精品解析：山西太原市第十二中学2026-2027学年九年级上学期9月学情自测数学试题

初三年级第一次数学练习 一、选择题（每空3分，共30分） 1. 下列关于的方程中，一定属于一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的概念， 根据一元二次方程的定义求解即可，熟练掌握其概念是解决此题的关键． 【详解】A、该方程的未知数的二次项系数是，当时不是一元二次方程，故本选项错误，不符合题意； B、该方程符合一元二次方程的定义，故本选项正确，符合题意； C、该方程是分式方程，不是一元二次方程，故本选项错误，不符合题意； D、该方程有两个未知数，该方程不是一元二次方程，故本选项错误，不符合题意； 故选：B． 2. 要判断一个四边形门框是否为矩形．在下面拟定的四个方案中，正确的方案是（ ） A. 测量对角线是否互相平分 B. 测量两组对边是否分别相等 C. 测量对角线是否互相垂直 D. 测量其中三个角是否是直角 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了矩形的判定，解题的关键是熟记矩形的判定定理，并会灵活运用． 根据矩形的判定定理判断即可． 【详解】解：选项A：对角线互相平分得到该四边形是平行四边形，不一定是矩形，故A错误，不符合题意； 选项B：两组对边分别相等得到该四边形是平行四边形，不一定是矩形，故B错误，不符合题意； 选项C：对角线是否互相垂直不能判定四边形为矩形，故C错误，不符合题意； 选项D：根据四边形内角和定理，三个角是直角，则另一个角也是直角，即四个角均为直角，可判定四边形为矩形，故D正确，符合题意； 故选D． 3. 若（），则下列等式成立的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了比例的基本性质，熟练掌握比例的基本性质是解题的关键．将等式两边分别同时除以12和，即可判断答案． 【详解】解：对于选项A、B和D， ，且 ， 两边同时除以12，得 ， 即， 故选项A正确，符合题意；选项B和D错误，不符合题意； 对于选项 C， 将两边同时除以，得 ， 即， 故选项C错误，不符合题意； 故选：A． 4. 一元二次方程根的情况为（ ） A. 没有实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 有两个不相等的实数根 D. 无法确定 【答案】C 【解析】 【详解】解：∵在一元二次方程中，，，， ∴这个方程根的判别式， ∴这个方程有两个不相等的实数根． 5. 以下列各组数据为长度的线段中，能构成成比例线段的一组是（ ） A. ， B. C. D. ，， ， 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了比例线段：判定四条线段是否成比例，只要把四条线段按大小顺序排列好，判断前两条线段之比与后两条线段之比是否相等即可． 根据比例线段的定义对各选项进行判断． 【详解】解：A、由于，则四条线段不成比例线段，所以A选项不符合题意； B、由于，则四条线段成比例线段，所以B选项符合题意； C、由于，则四条线段不成比例线段，所以C选项不符合题意； D、由于，则四条线段不成比例线段，所以D选项不符合题意． 故选：B． 6. 下列说法正确的是（ ） A. 对角线相等的四边形是平行四边形 B. 对角线互相平分且相等的四边形是菱形 C. 对角线互相垂直平分的四边形是矩形 D. 对角线相等的菱形是正方形 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了矩形、菱形、正方形、平行四边形的判定，熟练掌握判定定理是解题的关键． 根据矩形、菱形、正方形、平行四边形的判定判断即可． 【详解】解：A、对角线平分的四边形是平行四边形，所以A选项错误； B、对角线互相平分且相等的四边形是矩形，所以B选项错误； C、对角线互相垂直平分的四边形是菱形，所以C选项错误； D、对角线相等的菱形是正方形，所以D选项正确． 故选：D． 7. 如图，菱形的对角线交于点O，且，则菱形的高的长是（ ） A. B. C. 5 D. 以上都不对 【答案】A 【解析】 【分析】利用菱形的性质和勾股定理求出的长，再根据等积法求出的长即可． 【详解】解：∵菱形的对角线交于点O， ∴，， ∴， ∵是菱形的高， ∴，即：， ∴． 8. 如图是小丽与DeepSeek的对话截屏，DeepSeek在深度思考后，给出的正确答案是（ ） A. B. 1 C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】设这个数为x，根据对话描述的数量关系列出一元二次方程，然后求解方程得到这个数． 【详解】解：设这个数为x， 则， 整理得， ， 解得． 即这个数是． 9. 根据关于的二次函数，可列表如下： 0 0.5 1 1.1 1.2 1.3 0.84 2.29 方程的正数解满足（ ） A. 解的整数部分是0，十分位是5 B. 解的整数部分是0，十分位是8 C. 解的整数部分是1，十分位是1 D. 解的整数部分是1，十分位是2 【答案】C 【解析】 【分析】观察表格得：一元二次方程的解位于与之间，故其正数解的整数部分是，十分位是即可求解． 【详解】解：观察表格得：一元二次方程的解位于与之间（不包括与）， 方程的正数解满足解的整数部分是，十分位是 故选：C． 【点睛】本题考查了一元二次方程的解，根据表格得到方程的解位于1.1与1.2之间是解题的关键． 10. 如图，将两块相同的含有角的三角尺按如图所示的方式摆放在一起，，则的长为（ ） A. 1 B. 2 C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】过C作，交的延长线于E，可得四边形是矩形，则，，设，利用含30度角的直角三角形的性质和勾股定理求得，在中，由勾股定理列方程求得x值即可． 【详解】解：过C作，交的延长线于E， 则 ∴四边形是矩形， ∴，， 设，则， ∵在中， ， ∴， 则， ∴， 在中，由勾股定理得：， 则， 解得（负值舍去）， ∴． 二、填空题（每空3分，共15分） 11. 如图，某公司设计了两款正六边形的地砖，用于拼接艺术地板．已知大号地砖与小号地砖的相似比为．若小号地砖的边长为，则大号地砖的边长为___________． 【答案】50 【解析】 【分析】本题考查了相似多边形的性质，熟练掌握相似多边形的性质是解题的关键．根据相似多边形的边长之比等于相似比，列方程求解即可． 【详解】解：∵大号地砖与小号地砖的相似比为， ∴大号地砖的边长与小号地砖的边长比为， ∵小号地砖的边长为， ∴大号地砖的边长为， 故答案为：50． 12. 已知是关于x的一元二次方程的一个根，则该方程的另一个根是___________ 【答案】 【解析】 【分析】已知一元二次方程的一个根，利用根与系数的关系即可求出另一个根． 【详解】解：设方程的另一个根为， 对于一元二次方程，根据根与系数的关系，得两根之和为：， ∵已知一个根为， ∴， 解得：． 13. 已知：线段，，．求作：矩形．以下是甲同学的作业： 老师说甲同学的作图都正确．则甲的作图依据是：__________________． 【答案】有一个角是直角的平行四边形是矩形 【解析】 【分析】本题主要考查矩形的判定，根据平行四边形的判定定理、矩形的判定定理解答． 【详解】解：由作图可知：,, 则四边形是平行四边形， 又, 则平行四边形是矩形， 则甲的作图依据是有一个角是直角的平行四边形是矩形； 故答案为：有一个角是直角的平行四边形是矩形． 14. 鸟尊是山西博物院的镇馆之宝，以鸟尊为素材的文创书签热卖．某商店六月份销售鸟尊书签300枚，八月份销售鸟尊书签432枚．该商店六月至八月鸟尊书签销售量平均每月的增长率为，可列方程为__________． 【答案】 【解析】 【分析】已知六月份销售量，平均每月增长率为，根据增长后的销售量等于增长前的销售量乘以，经过两个月增长，得到八月份销售量的等式关系． 【详解】解：平均每月增长率为，六月份销售枚， 七月份销售量为枚， 八月份销售量是在七月份的基础上再增长，即为： 枚， 已知八月份销售枚，因此可列方程为： ． 15. 如图，在四边形中，，点E，F，G，H分别为边的中点，连接，相交于点O，则的值为___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查三角形中位线定理，菱形的性质，解题的关键是作出辅助线证明四边形是菱形． 连接，，，，根据中位线定理得到，即可得到四边形是菱形，结合菱形对角线互相垂直及勾股定理即可得到答案． 【详解】解：连接，，，，如图所示，设与的交点为O， E，F，G，H分别是，，，的中点， ∴，． 又∵， ∴． ∴四边形是菱形． ∴． ∴的值为． 故答案为：． 三、解答题 16. 用适当的方法解下列一元二次方程： （1）； （2）； （3）； （4）． 【答案】（1） ， （2） ， （3） ， （4） ， 【解析】 【小问1详解】  解： 移项得 开方得 或 ∴，； 【小问2详解】 解： 因式分解得 或 ∴，； 【小问3详解】 解： 移项得 配方得 即 开方得 ∴，； 【小问4详解】 解： 整理得 提取公因式得 或 ∴，． 17. 甲同学在解方程时的解答过程如下： 解：移项，得，……① 两边同除以，得．……② 请说明甲同学的解法错误的原因，并给出正确解答． 【答案】甲同学的解法错误的原因：甲同学未考虑的情况，等式两边不能同时除以， 正确解答： ， ， 或 解得，． 【解析】 【详解】甲同学的解法错误的原因：甲同学未考虑的情况，等式两边不能同时除以， 正确解答： ， ， 或 解得，． 18. 杭州亚运会顺利召开，吉祥物江南忆公仔爆红．市场调查发现，某一间店铺江南忆公仔的进价为每件元，若售价为每件元，每天能销售件，售价每降价元，每天可多售出件，为了推广宣传，商家决定降价促销，同时尽量减少库存，若使销售该公仔每天获利元，则售价应降低多少元？ 【答案】元 【解析】 【分析】设售价应降价元，则每件的销售利润为元，每天的销售量为件，利用每天销售该公仔获得的利润每件销售利润日销售量，即可得出关于的一元二次方程，解之即可求出的值，再结合要尽量减少库存，即可得到答案． 【详解】解：设售价应降低元，则每件的销售利润为元，每天的销售量为件，根据题意得： ∴， 整理得：， 解之得：，， 又∵要尽量减少库存， ∴， 答：售价应降价元． 【点睛】本题考查一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 19. 如图1，把一张矩形纸片按如图那样折一下，就可以裁出正方形纸片，为什么？ （1）如图1，矩形纸片（），将矩形纸片沿过点的直线折叠，使点落在边上，点的对应点为，折痕为，点在上．求证：四边形是正方形．（填空） 证明：∵四边形是矩形 ∴， ∵折叠，， ∴四边形是矩形（ ） ∵折叠 ∴（ ） ∴四边形是正方形（ ） （2）如图2，将平行四边形纸片（），沿过点的直线折叠，使点落在边上，点的对应点为，折痕为，点在边上．求证：四边形是菱形． 【答案】（1）有三个角是直角的四边形为矩形；；有一组邻边相等的矩形是正方形 （2）证明：∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， 由折叠的性质得：，， ∴， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形， 又∵， ∴平行四边形是菱形． 【解析】 【分析】（1）由矩形的性质得，再由折叠的性质得：，，则四边形是矩形，然后由，即可得出结论； （2）由平行四边形的性质得，则，再证，则，得四边形是平行四边形，然后由即可得出结论． 【小问1详解】 证明：∵四边形是矩形 ∴， ∵折叠，， ∴四边形是矩形（有三个角是直角的四边形为矩形） ∵折叠 ∴ ∴四边形是正方形（有一组邻边相等的矩形是正方形）； 【小问2详解】 略 20. 操作与实践 【示范操作】 古代数学家赵爽著《勾股圆方图注》中的配方方法更加简捷，只用了“拼”完成了配方，用4个长为，宽为x，面积为24的长方形，拼成如图1的大正方形，利用大正方形的面积等于4个长方形的面积加中空的小正方形面积得：． 【模仿实践】 （1）仿例题配方解，先变形为________，如图2，每个小长方形的长为________，宽为________，利用图形的面积关系得配方后的方程为________，解为________． 【深入探究】 （2）配方解，自己画图分析，写出解题过程． 【总结提升】 小敏同学质疑方法的局限性：，变形为，没法拼图了呀？ 小聪同学发现：方法中的拼图就是模型，于是有了另一种方法，设，，则有，，，配方成功，从数到形，又从形回归到数． （3）请你用小聪的方法配方解，写出解题过程． 【答案】（1），，，，， （2）由题意，先变形为， 如图， 每个小长方形的长为，宽为， ∴利用图形的面积关系得配方后的方程为， 即． 解得，； （3）， 【解析】 【分析】（1）仿照例题，根据面积关系列方程求解即可； （2）先变形为，再仿照例题，根据面积关系列方程求解即可； （3）先变形为，设，，再仿照例题，根据，列方程求解即可． 【小问1详解】 解：，先变形为， 如图2， 每个小长方形的长为，宽为，利用图形的面积关系得配方后的方程为， 解为，； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：由题意，先变形为， 设，， ． ， ． ． 解得，． 21. 综合与探究 问题情境：数学课上，同学们以矩形为背景，添加适当条件后，探究图形元素之间的关系．已知矩形，善思小组添加条件如下：如图1，点是边上的一点，且，过点作于点． 初步分析：（1）善思小组发现图1中线段，请证明这个结论； 深度探究：（2）好问小组将图1中的“点是边上的一点”改为“点是的中点”，得到图2，其余条件不变．他们提出如下问题，请你解答． ①判断图2中线段与的数量关系，并说明理由； ②将图2中的绕点逆时针旋转得到（点，分别是的对应点），设直线，交于点．在绕点逆时针旋转过程中，当以点为顶点的四边形是菱形时，连接，直接写出的值． 【答案】 （1）证明：∵四边形都是矩形， ∴， ， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）①结论： ，理由： ∵四边形都是矩形， ∴， ∵是的中点， ∴， ∵， ∴， ∵， ； ②或2 【解析】 【分析】本题考查矩形的性质，菱形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题． （1）根据矩形的性质，证明，即可得到结论； （2）①利用全等三角形的性质证明即可； ②先得到是等边三角形，当点落在的延长线上时，四边形是菱形，此时，，求出比值；当点G和E关于直线对称时，四边形为菱形，根据的直角三角形的性质和勾股定理求出，然后计算比值即可． 【详解】（1）略 （2）①略 ②如图中， 连接， ∵，，， ∴， ∴， 是等边三角形， 当点落在的延长线上时，四边形是菱形， 此时，， ； 当点G和E关于直线对称时，四边形为菱形， 此时，， ∴， ∴， ∴； 综上所述，的值为或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 初三年级第一次数学练习 一、选择题（每空3分，共30分） 1. 下列关于的方程中，一定属于一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 2. 要判断一个四边形门框是否为矩形．在下面拟定的四个方案中，正确的方案是（ ） A. 测量对角线是否互相平分 B. 测量两组对边是否分别相等 C. 测量对角线是否互相垂直 D. 测量其中三个角是否是直角 3. 若（），则下列等式成立的是（ ） A. B. C. D. 4. 一元二次方程根的情况为（ ） A. 没有实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 有两个不相等的实数根 D. 无法确定 5. 以下列各组数据为长度的线段中，能构成成比例线段的一组是（ ） A. ， B. C. D. ，， ， 6. 下列说法正确的是（ ） A. 对角线相等的四边形是平行四边形 B. 对角线互相平分且相等的四边形是菱形 C. 对角线互相垂直平分的四边形是矩形 D. 对角线相等的菱形是正方形 7. 如图，菱形的对角线交于点O，且，则菱形的高的长是（ ） A. B. C. 5 D. 以上都不对 8. 如图是小丽与DeepSeek的对话截屏，DeepSeek在深度思考后，给出的正确答案是（ ） A. B. 1 C. D. 9. 根据关于的二次函数，可列表如下： 0 0.5 1 1.1 1.2 1.3 0.84 2.29 方程的正数解满足（ ） A. 解的整数部分是0，十分位是5 B. 解的整数部分是0，十分位是8 C. 解的整数部分是1，十分位是1 D. 解的整数部分是1，十分位是2 10. 如图，将两块相同的含有角的三角尺按如图所示的方式摆放在一起，，则的长为（ ） A. 1 B. 2 C. D. 二、填空题（每空3分，共15分） 11. 如图，某公司设计了两款正六边形的地砖，用于拼接艺术地板．已知大号地砖与小号地砖的相似比为．若小号地砖的边长为，则大号地砖的边长为___________． 12. 已知是关于x的一元二次方程的一个根，则该方程的另一个根是___________ 13. 已知：线段，，．求作：矩形．以下是甲同学的作业： 老师说甲同学的作图都正确．则甲的作图依据是：__________________． 14. 鸟尊是山西博物院的镇馆之宝，以鸟尊为素材的文创书签热卖．某商店六月份销售鸟尊书签300枚，八月份销售鸟尊书签432枚．该商店六月至八月鸟尊书签销售量平均每月的增长率为，可列方程为__________． 15. 如图，在四边形中，，点E，F，G，H分别为边的中点，连接，相交于点O，则的值为___________． 三、解答题 16. 用适当的方法解下列一元二次方程： （1）； （2）； （3）； （4）． 17. 甲同学在解方程时的解答过程如下： 解：移项，得，……① 两边同除以，得．……② 请说明甲同学的解法错误的原因，并给出正确解答． 18. 杭州亚运会顺利召开，吉祥物江南忆公仔爆红．市场调查发现，某一间店铺江南忆公仔的进价为每件元，若售价为每件元，每天能销售件，售价每降价元，每天可多售出件，为了推广宣传，商家决定降价促销，同时尽量减少库存，若使销售该公仔每天获利元，则售价应降低多少元？ 19. 如图1，把一张矩形纸片按如图那样折一下，就可以裁出正方形纸片，为什么？ （1）如图1，矩形纸片（），将矩形纸片沿过点的直线折叠，使点落在边上，点的对应点为，折痕为，点在上．求证：四边形是正方形．（填空） 证明：∵四边形是矩形 ∴， ∵折叠，， ∴四边形是矩形（ ） ∵折叠 ∴（ ） ∴四边形是正方形（ ） （2）如图2，将平行四边形纸片（），沿过点的直线折叠，使点落在边上，点的对应点为，折痕为，点在边上．求证：四边形是菱形． 20. 操作与实践 【示范操作】 古代数学家赵爽著《勾股圆方图注》中的配方方法更加简捷，只用了“拼”完成了配方，用4个长为，宽为x，面积为24的长方形，拼成如图1的大正方形，利用大正方形的面积等于4个长方形的面积加中空的小正方形面积得：． 【模仿实践】 （1）仿例题配方解，先变形为________，如图2，每个小长方形的长为________，宽为________，利用图形的面积关系得配方后的方程为________，解为________． 【深入探究】 （2）配方解，自己画图分析，写出解题过程． 【总结提升】 小敏同学质疑方法的局限性：，变形为，没法拼图了呀？ 小聪同学发现：方法中的拼图就是模型，于是有了另一种方法，设，，则有，，，配方成功，从数到形，又从形回归到数． （3）请你用小聪的方法配方解，写出解题过程． 21. 综合与探究 问题情境：数学课上，同学们以矩形为背景，添加适当条件后，探究图形元素之间的关系．已知矩形，善思小组添加条件如下：如图1，点是边上的一点，且，过点作于点． 初步分析：（1）善思小组发现图1中线段，请证明这个结论； 深度探究：（2）好问小组将图1中的“点是边上的一点”改为“点是的中点”，得到图2，其余条件不变．他们提出如下问题，请你解答． ①判断图2中线段与的数量关系，并说明理由； ②将图2中的绕点逆时针旋转得到（点，分别是的对应点），设直线，交于点．在绕点逆时针旋转过程中，当以点为顶点的四边形是菱形时，连接，直接写出的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $