2026-2027学年高一上学期数学国庆自主训练试题1（内容：人教A版第一、二章）

人教A版2026—2027学年度第一学期高一级国庆自主训练1 数学试题 （内容：第1章集合与常用逻辑用语第2章一元二次函数、方程和不等式） 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共计40分.每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的.请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上. 1．若集合，，则（    ） A． B． C． D． 2．命题“”的否定为（   ） A． B． C． D． 3．若集合中的元素是的三边长，则一定不是（　　） A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．等腰三角形 4．给出下列6个关系：①，②，③，④，⑤，⑥．其中正确命题的个数为（   ） A．4 B．2 C．3 D．5 5．“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 6．已知则的最小值为（   ） A． B．0 C．4 D． 7．设，则下列选项正确的是（   ） A．若 B．若 C．若 D．若 8．杭州第19届亚运会于2023年9月23日至10月8日举行，经调查，亚运会中球类、田径类、游泳类比赛深受学生喜爱．小明统计了其所在班级50名同学观看球类、田径类、游泳类比赛情况，每人至少观看过其中一类比赛，有15人观看过这3类比赛，18人没观看过球类比赛，20人没观看过田径类比赛，16人没观看过游泳类比赛，因不慎将观看过其中两类比赛的人的数据丢失，记为，则由上述可推断出（    ） A．16 B．17 C．18 D．19 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9．非空集合A具有如下性质：①若，则；②若，则下列判断中，正确的有（    ） A． B． C．若，则 D．若，则 10．已知关于x的不等式的解集为，则（    ） A． B． C．不等式的解集为 D．不等式的解集为 11．下列结论正确的是（    ） A．“”是“”的充分不必要条件 B．“”是“”的必要不充分条件 C．“，有”的否定是“，使” D．“是方程的实数根”的充要条件是“” 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共计15分. 12．全集，，，，，，则_______. 13．若，，则的最小值为___________. 14．若集合具有以下两条性质，则称集合为一个“好集合”. （1）且； （2）若、，则，且当时，有.给出以下命题： ①集合是“好集合”； ②是“好集合”； ③是“好集合”； ④设集合是“好集合”，若、，则； ⑤设集合是“好集合”，若、，则； 其中真命题的序号是_____. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15．（13分）设，且． (1)求； (2)设全集，若非空集合，求集合． 16．（15分）已知全集， ，． (1)若，求； (2)若“”是“”的充分条件，求实数m的取值范围． 17．（15分）已知命题；命题. (1)若命题为真命题，求实数的取值范围； (2)若命题中至少有一个为真命题，求实数的取值范围. 18．（17分）已知，且． (1)求的最小值； (2)求的最小值． 19．（17分）已知关于x的不等式 的解集为或. (1)求a， b的值; (2)当，且满足 时，有 恒成立，求k的取值范围. 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 人教A版2026—2027学年度第一学期高一级国庆自主训练1 数学试题 （内容：第1章集合与常用逻辑用语第2章一元二次函数、方程和不等式） 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共计40分.每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的.请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上. 1．若集合，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由，则， 所以， 又， 所以. 故选：C 2．命题“”的否定为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】根据特称命题的否定，可得命题的否定为“”. 故选：D. 3．若集合中的元素是的三边长，则一定不是（　　） A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．等腰三角形 【答案】D 【详解】根据集合元素的互异性，在集合中，必有， 故一定不是等腰三角形； 故选：D. 4．给出下列6个关系：①，②，③，④，⑤，⑥．其中正确命题的个数为（   ） A．4 B．2 C．3 D．5 【答案】A 【详解】对于①，因为为无理数，有理数和无理数统称为实数，所以，所以①正确； 对于②，因为是无理数，所以，所以②错误； 对于③，因为不是正整数，所以，所以③正确； 对于④，因为，所以④正确； 对于⑤，因为是无理数，所以，所以⑤正确； 对于⑥，因为，所以⑥错误． 故选：A． 5．“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【详解】由，得，解得或， 由，得或，解得或， 因此“”是“”的充要条件. 6．已知则的最小值为（   ） A． B．0 C．4 D． 【答案】B 【详解】当时，， 所以， 当且仅当，即时等号成立， 故的最小值为0. 7．设，则下列选项正确的是（   ） A．若 B．若 C．若 D．若 【答案】C 【详解】对于A,若，当时，，故A不正确； 对于B,若，当时，，故B不正确； 对于C,若，则,所以，故C正确； 对于D,若，当时，,故D不正确； 故选：C 8．杭州第19届亚运会于2023年9月23日至10月8日举行，经调查，亚运会中球类、田径类、游泳类比赛深受学生喜爱．小明统计了其所在班级50名同学观看球类、田径类、游泳类比赛情况，每人至少观看过其中一类比赛，有15人观看过这3类比赛，18人没观看过球类比赛，20人没观看过田径类比赛，16人没观看过游泳类比赛，因不慎将观看过其中两类比赛的人的数据丢失，记为，则由上述可推断出（    ） A．16 B．17 C．18 D．19 【答案】A 【详解】不妨设观看过球类与田径类比赛的有人，观看过球类与游泳类比赛的有人， 观看过田径类与游泳类比赛的有人，则， 只观看过球类、田径类、游泳类比赛的人数分别为，，，如图，则①， 因为有18人没看过球类比赛，所以， 因为20人没观看过田径类比赛，16人没观看过游泳类比赛，所以，， 所以②，由①②得，则． 故选：A． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9．非空集合A具有如下性质：①若，则；②若，则下列判断中，正确的有（    ） A． B． C．若，则 D．若，则 【答案】ABC 【详解】对于A，假设，则令，则， 令，则， 令，不存在，即，矛盾， ∴，故A对； 对于B，由题，，则 ∴，故B对； 对于C，∵，，， ∵故C对； 对于D，∵，，若，则，故D错误． 故选：ABC． 10．已知关于x的不等式的解集为，则（    ） A． B． C．不等式的解集为 D．不等式的解集为 【答案】ABD 【详解】由于不等式的解集为， 所以和是的两个实数根， 所以，故， ，故AB正确， 对于C,不等式为，故，故C错误， 对于D, 不等式可变形为， 解得，故D正确， 故选：ABD 11．下列结论正确的是（    ） A．“”是“”的充分不必要条件 B．“”是“”的必要不充分条件 C．“，有”的否定是“，使” D．“是方程的实数根”的充要条件是“” 【答案】ACD 【详解】对于A，因为，所以或，所以“当”时，“”成立，反之不成立， 故“”是“”的充分不必要条件，正确； 对于B，“”一定有“”成立，反之不成立， 故“”是“”的充分不必要条件，错误； 对于C，命题“，有”是全称量词命题， 其否定是存在量词命题，即“，使”，正确； 对于D，当时，1为方程的一个根，故充分； 当方程有一个根为1时，代入得，故必要，正确； 故选：ACD 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共计15分. 12．全集，，，，，，则_______. 【答案】 【详解】根据题意作出Venn图，如图所示， 由图可得. 故答案为： 13．若，，则的最小值为___________. 【答案】4 【详解】因为，，所以， 故， 当且仅当，即时，等号成立， 故答案为：4 14．若集合具有以下两条性质，则称集合为一个“好集合”. （1）且； （2）若、，则，且当时，有.给出以下命题： ①集合是“好集合”； ②是“好集合”； ③是“好集合”； ④设集合是“好集合”，若、，则； ⑤设集合是“好集合”，若、，则； 其中真命题的序号是_____. 【答案】③④⑤ 【详解】对于①，由集合，若，可得， 所以集合不满足性质（2），所以集合不是个“好集合”，所以①是假命题； 对于②，取，此时，但，所以不是“好集合”，所以②是假命题； 对于③，对于实数集，其中且，且任意，则， 且当时，有，所以实数集是“好集合”，所以③是真命题； 对于④，集合是“好集合”，由，，根据“好集合”的定义， 可得， 因为，可得，所以④是真命题； 对于⑤，若集合是“好集合”，任取， 若中有和时，显然； 设均不含和，由“好集合”的定义知， 所以，所以， 由④可得，同理可得， 若或，显然； 若或，则， 所以，所以， 由，则，所以⑤是真命题. 故答案为：③④⑤ 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15．（13分）设，且． (1)求； (2)设全集，若非空集合，求集合． 【答案】(1) (2)或或 【详解】（1）因为，所以， 把代入方程，解得， 当时，方程的解为或， 此时集合，符合， 所以． （2）因为， 所以， 因为非空集合合， 所以集合为或或． 16．（15分）已知全集， ，． (1)若，求； (2)若“”是“”的充分条件，求实数m的取值范围． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）若，， 所以； （2）因为“”是“”的充分条件，所以， 所以，即实数m的取值范围是． 17．（15分）已知命题；命题. (1)若命题为真命题，求实数的取值范围； (2)若命题中至少有一个为真命题，求实数的取值范围. 【答案】(1)或 (2)或 【详解】（1）由题意可得， 解得或， （2）命题为真时， 若，代入可得成立； 当时，， 所以命题为真时，， 结合题意当真假时，； 当假真时，，解得或； 当两个命题同时为真时，， 所以，命题中至少有一个为真命题，实数的取值范围为或. 18．（17分）已知，且． (1)求的最小值； (2)求的最小值． 【答案】(1)16 (2) 【详解】（1）因为，所以， 即，解得或（舍）， 所以，当且仅当时等号成立，即的最小值为16． （2）因为，所以，所以同号， 又，所以， 当时，，不合题意； 所以， 所以， 当且仅当，即时等号成立， 所以的最小值为． 19．（17分）已知关于x的不等式 的解集为或. (1)求a， b的值; (2)当，且满足 时，有 恒成立，求k的取值范围. 【答案】(1), (2) 【详解】（1）因为不等式的解集为或（）， 所以1和a是方程的两个实数根且， 所以，解得； （2）由（1）知，且，， 所以， 当且仅当，即时等号成立， 依题意有，即， 所以，解得， 所以k的取值范围为. 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 $