精品解析：广东茂名市高州市第一中学附属实验中学2026-2027学年八年级上学期10月阶段检测数学试题

2026-2027学年度第一学期学情练习（10月） 八年级数学试卷 （考试时间共120分钟，满分为120分．） 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）在每小题列出的四个选项中，只有一个是正确的，把选出的答案写在答题卷上． 1. 在一个直角三角形中，若两条直角边长分别为6和8，则斜边长为（ ） A. 10 B. 9 C. 8 D. 7 2. 下列各数中是无理数的有（ ） ，，，，，0，0.101001000100001… A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 3. 下列各组数中是勾股数的是（ ） A. ，， B. ，， C. ，， D. ，， 4. 下列式子正确的是（ ） A. B. C. D. 5. 三角形中，，，对边分别记为a，b，c，由下列条件不能判定三角形为直角三角形的是（ ） A. B. C. D. 6. 如图，在矩形中，，，折叠该矩形，使点D与点B重合，折痕为，则的面积为（ ） A. B. C. D. 7. 一个正数的两个平方根分别是和，则这个正数为（ ） A. B. C. D. 8. 我国是最早了解勾股定理的国家之一，根据《周髀算经》的记载，勾股定理的公式与证明是在周朝由商高发现的，故又称之为“商高定理”．下面四幅图中，不能证明勾股定理的是（ ） A. B. C. D. 9. 如图，在直线上依次摆放着五个正方形．已知斜放置的两个正方形的面积分别是、，正放置的三个正方形的面积依次是，则（ ） A. 4 B. 5 C. 6 D. 7 10. “赵爽弦图”巧妙利用面积关系证明了勾股定理． 如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等直角三角形和中间的小正方形拼成的一个大正方形． 设直角三角形的两条直角边长分别为，．若小正方形面积为7，，则大正方形面积为（ ） A. 11 B. 12 C. 13 D. 14 二、填空题（每小题3分，共15分）请将下列各题正确答案填写在答题卷相应位置上． 11. 4的平方根是_______． 12. 如图，是一个圆柱形饮料罐，若底面半径是5，高是12，上底面中心有一个小圆孔，则一条到达底部的直吸管在罐内部分a的长度（罐壁的厚度和小圆孔的大小忽略不计）范围为________． 13. 最简二次根式与是同类二次根式，则__________． 14. 如图所示，梯子靠在墙上，梯子的顶端A到墙根O的距离为，梯子的底端B到墙根O的距离为，一不小心梯子顶端A下滑了4米到C，底端B滑动到D，那么的长是_________． 15. 如图，在中，，，，P是边上一动点，过点P作于点Q，连接，则的最小值为______． 三、 解答题（一）：（本大题3小题，每小题7分，共21分） 16. 求下列各式中x的值： （1）； （2）． 17. 如图，在三角形支架中，，垂足为D，，，． （1）求的长； （2）判断支架外框的形状，并说明理由． 18. 已知是实数，且满足． （1）求和的值； （2）求的值． 四、解答题（二）（本大题3小题，每小题9分，共27分） 19. 如图，在一条东西走向河的一侧有一村庄，河边原有两个取水点，其中，由于某种原因，由到的路现在已经不通，该村为方便村民取水决定在河边新建一个取水点，（在一条直线上），并修一条路．测得千米，千米，千米． （1）问是否为从村庄到河边的最近路？请通过计算加以说明． （2）求原来的路线的长． 20. 已知5a+4的立方根是-1，3a+b-1的算术平方根是3 ， c是的整数部分 （1）求a、b、c的值； （2）求的平方根． 21. 已知满足． （1）求的值； （2）判断长度为的三条线段能否构成直角三角形，并说明理由． 五、解答题（三）（第22小题13分，第23小题14分共27分） 22. 阅读下列材料，然后回答问题． 在进行二次根式运算时，形如一样的式子，我们可以将其进一步化简：＝＝，以上这种化简的步骤叫做分母有理化． （1）请用上述的方法化简； （2）利用上面的解法，化简：． 23. “数形结合”和“建模思想”是数学中的两个很重要的思想方法，先阅读以下材料，然后解答后面的问题． 例：求代数式的最小值． 分析：和是勾股定理的形式，是直角边分别是x和3的直角三角形的斜边，是直角边分别是12－x和2的直角三角形的斜边，因此，我们构造两个直角三角形△ABC和△DEF，并使直角边BC和EF在同一直线上（图1），向右平移直角三角形ABC使点B和E重合（图2），这时CF＝x＋12－x＝12，AC＝3，DF＝2，问题就变成“点B在线段CF的何处时，AB＋DB最短？”根据两点间线段最短，得到线段AD就是它们的最小值． 小结：本题利用代数式的形式特点，把它转化为两个直角三角形的问题，从而利用已学过的几何知识来解决这个代数问题，这就是建模思想与数形结合思想．回答下面问题： （1）代数式的最小值为 ； （2）变式训练：求代数式的最小值； （3）拓展练习：解方程（利用几何方法解答） 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年度第一学期学情练习（10月） 八年级数学试卷 （考试时间共120分钟，满分为120分．） 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）在每小题列出的四个选项中，只有一个是正确的，把选出的答案写在答题卷上． 1. 在一个直角三角形中，若两条直角边长分别为6和8，则斜边长为（ ） A. 10 B. 9 C. 8 D. 7 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查勾股定理的应用． 根据直角三角形的两条直角边的长为6和8，利用勾股定理即可求出其斜边的长． 【详解】解：∵直角三角形的两条直角边的长为6和8， ∴它的斜边长＝＝10． 故选：A． 2. 下列各数中是无理数的有（ ） ，，，，，0，0.101001000100001… A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了无理数的定义，解题的关键是掌握无理数的定义． 根据无理数是无限不循环小数，逐个判断给定数的类型，统计无理数的个数即可得到答案，常见无理数类型包括开方开不尽的数，含圆周率的数，有规律的无限不循环小数． 【详解】解：是分数，是有限小数，是整数，是整数，均为有理数； 则无理数为，，，共个， 故选：C． 3. 下列各组数中是勾股数的是（ ） A. ，， B. ，， C. ，， D. ，， 【答案】C 【解析】 【分析】勾股数需满足两个条件，一是三个数均为正整数，二是两个较小数的平方和等于最大数的平方，据此逐一验证各选项即可． 【详解】解：选项A：不是正整数， ，，不是勾股数，故A选项不符合题意； 选项B：，，各数均为分数不是正整数， ，，不是勾股数，故B选项不符合题意； 选项C：，，都是正整数且， ，，是勾股数，故C选项符合题意； 选项D：，，，故D选项不符合题意． 4. 下列式子正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据平方根及算术平方根的定义，逐一判断即可得出答案． 【详解】解：A．，故该选项错误，不符合题意， B．，故该选项错误，不符合题意， C．，故该选项错误，不符合题意， D．，故该选项正确，符合题意． 5. 三角形中，，，对边分别记为a，b，c，由下列条件不能判定三角形为直角三角形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理的逆定理，三角形内角和定理，熟练掌握勾股定理的逆定理，以及三角形内角和定理是解题的关键． 利用勾股定理的逆定理，三角形内角和定理，进行计算逐一判断即可解答． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴是直角三角形，故A选项不符合题意； ∵，三角形内角和为， ∴最大角为， ∴此时三角形不是直角三角形，故B选项符合题意； ∵， ∴， ∴三角形是直角三角形，故C选项不符合题意； ∵， ∴设， ∴， ∴， ∴三角形是直角三角形，故D选项不符合题意； 故选：B． 6. 如图，在矩形中，，，折叠该矩形，使点D与点B重合，折痕为，则的面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由折叠的性质可得，设，则，利用勾股定理可得方程，解方程求出，根据折叠的性质和矩形的性质得出即到的距离为，再利用三角形面积计算公式求解即可． 【详解】解：由折叠的性质可得， 设，则， ∵矩形， ∴，与的距离为，即到的距离为， 在中，由勾股定理得， ∴， 解得， ∴， ∴， . 7. 一个正数的两个平方根分别是和，则这个正数为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先根据一个正数的两个平方根分别是和，列出关于a的方程，求出a的值，然后求出其中一个平方根，最后求出这个正数即可． 【详解】解：∵和是一个正数的两个平方根， ∴与互为相反数， ∴， 解得：， ∴其中一个平方根为， ∴这个正数为． 8. 我国是最早了解勾股定理的国家之一，根据《周髀算经》的记载，勾股定理的公式与证明是在周朝由商高发现的，故又称之为“商高定理”．下面四幅图中，不能证明勾股定理的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查勾股定理的证明方法，熟练掌握内弦图、外弦图是解题关键．根据基础图形的面积公式表示出各个选项的面积，同时根据割补的思想可以写出另外一种面积表示方法，即可得出一个等式，进而可判断能否证明勾股定理． 【详解】解：A、大正方形的面积为：；也可看作是个直角三角形和一个小正方形组成，则其面积为：， ， ，故该选项能证明勾股定理,不符合题意； B、梯形的面积为：，也可看作是个直角三角形和一个等腰直角三角形组成，则其面积为：， ， ，故该选项能证明勾股定理，不符合题意； C、大正方形的面积为：；也可看作是个矩形和个小正方形组成，则其面积为：， ， 故该选项不能证明勾股定理，符合题意； D、边长为的正方形面积为,由图形面积之间的关系可得，边长为的正方形面积等于边长为的正方形面积，加上边长为的正方形面积（边长为的正方形中的两个直角三角形补到下边），则，故该选项能证明勾股定理，不符合题意； 故选：C． 9. 如图，在直线上依次摆放着五个正方形．已知斜放置的两个正方形的面积分别是、，正放置的三个正方形的面积依次是，则（ ） A. 4 B. 5 C. 6 D. 7 【答案】B 【解析】 【分析】结合正方形的性质，证明，根据全等三角形的性质和勾股定理推出，同理得到，即可求解． 【详解】解：如图， 图中的四边形均为正方形， ，，, ，, ． 在和中， ， ， ， ， ， ，，， ， 同理，， ． 10. “赵爽弦图”巧妙利用面积关系证明了勾股定理． 如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等直角三角形和中间的小正方形拼成的一个大正方形． 设直角三角形的两条直角边长分别为，．若小正方形面积为7，，则大正方形面积为（ ） A. 11 B. 12 C. 13 D. 14 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理．根据小正方形面积为7得出，结合，得出的值，即可得出结果． 【详解】解：∵小正方形面积为7， ∴， 又∵， ∴， ∴． 又∵大正方形的面积， ∴， 故选：D． 二、填空题（每小题3分，共15分）请将下列各题正确答案填写在答题卷相应位置上． 11. 4的平方根是_______． 【答案】±2 【解析】 【详解】解：∵， ∴4的平方根是±2． 故答案为±2． 12. 如图，是一个圆柱形饮料罐，若底面半径是5，高是12，上底面中心有一个小圆孔，则一条到达底部的直吸管在罐内部分a的长度（罐壁的厚度和小圆孔的大小忽略不计）范围为________． 【答案】 【解析】 【分析】当吸管底部在O点时吸管在罐内部分时，a最短，此时a就是圆柱的高，可得a=12，当吸管底部在A点时吸管在罐内部分时，a最长，即线段AB的长，根据勾股定理即可求出AB的长，即可得． 【详解】解：如图所示， 当吸管底部在O点时吸管在罐内部分时，a最短，此时a就是圆柱的高， 即a=12， 当吸管底部在A点时吸管在罐内部分时，a最长， 在中，根据勾股定理得， ， 即a=13， 综上，， 故答案为：． 【点睛】本题考查了勾股定理，解题的关键是构造直角三角形． 13. 最简二次根式与是同类二次根式，则__________． 【答案】 【解析】 【分析】根据同类二次根式的定义列方程求解即可． 【详解】解：最简二次根式与是同类二次根式， ， 解得：． 14. 如图所示，梯子靠在墙上，梯子的顶端A到墙根O的距离为，梯子的底端B到墙根O的距离为，一不小心梯子顶端A下滑了4米到C，底端B滑动到D，那么的长是_________． 【答案】8 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理是解题的关键； 先利用勾股定理求出，梯子移动过程中长短不变，所以，又由题意可知利用勾股定理求出，进而得出答案． 【详解】解：在直角三角形中， ，， ， ，， ， 在中 ， 故答案为：8． 15. 如图，在中，，，，P是边上一动点，过点P作于点Q，连接，则的最小值为______． 【答案】 【解析】 【分析】作点B关于的对称点，连接，此时有最小值，由轴对称的性质可得，则可推出当点，P，Q三点共线时，有最小值，最小值为的长，由勾股定理求出的长，再由等面积法求出的长即可得到答案． 【详解】解：如图，作点B关于的对称点，连接， 根据轴对称的性质有， ∴， ∴当点，P，Q三点共线时，有最小值，最小值为的长， 在中，，，， ，， ∵， ， ， ∴的最小值是． 三、 解答题（一）：（本大题3小题，每小题7分，共21分） 16. 求下列各式中x的值： （1）； （2）． 【答案】（1）或 （2） 【解析】 【分析】（1）利用平方根的定义得到，再分别求解x的值即可； （2）先将方程进行变形为的形式，再利用立方根的性质得到，最后求解x的值即可． 【小问1详解】 解：， ， 或， 解得或． 【小问2详解】 解：， ， ， ， 解得． 17. 如图，在三角形支架中，，垂足为D，，，． （1）求的长； （2）判断支架外框的形状，并说明理由． 【答案】（1） （2）是直角三角形， 理由：由（1）知， ，， ， 是直角三角形． 【解析】 【分析】（1）利用勾股定理求解即可； （2）利用勾股定理的逆定理求解即可． 【小问1详解】 解：，，， ， 又， ； 【小问2详解】 略 18. 已知是实数，且满足． （1）求和的值； （2）求的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了二次根式有意义的条件以及二次根式的求值，根据二次根式有意义的条件求得是解题关键． （1）根据二次根式有意义的条件可得x的值，进而得出y的值； （2）将x，y的值代入计算即可 【小问1详解】 是实数，且满足， 解得 ∴； 【小问2详解】 当，时， ； 四、解答题（二）（本大题3小题，每小题9分，共27分） 19. 如图，在一条东西走向河的一侧有一村庄，河边原有两个取水点，其中，由于某种原因，由到的路现在已经不通，该村为方便村民取水决定在河边新建一个取水点，（在一条直线上），并修一条路．测得千米，千米，千米． （1）问是否为从村庄到河边的最近路？请通过计算加以说明． （2）求原来的路线的长． 【答案】（1） 是，理由如下： 在中，∵，， ∴， ∴是直角三角形，， ∴， ∴是从村庄到河边的最近路； （2）千米 【解析】 【分析】（）由可得是直角三角形，，即得，再根据垂线段最短即可说明； （）设千米，则千米，在中利用勾股定理解答即可求解； 本题考查了勾股定理及其逆定理的应用，垂线段最短，掌握以上知识点是解题的关键． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：设千米，则千米， 在中，， ∴， 解得， ∴千米， 答：原来的路线的长为千米． 20. 已知5a+4的立方根是-1，3a+b-1的算术平方根是3 ， c是的整数部分 （1）求a、b、c的值； （2）求的平方根． 【答案】（1）a=-1，b=13，c=3； （2）±2． 【解析】 【分析】（1）直接利用立方根以及算术平方根的定义得出a，b，c的值； （2）利用（1）中所求，代入求出答案． 【小问1详解】 解：∵5a+4的立方根是-1， ∴5a+4=-1， ∴5a=-5， ∴a=-1， ∵3a+b-1的算术平方根是3， ∴3a+b-1=9，即-3+b-1=9， ∴b=13， ∵c是的整数部分，而3<<4， ∴c=3， 即a=-1，b=13，c=3； 【小问2详解】 解：∵a=-1，b=13，c=3， ∴3a+b+2c=-3+13+6=16， ∴， ∵4的平方根是±2． 即的平方根是±2． 【点睛】此题主要考查了估算无理数的大小以及算术平方根和立方根，正确把握相关定义是解题关键． 21. 已知满足． （1）求的值； （2）判断长度为的三条线段能否构成直角三角形，并说明理由． 【答案】（1），， （2） 长度为a，b，c的三条线段能构成直角三角形，理由如下： ，， ； 即； 长度为a，b，c的三条线段能构成直角三角形． 【解析】 【分析】本题考查非负性，勾股定理逆定理，熟练掌握绝对值，完全平方和算术平方根的非负性，勾股定理逆定理是解题的关键： （1）根据非负性进行求解即可； （2）根据勾股定理逆定理进行判断即可． 【小问1详解】 解：根据题意得：，， 解得，，； 【小问2详解】 略 五、解答题（三）（第22小题13分，第23小题14分共27分） 22. 阅读下列材料，然后回答问题． 在进行二次根式运算时，形如一样的式子，我们可以将其进一步化简：＝＝，以上这种化简的步骤叫做分母有理化． （1）请用上述的方法化简； （2）利用上面的解法，化简：． 【答案】（1）；（2）27． 【解析】 【分析】（1）把分子分母都乘以，然后利用平方差公式计算； （2）先分母有理化，提取公因数3，然后合并即可． 【详解】解：（1） ； （2） ． 【点睛】本题考查了二次根式的混合运算：先把二次根式化为最简二次根式，然后合并同类二次根式即可．在二次根式的混合运算中，如能结合题目特点，灵活运用二次根式的性质，选择恰当的解题途径，往往能事半功倍． 23. “数形结合”和“建模思想”是数学中的两个很重要的思想方法，先阅读以下材料，然后解答后面的问题． 例：求代数式的最小值． 分析：和是勾股定理的形式，是直角边分别是x和3的直角三角形的斜边，是直角边分别是12－x和2的直角三角形的斜边，因此，我们构造两个直角三角形△ABC和△DEF，并使直角边BC和EF在同一直线上（图1），向右平移直角三角形ABC使点B和E重合（图2），这时CF＝x＋12－x＝12，AC＝3，DF＝2，问题就变成“点B在线段CF的何处时，AB＋DB最短？”根据两点间线段最短，得到线段AD就是它们的最小值． 小结：本题利用代数式的形式特点，把它转化为两个直角三角形的问题，从而利用已学过的几何知识来解决这个代数问题，这就是建模思想与数形结合思想．回答下面问题： （1）代数式的最小值为 ； （2）变式训练：求代数式的最小值； （3）拓展练习：解方程（利用几何方法解答） 【答案】（1）13；（2）；（3） 【解析】 【分析】（1）根据题目所给的方法直接建立模型进行求解即可； （2）根据题目所给的方法建立直角三角形然后进行求解即可； （3）先建立模型，然后根据题意直接进行求解即可． 【详解】（1）AG＝3＋2＝5，GD＝12 AD＝ ∴的最小值是13， 故答案为13； （2）如（1）图， AC＝4，DF＝2，CF＝10 AG＝4＋2＝6，GD＝10 AD＝ ∴的最小值是 （3）构造△ABC，CD⊥BC于D，AC＝3，BC＝4，如图所示： 设CD＝x，则AD＝，BD＝ ∴AB＝ ∵ ∴∠ACB＝90° ∴ ∴ 另外，也满足方程． ∴方程的解是． 【点睛】本题主要考查勾股定理的应用，关键是根据题意的数形结合思想进行求解问题． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $