第87讲 截面与动点轨迹 训练-2027届高三数学一轮复习

第87讲 截面与动点轨迹 截面作图与周长面积·轨迹判断·动点最值与多选 一、截面作图与计算 1. 截面作图三步. 先找已知两点所在的面内连线，与第三点所在面的交点用"平面几何"延长相交定出；用面面平行性质延拓（截面与平行面的交线平行于已知交线）——作图顺序=延线→交点→平行延拓. 2. 截面面积. 特殊位置（过中心/平行某面）直接算；一般五边形截面拆"三角形+梯形"分块求；球被平面截得小圆 . 例1（解答·★★★★☆） 如图，在四棱锥中，底面ABCD为直角梯形，其中，，点E、F分别为棱PD、AD的中点. （1）求证：平面平面ABCD；（2）请作出四棱锥过B、E、F三点的截面，并求出截面图形周长；（3）过B、E、F三点的平面上是否存在动点，使其到点的距离为3？若存在，求点在运动过程中所围成的图形的面积；若不存在，请说明理由. 变式1（单选·★★★★☆） 已知正方体的棱长为4，棱上的点满足与交于点．若平面经过点且与垂直，则平面截该正方体所得截面的面积为（ ） A. 4 B. 7 C. 4 D. 7 变式2（多选·★★★★☆） 如图，在棱长为1的正方体 中，E是棱DD₁上的动点(不含端点)，过A，B₁，E三点的平面α将正方体分为两个部分，则下列说法正确的是（ ） A. 正方体被平面α所截得的截面形状为梯形 B. 存在一点E，使得点A₁和点C到平面α的距离相等 C. 正方体被平面α所截得的截面的面积随着线段D₁E的长度的增大而增大 D. 当正方体被平面α所截得的上部分的几何体的体积为 时，E是DD₁的中点 变式3（填空·★★★★☆） 如图，在长方体中，，，M为的中点，过点B作平面与平面平行，则平面与底面 的交线l的长度为_________；若P为l上的动点，则动直线AP与的夹角的正切值的取值范围是_________． 二、动点轨迹 1. 轨迹三大判定. 定长→圆/球（ = 定值即圆）；垂直→圆的直径定理（ 恒成立即 在以 为直径的圆上）；等比距离→阿波罗尼斯球（ 轨迹为球，被限定面截成圆弧）. 2. 轨迹长度与面积. 平面内定垂直=四分之一圆/半圆弧；空间条件=球面被约束面截得的弧；坐标化后条件变线性方程即平面截多面体. 例2（解答·★★★★★） 已知正方体 棱长为，对角线的中点为，动点在平面内，且点到平面的距离等于. （1）求四棱锥体积的最小值；（2）记点的轨迹为曲线，点，，是曲线上不同三点.（i）若平面与轨迹相交于两点，求线段的长；（ii）若点在点上方，且，，与平面所成角相等，平面过且与平行，判断平面与平面的夹角是否为定值，若是定值，求出这个夹角的余弦值；若不是定值，请说明理由. 例3（解答·★★★★☆） 已知三棱锥和是边长为的等边三角形，平面平面 （1）求证：；（2）设为中点，为内的动点(含边界)，且平面，求直线与平面所成角的正弦值的取值范围. 变式4（填空·★★★★☆） 在三棱锥中，平面，．若为侧面内的动点，，当该三棱锥的体积最大时，的轨迹与所围成区域的面积为__________． 变式5（填空·★★★★☆） 在三棱锥中，平面，点为内（包含边界）一点，且，则点的轨迹的长度为_____． 变式6（填空·★★★★☆） 已知棱长为的正四面体，且 ，为侧面内的一动点，若，则点的轨迹长为______． 变式7（填空·★★★☆☆） 已知正四面体的棱长为，动点P满足，用所有这样的点P构成的平面截正四面体，则所得截面的面积为________. 变式8（填空·★★★★☆） 已知正方体的棱长为4，点分别为线段上的动点，则的最小值为___________，此时 = ___________. 三、动点最值与多选 1. 动点夹角范围. 动点在定线段上→坐标设参数 ，夹角余弦化成 型，平方后用对勾函数或单调性定范围；动点轨迹是线段（平行平面）→端点与垂足三处取值. 2. 动点多选. 四个选项常见考法：轨迹形状（垂直/平行条件译成线段或圆弧）、最值（换底/公垂线）、定值（参数消去）、范围（端点效益）——每项独立设参，勿互相借力. 变式9（解答·★★★★☆） 如图，在四棱锥中，底面是边长为2的正方形，平面平面，，为的中点，点为线段上的动点． （1）求证：平面平面；（2）记平面与平面的夹角为，求的取值范围． 变式10（解答·★★★★☆） 如图，在三棱锥中，，，平面，，，分别为棱，上的动点，且. （1）证明：平面平面；（2）若平面与平面所成角为，求的值. 变式11（多选·★★★★☆） 如图，在棱长为2的正方体中，为的中点，为侧面内的动点（含边界），则下列说法正确的是（ ） A. 使三棱锥体积取得最大值的点唯一 B. 存在点，使得直线与的夹角为 C. 时，点的轨迹是线段 D. 平面时，点的轨迹长为 学科网（北京）股份有限公司 $ 第87讲 截面与动点轨迹 截面作图与周长面积·轨迹判断·动点最值与多选 一、截面作图与计算 1. 截面作图三步. 先找已知两点所在的面内连线，与第三点所在面的交点用"平面几何"延长相交定出；用面面平行性质延拓（截面与平行面的交线平行于已知交线）——作图顺序=延线→交点→平行延拓. 2. 截面面积. 特殊位置（过中心/平行某面）直接算；一般五边形截面拆"三角形+梯形"分块求；球被平面截得小圆 . 【通法】延线定交点，平行延拓闭合. 【通法】五边形拆三角形加梯形. 例1（解答·★★★★☆） 如图，在四棱锥中，底面ABCD为直角梯形，其中，，点E、F分别为棱PD、AD的中点. （1）求证：平面平面ABCD；（2）请作出四棱锥过B、E、F三点的截面，并求出截面图形周长；（3）过B、E、F三点的平面上是否存在动点，使其到点的距离为3？若存在，求点在运动过程中所围成的图形的面积；若不存在，请说明理由. 【切入点】(2) 延长定交点：连接 交 于 ，取 中点 ——中位线给 、，截面为平行四边形 ，周长为 。(3) 到平面 的距离 ，故存在：动点 的轨迹是以 为球心、3 为半径的球被平面所截的圆，，面积 。 【关键】"作截面"靠中位线找隐形平行点；"平面上动点到定点定距"的轨迹=球面截该平面所得的圆——先算距离 与 3 比大小判存在性，面积就是 . 【答案】（1）证明见解析；（2）截面为平行四边形 ，周长 12；（3）存在，面积为 变式1（单选·★★★★☆） 已知正方体的棱长为4，棱上的点满足与交于点．若平面经过点且与垂直，则平面截该正方体所得截面的面积为（ ） A. 4 B. 7 C. 4 D. 7 【切入点】先证 平面 （勾股 ），故平面 平面 ；用"平行延拓"在各棱上取分点（ 为 中点等）作出五边形截面：。 【关键】垂直+过定点 ⇒ 与已知截面平行——截面形状靠"在每条棱上取等比分点+平行线传递"闭合；五边形面积拆"梯形+三角形"分别求. 【答案】B 变式2（多选·★★★★☆） 如图，在棱长为1的正方体 中，E是棱DD₁上的动点(不含端点)，过A，B₁，E三点的平面α将正方体分为两个部分，则下列说法正确的是（ ） A. 正方体被平面α所截得的截面形状为梯形 B. 存在一点E，使得点A₁和点C到平面α的距离相等 C. 正方体被平面α所截得的截面的面积随着线段D₁E的长度的增大而增大 D. 当正方体被平面α所截得的上部分的几何体的体积为 时，E是DD₁的中点 【切入点】A：面面平行性质给 且不等长，截面为梯形，对。B：距离相等要求 （ 与 重合），矛盾，错。C：面积 求导恒正，对。D：上半部分为三棱台， 为中点时 ，对。选 ACD。 【关键】动点截面多选=面积/体积都参数化：设 写 ，单调性求导判；台体体积公式 处理"截角"部分. 【答案】ACD 变式3（填空·★★★★☆） 如图，在长方体中，，，M为的中点，过点B作平面与平面平行，则平面与底面 的交线l的长度为_________；若P为l上的动点，则动直线AP与的夹角的正切值的取值范围是_________． 【切入点】中点 构造平行四边形证平面 平面 ，交线 ； 给 ， 范围 （ 为 到 垂足），等面积 ，故正切范围 。 【关键】平行平面的交线靠"构造平行四边形"转移；动直线与定直线夹角范围=动点到定点距离的最大/最小（垂线段最短），等面积法出垂线长. 【答案】； 二、动点轨迹 1. 轨迹三大判定. 定长→圆/球（ = 定值即圆）；垂直→圆的直径定理（ 恒成立即 在以 为直径的圆上）；等比距离→阿波罗尼斯球（ 轨迹为球，被限定面截成圆弧）. 2. 轨迹长度与面积. 平面内定垂直=四分之一圆/半圆弧；空间条件=球面被约束面截得的弧；坐标化后条件变线性方程即平面截多面体. 【通法】定长圆、垂直直径、等比球. 【通法】约束面截轨迹，弧长圆心角算. 例2（解答·★★★★★） 已知正方体 棱长为，对角线的中点为，动点在平面内，且点到平面的距离等于. （1）求四棱锥体积的最小值；（2）记点的轨迹为曲线，点，，是曲线上不同三点.（i）若平面与轨迹相交于两点，求线段的长；（ii）若点在点上方，且，，与平面所成角相等，平面过且与平行，判断平面与平面的夹角是否为定值，若是定值，求出这个夹角的余弦值；若不是定值，请说明理由. 【切入点】(1) 对角面内翻译条件： 且夹角 给 —— 的轨迹是以 为焦点、 为准线的抛物线，顶点处 最小值为 1，。(2)(i) 平面 与对角面交线 与抛物线联立 ，（焦半径为 ）。 【关键】立体轨迹的第一步永远是"压回对角平面"：距离条件+二面角一半恰好配方成抛物线定义（到焦点=到准线）；焦半径公式 让弦长不用解根. 【答案】（1）；（2）(i) 例3（解答·★★★★☆） 已知三棱锥和是边长为的等边三角形，平面平面 （1）求证：；（2）设为中点，为内的动点(含边界)，且平面，求直线与平面所成角的正弦值的取值范围. 【切入点】(2) 取 中点 ：平面 平面 ，故 在线段 上；建系设 ，平面 法向量 ，，二次函数在 上定范围 。 【关键】"动点+平行平面"轨迹=中位线段：先证轨迹是哪条线段再设参数；线面角带参数后是二次函数最值——对称轴与区间端点比大小. 【答案】（1）证明见解析；（2） 变式4（填空·★★★★☆） 在三棱锥中，平面，．若为侧面内的动点，，当该三棱锥的体积最大时，的轨迹与所围成区域的面积为__________． 【切入点】体积最大=底面等腰直角（， 为 中点，）； 平面 ， 给 —— 在 △PAB 内以 为心、2 为半径的圆上，与 围成四分之一圆+等腰直角三角形，面积 。 【关键】"定距动点"先算约束面内圆心到定点的距离（勾股减），再描出圆与边界围成的图形——圆弧+三角形分块求面积. 【答案】 变式5（填空·★★★★☆） 在三棱锥中，平面，点为内（包含边界）一点，且，则点的轨迹的长度为_____． 【切入点】 平面 （ 且 ），故 ；又 ，，得 平面 ，即 —— 在以 为直径的四分之一圆上，轨迹长 。 【关键】"动点对两定点张直角"=直径圆定理；四分之一圆的确认要盯住包含边界与所在半平面. 【答案】 变式6（填空·★★★★☆） 已知棱长为的正四面体，且 ，为侧面内的一动点，若，则点的轨迹长为______． 【切入点】坐标化 整理得 ——以 为心的球；被侧面 截得小圆（圆心为 △PBC 中心 ，半径 ）。三个顶点分圆的圆心角各 ，剩余圆心角 ，轨迹长为 。 【关键】等比距离=阿波罗尼斯球：坐标化配方即得；球被侧面截成圆，轨迹长=剩余圆心角×半径，"截去部分"用边界点张角算. 【答案】 变式7（填空·★★★☆☆） 已知正四面体的棱长为，动点P满足，用所有这样的点P构成的平面截正四面体，则所得截面的面积为________. 【切入点】正四面体顶点摆成正方体顶点 ： 化简得 ——截面为 面截四面体的菱形，对角线 ，面积 2。 【关键】对棱相等的正四面体=正方体的"对角四面体"——把四个顶点摆到正方体上，对称面自动现身；条件平方和相减直接消出坐标方程. 【答案】 变式8（填空·★★★★☆） 已知正方体的棱长为4，点分别为线段上的动点，则的最小值为___________，此时 = ___________. 【切入点】坐标化设 ： 最短即异面直线公垂线段， 与两方向向量都垂直，解 ，，。 【关键】两条异面线段上动点的最短距离=公垂线段：垂直条件列两个方程定双参数——比传统"平移法"快且不挑图形. 【答案】； 三、动点最值与多选 1. 动点夹角范围. 动点在定线段上→坐标设参数 ，夹角余弦化成 型，平方后用对勾函数或单调性定范围；动点轨迹是线段（平行平面）→端点与垂足三处取值. 2. 动点多选. 四个选项常见考法：轨迹形状（垂直/平行条件译成线段或圆弧）、最值（换底/公垂线）、定值（参数消去）、范围（端点效益）——每项独立设参，勿互相借力. 【通法】设参一线穿，对勾定范围. 【通法】多选四项各自设参. 变式9（解答·★★★★☆） 如图，在四棱锥中，底面是边长为2的正方形，平面平面，，为的中点，点为线段上的动点． （1）求证：平面平面；（2）记平面与平面的夹角为，求的取值范围． 【切入点】(1) 平面 且 ，故 平面 ，面面垂直得证。(2) 建系设 ：两平面法向量 与 ，（ 时为 0），故 。 【关键】动点在定线段上→参数 一线穿：法向量、夹角全部 化， 的单调看分母的"常数+倒数"结构. 【答案】（1）证明见解析；（2） 变式10（解答·★★★★☆） 如图，在三棱锥中，，，平面，，，分别为棱，上的动点，且. （1）证明：平面平面；（2）若平面与平面所成角为，求的值. 【切入点】(1) ， 平面 ，故 平面 ，平面 平面 。(2) 几何法： 平面 给交线 ，由垂直传递 即二面角的平面角为 ， 为 △PAB 角平分线，面积比 ，故 。 【关键】"动点+定平行"的截面角：线面平行使交线平行于定直线，垂直关系全数传递到平面角——几何法一步到位，坐标法做验算. 【答案】（1）证明见解析；（2） 变式11（多选·★★★★☆） 如图，在棱长为2的正方体中，为的中点，为侧面内的动点（含边界），则下列说法正确的是（ ） A. 使三棱锥体积取得最大值的点唯一 B. 存在点，使得直线与的夹角为 C. 时，点的轨迹是线段 D. 平面时，点的轨迹长为 【切入点】A：到平面 距离最大的点有两个（），错。B： 由介值知存在，对。C： 平面 （ 为 中点），轨迹为线段 ，对。D：三等分点 使 平面 ，轨迹 ，对。选 BCD。 【关键】侧面动点多选的轨迹判据：垂直条件→法平面截侧面得线段；平行条件→构造过定点的平行平面。斜角存在性用"两端角夹住目标角"的介值判断. 【答案】BCD 学科网（北京）股份有限公司 $