第三章 专题02 函数的概念专项训练（8大题型39题）-2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修第一册

高中数学·题型专项训练系列 专题02 函数的概念（8大题型39题）（解析版） 高一数学上学期 人教A版（2019） 题型归纳 · 内容导航 题型一　函数概念的理解与函数关系的判断（常考点） 题型二　同一个函数的判断（常考点） 题型三　具体函数的定义域（重点） 题型四　抽象函数与复合函数的定义域（难点） 题型五　已知定义域求参数（难点） 题型六　求函数值（常考点） 题型七　函数的值域（重点） 题型八　函数中的新定义问题（拔高） 题型通关 · 靶向提分 题型一　函数概念的理解与函数关系的判断（共3小题） 【知识积累】 函数的定义：设 是非空的实数集，如果对于集合 中的任意一个数 ，按照某种确定的对应关系 ，在集合 中都有唯一确定的数 和它对应，就称 为从集合 到集合 的一个函数。 判断要点：“ 中每个元素都要有对应”“对应的值唯一”“对应值在 中”，三条缺一不可；图象上看，任意一条垂直于 轴的直线与图象至多有一个交点。 【典例】 1．已知集合，下列对应关系中，从到的函数为（　　）（26-27高一上·江苏·期中） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据函数的概念逐一判断即可. 【详解】对于A，当时，对应的不属于集合B，所以A错误； 对于B，当时，对应的不属于集合B，所以B错误； 对于C，当时，对应的分别为，所以C正确； 对于D，当时，对应的不属于集合B，所以D错误. 【变式训练】 2．下列两个集合间的对应中，是到的函数的有（　　）（26-27高一上·全国·课后作业） A．，，： A中数的平方 B．，，：A中的数的开方 C．，，：A中的数的倒数 D．，，：A中的数的2倍 【答案】AD 【详解】选项A，集合中的每一个元素，在集合中都有唯一确定的元素与之对应，可构成函数关系； 选项B，对于集合中元素，在集合B中有两个元素与之对应，因此不是函数关系； 选项C，中元素的倒数没有意义，在集合中没有元素与之对应，因此不是函数关系； 选项D，集合中的每一个元素，在集合中都有唯一确定的元素与之对应，可构成函数关系． 3．下列给出的图形中，不可能作为函数图像的是（    ）（26-27高一上·福建泉州·开学考试） A．一条垂直于轴的直线（如 ） B．一个以原点为圆心的标准圆（如 ） C．开口向右的抛物线（如 ） D．一条不垂直于轴的倾斜直线（如 ） 【答案】ABC 【分析】根据函数的定义判断即可. 【详解】对于A，当时，有无穷多个值与之对应，一个值对应无数个值，不满足函数定义，不可能作为函数图象. 对于B，当时，代入解得，一个值对应两个值，不满足函数定义，不可能作为函数图象. 对于C，当时，代入解得，一个值对应两个值，不满足函数定义，不可能作为函数图象. 对于D，任取一个值，有唯一确定的值与之对应，可以作为函数图象. 题型二　同一个函数的判断（共5小题） 【知识积累】 三要素：定义域、对应关系、值域；值域由定义域和对应关系决定。 判断方法：两个函数的定义域相同且对应关系完全一致，才是同一个函数，与表示自变量的字母无关。先求定义域，再化简解析式比较对应关系，化简时注意 、 要求 等。 【典例】 4．下列各组函数是同一个函数的是（    ）（26-27高一上·广西·期中） A．与 B．与 C．与 D．与 【答案】C 【分析】分别判断两个函数的定义域和对应关系是否相同即可. 【详解】对于A，的定义域为，的定义域为，故与不是同一个函数，错误； 对于B，的定义域为，的定义域为，故与不是同一个函数，错误； 对于C，与的定义域均为，对应关系相同，故与是同一个函数，正确； 对于D，的定义域为，的定义域为，故与不是同一个函数，错误. 【变式训练】 5．下列函数中，与相同的函数是（    ）（26-27高三上·宁夏银川·开学考试） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】求出各选项函数的定义域，并对解析式进行化简，要求所选函数的定义域和解析式都与函数的定义域和解析式一致，可得出正确的选项. 【详解】对于A，函数的定义域为，其解析式与函数的解析式不一致，两个函数不是同一函数； 对于B，函数的定义域为，和函数的定义域不一致，两个函数不是同一函数； 对于C，函数的定义域为，其解析式与函数的解析式一致，两个函数是同一函数； 对于D，函数的定义域为，和函数的定义域不一致，两个函数不是同一函数. 6．下列各组函数是同一函数的是（    ）（26-27高三上·黑龙江哈尔滨·开学考试） A．与 B．与 C．与 D．与 【答案】C 【分析】根据同一函数需同时满足定义域相同、对应法则相同的判定准则，逐一分析各选项的两组函数即可得出结论. 【详解】选项A：与的定义域均为，但对应法则不同，故不是同一函数. 选项B：的定义域为，的定义域为，二者定义域不同，故不是同一函数. 选项C：与的定义域均为，对应法则也完全一致，故是同一函数. 选项D：的定义域为，的定义域为，二者定义域不同，故不是同一函数. 7．下列各组函数是同一函数的是（    ）（25-26高一上·广西玉林·期中） A．与 B．与 C．与 D．与 【答案】AC 【分析】根据两个函数的定义域与对应关系是否相同进行判断. 【详解】选项A：两函数的定义域均为，对应关系也相同，是同一函数. 选项B：的定义域为，的定义域为，定义域不相同，两函数不是同一函数. 项C：由可知两函数是同一函数. 选项D：由，可知两函数对应关系不相同，不是同一函数. 8．判断下列各组函数是否是相等函数．（26-27高一上·全国·课堂例题） (1)； (2)， . 【答案】(1)是 (2)不是 【详解】（1）由题知的定义域均为，且对应关系相同， 所以是相等函数． （2）∵的定义域为， 的定义域为或， 显然两个函数的定义域不同， ∴与不是相等函数． 题型三　具体函数的定义域（共8小题） 【知识积累】 常见限制条件：分母不为 ；偶次根式的被开方数 ； 中 ；实际问题还要符合实际意义。 求法：列出使解析式有意义的所有条件，组成不等式组求交集，结果写成集合或区间形式。 【典例】 9．函数的定义域为（    ）（26-27高一上·广西·期中） A．且 B．且 C． D．且 【答案】D 【详解】由题意得 ，解得且，故D正确. 【变式训练】 10．函数的定义域为（    ）（26-27高一上·广西桂林·阶段检测） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由题意得，解得，故定义域为 11．函数的定义域为（    ）（26-27高一上·广东·期中） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由 得且. 所以函数的定义域为． 12．函数的定义域是（ ）（26-27高一上·海南·期中） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】因为函数有意义，所以， 解得． 13．函数的定义域为（    ）（25-26高一上·广西玉林·期中） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由题意可得，解得且， 所以函数的定义域为． 14．函数的定义域为（   ）（2026高三·全国·专题练习） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据具体函数定义域的求法求解即可. 【详解】由条件可得：， 所以的定义域为． 15．函数的定义域为_________．（26-27高三上·天津滨海新区·阶段检测） 【答案】 【详解】由解析式知，可得且， 所以函数的定义域为. 16．求下列函数的定义域．（26-27高一上·全国·课堂例题） (1)； (2). 【答案】(1) (2)且 【详解】（1）要使此函数有意义，应满足，即，所以此函数的定义域是. （2）要使此函数有意义，则，且， 所以的定义域为且． 题型四　抽象函数与复合函数的定义域（共6小题） 【知识积累】 核心：定义域永远指自变量 的取值范围；同一个 作用下，括号内整体的取值范围相同。 已知 的定义域为 ，求 的定义域：解 。 已知 的定义域为 ，求 的定义域：求 时 的取值范围。 【典例】 17．设函数的定义域为，则函数的定义域为（    ）（26-27高一上·黑龙江吉林·期中） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据抽象函数的定义域求解即可. 【详解】由，解得：，所以函数的定义域为． 【变式训练】 18．若函数的定义域为，则函数的定义域为（    ）（26-27高一上·广东·期中） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】因为函数的定义域为， 对于函数，有或，解得或. 故函数的定义域为． 19．已知函数的定义域为，则函数的定义域为（　　）（26-27高一上·辽宁·期中） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由已知函数定义域求得的定义域，再由在的定义域内求得的范围即可得答案． 【详解】函数的定义域为，即， ，则的定义域为， 由，得． 的定义域为． 20．已知的定义域为，则定义域为（    ）（25-26高二下·河北沧州·期末） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】因为的定义域为， 所以由 . 所以函数的定义域为. 21．已知函数的定义域是，则的定义域是（    ）（26-27高三上·陕西榆林·阶段检测） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】因为函数的定义域是，即，所以， 所以的定义域为， 所以函数的定义域满足，得， 所以函数的定义域为. 22．已知函数的定义域为，则函数的定义域为________．（26-27高一上·广东揭阳·开学考试） 【答案】 【详解】因为函数的定义域为，所以， 即的作用对象的取值范围为， 所以，解得， 即函数的定义域为. 题型五　已知定义域求参数（共4小题） 【知识积累】 定义域为 的转化：如 的定义域为 ，即 对任意实数 恒成立。 注意分类讨论：先讨论二次项系数 的情形，再讨论 时开口方向与判别式 。 【典例】 23．函数的定义域为，则实数的取值范围是（     ）（26-27高一上·河南开封·阶段检测） A． B． C．或 D．或 【答案】B 【详解】由题设有对一切实数恒成立， 若，恒成立， 若，则，故， 综上，. 【变式训练】 24．若函数的定义域为，则实数的取值范围是（ ）（26-27高一上·辽宁·期中） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由题可得在上恒成立. 当时，则不等式可化为，在上恒成立； 当时，由在上恒成立，可得， 解得. 综上可知. 25．若函数f (x)＝的定义域为，则实数a＝________．（25-26高三下·甘肃金昌·阶段检测） 【答案】 【分析】根据函数定义域的成立条件，联立偶次根式被开方数非负、分母不为零的约束，结合给定定义域的端点确定参数的值. 【详解】要使函数有意义，需同时满足： 偶次根式的被开方数非负：，解得； 分母不为零：，即. 已知函数的定义域为，说明上述两个约束的解集交集为，因此根式约束的下界需等于定义域左端点，即，解得； 此时需满足，可保证时自动满足，完全符合定义域要求，故. 26．若函数 的定义域为，则实数的取值范围是________.（24-25高一上·广东深圳·期中） 【答案】 【分析】将问题转化为对任意都恒成立. 【详解】函数 的定义域为，则对任意恒成立， 当时，不是恒成立， 当时，则,解得：， 所以实数的取值范围是. 题型六　求函数值（共5小题） 【知识积累】 直接代入：求 就把解析式中的 换成 ；求 要由内到外逐层计算。 整体代入：已知 的表达式求 ，令 解出 再代入；抽象函数常用赋值法。 【典例】 27．已知，则（    ）（26-27高一上·江苏镇江·阶段检测） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用代入法进行求解即可. 【详解】因为， 所以. 【变式训练】 28．已知函数，则（    ）（25-26高二下·河北承德·期末） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】令，则． 29．已知函数，则______．（26-27高一上·重庆·阶段检测） 【答案】2026 【分析】先求出的值，再代入求出的值即可. 【详解】由题可得， 则. 30．已知函数，则________．（26-27高三上·重庆·开学考试） 【答案】19 【详解】由，得， 所以. 31．已知定义域为的函数对任意的都有恒成立，且，则等于（   ）（2026高三·全国·专题练习） A．1 B．62 C．64 D．83 【答案】D 【分析】先应用已知得出函数值关系，再结合多次应用计算求解. 【详解】由得，计算得，因此， 题型七　函数的值域（共5小题） 【知识积累】 常见方法：观察法（一次、反比例函数）；配方法（二次函数，注意定义域区间与对称轴的位置）；分离常数法（分式型）；换元法（根式型，换元后注意新变量的范围）；平方法（和差根式）。 提醒：求值域一定先确定定义域。 【典例】 32．下列函数中，值域为的是（    ）（26-27高一上·北京·期中） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】逐个对每个函数的值域分析求解，即可得答案. 【详解】对于A,由于,所以,所以的值域为,不合题意; 对于B,的值域为,不合题意; 对于C,由于,所以的值域为,符合题意; 对于D,由于,所以 ,此函数的值域为,不符合题意. 【变式训练】 33．函数的值域为（   ）（26-27高一上·全国·课后作业） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用分离常数法将原函数变形为，再根据自变量的条件逐步推导出最终的值域. 【详解】由题意得， 因为，所以，所以，所以，所以， 即函数的值域为． 34．函数的值域为__________．（25-26高二下·云南曲靖·期末） 【答案】 【分析】利用换元法、配方法，结合反比例函数的性质进行求解即可. 【详解】令， 因为函数在上单调递减， 所以，且， 所以函数的值域为. 35．求下列函数的值域：（26-27高一上·全国·课堂例题） (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）因为，所以，即函数的值域为. （2）， 因为，所以的图象如图所示， 所以，当时，函数取得最小值； 所以的值域为. 36．设函数．求函数的值域；（26-27高一上·全国·课后作业） 【答案】 【分析】将平方后可求解. 【详解】由题意知，函数的定义域是， 因为， 由，解得， 所以函数的值域为． 题型八　函数中的新定义问题（共3小题） 【知识积累】 解题思路：读懂新定义，把它“翻译”成熟悉的方程、不等式或函数值计算；如不动点即方程 的实数根。 【典例】 37．若满足的称为函数的不动点，求函数的不动点.（2026高一上·全国·专题练习） 【答案】，1 【分析】先根据不动点定义联立方程组，消元得到一元方程，再求解方程组得到交点坐标，交点的横坐标即为函数的不动点. 【详解】的解为，，故函数有两个不动点，1. 【变式训练】 38．对实数定义运算，满足对任意实数，有，则（   ）（2026高一上·全国·专题练习） A．22 B． C．4022 D． 【答案】B 【分析】利用赋值法，结合题给运算性质推导出该新运算的表达式，再代入数值计算。 【详解】因为，令，则， 故，令，故， 所以． 所以． 39．定义（其中表示不小于的最小整数）为“向上取整函数”．例如 ，，．以下描述正确的是（   ）（26-27高三上·甘肃天水·阶段检测） A． B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】BD 【分析】根据函数新定义进行判断. 【详解】对于A，，，A错误； 对于B，由定义，若，则，所以时，，B正确； 对于C，由得，即或， 当时，，当时，，综上，C错误； 对于D，设，则，，则， 即，则 ，D正确. 第1页 共1页 学科网（北京）股份有限公司 $高中数学·题型专项训练系列 专题02 函数的概念（8大题型39题）（原卷版） 高一数学上学期 人教A版（2019） 题型归纳 · 内容导航 题型一　函数概念的理解与函数关系的判断（常考点） 题型二　同一个函数的判断（常考点） 题型三　具体函数的定义域（重点） 题型四　抽象函数与复合函数的定义域（难点） 题型五　已知定义域求参数（难点） 题型六　求函数值（常考点） 题型七　函数的值域（重点） 题型八　函数中的新定义问题（拔高） 题型通关 · 靶向提分 题型一　函数概念的理解与函数关系的判断（共3小题） 【知识积累】 函数的定义：设 是非空的实数集，如果对于集合 中的任意一个数 ，按照某种确定的对应关系 ，在集合 中都有唯一确定的数 和它对应，就称 为从集合 到集合 的一个函数。 判断要点：“ 中每个元素都要有对应”“对应的值唯一”“对应值在 中”，三条缺一不可；图象上看，任意一条垂直于 轴的直线与图象至多有一个交点。 【典例】 1．已知集合，下列对应关系中，从到的函数为（　　）（26-27高一上·江苏·期中） A． B． C． D． 【变式训练】 2．下列两个集合间的对应中，是到的函数的有（　　）（26-27高一上·全国·课后作业） A．，，： A中数的平方 B．，，：A中的数的开方 C．，，：A中的数的倒数 D．，，：A中的数的2倍 3．下列给出的图形中，不可能作为函数图像的是（    ）（26-27高一上·福建泉州·开学考试） A．一条垂直于轴的直线（如 ） B．一个以原点为圆心的标准圆（如 ） C．开口向右的抛物线（如 ） D．一条不垂直于轴的倾斜直线（如 ） 题型二　同一个函数的判断（共5小题） 【知识积累】 三要素：定义域、对应关系、值域；值域由定义域和对应关系决定。 判断方法：两个函数的定义域相同且对应关系完全一致，才是同一个函数，与表示自变量的字母无关。先求定义域，再化简解析式比较对应关系，化简时注意 、 要求 等。 【典例】 4．下列各组函数是同一个函数的是（    ）（26-27高一上·广西·期中） A．与 B．与 C．与 D．与 【变式训练】 5．下列函数中，与相同的函数是（    ）（26-27高三上·宁夏银川·开学考试） A． B． C． D． 6．下列各组函数是同一函数的是（    ）（26-27高三上·黑龙江哈尔滨·开学考试） A．与 B．与 C．与 D．与 7．下列各组函数是同一函数的是（    ）（25-26高一上·广西玉林·期中） A．与 B．与 C．与 D．与 8．判断下列各组函数是否是相等函数．（26-27高一上·全国·课堂例题） (1)； (2)， . 题型三　具体函数的定义域（共8小题） 【知识积累】 常见限制条件：分母不为 ；偶次根式的被开方数 ； 中 ；实际问题还要符合实际意义。 求法：列出使解析式有意义的所有条件，组成不等式组求交集，结果写成集合或区间形式。 【典例】 9．函数的定义域为（    ）（26-27高一上·广西·期中） A．且 B．且 C． D．且 【变式训练】 10．函数的定义域为（    ）（26-27高一上·广西桂林·阶段检测） A． B． C． D． 11．函数的定义域为（    ）（26-27高一上·广东·期中） A． B． C． D． 12．函数的定义域是（ ）（26-27高一上·海南·期中） A． B． C． D． 13．函数的定义域为（    ）（25-26高一上·广西玉林·期中） A． B． C． D． 14．函数的定义域为（   ）（2026高三·全国·专题练习） A． B． C． D． 15．函数的定义域为_________．（26-27高三上·天津滨海新区·阶段检测） 16．求下列函数的定义域．（26-27高一上·全国·课堂例题） (1)； (2). 题型四　抽象函数与复合函数的定义域（共6小题） 【知识积累】 核心：定义域永远指自变量 的取值范围；同一个 作用下，括号内整体的取值范围相同。 已知 的定义域为 ，求 的定义域：解 。 已知 的定义域为 ，求 的定义域：求 时 的取值范围。 【典例】 17．设函数的定义域为，则函数的定义域为（    ）（26-27高一上·黑龙江吉林·期中） A． B． C． D． 【变式训练】 18．若函数的定义域为，则函数的定义域为（    ）（26-27高一上·广东·期中） A． B． C． D． 19．已知函数的定义域为，则函数的定义域为（　　）（26-27高一上·辽宁·期中） A． B． C． D． 20．已知的定义域为，则定义域为（    ）（25-26高二下·河北沧州·期末） A． B． C． D． 21．已知函数的定义域是，则的定义域是（    ）（26-27高三上·陕西榆林·阶段检测） A． B． C． D． 22．已知函数的定义域为，则函数的定义域为________．（26-27高一上·广东揭阳·开学考试） 题型五　已知定义域求参数（共4小题） 【知识积累】 定义域为 的转化：如 的定义域为 ，即 对任意实数 恒成立。 注意分类讨论：先讨论二次项系数 的情形，再讨论 时开口方向与判别式 。 【典例】 23．函数的定义域为，则实数的取值范围是（     ）（26-27高一上·河南开封·阶段检测） A． B． C．或 D．或 【变式训练】 24．若函数的定义域为，则实数的取值范围是（ ）（26-27高一上·辽宁·期中） A． B． C． D． 25．若函数f (x)＝的定义域为，则实数a＝________．（25-26高三下·甘肃金昌·阶段检测） 26．若函数 的定义域为，则实数的取值范围是________.（24-25高一上·广东深圳·期中） 题型六　求函数值（共5小题） 【知识积累】 直接代入：求 就把解析式中的 换成 ；求 要由内到外逐层计算。 整体代入：已知 的表达式求 ，令 解出 再代入；抽象函数常用赋值法。 【典例】 27．已知，则（    ）（26-27高一上·江苏镇江·阶段检测） A． B． C． D． 【变式训练】 28．已知函数，则（    ）（25-26高二下·河北承德·期末） A． B． C． D． 29．已知函数，则______．（26-27高一上·重庆·阶段检测） 30．已知函数，则________．（26-27高三上·重庆·开学考试） 31．已知定义域为的函数对任意的都有恒成立，且，则等于（   ）（2026高三·全国·专题练习） A．1 B．62 C．64 D．83 题型七　函数的值域（共5小题） 【知识积累】 常见方法：观察法（一次、反比例函数）；配方法（二次函数，注意定义域区间与对称轴的位置）；分离常数法（分式型）；换元法（根式型，换元后注意新变量的范围）；平方法（和差根式）。 提醒：求值域一定先确定定义域。 【典例】 32．下列函数中，值域为的是（    ）（26-27高一上·北京·期中） A． B． C． D． 【变式训练】 33．函数的值域为（   ）（26-27高一上·全国·课后作业） A． B． C． D． 34．函数的值域为__________．（25-26高二下·云南曲靖·期末） 35．求下列函数的值域：（26-27高一上·全国·课堂例题） (1)； (2)． 36．设函数．求函数的值域；（26-27高一上·全国·课后作业） 题型八　函数中的新定义问题（共3小题） 【知识积累】 解题思路：读懂新定义，把它“翻译”成熟悉的方程、不等式或函数值计算；如不动点即方程 的实数根。 【典例】 37．若满足的称为函数的不动点，求函数的不动点.（2026高一上·全国·专题练习） 【变式训练】 38．对实数定义运算，满足对任意实数，有，则（   ）（2026高一上·全国·专题练习） A．22 B． C．4022 D． 39．定义（其中表示不小于的最小整数）为“向上取整函数”．例如 ，，．以下描述正确的是（   ）（26-27高三上·甘肃天水·阶段检测） A． B．若，则 C．若，则 D．若，则 第1页 共1页 学科网（北京）股份有限公司 $