第6讲 不等式的性质 专项训练-2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修第一册

第6讲 不等式的性质 一、知识讲解 1、比较大小的基本方法（①③必考、很重要） 关系 方法 ①作差法与0比较 ②作商法与1比较 ③特殊值法 或 可以用简单的赋值，来快速解决小题 或 2．不等式的性质 (1)对称性：如果a>b，那么b<a；如果b<a，那么a>b.即a>b⇔b<a. (2)传递性：如果a>b，b>c，那么a>c.即a>b，b>c⇒a>c. (3)可加性：如果a>b，那么a＋c>b＋c. (4)可乘性：如果a>b，c>0，那么ac>bc；如果a>b，c<0，那么ac<bc. (5)同向可加性：如果a>b，c>d，那么a＋c>b＋d. (6)同向同正可乘性：如果a>b>0，c>d>0，那么ac>bd. (7)同正可乘方性：如果a>b>0，那么an>bn(n∈N，n≥2)． 3．不等式的两类常用性质（糖水不等式常考、很重要） (1)倒数性质 ①a>b，ab>0⇒； ②a<b<0⇒； ③a>b>0，0<c<d⇒； ④0<a<x<b或a<x<b<0⇒． (2)有关分数的性质 若a>b>0，m>0，则: ①真分数的性质：；【也称为糖水不等式】 ②假分数的性质：. 二、必过题型 【题型一 作差法、无理化、特殊值比大小】 1．（25-26高一上·黑龙江）若，，则（    ） A． B． C． D． 【详解】因为，所以．故选：C. 2.（ 2026高二下·全国）已知c＞1，且x＝－，y＝－，则x，y之间的大小关系是（    ） A．x＞y B．x＝y C．x＜y D．x，y的关系随c而定 【解答过程】由题设，易知x，y＞0，又，∴x＜y.故选：C. 3.（25-26高二下·河北沧州·期末）已知，记，，则（   ） A． B． C． D．以上都有可能 【答案】C【详解】由， 因为，所以，，所以，即. 4．（25-26高一上·辽宁）设，，，则的大小顺序是______.（用“”连接） 【详解】， ，故. 5.（25-26高一下·湖南）设，，，则a，b，c的大小关系为（   ） A． B． C． D． 【详解】，， 因为，所以，所以，因此， 因为，所以，即. 6．（25-26高二上·湖南期末）已知，，（，），判定，，的大小关系. 【详解】∵，， ∴. 7.（25-26高一上·江苏·期中）已知非零实数，，用作差法比较讨论：与的大小关系. 【答案】当时，；当时，；当时，. 【详解】， 当时，，所以，即， 当时，，所以，即， 当时，，所以，即， 综上，当时，；当时，；当时，. 8.（25-26高一上·黑龙江）已知 ，求证：； 【详解】，且，所以且，即； 【题型二 应用题中的数量关系】 9．（25-26高二下·芜湖期末）记小明走路去学校的速度为，跑步去学校的速度为，方式一为一半的路程走路，一半的路程跑步，方式二为一半的时间走路，一半的时间跑步，则（    ） A．方式二比方式一先到学校 B．方式一比方式二先到学校 C．两种方式到学校的时间一样 D．无法确定哪种方式先到学校 【详解】设方式一用时间为，方式二用时间为，小明到学校的距离为， 则，得到， 则，得到，故方式二比方式一先到学校． 10．（2026高一·全国）某商人如果将进货单价为8元的商品按每件10元销售，每天可销售100件，现在他采用提高售价，减少进货量的办法增加利润.已知这种商品的售价每提高1元，销售量就相应减少10件.若把提价后商品的售价设为x元，用x表示每天的利润不低于300元的不等关系为______. 【详解】提价后商品的售价为元，则提高了元，销售量减少了件， 则利润为元（），则，化简得. 销售量为非负，结合提价要求得，故. 【题型三 不等式的性质】 11.（25-26高一上·上海-多选）在a克的糖水中含有b克的糖（），再添加少许的糖m克（），全部溶解后糖水更甜了，由此得糖水不等式，若，则（    ） A．若，则 B．若，则 C． D．当时，． 【详解】由，则，若， 若，则，故； 若，则，故；由题设，结合不等式性质显然有；故选：ABC 12．（25-26高一上·全国）设，，，证明：． 【详解】由题意知，，，则有，，，① ，，， 所以． 又根据①的结论可知，，， 所以．综上所述，. 13.（25-26高一上·贵州）已知（）克糖水中含有（）克糖，向杯中再添加（）克糖（全部溶解），糖水变甜了.这其中蕴含着著名的“糖水不等式”. (1)请将上述事实表示为一个不等式，并证明该不等式成立； (2)已知，，是三角形的三边，求证：. 【详解】（1）“糖水不等式”为：实数，则， 由，得，所以. （2）由（1）及，，是三角形的三边，得，则， 同理，所以. 14.（25-26高二下·天津）设，则“”是“且”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【详解】由题意得，，时满足，但不满足且. 当且时，可得，因此“”是“且”是必要不充分条件. 15．（25-26高一上·安徽·期末）已知为实数，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【解答过程】若，则，即充分性成立； 若，则，即，即 ，所以，即必要性成立.故选：C. 16．（25-26高一上·广东）（多选）已知a，b，c，，且，则下列不等式一定成立的是（    ） A． B． C． D． 【详解】因为，不妨令，，，.则，，，A错误；，，，C错误； 因为，所以，又因为，利用同向不等式可加性得，B正确； 因为，所以，利用同向同正不等式可乘性，所以，D正确；故选：BD 17.（多选）（25-26高二下·江西南昌·期末）下列命题为真命题的是（    ） A．若，则 B．若，，则 C．若，，则 D．若，，则 【答案】BC【详解】对于Ａ选项，取，，则，A不正确. 对于Ｂ选项，因为，所以，因为，所以，B正确. 对于Ｃ选项，因为，，所以，则正确. 对于Ｄ选项，取，，，则，故D不正确. 18.（25-26高二下·山东泰安·期末）已知实数，，，则（   ） A．若，则 B．若，，则 C．若，则 D．若，，则 【详解】当时，满足，但，选项错误； 若，则，又，则，选项错误； 若，则，，但不能推出，选项错误； 由得，若，则，，选项正确. 19.（25-26高一下·浙江）给出下列命题，其中是真命题的是（    ） A．若,则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】D【详解】选项A：. 又，即，即，错误. 选项B：当时，满足，，错误. 选项C：当时，，错误. 选项D：， 代入，原式.正确. 20.（多选）（25-26高一上·河南）已知实数，满足，，则( ). A. B. C. D. 【解析】实数，满足，，由不等式的同向可加性和同向同正可乘性，得，，故，正确；由，得，故错误；由，得，故正确.故选. 21．（多选）（25-26高二下·陕西）已知实数满足，则（    ） A． B． C． D． 【详解】A选项，，相加得，故，A正确； B选项，，相加得，故，B正确； C选项，设， 故，解得，所以， 故，相加得，即，C错误； D选项，设， 故，解得，故，， 相加得，，D错误.故选：AB 1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 第6讲 不等式的性质 一、知识讲解 1、比较大小的基本方法（①③必考、很重要） 关系 方法 ①作差法与0比较 ②作商法与1比较 ③特殊值法 或 可以用简单的赋值，来快速解决小题 或 2．不等式的性质 (1)对称性：如果a>b，那么b<a；如果b<a，那么a>b.即a>b⇔b<a. (2)传递性：如果a>b，b>c，那么a>c.即a>b，b>c⇒a>c. (3)可加性：如果a>b，那么a＋c>b＋c. (4)可乘性：如果a>b，c>0，那么ac>bc；如果a>b，c<0，那么ac<bc. (5)同向可加性：如果a>b，c>d，那么a＋c>b＋d. (6)同向同正可乘性：如果a>b>0，c>d>0，那么ac>bd. (7)同正可乘方性：如果a>b>0，那么an>bn(n∈N，n≥2)． 3．不等式的两类常用性质（糖水不等式常考、很重要） (1)倒数性质 ①a>b，ab>0⇒； ②a<b<0⇒； ③a>b>0，0<c<d⇒； ④0<a<x<b或a<x<b<0⇒． (2)有关分数的性质 若a>b>0，m>0，则: ①真分数的性质：；【也称为糖水不等式】 ②假分数的性质：. 二、必过题型 【题型一 作差法、无理化、特殊值比大小】 1．（25-26高一上·黑龙江）若，，则（    ） A． B． C． D． 2.（ 2026高二下·全国）已知c＞1，且x＝－，y＝－，则x，y之间的大小关系是（    ） A．x＞y B．x＝y C．x＜y D．x，y的关系随c而定 3.（25-26高二下·河北沧州·期末）已知，记，，则（   ） A． B． C． D．以上都有可能 4．（25-26高一上·辽宁）设，，，则的大小顺序是______.（用“”连接） 5.（25-26高一下·湖南）设，，，则a，b，c的大小关系为（   ） A． B． C． D． 6．（25-26高二上·湖南期末）已知，，（，），判定，，的大小关系. 7.（25-26高一上·江苏·期中）已知非零实数，，用作差法比较讨论：与的大小关系. 8.（25-26高一上·黑龙江）已知 ，求证：； 【题型二 应用题中的数量关系】 9．（25-26高二下·芜湖期末）记小明走路去学校的速度为，跑步去学校的速度为，方式一为一半的路程走路，一半的路程跑步，方式二为一半的时间走路，一半的时间跑步，则（    ） A．方式二比方式一先到学校 B．方式一比方式二先到学校 C．两种方式到学校的时间一样 D．无法确定哪种方式先到学校 10．（2026高一·全国）某商人如果将进货单价为8元的商品按每件10元销售，每天可销售100件，现在他采用提高售价，减少进货量的办法增加利润.已知这种商品的售价每提高1元，销售量就相应减少10件.若把提价后商品的售价设为x元，用x表示每天的利润不低于300元的不等关系为______. 【题型三 不等式的性质】 11.（25-26高一上·上海-多选）在a克的糖水中含有b克的糖（），再添加少许的糖m克（），全部溶解后糖水更甜了，由此得糖水不等式，若，则（    ） A．若，则 B．若，则 C． D．当时，． 12．（25-26高一上·全国）设，，，证明：． 13.（25-26高一上·贵州）已知（）克糖水中含有（）克糖，向杯中再添加（）克糖（全部溶解），糖水变甜了.这其中蕴含着著名的“糖水不等式”. (1)请将上述事实表示为一个不等式，并证明该不等式成立； (2)已知，，是三角形的三边，求证：. 14.（25-26高二下·天津）设，则“”是“且”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 15．（25-26高一上·安徽·期末）已知为实数，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 16．（25-26高一上·广东）（多选）已知a，b，c，，且，则下列不等式一定成立的是（    ） A． B． C． D． 17.（多选）（25-26高二下·江西南昌·期末）下列命题为真命题的是（    ） A．若，则 B．若，，则 C．若，，则 D．若，，则 18.（25-26高二下·山东泰安·期末）已知实数，，，则（   ） A．若，则 B．若，，则 C．若，则 D．若，，则 19.（25-26高一下·浙江）给出下列命题，其中是真命题的是（    ） A．若,则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 20.（多选）（25-26高一上·河南）已知实数，满足，，则( ). A. B. C. D. 21．（多选）（25-26高二下·陕西）已知实数满足，则（    ） A． B． C． D． 1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $