第4讲 双曲线的几何性质与离心率专项训练（提高）-2027届高三数学一轮复习

双曲线的几何性质与离心率 离心率与几何性质 由条件求双曲线的离心率 把图形参数化之前，先把两条可以直接用的结论备好。设双曲线 ，焦点 ，渐近线 。由点到直线的距离公式可得 到渐近线的距离等于 ；过 作渐近线的垂线，垂足到原点的距离等于 ，垂足坐标是 。这两条把「垂足」与「基本量」直接锁死，凡是出现「过焦点作渐近线的垂线」的图形，两个长度都能当场写出，不必再解一次方程组。 离心率题的主战场是焦点三角形。设 是双曲线上一点， 的三边分别是两条焦半径和焦距 ，其中两条焦半径由定义联系起来（差为 ）。于是只要再给出一个角的余弦、一个比例或者一个直角条件，就能用余弦定理把整组边长解出来。这里有一处不对称必须留意：同一支上的点到两个焦点的距离一大一小，由定义反解时得到的两个候选值里可能有一个小于 而必须舍去；若换成过焦点的直线与两支分别相交，还要先判断两个交点相对焦点的先后顺序，才能确定定义式里取正号还是负号。 点落在渐近线上的条件，本质是坐标满足 ，或者等价地写成该点到两条渐近线的两个距离之比为定值。把它与垂直、共线、直角等条件并列，通常能得到一个只含 的等式，这正是需要的形式。若题目给出的是 这类直角条件，先想「 在以 为直径的圆上」，再用这个圆与渐近线或者双曲线联立，比硬算坐标快得多。 还有一类题的图形不在标准位置。把 这样的函数图象认成双曲线，或者只给出两条渐近线的方向，都要先找出对称轴。两条渐近线夹角的平分线就是对称轴，双曲线的顶点落在其中一条上；把顶点坐标代回原方程求出 ，再用顶点与渐近线的夹角 满足 、 把离心率与焦距一并算出来。判断哪一条平分线是对称轴的办法是回代检验：代进去能解出 的那一条才是。 例1（单选·★★★☆☆） 已知双曲线虚轴的两个端点分别为，左、右焦点分别为，若，则双曲线的离心率为（ ） A. B. C. D. 变式1-1（单选·★★★☆☆） 已知双曲线C：的左、右顶点分别为，，圆与C的渐近线在第一象限的交点为M，直线交C的右支于点P，若的角平分线与y轴平行，则C的离心率为（ ） A. B. 2 C. D. 变式1-2（单选·★★★☆☆） 已知双曲线的左、右焦点分别为，左、右顶点分别为A，B，点P为右支上异于B的一点，过P作x轴的垂线，垂足为N，若的面积，则双曲线的离心率为（ ） A. B. C. D. 2 例2（单选·★★★☆☆） 已知双曲线的中心为原点，焦点在轴上，两条渐近线夹角为，且点在上，则的离心率为（ ） A. B. C. 2 D. 或2 变式2-1（填空·★★★☆☆） 已知双曲线的焦点到其渐近线的距离为，则C的离心率为_______. 例3（单选·★★★☆☆） 已知双曲线的左右焦点分别为，过的直线与双曲线的左右两支分别交于A、B，若的内切圆面积之比为1:4，则双曲线的离心率为（ ） A. B. C. 2 D. 3 变式3-1（单选·★★★☆☆） 已知分别是双曲线的左、右两个焦点，A,B是双曲线上的两点，，，则双曲线的离心率为（ ） A. B. C. D. 变式3-2（单选·★★★☆☆） 已知双曲线的左、右焦点分别为，，过的直线与C的左、右支分别交于点P、Q.若，且，则C的离心率为（ ） A. 3 B. 2 C. D. 离心率的取值范围与几何性质的应用 提高版的这一个知识点集中在「存在性」与「范围」上，工具主要有三件。第一件是直线与双曲线的公共点个数判据：把直线方程代入双曲线后，二次项系数为零就说明直线与渐近线平行，此时只有一个公共点；二次项系数不为零时再看判别式。由这条判据可以反过来定 的不等式 —— 凡是问公共点个数的题，最后都归结到「斜率与渐近线斜率谁大」。 第二件是中点弦的存在性。把弦的两个端点分别代入双曲线方程再作差，可以得到弦的斜率 与中点 的关系 。这只是一条必要条件，还要补上「弦真的存在」：把以该斜率过 的直线代回曲线，判别式必须为正。两条合起来说明中点必须落在两条渐近线围成的某个区域内，这个区域通常称作有弦区域。题目说「不存在以某点为中点的弦」，等价于该点落在有弦区域之外，于是条件又变成关于 的一组不等式。 第三件是几何量的最值。双曲线上一点到焦点的距离没有上界，但有下界 （同一支上到较近的那个焦点）；过焦点且垂直于实轴的弦长为 。遇到「长度不小于某值」「面积不小于某值」这类条件，先把该量用 、、 写出来，再整理成含 的不等式。若条件里出现与某条动直线的垂直平分线、中点有关的长度，优先考虑把中点坐标用直线斜率表示，往往能让斜率整体约掉，只剩下 的不等式。 最后强调两处写法上的要求。一是含参数的题要先列出参数自身的限制，例如分母为正、焦点落在哪条轴，再往下算，否则解出的范围会被放大。二是端点开闭必须回代检验：临界位置往往对应直线与曲线相切、或者直线与渐近线平行的退化情形，此时原条件是否仍然满足，只能逐个代回去看。 例4（填空·★★★☆☆） 函数的图象本质是双曲线，那么该双曲线的离心率是______，焦距是______． 变式4-1（单选·★★★☆☆） 若双曲线不存在以点为中点的弦，则该双曲线离心率的取值范围为（ ） A. B. C. D. 例5（单选·★★★☆☆） 已知F为双曲线的一个焦点，为C的一条渐近线，若F关于l的对称点在C上，则双曲线的离心率为（ ） A. B. C. D. 2 变式5-1（单选·★★★☆☆） 已知分别为双曲线的左、右焦点，点在的渐近线上，且满足，则的离心率为（ ） A. 3 B. 2 C. D. 例6（填空·★★★☆☆） 已知双曲线的左、右焦点分别为，，过点的直线与双曲线的左、右两支分别交于A，B两点，若，，则C的离心率为______． 变式6-1（单选·★★★☆☆） 已知F是双曲线E：的左焦点，为坐标原点，过点F的直线与E的右支交于点M，与左支交于点N，且，，则双曲线E的离心率为（ ） A. 2 B. 3 C. D. 变式6-2（单选·★★★☆☆） 已知双曲线的左右焦点分别为，，经过的直线与C的右支交于A，B两点，且，，则C的离心率是（ ） A. B. C. D. 学科网（北京）股份有限公司 $ 双曲线的几何性质与离心率 离心率与几何性质 由条件求双曲线的离心率 把图形参数化之前，先把两条可以直接用的结论备好。设双曲线 ，焦点 ，渐近线 。由点到直线的距离公式可得 到渐近线的距离等于 ；过 作渐近线的垂线，垂足到原点的距离等于 ，垂足坐标是 。这两条把「垂足」与「基本量」直接锁死，凡是出现「过焦点作渐近线的垂线」的图形，两个长度都能当场写出，不必再解一次方程组。 离心率题的主战场是焦点三角形。设 是双曲线上一点， 的三边分别是两条焦半径和焦距 ，其中两条焦半径由定义联系起来（差为 ）。于是只要再给出一个角的余弦、一个比例或者一个直角条件，就能用余弦定理把整组边长解出来。这里有一处不对称必须留意：同一支上的点到两个焦点的距离一大一小，由定义反解时得到的两个候选值里可能有一个小于 而必须舍去；若换成过焦点的直线与两支分别相交，还要先判断两个交点相对焦点的先后顺序，才能确定定义式里取正号还是负号。 点落在渐近线上的条件，本质是坐标满足 ，或者等价地写成该点到两条渐近线的两个距离之比为定值。把它与垂直、共线、直角等条件并列，通常能得到一个只含 的等式，这正是需要的形式。若题目给出的是 这类直角条件，先想「 在以 为直径的圆上」，再用这个圆与渐近线或者双曲线联立，比硬算坐标快得多。 还有一类题的图形不在标准位置。把 这样的函数图象认成双曲线，或者只给出两条渐近线的方向，都要先找出对称轴。两条渐近线夹角的平分线就是对称轴，双曲线的顶点落在其中一条上；把顶点坐标代回原方程求出 ，再用顶点与渐近线的夹角 满足 、 把离心率与焦距一并算出来。判断哪一条平分线是对称轴的办法是回代检验：代进去能解出 的那一条才是。 例1（单选·★★★☆☆） 已知双曲线虚轴的两个端点分别为，左、右焦点分别为，若，则双曲线的离心率为（ ） A. B. C. D. 【切入点】条件只有一个角，但 的两条腰相等，于是这个角对应的余弦直接给出腰长与底边的比例，再由腰长 化成 与 的关系。 【关键】设虚轴的一端为 ，则 ，底边 。在 中对顶角用余弦定理：，代入 ，得 。整理得 ，即 ，于是 ，，。故选 A。 【易错】两处最容易出问题。一是余弦为负时符号：顶角是钝角，所以代入时得到的是 而不是 ，写错就会算出 之类的值。二是等腰三角形里底边对应的角是顶角，不要错用成某条腰所对的角。最后一步由 直接算也可以（此时 ），结果一致。 【答案】A 变式1-1（单选·★★★☆☆） 已知双曲线C：的左、右顶点分别为，，圆与C的渐近线在第一象限的交点为M，直线交C的右支于点P，若的角平分线与y轴平行，则C的离心率为（ ） A. B. 2 C. D. 【切入点】圆 与渐近线在第一象限的交点 ，恰好是「过焦点作渐近线垂线」所得垂足的另一个说法，先把它的坐标算出来，再让直线 与双曲线相交。角平分线平行于 轴，等价于 与 两条射线关于过 的竖直线对称。 【关键】渐近线的第一象限部分为 ，代入 得 ，即 ，所以 。记 、，直线 的斜率为 。设 与右支的交点为 ，把 代入双曲线方程，整理得 ，它的两根为 与 ，由韦达定理 ，进而 ，所以 。再看 ：。两条射线关于竖直线对称，所以它们与竖直方向的夹角相等，两个正切值相等：，即 ，，。故选 A。 【易错】三处要点。一是 的坐标要认准，它就是垂足 ，直接由「垂足到原点距离为 」得到；二是「角平分线平行于 轴」要翻译成两条射线与竖直方向夹角相等，而不是与水平方向夹角相等；三是求 时可以借韦达定理走捷径 —— 直线 必然经过顶点 ，所以 一定是那个二次方程的一根，另一根用两根之和就能直接读出，不必解方程。 【答案】A 变式1-2（单选·★★★☆☆） 已知双曲线的左、右焦点分别为，左、右顶点分别为A，B，点P为右支上异于B的一点，过P作x轴的垂线，垂足为N，若的面积，则双曲线的离心率为（ ） A. B. C. D. 2 【切入点】条件里的面积 用焦距作底、 的纵坐标作高写出来，右边那两个长度 、 用 的横坐标表示，两边平方后 的坐标就被消掉，只剩下 、、 的关系。 【关键】设 （右支上，），过 作 轴的垂线，垂足 。顶点 、，所以 、。 的面积 ，题给 ，两边平方得 。而 在曲线上，，即 。代入上式并约去 ，得 ，即 。把 代入，记 ，得 ，，（负根舍去），所以 。故选 B。 【易错】平方这一步最容易丢东西：面积等式两边都是正数，可以直接平方；但约去 之前要说明它不为零 —— 异于顶点 ，所以 ，这一条正是题目给出的。另一处是 的写法：底边取焦距 时高是 ，取 作底没有意义，别写混。 【答案】B 例2（单选·★★★☆☆） 已知双曲线的中心为原点，焦点在轴上，两条渐近线夹角为，且点在上，则的离心率为（ ） A. B. C. 2 D. 或2 【切入点】渐近线的夹角先翻译成 ，再用「点 在曲线上」这一条定出 、，两个候选的 都要代进去试。 【关键】设双曲线为 ，渐近线为 。两条渐近线的夹角是 ，所以 或者 ，两种情况都要检验。点 在曲线上，所以 。若 ，代入得 ，解得 ，不成立。若 ，代入得 ，解得 ，成立。于是 ，。故选 C。 【易错】本题的陷阱在「夹角 」这句话的含义。两条渐近线互相垂直地分成四个角，只说夹角就必须把 与 两种可能的倾角都算进来，漏掉一种就可能选出「一种成立、另一种不成立」时看上去也对的值。检验的办法是把 代回曲线方程，看能否解出正的 —— 能解出的那种才是题目要的图形。 【答案】C 变式2-1（填空·★★★☆☆） 已知双曲线的焦点到其渐近线的距离为，则C的离心率为_______. 【切入点】「焦点到渐近线的距离」是一条现成的结论，它等于 ，不必真的去算这个距离。 【关键】设渐近线为 ，焦点 ，则 到它的距离为 。题目给的距离是 ，所以 ，。于是 ，。 【易错】结论里的分母 恰好是 ，这一步约掉之后才剩下 ，若忘了 就会停在一个解不动的式子上。另一处是 与 的对应：距离等于 而不是 ，把两者弄反会得到 。 【答案】2 例3（单选·★★★☆☆） 已知双曲线的左右焦点分别为，过的直线与双曲线的左右两支分别交于A、B，若的内切圆面积之比为1:4，则双曲线的离心率为（ ） A. B. C. 2 D. 3 【切入点】两个内切圆都夹在焦点三角形里，第一个要拿下的结论是： 的内切圆与 轴的切点只与 在哪一支有关，横坐标恒为 。有了切点，圆心就在切点的正上方，半径就是圆心的纵坐标。 【关键】设 是双曲线上一点， 的内切圆与边 的切点为 。同一点引出的两条切线长相等，所以 。若 在右支上，，得 ，切点坐标为 ；若 在左支上，，得 ，切点坐标为 。内切圆与 轴相切，所以圆心在切点的正上方，左支上点对应的圆心为 、右支上点对应的圆心为 ，其中 、 是两圆半径。两圆都与直线 （即过 的割线）相切。设这条直线的斜率为 ，其方程为 ，圆心到它的距离等于半径：，。取 ，两式都是被减数大于半径的情形，解得 、，于是 ，与割线的斜率无关。两圆面积之比为 ，所以半径之比为 ，，解得 ，。故选 D。 【易错】本题有两个容易断链的地方。第一处是切点坐标的符号：左支上的点对应切点 、右支上的点对应 ，若把两者写反，半径之比就成了 ，答案会变成 。第二处是圆心到割线的距离公式，要先把直线写成一般式，再把圆心纵坐标 一并代入；半径之比与斜率无关这一点是本题的关键，它说明 只是一个中间量，不必去求。 【答案】D 变式3-1（单选·★★★☆☆） 已知分别是双曲线的左、右两个焦点，A,B是双曲线上的两点，，，则双曲线的离心率为（ ） A. B. C. D. 【切入点】向量式 说明 、、 共线且 在 、 之间，且 。于是 、 到 的距离有了固定比，再用定义把两条焦半径换成同一个字母，最后拿 定这个字母。 【关键】记 ，则 。设 、 都在左支上，则 、，。在 中用余弦定理，，去分母整理得 ，即 ，所以 。于是 、、、。设 ，由于 、 在过 的相反两条射线上，。在 中用余弦定理：；在 中：。把两式中的 消去，得 ，即 ，，。故选 B。 【易错】本题有两个坎。第一处是判断 、 落在哪一支：过焦点的直线要同时交出两点且焦点夹在中间，这两个点只能同在左支上，若误判成一支一个，定义式里的符号就会写错。第二处是两个三角形的顶角互补，所以第二个余弦定理里 ，这一条符号若漏掉，消元时得到的会是 这类偏离答案的值。 【答案】B 变式3-2（单选·★★★☆☆） 已知双曲线的左、右焦点分别为，，过的直线与C的左、右支分别交于点P、Q.若，且，则C的离心率为（ ） A. 3 B. 2 C. D. 【切入点】割线过左焦点，两个交点一支一个，先把三条线段的长用同一个字母表示，再在两个焦点三角形中分别用余弦定理 —— 关键是它们共用 处的那个角。 【关键】设 。由 得 。 在左支、 在右支，且 在两个交点之外，所以从 出发的先后是 、，。由定义得 （左支）、（右支）。在 中对 用余弦定理：，整理得 。再设 （同一个角）。在 中：，即 ；在 中：，即 。把第一式中的 代入第二式，得 ，即 。与 联立：，所以 （）。代回得 ，。故选 A。 【易错】本题最容易错的是 的写法。左焦点在左支的左外侧，过它的割线与两支各有一个交点时，焦点并不夹在两个交点之间，所以 ；若误判成 居中，会写成 ，直接出负数。另一处是 的共用：两个三角形在 处的角是同一条射线与 的夹角，所以可以整体消去 ，这一步是解出 的关键。 【答案】A 离心率的取值范围与几何性质的应用 提高版的这一个知识点集中在「存在性」与「范围」上，工具主要有三件。第一件是直线与双曲线的公共点个数判据：把直线方程代入双曲线后，二次项系数为零就说明直线与渐近线平行，此时只有一个公共点；二次项系数不为零时再看判别式。由这条判据可以反过来定 的不等式 —— 凡是问公共点个数的题，最后都归结到「斜率与渐近线斜率谁大」。 第二件是中点弦的存在性。把弦的两个端点分别代入双曲线方程再作差，可以得到弦的斜率 与中点 的关系 。这只是一条必要条件，还要补上「弦真的存在」：把以该斜率过 的直线代回曲线，判别式必须为正。两条合起来说明中点必须落在两条渐近线围成的某个区域内，这个区域通常称作有弦区域。题目说「不存在以某点为中点的弦」，等价于该点落在有弦区域之外，于是条件又变成关于 的一组不等式。 第三件是几何量的最值。双曲线上一点到焦点的距离没有上界，但有下界 （同一支上到较近的那个焦点）；过焦点且垂直于实轴的弦长为 。遇到「长度不小于某值」「面积不小于某值」这类条件，先把该量用 、、 写出来，再整理成含 的不等式。若条件里出现与某条动直线的垂直平分线、中点有关的长度，优先考虑把中点坐标用直线斜率表示，往往能让斜率整体约掉，只剩下 的不等式。 最后强调两处写法上的要求。一是含参数的题要先列出参数自身的限制，例如分母为正、焦点落在哪条轴，再往下算，否则解出的范围会被放大。二是端点开闭必须回代检验：临界位置往往对应直线与曲线相切、或者直线与渐近线平行的退化情形，此时原条件是否仍然满足，只能逐个代回去看。 例4（填空·★★★☆☆） 函数的图象本质是双曲线，那么该双曲线的离心率是______，焦距是______． 【切入点】把函数式整理成含 的方程，它的右边置零后正好分解为两条直线 —— 那就是双曲线的两条渐近线。再利用「实轴是渐近线夹角的平分线」找出对称轴的方向，离心率与焦距就都能算了。 【关键】把 两边乘 并整理：，即 。令右边为零：，得两条渐近线 与 ，它们的倾斜角分别为 与 ，夹角为 。实轴是这两条渐近线夹角的平分线，所以实轴与每条渐近线的夹角都是 。于是双曲线的离心率 。再求 ：两条平分线中只有倾斜角为 的那一条上有曲线，把 代入方程 ，得 ，，即顶点为 （另一支为对称点），所以 。于是 ，焦距为 。 【易错】三处要点。一是渐近线要靠因式分解读出，不要把原函数式当成两条直线；二是平分线有两条，要选曲线所在的那一条 —— 把两条都代回原方程，能代出实根的那条才是实轴；三是 里的 是实轴与渐近线的夹角，这里的两条渐近线夹角是 ，所以 而不是 ，写成 会得到 。 【答案】① ；② 变式4-1（单选·★★★☆☆） 若双曲线不存在以点为中点的弦，则该双曲线离心率的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【切入点】与「不存在以某点为中点的弦」同型：先写出有弦区域的判据，本题的焦点在 轴上，判据要按 轴形式重新写一遍，再把点代进去取补集。 【关键】对 ，设弦的两端点为 、、中点为 。由点差法得弦的斜率 ；把过 且以这个斜率的直线代回曲线，判别式为正化简后等价于 ，即 或者 。本题要求「不存在」，所以两条都不成立： 且 。把 代入：第一式给出 ，即 ；第二式给出 ，即 ，。于是 ，，。故选 D。 【易错】两条判据缺一不可，而且都是「或」的关系，所以否定时得到的是不等式组，不能只写一条。两条不等式的方向分别由 与 的大小决定，要一步一步代进去算，不要凭印象选方向。另外要注意有弦区域的判据对焦点在 轴的双曲线同样成立，其中出现的仍是 ，写成它的倒数会把答案取成另一段区间。 【答案】D 例5（单选·★★★☆☆） 已知F为双曲线的一个焦点，为C的一条渐近线，若F关于l的对称点在C上，则双曲线的离心率为（ ） A. B. C. D. 2 【切入点】「 关于渐近线 的对称点仍在 上」这句话要分两步用：先把对称点的坐标算出来，再让这个点在双曲线上，就能得到 的一个等式。 【关键】设 是右焦点，渐近线 取 ，即 。点 关于 的对称点记为 。直线 与 垂直，所以 的斜率为 ，它的方程是 。把 的方程 与它联立，解得垂足 ，再由 是 的中点得 。把 代入 ：，即 。两边乘 得 ，展开并整理得 。约去 得 ，所以 。故选 B。 【易错】对称点的坐标是本题的核心，记住「对称点 = 两倍垂足减原点侧的点」，不要与垂足坐标混淆。代入双曲线后会出现 的四次项，先把 整体记为 再化简会省很多力气，最后得到的方程只有一个正根。另一处是渐近线可以取两条中的任意一条，结果相同（对称性），不必两条都算。 【答案】B 变式5-1（单选·★★★☆☆） 已知分别为双曲线的左、右焦点，点在的渐近线上，且满足，则的离心率为（ ） A. 3 B. 2 C. D. 【切入点】 在渐近线上，先把它设成一个只有单参数的坐标；垂直条件 等价于以 为直径的圆过 ，代入即可求出 的位置，长度比再定 。 【关键】设 在渐近线 上，取 ，、。由 得 ，即 。把 代入，得 ，所以 ，取 ，即 。于是 、。把 代入：、。由 及两边平方得 ，整理得 ，所以 （），。故选 C。 【易错】第一步的结果值得记住：「渐近线上的点 满足 」会把 逼到 这四个点上，也就是渐近线与「顶点处的竖线」的交点。有了它，本题剩下的部分就只是两个长度作比。另一处是代入时要用 把 全部换掉，否则最后的等式里会同时留下 、、 三个字母，解不出 。 【答案】C 例6（填空·★★★☆☆） 已知双曲线的左、右焦点分别为，，过点的直线与双曲线的左、右两支分别交于A，B两点，若，，则C的离心率为______． 【切入点】条件里给的是两个角的正弦之比和一个角的余弦，先在 中把正弦之比换成边的比，再用余弦定理把每条边都化成 的倍数；最后利用 处的角在两个焦点三角形里相等，列两个余弦定理消元。 【关键】 在左支、 在右支， 在两交点之外，沿直线依次为 、、。记 。由定义 、。在 中， 与 所对的边分别是 与 ，由正弦定理得 ，所以 ，，。在 中对角 用余弦定理，代入 ：，整理得 ，即 ，所以 。于是 、、、。射线 与 同向，所以 。在 中：；在 中：。两式相等，得 ，化简得 ，。 【易错】本题的次序不能颠倒：先用正弦定理把角的比换成边的比，再用余弦定理把边化成 的倍数，最后才回到两个三角形共用 处的角。三处容易出错：一是 的写法，它等于 而不是相加，因为 在两个交点之外；二是 是钝角，余弦定理里代入的负号不能漏；三是两个焦点三角形在 处的角是同一个角，不是互补的角，这一点与割线交于两支的另一种情形恰好相反。 【答案】 变式6-1（单选·★★★☆☆） 已知F是双曲线E：的左焦点，为坐标原点，过点F的直线与E的右支交于点M，与左支交于点N，且，，则双曲线E的离心率为（ ） A. 2 B. 3 C. D. 【切入点】把 当作左焦点 。条件 里 是 的中点，而 落在直线 上，所以直角顶点在 ，可以写出 ；两边再用中线公式换成焦半径的平方和。 【关键】 即左焦点 ， 是 的中点。沿直线依次是 、、（ 在左支、离 近）。记 。由 得 ，所以 。由定义 、。因为 ，而 、 都在直线 上，所以 是直角三角形，。在 中 是中线，；在 中 也是中线，。把两式代入直角关系，两个 相消，得 ，整理得 ，所以 。于是 、、、。、 在 的同一侧，所以 。在 中：，即 ；在 中：，即 。把第一式乘 再减去第二式，含 的项消掉：，即 ，，。故选 D。 【易错】三处要点。一是直角的位置： 中的 是直线 ， 在这条线上，所以直角在 ，直角三角形是 而不是 。二是中线公式的两条： 是 的中点，所以它在两个焦点三角形里都充当底边中点，两次代入后底边项正好抵消，这是本题最省力的地方。三是 、 在 同侧，两个焦点三角形在 处的角是同一个角；只有直线与两支的两个交点分居焦点两侧时才会互补，这里不属于那种情形。 【答案】D 变式6-2（单选·★★★☆☆） 已知双曲线的左右焦点分别为，，经过的直线与C的右支交于A，B两点，且，，则C的离心率是（ ） A. B. C. D. 【切入点】两条焦半径先用定义换掉，再用 把 的那一条定出来。要留意 、 同在右支、 夹在它们之间，所以 是两段焦半径之和。 【关键】设 、。过 的直线与右支交于两点时，这两个点分居 两侧，所以 。由定义 、。由 得 ，所以 ，于是 、。、、 三点共线，且 在 、 之间，所以 ，余弦值为 。在 中两条腰相等，对顶角 用余弦定理：，所以 ，，。最后回到 ：三边分别是 、、，由余弦定理，所以 ，。故选 A。 【易错】三处要点。一是 的写法：过右焦点的直线与右支交于两点时，焦点夹在这两点之间，所以是两段焦半径之和；这一点与「直线与两支各交一点」的情形正相反。二是 的识别：、、 共线，所以它与 是同一个角，这样才能把已知的余弦直接用在 上。三是次序：先用 定出 ，再由 解出 ，最后才在 里求 。 【答案】A 学科网（北京）股份有限公司 $