中所有大于等于的元素， 若恰有个元素，只能是最大的三个， 包含，则，不包含，则，故， 所以实数的取值范围是. 25．已知为实数，若集合，，且，则的值可以是（     ）（26-27高一上·江苏南通·阶段检测） A．6 B．2 C． D．0 【答案】ABD 【分析】根据，可知，又因为空集是任何集合的子集，所以分和两种情况，从而求出参数. 【详解】由题可知：， 因为，所以， 当时，，满足，故成立， 当时，， 因为，所以或， 解得：或， 综上可知：或或. 26．若，，且满足，则的值为_______.（26-27高一上·天津滨海新区·阶段检测） 【答案】或0 【分析】根据集合的运算及包含关系，结合集合元素的互异性求解即可. 【详解】由，得，所以或，解得或. 当时，，，满足条件； 当时，集合不满足互异性，舍去； 当时，，，满足条件； 综上，或. 27．设集合，.若，则实数的值为________.（26-27高一上·上海·阶段检测） 【答案】或或 【详解】由 ，由 ，因为集合最多只有一个元素，所以集合可能为、、. 当时，方程无解， . 当时，将代入方程， . 当时，将代入方程， . 28．已知集合，．（26-27高一上·河北邢台·阶段检测） (1)若，求，； (2)若，求实数的取值范围． 【答案】(1)，或 (2) 【分析】（1）给定参数的值，直接写出集合，再利用数轴进行集合交、补、并运算，计算时注意补集的边界； （2）由等价转化为，含参数集合必须分和两种情况讨论，再列不等式组求解. 【详解】（1）当时，， 又，则， 或，或． （2）由题可得是的子集， 若，则； 若，则解得． 综上可得，故实数的取值范围为． 29．已知集合，，且，则__________．（26-27高一上·河南平顶山·阶段检测） 【答案】 【分析】根据题意，得到，进而得到和是方程的两个实数根，结合一元二次方程的根与系数的关系，列出方程组求 ，即可求解. 【详解】因为，可得， 又因为，， 所以和是方程的两个实数根， 则，解得，， 所以. 题型六　由补集及混合运算求参数（共4小题） 【知识积累】 转化：；。 方法：先求出确定的集合，再借助数轴或列举法列出参数满足的条件；含参集合可能为空集时要单独讨论。 【典例】 30．设全集，集合，若或，则实数a的取值范围为__________（25-26高一上·福建莆田·阶段检测） 【答案】 【分析】利用集合之间的关系，列出不等式求解. 【详解】已知全集，集合，因为或，所以, 即， 又因为是连成一段的数集，所以有，解得. 【变式训练】 31．已知集合，或．（26-27高一上·河南周口·阶段检测） (1)当时，求； (2)若，求实数的取值范围． 【答案】(1)或 (2) 【分析】（1）根据集合的交集运算直接求解即可； （2）根据题意得到集合的关系，分类讨论和即可求解. 【详解】（1）当时，集合， 且或，所以或. （2）因为，则，可得， 当时，，此时，则； 当时，，又因为或，则，解得； 所以的取值范围是． 32．已知全集，集合．（26-27高一上·宁夏银川·阶段检测） (1)求； (2)若且，求实数的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据题意，求出集合中的元素，再根据补集的概念，直接写出结果即可； （2）根据元素与集合的关系，列出方程，判断参数值即可. 【详解】（1）可知，解得或，即， 可知，则. （2）且， 当，解得，因为，解得 当时，解得，不符合， 综上，. 33．已知集合，，（26-27高一上·陕西西安·阶段检测） (1)若，求实数的值； (2)若且，求实数的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用根与系数的关系可求出； （2）求出，利用集合交集运算结果确定中元素，代入得解. 【详解】（1）因为，所以是方程的两根. 则，解得. （2）. 因为且，所以且， 即，化简得，解得或. 当时，，则，不符合题意； 当时，，则且， 故符合题意. 综上，实数的值为. 题型七　集合运算的性质与新定义运算（共6小题） 【知识积累】 运算性质：；，；。 数集与点集： 是数集， 是点集，二者的交集是 。 差集： 且 ，可以用 Venn 图帮助理解。 【典例】 34．定义集合 ，若 ， ，则 的子集个数是 ________.（26-27高一上·河南周口·阶段检测） 【答案】4 【分析】根据新定义确定集合中的元素，再计算子集个数. 【详解】因为，， 所以 ，则其子集个数为个. 【变式训练】 35．下列集合符号运用不正确的是（     ）（26-27高一上·陕西西安·阶段检测） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据集合知识，逐项分析，即可求得答案. 【详解】对于A，由，故A正确; 对于B，因为不成立,故B错误; 对于C,因为，故C正确; 对于D，因为，故D正确. 36．已知为全集，集合，是的子集，若，则（ ）（26-27高一上·山东临沂·阶段检测） A． B． C． D． 【答案】CD 【详解】已知为全集，，，所以. 因为，所以. 对于选项A，可以是空集，此时，满足，故A错误； 对于选项B，已推出，故B错误； 对于选项C，，，，故C正确； 对于选项D，由，可得成立，故D正确. 37．下列关于集合的说法正确的有（    ）（26-27高一上·陕西商洛·阶段检测） A．若且，则 B．空集是任何非空集合的真子集 C．集合与是同一个集合 D．若，则 【答案】ABD 【详解】对于A，若且，则，故A正确； 对于B，空集是任何非空集合的真子集，故B正确； 对于C，因为，， 所以集合与不是同一个集合，故C错误； 对于D，若，则，故D正确． 38．已知集合，，那么集合的子集个数为_________．（26-27高一上·江苏南通·阶段检测） 【答案】 1 【详解】集合是数集， 集合是点集， 所以， 所以集合只有一个子集. 所以集合的子集个数为. 39．设，是两个非空集合，定义且，已知，，则下列说法正确的是（   ）（26-27高一上·河北邯郸·阶段检测） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】ACD 【详解】选项 A，若，则，又， ，且，所以，A 正确； 选项 B，若，则，又， ，且，所以，B 错误； 选项 C，若，说明中所有元素都属于，所以全部满足，所以，C 正确； 选项 D，若，是在里面去掉属于的部分，就是在里面，去掉刚才剩下的部分，也就是中属于的元素，即，所以 ，D 正确 题型八　集合运算的综合问题（共5小题） 【知识积累】 新定义运算：先把新运算用交、并、补表示出来，如 ，再按常规运算求解。 含参数的方程型集合： 等价于 ，先因式分解求出方程的根，再分类讨论。 【典例】 40．定义集合与的运算：，．若，，则（    ）（26-27高一上·山西·阶段检测） A．或 B．或 C． D．或 【答案】ABD 【分析】由题意可知，，结合集合的交集、并集和补集运算逐项分析判断即可. 【详解】由题意可知：，， 因为集合， 对于选项A：因为， 所以或，故A正确； 对于选项B：因为， 所以或，故B正确； 对于选项C：因为或，则或， 所以，故C错误； 对于选项D：因为或，则， 所以或，故D正确. 【变式训练】 41．设集合，，且、都是集合的子集，如果把叫做集合的“长度”，那么集合的“长度”的范围的“长度”是_____．（26-27高一上·江苏南通·阶段检测） 【答案】 / 【分析】由子集的定义分别求得的取值范围，结合集合长度的定义，分析的“长度”的最小值和最大值，即可得到的“长度”的范围，从而求得该范围的长度. 【详解】由集合是集合的子集， 得，所以. 由是集合的子集， 得，所以. 集合的长度为， 集合的长度为， 当集合与集合的公共元素最少时，的“长度”最小，最小值为； 当集合与集合的公共元素最多时，的“长度”最大， 又，所以的“长度”的最大值为. 所以集合的“长度”的范围是， 所以集合的“长度”的范围的“长度”是. 42．我们知道，如果集合，那么把S看成全集时，S的子集A的补集为，类似地，对于集合A，B，我们把集合，且叫作集合A与B的差集，记作．据此回答下列问题：（26-27高一上·河南平顶山·阶段检测） (1)若，，求； (2)若集合，集合，且，求实数a的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据差集的概念先求出，再根据概念求出即可；（2）由，则，先对集合进行分类讨论，再结合子集关系求出a的取值范围即可. 【详解】（1），，根据差集概念，， 令，再根据差集概念得：； （2）因为，所以． 由，可得， 当时，，不等式不成立，此时，满足； 当时，．因为，所以， 解，因为，此不等式恒成立； 解，两边同乘得，即，又，则. 当时，.因为，所以， 解，由，两边同乘，得，即． 解，由，两边同乘，得，即， 又，所以． 综上，的取值范围是． 43．已知集合，，，且．（26-27高一上·甘肃·阶段检测） (1)求集合的真子集的个数； (2)求实数的值组成的集合； (3)若集合，定义：集合，求集合中所有元素的和． 【答案】(1)15 (2) (3) 【分析】（1）先求解集合，再结合集合的子集个数即可求解； （2）先求解集合，再结合集合的包含关系即可求解； （3）先求解集合、，再结合集合和集合的定义规则即可求解． 【详解】（1）由解得或，故， 由可知，是的所有子集构成的集合， 集合有个元素，故的子集共个，即含个元素， 所以的真子集个数为． （2）由（1）可知，，集合， 由得，分两类讨论： ① 当时，方程无解，，空集是任意集合的子集，符合条件； ② 当时，，由得或，解得或； 综上，实数的取值集合为． （3）由且，得或，故，所以， 由得的候选值为，由于集合， 当时，，不符合题意； 当时，，不符合题意； 当时，，符合题意； 当时，，符合题意； 故，所有元素的和为． 44．已知集合，设，且，则集合中的元素的和为（    ）（26-27高一上·江苏泰州·阶段检测） A．或0 B．或1 C．0或2 D． 【答案】A 【分析】由集合的运算得，即得，分析得出1和2一个是方程的解，另一个是方程的解，然后分类讨论求得值，确定中元素后可得结论. 【详解】因为，所以，所以， 或， 又，所以和不可能都是方程的解， 所以和中的一个是方程的解，另一个是方程的解. 若，即，则，，或， 所以，中所有元素和为， 若，即，则，，或， 所以，中所有元素和为， 所以只有选项A正确. 第1页 共1页 学科网（北京）股份有限公司 $高中数学·题型专项训练系列 专题03 集合的基本运算（8大题型44题）（原卷版） 高一数学上学期 人教A版（2019） 题型归纳 · 内容导航 题型一　交集与并集的运算（常考点） 题型二　补集及交、并、补的混合运算（重点） 题型三　用Venn图表示集合的运算（常考点） 题型四　集合中元素的个数（容斥原理）（常考点） 题型五　由交集、并集的运算结果求参数（重点） 题型六　由补集及混合运算求参数（难点） 题型七　集合运算的性质与新定义运算（常考点） 题型八　集合运算的综合问题（拔高） 题型通关 · 靶向提分 题型一　交集与并集的运算（共7小题） 【知识积累】 定义： 且 ， 或 。 方法：先化简集合；列举法表示的集合直接找公共元素或合并元素（重复的只写一次）；连续数集借助数轴，注意端点能否取到。 点集的交集：两个点集的交集就是方程组的解（交点坐标）组成的集合，应写成 的形式。 【典例】 1．已知集合，，则（     ）（26-27高一上·江苏淮安·阶段检测） A． B． C． D． 【变式训练】 2．已知集合，则（ ）（26-27高一上·宁夏陕西·期中） A． B． C． D． 3．已知集合，，则（ ）（26-27高一上·山东·期中） A． B． C． D． 4．已知集合，，则（    ）（26-27高一上·河北邢台·阶段检测） A． B． C． D． 5．设集合，，则（    ）（25-26高一上·福建莆田·阶段检测） A． B． C． D． 6．已知集合那么（    ）（26-27高一上·天津滨海新区·阶段检测） A．， B． C． D． 7．设集合，则________．（25-26高一上·上海松江·阶段检测） 题型二　补集及交、并、补的混合运算（共7小题） 【知识积累】 补集： 且 ；，。 运算顺序：有括号先算括号内的；求补集时注意全集，数集的补集借助数轴，端点“取”与“不取”互换。 常用结论：，。 【典例】 8．设全集，集合，，则（    ）（26-27高一上·黑龙江佳木斯·阶段检测） A． B． C． D． 【变式训练】 9．设集合 ， ， ，求：（26-27高一上·河南周口·阶段检测） (1); (2). 10．已知，，的子集个数为_______（26-27高一上·陕西西安·阶段检测） 11．已知全集，，，．求：（26-27高一上·山东泰安·阶段检测） (1)； (2)． 12．已知全集，，，则集合的真子集个数为______．（26-27高一上·天津河西·阶段检测） 13．已知全集，集合，集合，求：（26-27高一上·天津滨海新区·阶段检测） (1)； (2)； (3). 14．已知集合或，．（26-27高一上·河北邯郸·阶段检测） (1)求，； (2)，． 题型三　用Venn图表示集合的运算（共5小题） 【知识积累】 看图写式子：阴影部分在哪个集合内就“交”哪个集合，在哪个集合外就“交”它的补集，如在 内且在 外的部分是 。 由关系画图：若 ，则 ，，。 【典例】 15．如图，是全集，是的三个子集，则阴影部分所表示的集合是（    ）（26-27高一上·河南周口·阶段检测） (注：图中阴影部分为集合与的交集，但排除集合的部分) A． B． C． D． 【变式训练】 16．设全集，集合，，则图中阴影部分表示的集合的真子集的个数为（   ）（26-27高一上·河北邯郸·阶段检测） A．3 B．4 C．7 D．8 17．已知全集，集合，，给出下列4种方式表示图中阴影部分：①；②；③；④，正确的有几个？（    ）（26-27高一上·广东揭阳·阶段检测） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 18．已知集合是全集，集合，的关系如图所示，则（    ）（26-27高一上·河北邢台·阶段检测） A． B． C． D． 19．已知集合，，Venn图如图所示，则阴影部分所表示的集合的元素共有________个．（26-27高一上·山东济宁·阶段检测） 题型四　集合中元素的个数（容斥原理）（共3小题） 【知识积累】 两个集合：。 三个集合： 等于三个集合的元素个数之和，减去两两交集的元素个数之和，再加上 。 Venn图法：从三个集合的公共部分开始，由内向外依次填出各部分的人数。 【典例】 20．某学校先举办了一次田径运动会，某班有9名同学参赛，该校又举办了一次球类运动会，这个班有10名同学参赛，两次运动会都参赛的同学有5名．两次运动会中，这个班共有名同学参赛，则（    ）（26-27高一上·云南·阶段检测） A．13 B．14 C．15 D．19 【变式训练】 21．某学校举办运动会，比赛项目包括田径、游泳、球类，经统计高一年级有57人参加田径比赛，有11人参加游泳比赛，有62人参加球类比赛．参加球类比赛的同学中有14人参加田径比赛，有4人参加游泳比赛；同时参加田径比赛和游泳比赛的有8人；同时参加三项比赛的有2人．则高一年级参加比赛的同学有（     ）（26-27高一上·陕西西安·阶段检测） A．110人 B．108人 C．106人 D．104人 22．某校“五一田径运动会”上，共有12名同学参加100米、400米、1500米三个项目，其中有8人参加“100米比赛”，有7人参加“400米比赛”，有5人参加“1500米比赛”，“100米和400米”都参加的有4人，“100米和1500米”都参加的有3人，“400米和1500米”都参加的有3人，则下列说法正确的是（    ）（26-27高一上·黑龙江佳木斯·阶段检测） A．只参加400米比赛的有3人 B．只参加100米比赛的有2人 C．三项比赛都参加的有2人 D．只参加1500米比赛的有3人 题型五　由交集、并集的运算结果求参数（共7小题） 【知识积累】 转化：，。 不要漏空集：含参数的集合 满足 时，先讨论 的情况。 整数元素问题：交集中恰有几个整数时，借助数轴确定端点的位置，注意端点能否取等。 【典例】 23．若，，，则实数的取值范围是（   ）（26-27高一上·陕西西安·阶段检测） A． B． C． D． 【变式训练】 24．已知集合，，若中恰有个元素，则的取值范围为（     ）（26-27高一上·北京·阶段检测） A． B． C． D． 25．已知为实数，若集合，，且，则的值可以是（     ）（26-27高一上·江苏南通·阶段检测） A．6 B．2 C． D．0 26．若，，且满足，则的值为_______.（26-27高一上·天津滨海新区·阶段检测） 27．设集合，.若，则实数的值为________.（26-27高一上·上海·阶段检测） 28．已知集合，．（26-27高一上·河北邢台·阶段检测） (1)若，求，； (2)若，求实数的取值范围． 29．已知集合，，且，则__________．（26-27高一上·河南平顶山·阶段检测） 题型六　由补集及混合运算求参数（共4小题） 【知识积累】 转化：；。 方法：先求出确定的集合，再借助数轴或列举法列出参数满足的条件；含参集合可能为空集时要单独讨论。 【典例】 30．设全集，集合，若或，则实数a的取值范围为__________（25-26高一上·福建莆田·阶段检测） 【变式训练】 31．已知集合，或．（26-27高一上·河南周口·阶段检测） (1)当时，求； (2)若，求实数的取值范围． 32．已知全集，集合．（26-27高一上·宁夏银川·阶段检测） (1)求； (2)若且，求实数的值． 33．已知集合，，（26-27高一上·陕西西安·阶段检测） (1)若，求实数的值； (2)若且，求实数的值． 题型七　集合运算的性质与新定义运算（共6小题） 【知识积累】 运算性质：；，；。 数集与点集： 是数集， 是点集，二者的交集是 。 差集： 且 ，可以用 Venn 图帮助理解。 【典例】 34．定义集合 ，若 ， ，则 的子集个数是 ________.（26-27高一上·河南周口·阶段检测） 【变式训练】 35．下列集合符号运用不正确的是（     ）（26-27高一上·陕西西安·阶段检测） A． B． C． D． 36．已知为全集，集合，是的子集，若，则（ ）（26-27高一上·山东临沂·阶段检测） A． B． C． D． 37．下列关于集合的说法正确的有（    ）（26-27高一上·陕西商洛·阶段检测） A．若且，则 B．空集是任何非空集合的真子集 C．集合与是同一个集合 D．若，则 38．已知集合，，那么集合的子集个数为_________．（26-27高一上·江苏南通·阶段检测） 39．设，是两个非空集合，定义且，已知，，则下列说法正确的是（   ）（26-27高一上·河北邯郸·阶段检测） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 题型八　集合运算的综合问题（共5小题） 【知识积累】 新定义运算：先把新运算用交、并、补表示出来，如 ，再按常规运算求解。 含参数的方程型集合： 等价于 ，先因式分解求出方程的根，再分类讨论。 【典例】 40．定义集合与的运算：，．若，，则（    ）（26-27高一上·山西·阶段检测） A．或 B．或 C． D．或 【变式训练】 41．设集合，，且、都是集合的子集，如果把叫做集合的“长度”，那么集合的“长度”的范围的“长度”是_____．（26-27高一上·江苏南通·阶段检测） 42．我们知道，如果集合，那么把S看成全集时，S的子集A的补集为，类似地，对于集合A，B，我们把集合，且叫作集合A与B的差集，记作．据此回答下列问题：（26-27高一上·河南平顶山·阶段检测） (1)若，，求； (2)若集合，集合，且，求实数a的取值范围． 43．已知集合，，，且．（26-27高一上·甘肃·阶段检测） (1)求集合的真子集的个数； (2)求实数的值组成的集合； (3)若集合，定义：集合，求集合中所有元素的和． 44．已知集合，设，且，则集合中的元素的和为（    ）（26-27高一上·江苏泰州·阶段检测） A．或0 B．或1 C．0或2 D． 第1页 共1页 学科网（北京）股份有限公司 $