7.1 基本立体图形、简单几何体的表面积与体积专项训练-2027届高三数学一轮复习（全国通用）

**基本信息** 聚焦立体几何核心概念与运算，以多题型覆盖基本立体图形、表面积体积及空间转化问题，构建从概念辨析到综合应用的逻辑训练体系。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |概念辨析|1单|以圆锥、圆柱等定义判断，强化空间观念|从几何体定义出发，辨析易混概念| |直观图与表面积体积|7单+3多+3填|斜二测画法、组合体（银杯/石凳）表面积体积计算|直观图与原图转化→公式推导→实际应用，体现数学眼光| |空间最短路径|2单+1填+2解|蚂蚁爬行、环山公路最短距离，需侧面展开|空间问题平面化，培养数学思维的转化能力| |综合应用|5解|正四棱锥与棱柱组合体、旋转体等综合运算|融合概念、公式与转化思想，形成完整知识链|

7.1 基本立体图形、简单几何体的表面积与体积（精练） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．（25-26高三·云南昭通·阶段检测）下列说法正确的是（   ） A．直角三角形以一条边为轴旋转一周得到的几何体为圆锥 B．过圆柱的轴的截面为矩形 C．侧棱都相等的棱锥是正棱锥 D．有两个面互相平行，其余四个面都是等腰梯形的六面体是棱台 【答案】B 【分析】由空间几何体的性质依次判断选项即可. 【详解】对于A，若直角三角形以斜边为轴旋转一周得到的几何体不是圆锥，A错误； 对于B，由圆柱的几何特征可知过圆柱的轴的截面为矩形，B正确； 对于C，侧棱都相等的棱锥的底面不一定为正多边形，所以侧棱都相等的棱锥不一定是正棱锥，C错误； 对于D，棱台的侧棱延长线必须交于一点，所以D错误； 2．（25-26高三·甘肃兰州·阶段检测）用斜二测画法得到一个水平放置的平面图形的直观图为如图所示的直角梯形，其中，，若原平面图形的面积为，则的长为（     ） A．2 B． C． D． 【答案】D 【分析】根据斜二测画法的规则，得到原几何图形，设，结合梯形的面积公式，列出方程，即可求解. 【详解】如图所示，根据斜二测画法的规则，得到原几何图形， 设，可得，则，，，且为原图形中梯形的高， 所以平面图形的面积为，解得. 3．（26-27高三上·安徽六安·开学考试）若圆台的母线与下底面成角，且下底面半径是上底面半径的2倍，记圆台的侧面积为，上、下底面积之和为，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用圆台的结构特征及相关公式计算． 【详解】圆台的轴截面如图所示，设上底面半径为，则下底面半径为， 由圆台的母线与下底面成角，可知圆台的高为，则母线长为， 则，， 则． 4．（25-26高三·江苏无锡·期中）素面高足银杯（如图1）是陕西历史博物馆收藏的唐代金银器典型代表，其造型被证实受到罗马拜占庭艺术风格影响，是研究唐代贵族生活方式与跨文化融合的关键物证．如图2，将银杯主体近似看作半球与圆柱的组合体（假设内壁光滑，杯壁厚度可忽略）．已知杯口直径为，酒杯容积为，则其内壁表面积为（     ）． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据给定条件，利用球及圆柱的体积公式求出圆柱的高，再利用球的表面积公式及圆柱侧面积公式求解. 【详解】设圆柱的高为，而半球半径及圆柱底面圆半径为3， 由酒杯容积为，得，解得， 所以银杯内壁表面积为. 5．（26-27高三上·安徽·开学考试）已知圆锥甲的底面半径为，母线长为，圆台乙的上、下底面的半径分别为和，母线长，则圆锥甲与圆台乙的体积之比（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设甲圆锥的高为，乙圆台的高为，利用勾股定理求出，，再由圆锥和圆台的体积公式计算即可得解. 【详解】设圆锥甲的高为，圆台乙的高为， 则，， 所以圆锥甲的体积， 圆台乙的体积， 所以甲、乙的体积之比为. 6．（26-27高三上·北京·开学考试）已知三棱锥中，，，，则它的体积为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先确定点在底面的投影为的外心，根据三角形面积公式及正余弦定理求出的面积和外接圆半径，在中求棱锥的高，最后代入体积公式求解. 【详解】过点作平面，垂足为. 因为，故，即为的外心. 在中，由余弦定理得 ， 又，故， 则. 设的外接圆半径为，由正弦定理得，所以. 在中，. 所以三棱锥的体积为. 7．（25-26高三上·湖南衡阳·阶段检测）如图是一坐山峰的示意图，山峰大致呈圆锥形，峰底呈圆形，其半径为，峰底A到峰顶的距离为，B是山坡的中点.为了发展当地旅游业，现要建设一条从A到B的环山观光公路，当公路长度最短时，公路距山顶的最近距离为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据圆锥的侧面展开图，即可根据弧长公式可得，进而根据等面积法即可求解. 【详解】以为分界线，将圆锥的侧面展开，可得其展开图如图. 则从点A到点B的最短路径为线段，，所以. 过S作，则公路距山顶的最近距离为， 因为，所以， 故选:D. 8．（25-26高三·辽宁大连·期末）如图所示，在直三棱柱中，棱柱的侧面均为矩形，，，，是线段上的一动点，则最小值为（    ）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】连接，得，以所在直线为轴，将所在平面旋转到平面，设点的新位置为，连接，再根据两点之间线段最短，结合勾股定理，余弦定理等求解即可. 【详解】连接，得，以所在直线为轴，将所在平面旋转到平面，      设点的新位置为，连接，则有，如图，      当三点共线时，则即为的最小值. 在三角形ABC中，，， 由余弦定理得：, 所以，即, 在中，，， 由勾股定理可得：,且.    同理可求：，因为， 所以为等边三角形，所以， 所以在中，,, 由余弦定理得：. 故选：B. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．（25-26高三·山西·期末）如图，是斜二测画法画出的水平放置的的直观图，是的中点，且轴，轴.，，那么（    ） A．的长度小于的长度 B．的面积为2 C．的面积为4 D． 【答案】AC 【分析】利用斜二测画法的长度变换规则还原原图边长与垂直关系，分别计算线段长度、原图与直观图面积，逐一判断每个选项对错得到正确选项. 【详解】依题意是的中点，且轴，轴，，， 对于A：中，，A正确； 对于B：，B错误； 对于C：，C正确； 对于D：由于，所以不是等腰直角三角形，D错误. 10．（25-26高三·青海西宁·阶段检测）如图，透明塑料制成的长方体容器内灌进一些水，固定容器底面一边于地面上，再将容器倾斜．随着倾斜度的不同，下列说法正确的是（     ）    A．有水的部分始终呈棱柱形 B．棱始终与水面所在平面平行 C．水面所在四边形的面积为定值 D．当容器倾斜如图3所示时，是定值 【答案】ABD 【分析】由棱柱的结构特征判断A，利用线面平行的判定推理判断B，分析四边形的边的变化情况判断C，利用水的体积不变推理判断D. 【详解】对于A，图1，2中平面平行于平面，平面平行于平面, 由题意知有水部分左、右两个面互相平行且全等，其余每相邻两面的交线也互相平行， 且这些面都是平行四边形，A正确； 对于B，由于水平固定，则与水面所在平面平行， 又平行于平行于，平面，平面， 所以与水面所在平面平行，B正确； 对于C，从图2，图3可以看出，水面中的长度始终不变， 但的长度是变化的，所以四边形的面积是变化的，C错误； 对于D，在图3中，有水部分始终是以和为底面的三棱柱， 且体积为定值，因为高BC为定值，所以底面的面积为定值，即为定值，D正确． 11．（25-26高三·湖北黄冈·期末）如图是广场上供大家休息的石凳，这些石凳是由正方体截去八个一样的四面体得到的，若截去的八个四面体体积和是，则正确的有（    ） A．该多面体有14个面 B．该多面体有24条棱 C．该正方体的棱长为2 D．该多面体表面积为 【答案】ABD 【分析】根据多面体的产生过程可得多面体的面数、棱数判断AB，由截去的八个四面体体积和是可计算正方体棱长，判断C,再由三角形及正方形的面积计算多面体表面积判断D. 【详解】对于A，由题意知，截去的八个四面体是全等的正三棱锥，8个底面三角形，再加上6个小正方形，所以该几何体共有14个面，故A正确； 对于B，由题意知，该几何体有6个面为正方形，故该几何体的棱数为，故B正确； 对于C，由题可知，该几何体的顶点是正方体各棱的中点，设正方体棱长为，则，， 故截去的八个四面体体积和， 解得，该正方体的棱长为，故C错误； 对于D，结合C可知多面体中正三角形边长为，正方形边长为，所以表面积，故D正确. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．（25-26高三·贵州贵阳·期末）用平行于底面的平面去截圆锥得到一个圆台，已知圆台的上、下底面半径分别为2、6，母线长为5．则该圆台的体积为________． 【答案】 【详解】根据台体的体积公式（为上底面面积，为下底面面积，为台体的高）， 因为圆台上底面半径为2，所以，下底面半径为6，所以, 根据母线长为5可以算出，如下图，母线长，（为下底面半径，为上底面半径）， 则， 所以体积为. 13．（25-26高三·河北沧州·期末）如图，一个水平放置的平面图形的斜二测直观图是直角梯形，且，，，将该平面图形绕边旋转一周得到一个旋转体，则该旋转体的体积为______. 【答案】 【详解】因为，，， 所以， 所以， 由，得， 所以平面图形绕边旋转一周得到的旋转体为圆台， 其体积. 14．（25-26高三·全国·课堂例题）如图所示，圆台的上、下底面半径分别为和，母线，从圆台母线的中点M拉一条绳子绕圆台侧面转到A点．则绳子的最短长度为______；当绳子最短时，上底圆周上的点到绳子的最短距离为______．    【答案】 4 【分析】将圆台侧面展开，利用两点之间线段最短即可求解第一空，第二空求点到线距离即可.. 【详解】如图所示，将圆台侧面展开，则绳子的最短长度为侧面展开图中的长度．    设，由得，所以， ，． 在中，． 所以绳子的最短长度为． 如图所示，过O作于Q，交弧于P，则长为所求最短距离． 因为，即，所以， 所以，即上底圆周上的点到绳子的最短距离为． 故答案为：，. 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（25-26高三·湖北随州·期末）某几何体由上、下两部分组成，上部是正四棱锥，下部是正四棱柱，已知正四棱锥的高，正四棱柱的高，且底面边长为2． (1)求该几何体的体积与表面积； (2)若一只蚂蚁沿着该几何体的表面从点爬到点，求爬行的最短路程． 【答案】(1)体积，表面积 (2) 【分析】（1）本题考查多面体的体积与表面积，该几何体体积可由上部正四棱锥与下部正四棱柱的体积之和求得，表面积为上部正四棱锥的侧面积与下部正四棱柱表面积之和减去底面的面积； （2）将和四边形展开到同一平面，连接，易知蚂蚁爬行的最短路程即为，利用勾股定理即可求得. 【详解】（1）该几何体的体积 过点作，垂足为，连接， 则 该几何体的表面积 （2） 如图，将和四边形展开到同一平面，连接，易知蚂蚁爬行的最短路程即为，过作，垂足为， 由，， 可得， 即蚂蚁沿着该几何体的表面从点爬到点，爬行的最短路程为． 16．（25-26高三·福建漳州·期末）如图，直角梯形是用斜二测画法画出的水平放置的一个平面四边形的直观图，其中． (1)求平面四边形的面积和周长； (2)以四边形的边所在的直线为旋转轴，其余三边旋转一周形成的面围成一个几何体，求该几何体的表面积． 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）过点作，垂足为，在斜二测画法中，求出相应的线段长，再求出图形的面积和周长； （2）根据题意先分析旋转之后得到的几何体，再根据表面积公式计算得到结果； 【详解】（1）在坐标系中，如图1，过点作，垂足为， 又因为四边形是直角梯形，所以四边形是矩形， 所以，因为，所以， 建立平面直角坐标系，画出直角梯形的原图直角梯形，如图2所示， 满足，，，， 过点作轴的垂线，垂足为，， 在中，，， 所以直角梯形的面积为， 直角梯形的周长为． （2）题中旋转一周得到的几何体为圆柱和圆锥的组合体，该组合体中，圆柱、圆锥的底面半径均为，高均为； 所得旋转体的表面由圆柱的一个底面、侧面及圆锥的侧面组成， 圆柱的一个底面积为，侧面积为， 圆锥的母线，侧面积为， ， 所以旋转体的表面积为． 17．（25-26高三·河南省直辖县级单位·期末）如图，圆锥的底面半径 ，母线长为 5. (1)求圆锥的表面积和体积; (2)过 的中点 作平行于底面的截面，以该截面为底面挖去一个最大的圆柱. 求剩下的几何体的体积和表面积. 【答案】(1)， (2)， 【分析】（1）设圆锥的高为h，分别应用表面积和体积公式，求出表面积和体积即可得到答案. （2）先求出圆锥的体积，为的中点，利用相似比求出圆柱的底面半径，即可求出圆柱的体积，剩下几何体的体积为圆锥体积减去圆柱体积，根据圆锥表面积和圆柱侧面积即可得到剩下几何体的表面积，即可得到答案. 【详解】（1）设圆锥的高为h，由题意得：，故，所以． 所以圆锥侧面积，圆锥的底面积， 所以圆锥的表面积； 圆锥的体积为． （2）圆柱的底面半径为，高（母线）为， 所以圆柱的体积为    又圆锥的体积为，所以剩下几何体的体积为； 因为，圆锥的表面积； 所以剩下几何体的表面积 18．（25-26高三·广东广州·期中）某工厂生产出一种机械零件，如图所示，零件的几何结构为圆台，在轴截面中，． (1)求圆台的高； (2)求圆台轴截面的面积； (3)若一只蚂蚁从点沿着该圆台的侧面爬行到的中点，求所经过的最短路程． 【答案】(1)； (2)； (3)． 【分析】（1）作交于，利用勾股定理求解即可； （2）利用梯形的面积公式求解； （3）把空间图形展开为平面图形，先求出圆心角，再利用两点间的距离最短即可求解． 【详解】（1）如图1，作交于， 易得， 则，则圆台的高为． （2）圆台的轴截面面积为：． （3）把圆台补成圆锥可得大圆锥的母线长为，底面半径为， 圆锥侧面展开图的圆心角为， 设的中点为，连接（如图2）， 可得， 则， 所以沿着该圆台表面从点到中点的最短距离为． 19．（25-26高三·福建厦门·期中）如图，在高为2的正三棱柱中，，是棱的中点．    (1)求该正三棱柱的体积； (2)设为棱的中点，F为棱上一点，求的最小值． (3)是棱上一点，试问三棱锥的体积是否为定值？若是，求出这个定值．若不是，说明理由． 【答案】(1) (2) (3)是， 【分析】（1）利用柱体的体积公式即可求解； （2）将侧面绕旋转至与侧面共面即可求解； （3）解法一：利用求解； 解法二：利用求解. 【详解】（1）因为三棱柱是正三棱柱， 所以，． （2）将侧面绕旋转至与侧面共面，如图所示，    则当三点共线时，取得最小值，且最小值为． （3）法一：， ， ， 所以三棱锥的体积为定值． 法二：因为，， 所以， 所以三棱锥的体积为定值． 2 / 16 1 / 16 学科网（北京）股份有限公司 $ 7.1 基本立体图形、简单几何体的表面积与体积（精练） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．（25-26高三·云南昭通·阶段检测）下列说法正确的是（   ） A．直角三角形以一条边为轴旋转一周得到的几何体为圆锥 B．过圆柱的轴的截面为矩形 C．侧棱都相等的棱锥是正棱锥 D．有两个面互相平行，其余四个面都是等腰梯形的六面体是棱台 2．（25-26高三·甘肃兰州·阶段检测）用斜二测画法得到一个水平放置的平面图形的直观图为如图所示的直角梯形，其中，，若原平面图形的面积为，则的长为（     ） A．2 B． C． D． 3．（26-27高三上·安徽六安·开学考试）若圆台的母线与下底面成角，且下底面半径是上底面半径的2倍，记圆台的侧面积为，上、下底面积之和为，则（   ） A． B． C． D． 4．（25-26高三·江苏无锡·期中）素面高足银杯（如图1）是陕西历史博物馆收藏的唐代金银器典型代表，其造型被证实受到罗马拜占庭艺术风格影响，是研究唐代贵族生活方式与跨文化融合的关键物证．如图2，将银杯主体近似看作半球与圆柱的组合体（假设内壁光滑，杯壁厚度可忽略）．已知杯口直径为，酒杯容积为，则其内壁表面积为（     ）． A． B． C． D． 5．（26-27高三上·安徽·开学考试）已知圆锥甲的底面半径为，母线长为，圆台乙的上、下底面的半径分别为和，母线长，则圆锥甲与圆台乙的体积之比（   ） A． B． C． D． 6．（26-27高三上·北京·开学考试）已知三棱锥中，，，，则它的体积为（   ） A． B． C． D． 7．（25-26高三上·湖南衡阳·阶段检测）如图是一坐山峰的示意图，山峰大致呈圆锥形，峰底呈圆形，其半径为，峰底A到峰顶的距离为，B是山坡的中点.为了发展当地旅游业，现要建设一条从A到B的环山观光公路，当公路长度最短时，公路距山顶的最近距离为（    ） A． B． C． D． 8．（25-26高三·辽宁大连·期末）如图所示，在直三棱柱中，棱柱的侧面均为矩形，，，，是线段上的一动点，则最小值为（    ）    A． B． C． D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．（25-26高三·山西·期末）如图，是斜二测画法画出的水平放置的的直观图，是的中点，且轴，轴.，，那么（    ） A．的长度小于的长度 B．的面积为2 C．的面积为4 D． 10．（25-26高三·青海西宁·阶段检测）如图，透明塑料制成的长方体容器内灌进一些水，固定容器底面一边于地面上，再将容器倾斜．随着倾斜度的不同，下列说法正确的是（     ）    A．有水的部分始终呈棱柱形 B．棱始终与水面所在平面平行 C．水面所在四边形的面积为定值 D．当容器倾斜如图3所示时，是定值 11．（25-26高三·湖北黄冈·期末）如图是广场上供大家休息的石凳，这些石凳是由正方体截去八个一样的四面体得到的，若截去的八个四面体体积和是，则正确的有（    ） A．该多面体有14个面 B．该多面体有24条棱 C．该正方体的棱长为2 D．该多面体表面积为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．（25-26高三·贵州贵阳·期末）用平行于底面的平面去截圆锥得到一个圆台，已知圆台的上、下底面半径分别为2、6，母线长为5．则该圆台的体积为________． 13．（25-26高三·河北沧州·期末）如图，一个水平放置的平面图形的斜二测直观图是直角梯形，且，，，将该平面图形绕边旋转一周得到一个旋转体，则该旋转体的体积为______. 14．（25-26高三·全国·课堂例题）如图所示，圆台的上、下底面半径分别为和，母线，从圆台母线的中点M拉一条绳子绕圆台侧面转到A点．则绳子的最短长度为______；当绳子最短时，上底圆周上的点到绳子的最短距离为______．    四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（25-26高三·湖北随州·期末）某几何体由上、下两部分组成，上部是正四棱锥，下部是正四棱柱，已知正四棱锥的高，正四棱柱的高，且底面边长为2． (1)求该几何体的体积与表面积； (2)若一只蚂蚁沿着该几何体的表面从点爬到点，求爬行的最短路程． 16．（25-26高三·福建漳州·期末）如图，直角梯形是用斜二测画法画出的水平放置的一个平面四边形的直观图，其中． (1)求平面四边形的面积和周长； (2)以四边形的边所在的直线为旋转轴，其余三边旋转一周形成的面围成一个几何体，求该几何体的表面积． 17．（25-26高三·河南省直辖县级单位·期末）如图，圆锥的底面半径 ，母线长为 5. (1)求圆锥的表面积和体积; (2)过 的中点 作平行于底面的截面，以该截面为底面挖去一个最大的圆柱. 求剩下的几何体的体积和表面积. 18．（25-26高三·广东广州·期中）某工厂生产出一种机械零件，如图所示，零件的几何结构为圆台，在轴截面中，． (1)求圆台的高； (2)求圆台轴截面的面积； (3)若一只蚂蚁从点沿着该圆台的侧面爬行到的中点，求所经过的最短路程． 19．（25-26高三·福建厦门·期中）如图，在高为2的正三棱柱中，，是棱的中点．    (1)求该正三棱柱的体积； (2)设为棱的中点，F为棱上一点，求的最小值． (3)是棱上一点，试问三棱锥的体积是否为定值？若是，求出这个定值．若不是，说明理由． 2 / 16 1 / 16 学科网（北京）股份有限公司 $