第二章 专题03 二次函数与一元二次方程、不等式专项训练（8大题型44题）-2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修第一册

高中数学·题型专项训练系列 专题03 二次函数与一元二次方程、不等式（8大题型44题）（原卷版） 高一数学上学期 人教A版（2019） 题型归纳 · 内容导航 题型一　解不含参数的一元二次不等式（常考点） 题型二　解含参数的一元二次不等式（重点） 题型三　分式不等式（重点） 题型四　一元二次方程的根与韦达定理（常考点） 题型五　一元二次方程根的分布（难点） 题型六　二次函数与不等式（重点） 题型七　一元二次不等式恒成立问题（难点） 题型八　综合应用（解答）（拔高） 题型通关 · 靶向提分 题型一　解不含参数的一元二次不等式（共8小题） 【知识积累】 步骤：把不等式化为标准形式 ；求根；画草图（或用两根把数轴分成三段）确定解集。 解集写法：写成不等式或集合，如 。 特殊情形：判别式小于 0 时，若 ，则 的解集为 。 【典例】 1．不等式的解集为（    ）（26-27高一上·甘肃白银·阶段检测） A． B．或 C． D．或 【变式训练】 2．不等式的解集为（ ）（26-27高一上·山东临沂·阶段检测） A．     B． C．     D． 3．不等式的解集是（    ）（26-27高一上·河北邢台·阶段检测） A． B．或 C． D．或 4．“”是“”的（   ）（26-27高一上·河北邯郸·阶段检测） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 5．解下列不等式：（26-27高一上·江苏无锡·阶段检测） (1)； (2)； (3). 6．若成立，则实数的取值范围是（　　）（26-27高一上·云南保山·开学考试） A． B． C． D． 7．已知关于的一元二次不等式的解集为，则下列说法正确的是（     ）（25-26高一上·江西南昌·阶段检测） A．若，则且 B．若，则关于的不等式的解集也为 C．若，则关于的不等式的解集为或 D．若为常数，且，则的最小值为8 8．不等式的解集是_____________ ．（25-26高一上·上海松江·阶段检测） 题型二　解含参数的一元二次不等式（共7小题） 【知识积累】 先讨论二次项系数： 时退化为一次（或恒成立/无解）， 时再讨论判别式。 由解集求参数：已知解集为某范围，转化为两根位置或开口方向与判别式条件。 端点：解集端点能否取到，对应原不等式是“”还是“”。 【典例】 9．已知，若关于的不等式解集中的整数恰有3个，则（    ）（26-27高一上·湖南长沙·阶段检测） A． B． C． D． 【变式训练】 10．已知关于x的不等式恰有一个整数解，则a的取值范围是（   ）（25-26高一上·浙江杭州·期中） A． B． C． D．或 11．若，则关于的不等式的解集为（ ）（26-27高一上·江西·期中） A． B． C．或 D．或 12．已知关于的一元二次不等式的解中有且仅有4个整数，则实数的取值集合是（    ）（26-27高一上·河北邢台·阶段检测） A． B． C． D． 13．已知关于的不等式的解集为或，则下列说法正确的是（   ）（26-27高一上·江苏无锡·阶段检测） A． B． C．不等式的解集为 D．不等式的解集为或 14．已知关于的不等式的解集为，则关于的不等式的解集为（     ）（26-27高一上·江苏淮安·阶段检测） A． B． C．或 D．或 15．已知不等式的解集中恰有三个整数，则实数的取值范围为______.（26-27高一上·浙江宁波·阶段检测） 题型三　分式不等式（共6小题） 【知识积累】 移项通分：把不等式化为 （或 ）的形式，注意 。 等价转化：（且 ），再用一次/二次不等式求解。 易错点：去分母时不能直接两边乘分母（分母可能为负）；不要漏掉使分母为 0 的点。 【典例】 16．不等式的解集为（    ）（26-27高一上·山东临沂·阶段检测） A．或 B．或 C． D． 【变式训练】 17．不等式的解集是（    ）（26-27高一上·辽宁·期中） A． B． C．{或} D．{或} 18．若，则的取值范围为（     ）（26-27高一上·河南开封·阶段检测） A． B． C． D． 19．不等式的解集是（    ）（26-27高一上·河北邢台·阶段检测） A． B． C． D．或 20．不等式的解集是（     ）（26-27高一上·内蒙古巴彦淖尔·阶段检测） A． B． C． D． 21．不等式的解集是（    ）（26-27高一上·全国·课后作业） A． B． C． D． 题型四　一元二次方程的根与韦达定理（共4小题） 【知识积累】 判别式：；两根为实数时 （有重根时 ）。 韦达定理：，（）。 符号判断：由两根之和、之积的符号判断两根同号或异号。 【典例】 22．已知，是方程的两个根，则 （    ）（26-27高一上·全国·期中） A．3 B． C．7 D． 【变式训练】 23．对于一元二次方程，下列说法正确的个数是（    ）（26-27高一上·北京东城·阶段检测） ①若方程的两个根为和1，则.②若，则方程一定有解.③若，则.④若，且，则方程的两实数解一定互为相反数. A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 24．已知，且，若对于任意的，恒成立，则的取值可以为（   ）（26-27高一上·陕西西安·阶段检测） A． B． C． D． 25．已知关于的一元二次方程的两个实根分别是，，则以，为根且二次项系数是1的一元二次方程为________________.（26-27高一上·上海·阶段检测） 题型五　一元二次方程根的分布（共3小题） 【知识积累】 根的分布：把条件（如两根分居 1 的两侧）转化为 （开口向上）等。 常见条件：两根都大于 ；一个大于 一个小于 ；两根都在 与 之间等。 步骤：先保证有实根（），再写对称轴、函数值符号等条件。 【典例】 26．关于的方程的两个实根，满足，则实数的取值范围为（    ）（26-27高一上·宁夏银川·阶段检测） A． B． C． D． 【变式训练】 27．若方程（，）在上有实根，则的最大值为______.（25-26高一上·辽宁大连·期中） 28．已知关于的一元二次不等式的解集为或，则不等式的解集是（   ）（25-26高一上·福建莆田·阶段检测） A． B．或 C． D．或 题型六　二次函数与不等式（共5小题） 【知识积累】 函数与方程：二次函数图象与 轴交点即对应方程的根；与不等式解集对应图象在 轴上方或下方的部分。 实际问题：设出变量，列出二次函数或不等式，结合定义域求范围。 最值：开口与顶点决定最值；注意自变量的取值范围。 【典例】 29．在如图所示的锐角三角形空地中，要建一个面积不小于的内接矩形花园（阴影部分），则图中矩形花园的其中一边的边长（单位：）的取值范围是（   ）（26-27高一上·云南玉溪·阶段检测） A． B． C． D． 【变式训练】 30．已知二次函数的大致图象如图所示，则（   ）（26-27高一上·陕西西安·阶段检测） A． B． C． D． 31．如图，一元二次函数的图象与轴交于，两点，则下列结论正确的是（    ）（26-27高一上·甘肃·阶段检测） A． B． C． D． 32．不等式的解集为________．（26-27高一上·山西大同·阶段检测） 33．关于的不等式的解集为__________．（26-27高一上·四川遂宁·开学考试） 题型七　一元二次不等式恒成立问题（共5小题） 【知识积累】 恒成立： 对任意实数 恒成立 且 （严格大于时不能取等）。 在某范围内恒成立：转化为对应二次函数在该范围内的最值与 0 比较。 结果写法：参数范围写成不等式或集合。 【典例】 34．已知，且，记为的最大值，记为的最大值.已知，对任意，恒成立，则的最大值为（     ）（26-27高一上·河北石家庄·阶段检测） A． B．1 C． D．2 【变式训练】 35．若“，都有”是真命题，则实数可能的值是（ ）（26-27高一上·广东梅州·阶段检测） A．1 B． C．-1 D． 36．设实数x，y满足：，则的最小值为____________．（24-25高一上·安徽芜湖·阶段检测） 37．已知关于的不等式对任意恒成立，则的取值范围是_________．（26-27高一上·陕西商洛·阶段检测） 38．若关于的不等式的解集为，则实数的取值范围为__________.（26-27高一上·上海·阶段检测） 题型八　综合应用（解答）（共6小题） 【知识积累】 多小问：先解不含参的不等式或求函数最值，再解含参问题或恒成立。 分类讨论：二次项系数、判别式、根的大小关系要分类，最后合并。 书写：解集用不等式或集合表示；说明“当且仅当”“由题意得”等。 【典例】 39．已知函数．（26-27高一上·河北邯郸·阶段检测） (1)若，恒成立，求实数的取值范围； (2)若，使得，求实数的取值范围； (3)若关于的不等式恰有3个正整数解，求实数的取值范围． 【变式训练】 40．解下列关于的不等式：（26-27高一上·四川资阳·阶段检测） (1); (2) 41．已知关于x的不等式的解集为．（26-27高一上·河北邢台·阶段检测） (1)求实数a，b的值； (2)若不等式对任意的恒成立，求实数x的取值范围； (3)若，求关于x的不等式的解集． 42．已知函数，（26-27高一上·陕西西安·阶段检测） (1)恒成立，求实数的取值范围； (2)求不等式的解集； (3)若存在使关于的方程有四个不同的实根，求实数的取值范围． 43．求下列不等式的解集.（26-27高一上·新疆乌鲁木齐·阶段检测） (1)； (2)； (3) . 44．解下列不等式：（26-27高一上·甘肃白银·阶段检测） (1)； (2)； (3) (4) 第1页 共1页 学科网（北京）股份有限公司 $高中数学·题型专项训练系列 专题03 二次函数与一元二次方程、不等式（8大题型44题）（解析版） 高一数学上学期 人教A版（2019） 题型归纳 · 内容导航 题型一　解不含参数的一元二次不等式（常考点） 题型二　解含参数的一元二次不等式（重点） 题型三　分式不等式（重点） 题型四　一元二次方程的根与韦达定理（常考点） 题型五　一元二次方程根的分布（难点） 题型六　二次函数与不等式（重点） 题型七　一元二次不等式恒成立问题（难点） 题型八　综合应用（解答）（拔高） 题型通关 · 靶向提分 题型一　解不含参数的一元二次不等式（共8小题） 【知识积累】 步骤：把不等式化为标准形式 ；求根；画草图（或用两根把数轴分成三段）确定解集。 解集写法：写成不等式或集合，如 。 特殊情形：判别式小于 0 时，若 ，则 的解集为 。 【典例】 1．不等式的解集为（    ）（26-27高一上·甘肃白银·阶段检测） A． B．或 C． D．或 【答案】A 【分析】先把不等式变形为标准的一元二次不等式，再利用一元二次不等式的解法即可求解. 【详解】因为，所以， 由一元二次不等式解得， 所以不等式的解集为． 【变式训练】 2．不等式的解集为（ ）（26-27高一上·山东临沂·阶段检测） A．     B． C．     D． 【答案】A 【详解】等价于， 令， 即， 解得，， 所以不等式的解集为， 即原不等式解集为. 3．不等式的解集是（    ）（26-27高一上·河北邢台·阶段检测） A． B．或 C． D．或 【答案】A 【详解】当时，等价于， 即，解得：， 当时，等价于，恒成立； 当时，等价于， 即，解得：； 综上，的解集为. 4．“”是“”的（   ）（26-27高一上·河北邯郸·阶段检测） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【详解】，解得或， 又是或的真子集， 故“”是“”的充分不必要条件 5．解下列不等式：（26-27高一上·江苏无锡·阶段检测） (1)； (2)； (3). 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）不等式化为，即， 解得或，所以原不等式解集为. （2）不等式移项得，即 ， 得，解得，所以原不等式解集为. （3）由不等式可知，，故， 时，，不等式即， 解得，满足，所以原不等式解集为. 6．若成立，则实数的取值范围是（　　）（26-27高一上·云南保山·开学考试） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由绝对值的性质得到，解其等价不等式组得到的取值范围. 【详解】因为成立， 所以，等价于， 解得， 所以实数的取值范围是． 7．已知关于的一元二次不等式的解集为，则下列说法正确的是（     ）（25-26高一上·江西南昌·阶段检测） A．若，则且 B．若，则关于的不等式的解集也为 C．若，则关于的不等式的解集为或 D．若为常数，且，则的最小值为8 【答案】ACD 【分析】A项，利用二次函数的图象可知A正确；B项，令()，当时，不等式的解集不为，B不正确；C项，根据将用表示，代入所求不等式求出解集，可知C正确；D项，根据得到，代入所求式，然后换元利用基本不等式可求出最小值可得. 【详解】A选项，若，即一元二次不等式无解，则一元二次不等式恒成立，且，A正确； B选项，令，则、、， ∴不等式可转化为，当时，得，其解集不等于原来的，故B错误； C选项，若，则，且和是一元二次方程的两根,且，， 所以，, 把代入可得， 因为,所以不等式的解集为或，C正确； D选项，因为，所以开口向上且，即， 又，得,把代入得, 令，则， ，当且仅当等号成立， 所以的最小值为，D正确. 8．不等式的解集是_____________ ．（25-26高一上·上海松江·阶段检测） 【答案】 【分析】根据一元二次不等式的解法求解即可. 【详解】不等式可化为， 即或，解得. 所以不等式的解集为. 题型二　解含参数的一元二次不等式（共7小题） 【知识积累】 先讨论二次项系数： 时退化为一次（或恒成立/无解）， 时再讨论判别式。 由解集求参数：已知解集为某范围，转化为两根位置或开口方向与判别式条件。 端点：解集端点能否取到，对应原不等式是“”还是“”。 【典例】 9．已知，若关于的不等式解集中的整数恰有3个，则（    ）（26-27高一上·湖南长沙·阶段检测） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】不等式化为，由题设分析可得，解出不等式，进而得到，进而求解即可. 【详解】由，则， 即，则， 由于不等式的解集中的整数恰有3个， 因此该不等式一定为一元二次不等式，且， 又，则， 而不等式可变形为，解得， 而，则，即， 所以，则. 【变式训练】 10．已知关于x的不等式恰有一个整数解，则a的取值范围是（   ）（25-26高一上·浙江杭州·期中） A． B． C． D．或 【答案】A 【分析】对二次不等式左边进行因式分解，先讨论二次项系数，分析得到不符合题意；再讨论二次项系数得到解集，进而得到解集中的一个整数元素，从而得到不等式，解得的取值范围. 【详解】∵ 当，即，不等式解集为或， 存在无数个整数解，不符合题意，故舍去； 当，即，不等式解集为， 存在无数个整数解，不符合题意，故舍去； 当，即， 当时，， 不等式解集为， ∴原不等式没有整数解，不符合题意，故舍去； 当时，，即， 不等式解集为空集，∴不符合题意，故舍去； 当时，， 不等式解集为， ∴原不等式的个整数解为：， ∴，则； 综上所述：. 11．若，则关于的不等式的解集为（ ）（26-27高一上·江西·期中） A． B． C．或 D．或 【答案】C 【分析】由不等式的性质化简，然后由相应二次方程根的大小得出不等式的解． 【详解】因为，， 所以 ， 又不等式对应方程的根为：，且， 所以不等式的解集为或. 12．已知关于的一元二次不等式的解中有且仅有4个整数，则实数的取值集合是（    ）（26-27高一上·河北邢台·阶段检测） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先由一元二次不等式及仅有 4 个整数解排除，确定得到解集，再分两类讨论解集内的 4 组连续整数，通过端点不等式求出范围. 【详解】因为不等式为关于的一元二次不等式，所以， 若，则不等式的解集为{x|x<x₁ 或 x>x₂}（x₁<x₂ 为对应方程的两根），含无数个整数，不满足解中有且仅有4个整数； 若，则不等式的解集为， 因为不等式的解中有且仅有4个整数，且则4个整数可能是或， 若4个整数是，则，解得，即； 若4个整数是，则，解得，即， 综上，实数的取值集合是. 13．已知关于的不等式的解集为或，则下列说法正确的是（   ）（26-27高一上·江苏无锡·阶段检测） A． B． C．不等式的解集为 D．不等式的解集为或 【答案】ABD 【分析】先利用一元二次不等式与二次函数的关系得到，.再代入各选项验证即可. 【详解】对于A，因为不等式的解集为或， 由二次函数的性质可知，，故A正确. 对于B，利用零点式可得一元二次不等式为. 对比，可得. ，故B正确. 对于C，，因为， 所以，故C错误. 对于D，，因为， 所以不等式等价于，所以解集为或，D正确. 14．已知关于的不等式的解集为，则关于的不等式的解集为（     ）（26-27高一上·江苏淮安·阶段检测） A． B． C．或 D．或 【答案】B 【分析】先由条件求出，的数量关系，代入一元二次不等式消元，求解即得. 【详解】因为不等式的解集为， 所以且，所以， 所以不等式即为， 即，解得， 所以不等式的解集为. 15．已知不等式的解集中恰有三个整数，则实数的取值范围为______.（26-27高一上·浙江宁波·阶段检测） 【答案】 【分析】首先对进行因式分解，化简成；再讨论、、；然后在的前提下，再分类讨论、、. 【详解】因式分解 当时，不等式，化成， 解得，有无数个整数解，不符合题意，舍去； 当时，方程，解得， 当时，，， 所以不等式的解为或， 有无数个整数解，不符合题意，舍去； 当时， 若，即， ，此时不等式， 化成，无解，舍去； 若，即， ，此时不等式的解为， 因为不等式的解集中恰有三个整数， 所以，解得 若，即， ，此时不等式的解为， 因为，所以不可能有三个整数解，不符合题意，舍去； 综上所述，实数的取值范围为. 题型三　分式不等式（共6小题） 【知识积累】 移项通分：把不等式化为 （或 ）的形式，注意 。 等价转化：（且 ），再用一次/二次不等式求解。 易错点：去分母时不能直接两边乘分母（分母可能为负）；不要漏掉使分母为 0 的点。 【典例】 16．不等式的解集为（    ）（26-27高一上·山东临沂·阶段检测） A．或 B．或 C． D． 【答案】A 【详解】由得， 等价于，解得或， 故原不等式的解集为或. 【变式训练】 17．不等式的解集是（    ）（26-27高一上·辽宁·期中） A． B． C．{或} D．{或} 【答案】A 【详解】等价于且，得， 故不等式的解集是. 18．若，则的取值范围为（     ）（26-27高一上·河南开封·阶段检测） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】即为，所以， 所以. 19．不等式的解集是（    ）（26-27高一上·河北邢台·阶段检测） A． B． C． D．或 【答案】C 【分析】根据分式不等式的解法求解即可. 【详解】因为，即， 即， 所以， 所以， 解得， 所以原不等式的解集为. 20．不等式的解集是（     ）（26-27高一上·内蒙古巴彦淖尔·阶段检测） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】通过移项通分原不等式可化为，再转化为或，进一步求解即可. 【详解】因为不等式满足，所以，所以，即， 所以或， 故或，即， 所以该不等式的解集为. 21．不等式的解集是（    ）（26-27高一上·全国·课后作业） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】因为不等式满足，所以， 所以，即，即，解得. 所以不等式的解集为. 题型四　一元二次方程的根与韦达定理（共4小题） 【知识积累】 判别式：；两根为实数时 （有重根时 ）。 韦达定理：，（）。 符号判断：由两根之和、之积的符号判断两根同号或异号。 【典例】 22．已知，是方程的两个根，则 （    ）（26-27高一上·全国·期中） A．3 B． C．7 D． 【答案】D 【详解】因为，是方程的两个根， 所以 ，所以 . 【变式训练】 23．对于一元二次方程，下列说法正确的个数是（    ）（26-27高一上·北京东城·阶段检测） ①若方程的两个根为和1，则.②若，则方程一定有解.③若，则.④若，且，则方程的两实数解一定互为相反数. A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】D 【分析】利用韦达定理即可判断①；由可得，即可判断②；由已知条件可知，为方程的两个解，不能确定是否相等，从而判断③；先根据已知条件可得，再由判别式可得方程有两个不相等实数解，最后由韦达定理即可判断④. 【详解】对于①，由题可知为方程的两个解，则，所以， 因此，①正确； 对于②，由，则，所以为方程的解，因此方程一定有解，②正确； 对于③，由，则为方程的两个解，而可以不等于，③错误； 对于④，由，则，又，则，即与异号，所以，因此，所以， 则方程有两个不相等的实数解，又，所以方程的两个实数解一定互为相反数，④正确. 24．已知，且，若对于任意的，恒成立，则的取值可以为（   ）（26-27高一上·陕西西安·阶段检测） A． B． C． D． 【答案】BCD 【详解】因为 ，所以或（舍去）. 由 或，都有. 当时，恒成立，可得，所以（当时取等号）. 所以BCD选项满足条件，A选项不满足条件. 25．已知关于的一元二次方程的两个实根分别是，，则以，为根且二次项系数是1的一元二次方程为________________.（26-27高一上·上海·阶段检测） 【答案】 【分析】根据根与系数的关系（韦达定理）求解. 【详解】因为，是一元二次方程的两个实根， 所以，， 所以，， 所以所求一元二次方程为. 题型五　一元二次方程根的分布（共3小题） 【知识积累】 根的分布：把条件（如两根分居 1 的两侧）转化为 （开口向上）等。 常见条件：两根都大于 ；一个大于 一个小于 ；两根都在 与 之间等。 步骤：先保证有实根（），再写对称轴、函数值符号等条件。 【典例】 26．关于的方程的两个实根，满足，则实数的取值范围为（    ）（26-27高一上·宁夏银川·阶段检测） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】令函数，结合题意得出，求解即可. 【详解】令函数，这是一个开口向上的二次函数， 根据题意可知，方程的两个实根、满足， 所以函数只需满足，即，解得， 所以实数的取值范围为，故C正确. 【变式训练】 27．若方程（，）在上有实根，则的最大值为______.（25-26高一上·辽宁大连·期中） 【答案】 【分析】通过不断构造函数利用一元二次函数性质求解最值. 【详解】设实根，则， ，所以. 由二次函数特性可知，时取得最大值. ， 又当时取得最大值，且. 所以. 28．已知关于的一元二次不等式的解集为或，则不等式的解集是（   ）（25-26高一上·福建莆田·阶段检测） A． B．或 C． D．或 【答案】B 【分析】根据已知一元二次不等式的解集，结合韦达定理得到与的关系，代入所求不等式化简后即可求解. 【详解】因为关于的一元二次不等式的解集为或， 所以，且是方程的两个实根. 由韦达定理得：， 整理得，，其中. 将代入不等式， 可得：， 因为，可得：，即：， 则，解得或， 即所求不等式的解集为或. 题型六　二次函数与不等式（共5小题） 【知识积累】 函数与方程：二次函数图象与 轴交点即对应方程的根；与不等式解集对应图象在 轴上方或下方的部分。 实际问题：设出变量，列出二次函数或不等式，结合定义域求范围。 最值：开口与顶点决定最值；注意自变量的取值范围。 【典例】 29．在如图所示的锐角三角形空地中，要建一个面积不小于的内接矩形花园（阴影部分），则图中矩形花园的其中一边的边长（单位：）的取值范围是（   ）（26-27高一上·云南玉溪·阶段检测） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先由可得矩形的高，进而可得矩形的面积，再结合面积的范围可得边的范围. 【详解】如图，过作于，交于，则. 因为，所以，因此，即， 得，，所以矩形花园的面积， 又因为矩形的面积不小于，所以， 即，，解得. 因此的取值范围为． 【变式训练】 30．已知二次函数的大致图象如图所示，则（   ）（26-27高一上·陕西西安·阶段检测） A． B． C． D． 【答案】ACD 【分析】根据开口方向判断的正负，利用对称轴得到与的关系，根据图象对称轴判断与的大小． 【详解】因为抛物线的开口向上，所以，故A正确． 由，得，故B错误． 因为，所以，则，即，故C正确． 因为当时，，所以．又，所以，故D正确． 31．如图，一元二次函数的图象与轴交于，两点，则下列结论正确的是（    ）（26-27高一上·甘肃·阶段检测） A． B． C． D． 【答案】BCD 【分析】由图象开口方向确定 的符号；由图象与 轴交于 、 两点，设 展开，把 、 都用 表示，再逐项判断四个结论. 【详解】设 ，则 ，. 因为图象开口向上，所以 . 对于 A，，判断错误. 对于 B，，判断正确. 对于 C，，判断正确. 对于 D，，判断正确. 32．不等式的解集为________．（26-27高一上·山西大同·阶段检测） 【答案】（或） 【详解】结合二次函数图象可得的解集为 33．关于的不等式的解集为__________．（26-27高一上·四川遂宁·开学考试） 【答案】 【分析】将绝对值不等式通过两边同时平方，转化成一元二次不等式进行求解. 【详解】因为， 所以， 整理得，即， 所以， 所以不等式的解集为. 题型七　一元二次不等式恒成立问题（共5小题） 【知识积累】 恒成立： 对任意实数 恒成立 且 （严格大于时不能取等）。 在某范围内恒成立：转化为对应二次函数在该范围内的最值与 0 比较。 结果写法：参数范围写成不等式或集合。 【典例】 34．已知，且，记为的最大值，记为的最大值.已知，对任意，恒成立，则的最大值为（     ）（26-27高一上·河北石家庄·阶段检测） A． B．1 C． D．2 【答案】C 【分析】根据基本不等式求出，的值，则恒成立可化为恒成立；令，得到；再根据一元二次不等式恒成立求解即可. 【详解】因为，，所以， 因为，所以， 因为，所以，当且仅当时取等号， 所以，当且仅当时取等号，故的最大值为1，即. 因为，所以， 所以，即，当且仅当时取等号， 所以的最大值为2，即. 则对，恒成立， 可化为对，恒成立. 令，则，故. 对，恒成立， 可化为对，恒成立. 因为，所以， 所以，此时， 所以， 当，，时，等号成立. 此时成立， 所以的最大值为. 【变式训练】 35．若“，都有”是真命题，则实数可能的值是（ ）（26-27高一上·广东梅州·阶段检测） A．1 B． C．-1 D． 【答案】ABC 【分析】由题意，都有，等价于一元二次方程的判别式，由此求解即可. 【详解】若“，都有”是真命题， 则，都有， 等价于一元二次方程的判别式， 即， 解得， 所以实数可能的值是，1，. 36．设实数x，y满足：，则的最小值为____________．（24-25高一上·安徽芜湖·阶段检测） 【答案】 【分析】换元，，，利用二次不等式求出的最小值，进而求出的最小值. 【详解】化简 （①）， 其中， 设，，则，， 代入①式得 （②）， 即， 所以的最小值即为的最小值， 令， 由，代入②得： ， 因为，故，即0，结合解不等式得 ， 故 . 37．已知关于的不等式对任意恒成立，则的取值范围是_________．（26-27高一上·陕西商洛·阶段检测） 【答案】 【详解】当时，不等式恒成立，满足题设， 当时，要使不等式恒成立，则，解得， 综上，的取值范围为. 38．若关于的不等式的解集为，则实数的取值范围为__________.（26-27高一上·上海·阶段检测） 【答案】 【分析】先对二次项系数为0和不为0分类讨论，再结合一元二次不等式的性质建立不等式组，求解参数范围即可. 【详解】当时，解得，此时，符合题意， 当时，解得， 若不等式的解集为， 可得，解得满足， 综上可得实数的取值范围为. 题型八　综合应用（解答）（共6小题） 【知识积累】 多小问：先解不含参的不等式或求函数最值，再解含参问题或恒成立。 分类讨论：二次项系数、判别式、根的大小关系要分类，最后合并。 书写：解集用不等式或集合表示；说明“当且仅当”“由题意得”等。 【典例】 39．已知函数．（26-27高一上·河北邯郸·阶段检测） (1)若，恒成立，求实数的取值范围； (2)若，使得，求实数的取值范围； (3)若关于的不等式恰有3个正整数解，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2) (3)或 【分析】(1) ，恒成立，则恒成立,求在定义域上的最小值， (2) ，使得，代入整理得，即，当时，令，则，， 所以，根据基本不等式可求， (3)原不等式代入整理，即，恰有3个正整数解，分情况讨论，，，其中只有最后一种情况可满足条件，再根据时，原不等式的解集为，因为解集中恰有3个正整数，所以必须满足，最终求得实数的取值范围． 【详解】（1）由题意，，恒成立，则恒成立 又当时，，当且仅当时，取等号 所以，即实数的取值范围为 （2）由，得， 即， 因为，所以， 则，使得， 等价于 当时， 当时，令，则，， 所以， 当且仅当，即时，等号成立．   综上，当时，， 所以，即实数的取值范围为 （3）由题意，， 即， 即 ①当，即时，原不等式的解集为，显然不满足题意，舍去； ②当，即时，原不等式的解集为， 此时，不等式的解集中不可能有3个正整数，舍去； ③当，即时，原不等式的解集为， 因为解集中恰有3个正整数，所以，解得， 当时，，此时解集中的3个正整数分别为3，4，5，所以，即， 所以； 当时，，此时解集中的3个整数分别为4，5，6，所以， 所以． 综上，实数的取值范围是或. 【变式训练】 40．解下列关于的不等式：（26-27高一上·四川资阳·阶段检测） (1); (2) 【答案】(1) (2)当时，； 当时，或； 当时，； 当时，； 当时，. 【分析】（1）原不等式可化为，结合一元二次不等式解法可求结论； （2）将所求不等式变形为，对实数 a的取值进行分类讨论，结合一次、二次不等式的解法解原不等式，即可得解. 【详解】（1）由，得，即， 所以，解得， 所以不等式的解集为. （2） 当时，原不等式为： 当时，则或 ①当时，，或 ②当时，， ③当时，， ④当时，， 综上：当时，； 当时，或； 当时，； 当时，； 当时，. 41．已知关于x的不等式的解集为．（26-27高一上·河北邢台·阶段检测） (1)求实数a，b的值； (2)若不等式对任意的恒成立，求实数x的取值范围； (3)若，求关于x的不等式的解集． 【答案】(1)， (2) (3)当时，所求不等式的解集为； 当时，所求不等式的解集为； 当时，所求不等式的解集为； 当时，所求不等式的解集为． 【分析】（1）由题意知，和3是方程的两根，且，再利用韦达定理即可得解； （2）将看成主元，构造关于的函数，则，进而可得出答案； （3）先因式分解，再讨论的范围，结合一元二次不等式的解法求解即可. 【详解】（1）由题意知，和3是方程的两根，且， 所以解得； （2）因为，所以不等式对任意的恒成立， 可化为，即对任意的恒成立， 令， 则，即，解得， 所以实数的取值范围为； （3）因为，所以不等式可化为， 即． 当时，不等式可化为，解得； 当时，不等式可化为， 若，即时，则不等式的解集为； 若，即时，则不等式的解集为； 若，即时，则不等式的解集为． 综上，当时，所求不等式的解集为； 当时，所求不等式的解集为； 当时，所求不等式的解集为； 当时，所求不等式的解集为． 42．已知函数，（26-27高一上·陕西西安·阶段检测） (1)恒成立，求实数的取值范围； (2)求不等式的解集； (3)若存在使关于的方程有四个不同的实根，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2)当时，不等式的解集为 当时，不等式的解集为 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为. (3) 【分析】（1）分和两种情况讨论，根据二次函数的性质进行求解即可. （2）先将式子进行化简，分、、三种情况进行讨论，求出不等式的解集即可； （3）利用换元法将原式转化成一元二次方程，然后根据二次函数的性质进行求解即可. 【详解】（1）由题有恒成立，即恒成立， 当时，恒成立，符合题意； 当时，则，得，得， 综上可得，的取值范围是. （2）由题，即， 当时，，所以不等式的解集为 当时，由，得或. ①当时，，不等式的解集为； ②当时，原不等式即为，不等式的解集为； ③当时，，不等式的解集为； 当时，则，不等式的解集为. 综上可得：当时，不等式的解集为 当时，不等式的解集为 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为. （3）当时，令，当且仅当时取等号， 关于的方程有四个不等实根， 令，则转化为存在使得关于的方程有两个不同正根， 则 ，得， 由知，存在使不等式成立， 把看成主元代入，故，即， 解得或，综合可得. 故实数的取值范围是. 43．求下列不等式的解集.（26-27高一上·新疆乌鲁木齐·阶段检测） (1)； (2)； (3) . 【答案】(1) (2) (3)当时，解集为；当时，解集为；当时，解集为；当时，解集为；当时，解集为. 【分析】（1）根据一元二次不等式的求解方法求解即可. （2）根据一元二次不等式的求解方法求解即可. （3）分为，，，，五种情况，分别求解即可. 【详解】（1）可化为. 方程的根为，. 二次函数开口向上， 所以不等式的解集为. （2）可化为. 方程的根为，. 二次函数开口向下， 所以不等式的解集为. （3）当时，不等式可化为，解得，此时解集为. 当时，不等式可化为， 方程的根为，. 当时，函数开口向下，此时， 所以不等式的解集为. 当时，函数开口向上， 当，即时，不等式的解集为； 当，即时，不等式的解集为； 当，即时，不等式的解集为. 综上，当时，解集为；当时，解集为；当时，解集为；当时，解集为；当时，解集为. 44．解下列不等式：（26-27高一上·甘肃白银·阶段检测） (1)； (2)； (3) (4) 【答案】(1) (2) (3) (4) 【详解】（1）由得，故或， 解集为； （2）由得，故，解集为； （3）由得，即，故或， 解集为； （4）由得， 即且，故或， 解集为. 第1页 共1页 学科网（北京）股份有限公司 $