第36讲 空间几何体 第1课时 空间几何体专项训练-2027届高三数学一轮复习

**基本信息** 聚焦空间几何体体积计算与结构分析，通过补形、展开、导数等方法体系，构建从基础几何体到组合体的知识逻辑链，培养空间观念与几何直观。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |基础体积计算|3题|圆柱/圆锥体积公式直接应用|从旋转体定义到体积公式推导| |直观图还原|1题|斜二测画法还原规则|直观图与原图的度量关系转换| |组合体补形|2题|补形为长方体/正方体|复杂几何体向基本几何体转化| |最值与动态问题|4题|导数求最值、侧面展开最短路径|几何量与函数关系的建模推理|

第36讲　空间几何体 第1课时　空间几何体 (时间:45分钟) 1.[2026·浙江金华十校联考] 以边长为1的正方形的一条边所在直线为轴旋转一周,得到的几何体的体积为 (　 )　　　　　　 　　　　　　　　　　 A. B.π C.2π D.4π 2.若圆锥的轴截面是一个边长为4的等边三角形,则它的体积为 (　 ) A.π B.8π C.12π D.8π 3.用斜二测画法画出△ABC的直观图△A'B'C',如图所示,其中B'O'=C'O'=1,A'O'=,那么△ABC是一个 (　 ) A.等边三角形 B.直角三角形 C.等腰三角形 D.三边互不相等的三角形 4.[2025·广东茂名一中期中] 一几何体形状如图所示,底面ABCD是边长为4的正方形,△EAB,△FBC,△GCD,△HDA均为正三角形,且它们所在的平面都与平面ABCD垂直,则该几何体的体积为 (　 ) A.20 B. C. D.30 5.[2026·江苏如皋中学期中] 若圆柱的侧面展开图的周长为4,则该圆柱体积的最大值为(　 ) A. B. C. D. 6.已知圆锥的轴截面是正三角形,其内接圆柱的下底面在圆锥底面内,上底面圆在圆锥的侧面上,若圆柱与圆锥的侧面积的比值为,则此圆柱与圆锥的体积的比值为 (　 ) A. B.或 C.或 D.或 7.在三棱锥P-ABC中,已知PA=BC=,PC=AB=,PB=AC=,则该三棱锥的体积为 (　 ) A. B. C. D.3 8.已知圆锥的母线长为4,一个质点从圆锥的底面圆周上一点出发,绕着圆锥侧面运动一周,再回到出发点的最短距离为4,则此圆锥的体积为 (　 ) A. B. C. D. 9.(多选题)[2026·山西晋城模拟] 已知圆锥的顶点为S,AB为底面直径,△SAB是面积为1的直角三角形,则 (　 ) A.该圆锥的母线长为 B.该圆锥的体积为π C.该圆锥的侧面积为π D.该圆锥的侧面展开图的圆心角为π 10.已知正三棱台的上底面边长是下底面边长的一半,侧棱长为2,过侧棱中点且平行于底面的截面的边长为3,则正三棱台的体积为　　　　.  11.[2025·山东日照联考] 降水量是指降落在水平面上单位面积的水层深度(单位:mm).气象学中把24小时内的降水量叫做日降水量.某学生用上口直径为20 cm,底面直径为12 cm,母线长为4 cm的圆台形水桶放置在水平地面上来测量日降水量.某次降雨过程中用此桶接了24小时的雨水,雨水的高度是桶深的,则本次降雨的日降水量是(　 ) A.29.6 mm B.46.3 mm C.63.5 mm D.82.2 mm 12.(多选题)如图,已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为2,E,G分别为CC1,D1C1的中点,F为棱AB上靠近B的三等分点,则下列结论正确的有 (　 ) A.沿正方体表面从A到E的最短距离为 B.若P1为△A1BD内的一动点,则AP1+P1F的最小值为 C.若P2为线段BE上的动点,则P2到底面ABCD的距离与它到点C的距离之和的最小值为 D.若P3是直线A1D1上的动点,则AP3-P3G的最大值为 13.[2026·重庆八中期末] 已知三棱锥S-ABC如图所示,AS,AB,AC两两垂直,且AS=AB=AC=3,点E,F分别是棱AS,BS的中点,点G是棱SC上靠近点C的三等分点,则空间几何体EFG-ABC的体积为　　　　.  14.如图,透明塑料制成的长方体容器ABCD-A1B1C1D1内灌进一些水,固定容器底面一边BC于地面上,再将容器倾斜.随着倾斜度的不同,有下面五个结论: (1)有水的部分始终呈棱柱形; (2)没有水的部分始终呈棱柱形; (3)水面EFGH所在四边形的面积为定值; (4)棱A1D1始终与水面所在平面平行; (5)当容器倾斜如图③所示时,BE·BF是定值. 其中所有正确结论的序号是　　　　.  1.B　[解析] 以边长为1的正方形的一条边所在直线为轴旋转一周,得到的几何体是底面半径为1,高为1的圆柱,其体积V=π×12×1=π.故选B. 2.A　[解析] 因为圆锥的轴截面是一个边长为4的等边三角形,所以圆锥的底面半径r=2,高h==2,所以圆锥的体积V=πr2h=×π×4×2=π.故选A. 3.A　[解析] 根据斜二测画法画出△ABC,如图所示, 由题得OB=OC=1,AO=,则AB=AC=2,故△ABC为等边三角形,故选A. 4.C　[解析] 把该几何体补形为长方体ABCD-A1B1C1D1,如图,由题得A1E=A1H=A1B1=2,AA1===2,所以该几何体的体积为-4=4×4×2-4×××2×2×2=,故选C. 5.A　[解析] 设圆柱的母线长为l,底面半径为r,则l+2πr=2,圆柱的体积V=πr2l=πr2(2-2πr),其中0<r<,故V'=4πr-6π2r2,当0<r<时,V'>0,当<r<时,V'<0,所以V=πr2(2-2πr)在上单调递增,在上单调递减,故Vmax=π=,故选A. 6.C　[解析] 设圆柱的底面半径为r,高为x,圆锥的底面半径为R,由圆锥的轴截面是正三角形,可得圆锥的高为R,如图,由△SO1M∽△SOB,可得=,即=,所以x=(R-r),由题得====,即9-+2=0,解得=或=.又==== 3,所以当=时,=3=;当=时,=3=.故选C. 7.A　[解析] 三棱锥P-ABC可放置在如图所示的长方体中,设长方体的长、宽、高分别为a,b,c,则可得则三棱锥P-ABC的体积为×1×2-4×××1××2=.故选A. 8.A　[解析] 设圆锥的顶点为O,记P是底面圆周上的一点,作出圆锥侧面展开图,如图所示, 因为质点从圆锥的底面圆周上一点出发,绕着圆锥侧面运动一周,再回到出发点的最短距离为4,所以PP'=4,又因为OP=OP'=4,所以OP2+OP'2=PP'2,所以∠POP'=.设圆锥底面半径为r,高为h,则2πr=×4,解得r=1,所以h==,所以圆锥的体积V=πr2h=π×12×=.故选A. 9.ABD　[解析] 设该圆锥的母线长为l,因为△SAB是面积为1的直角三角形,所以l2=1,解得l=,故A正确;设该圆锥的底面圆心为O,连接SO,在△SAB中,SA=SB=,所以AB=2,则圆锥的高SO=1,所以该圆锥的体积V=π×12×1=π,故B正确;该圆锥的侧面积为πrl=π×1×=π,故C错误;设该圆锥的侧面展开图的圆心角为α,则α=2π×1,所以α=π,故D正确.故选ABD. 10.　[解析] 如图,延长三棱台ABC-A1B1C1的侧棱交于一点O,可以得到正三棱锥O-ABC, 设三棱台的上底面边长为x,则下底面边长为2x,由题得=3,解得x=2,则正三棱锥O-ABC的侧棱长为4,过点O作OP⊥平面ABC,交平面A1B1C1于点E,记BC的中点为H,连接AH,则AP=AH=×2=,故三棱锥O-ABC的高OP==,所以三棱台的体积V=×××42×=. 11.A　[解析] 如图所示,AB=20 cm,CD=12 cm,BD=4 cm,过点D作DP⊥AB于点P,E,F分别为下底面与上底面的圆心,连接EF,设AC,BD的中点分别为M,N,连接MN,分别交EF,DP于点G,H,作出以线段MN为直径,且平行于底面的圆.则DP=EF,EP=DF=6 cm,BP==4 cm,则桶的深度DP==12(cm),故雨水的高度DH=6 cm,易知HN=BP=2 cm,故GN=GH+HN=6+2=8 (cm),则雨水的体积V=(π×82+π×62+)×6=296π(cm3),圆台形水桶的上口直径为20 cm,面积为π×102=100π(cm2),故本次降雨的日降水量是=2.96 (cm),故为29.6 mm. 12.BCD　[解析] 对于A,将正方体的面ABCD沿BC展开,使其与面BCC1B1在同一平面内,此时AE==<,故A错误;对于B,连接AC1,如图,易知AC1⊥平面A1BD,且A到平面A1BD的距离为AC1,所以A关于平面A1BD的对称点A'为线段AC1上靠近C1的三等分点,连接A'F,BC1,则==,所以A'F=BC1=,AP1+P1F=A'P1+P1F≥A'F=,当且仅当P1为A'F与平面A1BD的交点时取等号,故B正确;对于C,设C关于直线BE的对称点为C',P2到平面ABCD的距离显然等于P2到直线BC的距离d,设C'H⊥BC,垂足为H,那么d+P2C=d+P2C'≥C'H,当且仅当P2为C'H与BE的交点时取等号,C'H=CC'· sin∠HCC'=CC1·sin∠BEC·sin∠BEC=2××=,故C正确; 对于D,连接B1G,显然P3A=P3B1,所以AP3-P3G=P3B1-P3G≤B1G=,当且仅当P3为直线B1G与直线A1D1的交点时取等号,故D正确.故选BCD. 13.　[解析] 过点G作GH∥AC,交SA于点H,因为AC⊥SA,AC⊥AB,AB∩AS=A,AB,AS⊂平面SAB,所以AC⊥平面SAB,所以GH⊥平面SAB,且==,因此GH=AC=2,因为F,E分别为BS,AS的中点,所以S△SEF=××=,所以VG-SEF=S△SEF·GH=××2=,又VC-SAB=S△SAB·AC=××33=,所以VEFG-ABC=VC-SAB-VG-SEF=-=. 14.(1)(2)(4)(5)　[解析] 因为平面ABB1A1∥平面CDD1C1,所以有水的部分和无水的部分始终有两个面平行,易知其余各面都是平行四边形,故(1),(2)正确;在题图①中,水面面积S1=EF·FG=EF·BC,在题图③中,水面面积S2=EF·BC,易知题图①中的EF小于题图③中的EF,所以S1<S2,故(3)错误;因为棱A1D1始终与BC平行,BC与水面始终平行,故(4)正确;因为水的体积是不变的,形成柱体的高始终是BC,也不变,所以△EFB的面积也不变,即BE·BF是定值,所以(5)正确.故填(1)(2)(4)(5). 学科网（北京）股份有限公司 $