第84讲 空间几何体：表面积与体积 训练-2027届高三数学一轮复习

第84讲 空间几何体：表面积与体积 柱锥台公式·割补等体积·截面分割与新定义 一、柱锥台与展开 1. 柱锥台体积公式链. ，，——台体即"大锥减小锥"，平行截面按相似比分段定尺寸. 2. 侧面展开最短. 圆锥侧面展开为扇形、圆台为扇环："绕侧面一周最短"=展开图中两点的直线段；跨越边界的路径用"切线段+弧"拼接，弧长按圆心角比例折算. 【通法】台体大锥减小锥，相似比分段. 【通法】展开平面化，直线最短. 例1（解答·★★★☆☆） 如图是一把直角三角尺，其中间做了镂空设计，设直角三角尺外轮廓的三角形的三边为，其对应的内角为，被挖去的三角形与直角三角尺的外轮廓三角形相似，且二者外接圆半径之比为1:2． （1）若被挖去的三角形的外接圆面积为16，求：的值；（2）若直角三角尺的外轮廓三角形的外接圆半径为6，求：该直角三角尺做镂空设计前绕其一边旋转一周而成的几何图形体积的最小值的最大值． 【切入点】(1) 外接圆半径比 1:2，则面积比 1:4，被挖三角形外接圆面积 得外轮廓三角形外接圆面积 、，正弦定理化边： 等，故 。(2) 外接圆半径 6 得斜边 ，直角边 满足 。绕 转：；绕 转：；绕 转：，即共底双锥。三方案的最小者由 控制：，当 时 ，故所求为 。 【关键】旋转体的轴截面是直角三角形：绕直角边得圆锥，绕斜边得共底双锥且体积为 ，对称情形 锁定"最小值的最大值"，均值不等式 一击收口. 【答案】（1）；（2） 变式1（填空·★★★★☆） 已知圆台上下底面半径分别为1，2，母线长为2，则圆台的体积等于______；为下底面圆周上一定点，一只蚂蚁从点出发，绕着圆台的侧面爬行一周又回到点，则爬行的最短距离为______． 【切入点】 得高 ，。展开：扇环所在扇形圆心角 、内半径 ，最短路径=两条切线段+中段弧：、，合计 。 【关键】圆台还原成圆锥找展开圆心角；蚂蚁爬行"两切线+公共弧"的拼接结构——切线长与弧段全部从展开扇形的圆心角、内外半径读出. 【答案】； 变式2（单选·★★★☆☆） 如图，两个相同的正四棱台密闭容器内装有纯净水，，图1中水面高度恰好为棱台高度的，图2中水面高度为棱台高度的，若图1和图2中纯净水的体积分别为，则 = （ ） A. B. C. D. 【切入点】正四棱台倒置水的体积不变。设高 ：图1 水面在半高处，液面边长 ，；图2 水面在 高处（从倒置后的小底算），液面边长 ，，故 。 【关键】容器倒置体积不变，但"水面高度占比"对应不同的台体段——每段用台体公式独立计算；液面边长按上下底边长的线性内插. 【答案】 二、割补与体积比 1. 割补与等体积. 不规则多面体拆成"锥+锥/柱"分块求和；三棱锥任意换底换顶点 ，是求点到平面距离（等体积法）与公共部分体积的两把钥匙. 2. 相似比与体积比. 平行于底面的截面截锥体：相似比 ⇒ 面积比 、体积比 ；台体被平行平面截断则逐段套台体公式. 【通法】割补分块求和，等体积换底. 【通法】相似比 k 定体积比 k³. 例2（解答·★★★★☆） 如图，在多面体中，平面平面，四边形是直角梯形，，，，且． （1）证明：平面．（2）求多面体的体积．（3）求平面与平面夹角的余弦值． 【切入点】(1) 平面 平面 交于 ， 得 平面 ， 得 平面 ，于是 ；又正方形 中 ，，故 平面 。(2) 。 【关键】面面垂直+底面垂线立刻得第二只"墙角"；五面体割补成两只锥体，一块以正方形为底、一块以直角三角形为底，各自都有现成的垂直高——割补方向选"每块都有高"的切法. 【答案】（1）证明见解析；（2） 变式3（填空·★★★★☆） 我们把几何体的表面积与体积之比称为“相对积”．已知三棱锥中，分别在棱上，且截面与底面平行，，则三棱锥与三棱锥的相对积之比为______． 【切入点】截面 底面，、 得相似比 ：体积比 ，全表面积比 ，相对积之比为 。 【关键】相似比 一次管两件事：、，故表面积与体积之比 ——"相对积"新定义只披皮，内核是相似比. 【答案】 变式4（填空·★★★★☆） 已知正四棱锥，的中点分别为，点为上一动点，平面将正四棱锥分为两个部分，当为中点时，体积较小部分与体积较大部分的比值为________；当时，体积较小部分与体积较大部分的比值为________． 【切入点】① 为中点时截面 底面，相似比 ：，，比值 。② 时截面过 （向量共面定交点），，比值 。 【关键】截面与侧棱交点位置由"平面向量共面"定：基底写 对比系数；分块体积用"同底锥高比"叠加，避免硬算截面面积. 【答案】； 变式5（单选·★★★★☆） 已知正方体中，点，，分别为棱，，的中点，过点，，的平面将正方体分成的两个几何体的体积之比为（ ） A. B. C. D. 【切入点】补形定截面：延展得五点 共面， 为靠近 的六等分点。设棱长 ，切下部分为三个锥之和：，剩余 ，体积比 。 【关键】中点截面在正方体对角面方向"平行延伸"定第五、六点；分割体拆成"锥+两斜柱（拟柱）"——每块的底和高都由同一组等分点参数化，最后约去 . 【答案】 变式6（填空·★★★★☆） 已知三棱锥的体积为，，，，△OAB 与 △OAC 的周长均为10，则 = ______． 【切入点】 与 周长相等且 公用，得 ； 把 压到对称位置，设 到 的投影高度由体积回求： 得 、。以 为焦点、过 的轨迹方程 代 得 ，两角和正切公式得 。 【关键】"两侧周长相等"即到两定点距离和为定值——椭圆定义的立体版本；先立体积求截面尺寸，再降维到轴截面用两角和正切. 【答案】 三、组合体与新定义压轴 1. 组合体与实际应用. 纪念碑/容器类："整体减部分"（长方体截四锥）或分块求和；容器内球滚动形成的可及区域、内放最大球，都回到轴截面的相切关系. 2. 新定义几何量. 分形/递归几何体：每次新增单元按公比收缩，表面积成等比且公比大于 1（发散）、体积收敛到极限——"比表面积发散"解释材料吸附性；包裹球半径用"球心链+三角不等式"或"球套球"收口. 【通法】整体减部分，轴截面定相切. 【通法】递归分形：面积发散体积收敛. 例3（解答·★★★★★） 科赫四面体是一种借助递归迭代生成的分形几何体.其构造过程是：从一个正四面体开始，在该几何体的每个正三角形面上，移除以各边中点为顶点的小三角形，并以此小三角形为底面，向外构建小正四面体.如图，持续重复对新生成的几何体执行上述操作，最终得到科赫四面体. 现有一种高效吸附材料，其结构为科赫四面体模型，此模型是由棱长为的正四面体经过持续重复上述操作得到的.记第次操作后生成的几何体为，设的表面积为，体积为.（1）求；（2）在材料科学中，物料的表面积与体积之比被定义为比表面积，其值越大，吸附能力越强.根据比表面积随的变化趋势，说明该材料吸附能力强的原因.（3）是否存在一个球形容器，能够使该材料整体放入其中？若存在，求其半径的最小值；若不存在，请说明理由. 【切入点】(1) 每次操作每个面变 4 个小面（增 倍）：，；每次新增 个小锥（棱长减半）：，。(2) ，，比表面积趋于 ，吸附能力强。(3) 存在，最小 ：正四面体外接球 ；各代小球的外接球满足 ，故第 代外接球整体含于第 代球内，全部点落在原外接球中，且 取到。 【关键】分形两本账分开记：表面积每次乘 （发散），体积增量是 型等比求和（收敛）；(3) 的"球套球"——子球半径缩减量恰等于球心位移，是整体被原球包住的最快论证. 【答案】（1），，，；（2）见解析；（3）存在，最小半径 变式7（解答·★★★★★） 某个圆锥容器的轴截面是边长为8的等边三角形（容器壁厚度忽略不计），一个半径为r的小球在该容器内自由运动，小球能接触到的容器内壁侧面的区域可以形成一个圆台侧面，设该圆台上下底面圆心为和，如图所示． （1）求圆台的体积（用r表示）． 【切入点】轴截面等边三角形边长 8，小球与侧面相切时切点两侧各留 ：上、下底半径 、，高 ，。 【关键】球在圆锥内滚动，"可及区域"的边界由轴截面中"圆与角两边相切"给出——切线长、留空段全按 直角三角形读出，代回台体公式. 【答案】 变式8（单选·★★★☆☆） 今年为纪念红军长征胜利90周年，某市计划在广场中央建造一座“长征颂”主题纪念碑.该纪念碑的基座设计为一个稳固的四面坡式石墩（如图所示），已知该几何体是从长方体上底面向下底面顶点截去4个完全一样的三棱锥后得到的几何体，经实地测量，下底面长10米、宽6米，一个侧面为上底长4米，腰长5米的等腰梯形，则该纪念碑基座的体积为（ ） A. 168 B. 192 C. 216 D. 240 【切入点】补全长方体：侧面等腰梯形上底 4、下底 10、腰 5，高 ，长方体体积 ；每个角锥底面直角边 ，，四个共 24，基座体积 。 【关键】"截角几何体"先补回长方体再减四角；角锥的高就是几何体的高（顶点落在上底面角上），尺寸全部由侧面梯形的"上底/腰/高"读出. 【答案】 变式9（单选·★★★★☆） 已知边长为1的正方形绕边所在直线为轴旋转一周形成的面围成一个圆柱，点和分别是圆柱上底面和下底面的动点，点是线段的中点，则三棱锥体积的最大值为（ ） A. B. C. D. 【切入点】， 为 到平面 的距离。 在以 中点的轨迹圆上，当 且 时 ，最大体积 。 【关键】动点锥体换底到固定面 ，问题变"动点 到定平面的最大距离"—— 在圆柱中位面上活动， 且 时离平面最远，. 【答案】 变式10（单选·★★★★☆） 如图，在四棱锥中，底面，，底面为矩形，为线段AB的中点，，，则四棱锥与三棱锥的公共部分的体积为（ ） A. B. C. D. 【切入点】 且等长， 为矩形，，公共部分为多面体 （、）。： 平面 （ 底面、），，且 、 到平面 的距离减半，，公共部分 。 【关键】"公共部分"先画交集多面体的顶点（两两交线定交点），再"大锥减小锥"——两层锥体共底面系，体积比按高与底的分比传递. 【答案】 变式11（填空·★★★★☆） 如图，点E，H，G，F是矩形中，，，边的中点，依次沿，，，，折叠，使得矩形四个顶点D，C，B，A重合于一点，得到三棱锥．若，，则三棱锥的体积为______． 【切入点】四顶点重合于点 ： 平面 且 平面 ，故 共线，； 为等腰直角三角形（），。 【关键】折叠后"四点合一"立刻给出三条两两垂直的棱——把中点四边形折叠图折回立体，体积只用到重合点的垂直关系与一个直角三角形底面. 【答案】 学科网（北京）股份有限公司 $ 第84讲 空间几何体：表面积与体积 柱锥台公式·割补等体积·截面分割与新定义 一、柱锥台与展开 1. 柱锥台体积公式链. ，，——台体即"大锥减小锥"，平行截面按相似比分段定尺寸. 2. 侧面展开最短. 圆锥侧面展开为扇形、圆台为扇环："绕侧面一周最短"=展开图中两点的直线段；跨越边界的路径用"切线段+弧"拼接，弧长按圆心角比例折算. 例1（解答·★★★☆☆） 如图是一把直角三角尺，其中间做了镂空设计，设直角三角尺外轮廓的三角形的三边为，其对应的内角为，被挖去的三角形与直角三角尺的外轮廓三角形相似，且二者外接圆半径之比为1:2． （1）若被挖去的三角形的外接圆面积为16，求：的值；（2）若直角三角尺的外轮廓三角形的外接圆半径为6，求：该直角三角尺做镂空设计前绕其一边旋转一周而成的几何图形体积的最小值的最大值． 变式1（填空·★★★★☆） 已知圆台上下底面半径分别为1，2，母线长为2，则圆台的体积等于______；为下底面圆周上一定点，一只蚂蚁从点出发，绕着圆台的侧面爬行一周又回到点，则爬行的最短距离为______． 变式2（单选·★★★☆☆） 如图，两个相同的正四棱台密闭容器内装有纯净水，，图1中水面高度恰好为棱台高度的，图2中水面高度为棱台高度的，若图1和图2中纯净水的体积分别为，则 = （ ） A. B. C. D. 二、割补与体积比 1. 割补与等体积. 不规则多面体拆成"锥+锥/柱"分块求和；三棱锥任意换底换顶点 ，是求点到平面距离（等体积法）与公共部分体积的两把钥匙. 2. 相似比与体积比. 平行于底面的截面截锥体：相似比 ⇒ 面积比 、体积比 ；台体被平行平面截断则逐段套台体公式. 例2（解答·★★★★☆） 如图，在多面体中，平面平面，四边形是直角梯形，，，，且． （1）证明：平面．（2）求多面体的体积．（3）求平面与平面夹角的余弦值． 变式3（填空·★★★★☆） 我们把几何体的表面积与体积之比称为“相对积”．已知三棱锥中，分别在棱上，且截面与底面平行，，则三棱锥与三棱锥的相对积之比为______． 变式4（填空·★★★★☆） 已知正四棱锥，的中点分别为，点为上一动点，平面将正四棱锥分为两个部分，当为中点时，体积较小部分与体积较大部分的比值为________；当时，体积较小部分与体积较大部分的比值为________． 变式5（单选·★★★★☆） 已知正方体中，点，，分别为棱，，的中点，过点，，的平面将正方体分成的两个几何体的体积之比为（ ） A. B. C. D. 变式6（填空·★★★★☆） 已知三棱锥的体积为，，，，△OAB 与 △OAC 的周长均为10，则 = ______． 三、组合体与新定义压轴 1. 组合体与实际应用. 纪念碑/容器类："整体减部分"（长方体截四锥）或分块求和；容器内球滚动形成的可及区域、内放最大球，都回到轴截面的相切关系. 2. 新定义几何量. 分形/递归几何体：每次新增单元按公比收缩，表面积成等比且公比大于 1（发散）、体积收敛到极限——"比表面积发散"解释材料吸附性；包裹球半径用"球心链+三角不等式"或"球套球"收口. 例3（解答·★★★★★） 科赫四面体是一种借助递归迭代生成的分形几何体.其构造过程是：从一个正四面体开始，在该几何体的每个正三角形面上，移除以各边中点为顶点的小三角形，并以此小三角形为底面，向外构建小正四面体.如图，持续重复对新生成的几何体执行上述操作，最终得到科赫四面体. 现有一种高效吸附材料，其结构为科赫四面体模型，此模型是由棱长为的正四面体经过持续重复上述操作得到的.记第次操作后生成的几何体为，设的表面积为，体积为.（1）求；（2）在材料科学中，物料的表面积与体积之比被定义为比表面积，其值越大，吸附能力越强.根据比表面积随的变化趋势，说明该材料吸附能力强的原因.（3）是否存在一个球形容器，能够使该材料整体放入其中？若存在，求其半径的最小值；若不存在，请说明理由. 变式7（解答·★★★★★） 某个圆锥容器的轴截面是边长为8的等边三角形（容器壁厚度忽略不计），一个半径为r的小球在该容器内自由运动，小球能接触到的容器内壁侧面的区域可以形成一个圆台侧面，设该圆台上下底面圆心为和，如图所示． （1）求圆台的体积（用r表示）． 变式8（单选·★★★☆☆） 今年为纪念红军长征胜利90周年，某市计划在广场中央建造一座“长征颂”主题纪念碑.该纪念碑的基座设计为一个稳固的四面坡式石墩（如图所示），已知该几何体是从长方体上底面向下底面顶点截去4个完全一样的三棱锥后得到的几何体，经实地测量，下底面长10米、宽6米，一个侧面为上底长4米，腰长5米的等腰梯形，则该纪念碑基座的体积为（ ） A. 168 B. 192 C. 216 D. 240 变式9（单选·★★★★☆） 已知边长为1的正方形绕边所在直线为轴旋转一周形成的面围成一个圆柱，点和分别是圆柱上底面和下底面的动点，点是线段的中点，则三棱锥体积的最大值为（ ） A. B. C. D. 变式10（单选·★★★★☆） 如图，在四棱锥中，底面，，底面为矩形，为线段AB的中点，，，则四棱锥与三棱锥的公共部分的体积为（ ） A. B. C. D. 变式11（填空·★★★★☆） 如图，点E，H，G，F是矩形中，，，边的中点，依次沿，，，，折叠，使得矩形四个顶点D，C，B，A重合于一点，得到三棱锥．若，，则三棱锥的体积为______． 学科网（北京）股份有限公司 $