第13章～第15章 期中复习【能力提升卷】2026～2027学年人教版数学八年级上册

第13章～第15章 期中复习【能力提升卷】2026~2027学年人教版八年级上册数学 一、选择题（本大题共 10 小题，每小题 3 分，共 30 分．每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1．如图，在△ABC 中，AD 是 BC 边上的高，AE 是∠BAC 的平分线．若∠B＝50°，∠C＝30°，则∠DAE 的度数是（　　） A．5° B．10° C．15° D．20° 【答案】 B 【解析】 在△ABC 中，∠BAC＝180°－∠B－∠C＝180°－50°－30°＝100°． 因为 AE 平分∠BAC，所以∠EAC＝∠BAC＝50°． 因为 AD 是 BC 边上的高，所以∠ADC＝90°， 所以∠DAC＝180°－90°－∠C＝90°－30°＝60°． 所以∠DAE＝∠DAC－∠EAC＝60°－50°＝10°． 所以选 B． 【解题提示】「高与角平分线的夹角」有一个常用关系：∠DAE＝(∠B－∠C)，本题中就是 ×(50°－30°)＝10°．推导时要注意∠DAE 是∠DAC 与∠EAC 的差，而且在△ADC 中用「两锐角互余」更简便：∠DAC＝90°－∠C． 2．如图，在△ABC 中，∠ABC 与∠ACB 的平分线相交于点 P．若∠A＝60°，则∠BPC 的度数是（　　） A．100° B．110° C．120° D．130° 【答案】 C 【解析】 在△ABC 中，∠ABC＋∠ACB＝180°－∠A＝180°－60°＝120°． 因为 BP 平分∠ABC，CP 平分∠ACB， 所以∠PBC＋∠PCB＝(∠ABC＋∠ACB)＝×120°＝60°． 在△PBC 中，∠BPC＝180°－(∠PBC＋∠PCB)＝180°－60°＝120°． 所以选 C． 【解题提示】本题的一般结论是 ∠BPC＝90°＋∠A，记忆时可以理解为「两条内角平分线的夹角等于 90° 加第三个角的一半」．推导的关键是把∠ABC＋∠ACB 整体换成 180°－∠A，不要试图分别求出∠ABC 与∠ACB． 3．在△ABC 和△DEF 中，已知 AB＝DE，∠B＝∠E．添加下列条件后，仍不能判定这两个三角形全等的是（　　） A．BC＝EF B．∠A＝∠D C．∠C＝∠F D．AC＝DF 【答案】 D 【解析】 A 中加上 BC＝EF，可得「边角边」，依据 SAS，能判定； B 中加上∠A＝∠D，可得「角边角」，依据 ASA，能判定； C 中加上∠C＝∠F，可得「角角边」，依据 AAS，能判定； D 中加上 AC＝DF，相等的是边 BC 与 EF 的对角∠A 与∠D，属于「两边和其中一边的对角」，也就是「边边角」，不能判定． 所以选 D． 【解题提示】已知的 AB＝DE 与∠B＝∠E 里，∠B 是 AB 的邻角，所以再补一条与∠B 相邻的边 BC＝EF 就能凑成 SAS；补一个角时要注意用的是 ASA 还是 AAS，别混．一旦出现「两边 + 其中一边的对角」，无论怎样都不能判定全等． 4．若等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为 40°，则它的顶角的度数是（　　） A．50° B．130° C．40° 或 50° D．50° 或 130° 【答案】 D 【解析】 题目没有说明这个等腰三角形是锐角三角形还是钝角三角形，要分类讨论． ①当等腰三角形是锐角三角形时，腰上的高在三角形内部，高与另一腰的夹角为 40°，此时顶角＝90°－40°＝50°； ②当顶角为钝角时，腰上的高落在三角形外部，此时高与另一腰的延长线的夹角为 40°，顶角的邻补角＝90°－40°＝50°，顶角＝180°－50°＝130°． 所以顶角的度数是 50° 或 130°． 所以选 D． 【解题提示】「腰上的高」在钝角三角形中会落到三角形外面，这是分类讨论的根源．画图时要分别画出锐角等腰三角形和钝角等腰三角形两种情形，不能只凭第一直觉画一种． 5．如图，在△ABC 中，DE 是 AB 的垂直平分线，交 AB 于点 E，交 BC 于点 D，连接 AD．若 AC＝4，BC＝7，则△ACD 的周长是（　　） A．7 B．11 C．14 D．18 【答案】 B 【解析】 因为 DE 是 AB 的垂直平分线，点 D 在 DE 上， 所以 DA＝DB． △ACD 的周长＝AC＋CD＋AD＝AC＋CD＋DB＝AC＋BC． 把 AC＝4，BC＝7 代入，得△ACD 的周长＝4＋7＝11． 所以选 B． 【解题提示】看到「垂直平分线」就要立刻想到「到线段两个端点的距离相等」．本题的巧妙之处是用 AD＝BD 把折线 AD＋DC 换成一条线段 BC，这种「等量代换把折线变直线」的做法在求周长时很常用． 6．如图，OC 是∠AOB 的平分线，点 D 在射线 OC 上，DP⊥OA 于点 P．若 PD＝2，点 Q 在射线 OB 上且 OQ＝6，则△ODQ 的面积是（　　） A．6 B．3 C．12 D．9 【答案】 A 【解析】 因为 OC 平分∠AOB，DP⊥OA 于点 P，DP＝2， 所以点 D 到 OB 的距离等于点 D 到 OA 的距离，也就是 2． 于是△ODQ 中以 OQ＝6 为底时，这条底边上的高为 2， 所以△ODQ 的面积＝×OQ×2＝×6×2＝6． 所以选 A． 【解题提示】角平分线的性质把「到角一边的垂线段长」搬到了角的另一边，这是把已知条件「搬」到需要的地方去的关键一步．求三角形面积时要先确定「用哪条边作底」，再看对应的高的长度从哪里来． 7．如图，在△ABC 中，点 D 在边 AB 上，点 A 关于直线 CD 的对称点 E恰好落在线段 BC 上，连接 DE．若 AB＝10，AC＝4，BC＝9，则△BDE 的周长是（　　） A．13 B．15 C．17 D．无法确定 【答案】 B 【解析】 因为点 A 与点 E 关于直线 CD 对称， 所以直线 CD 是线段 AE 的垂直平分线， 所以 DA＝DE，CA＝CE． 因为 CA＝4，所以 CE＝4． 因为点 E 在线段 BC 上，所以 BE＝BC－CE＝9－4＝5． △BDE 的周长＝BD＋DE＋BE＝BD＋DA＋BE＝AB＋BE＝10＋5＝15． 所以选 B． 【解题提示】「轴对称」给出的是一对相等的线段：对称轴垂直平分连接对应点的线段，同时对应点到对称轴上任意一点的距离也相等．本题用到的是 DA＝DE 与 CA＝CE，再由「点 E 在线段 BC 上」把 CE 与 BC 联系起来． 8．在△ABC 中，AB＝AC，AB 边上的中线 CD 把△ABC 的周长分成 24 和 12两部分，则 AB 的长是（　　） A．16 B．8 C．16 或 8 D．8 或 4 【答案】 A 【解析】 设 AB＝AC＝x，BC＝y． 因为 CD 是 AB 边上的中线，所以 AD＝BD＝AB＝x． 中线把周长分成 AD＋AC 与 BD＋BC 两部分，要分两种情况讨论． ①当 AD＋AC＝24 且 BD＋BC＝12 时， x＋x＝24，解得 x＝16；再由 ×16＋y＝12 得 y＝4． 此时三边为 16、16、4，16＋4＞16，能组成三角形； ②当 AD＋AC＝12 且 BD＋BC＝24 时， x＋x＝12，解得 x＝8；再由 ×8＋y＝24 得 y＝20． 此时三边为 8、8、20，8＋8＜20，不能组成三角形，舍去． 所以 AB＝16． 所以选 A． 【解题提示】「中线分周长」这类题一定要分两种情况，而且求出边长后必须用三边关系检验一次．本题第②种情况算出的 8、8、20 就栽在三边关系上——不检验就会多选一个「C．16 或 8」． 9．在平面直角坐标系中，若点 P（a，3）与点 Q（－2，b）关于 x 轴对称，则 a＋b 的值是（　　） A．－5 B．5 C．－1 D．1 【答案】 A 【解析】 关于 x 轴对称的两点，横坐标相同，纵坐标互为相反数． 所以 a＝－2，3＝－b，即 b＝－3． 所以 a＋b＝－2＋(－3)＝－5． 所以选 A． 【解题提示】关于 x 轴对称是「横同纵反」，关于 y 轴对称是「纵同横反」．把结论写成式子时要看清题目给的是「关于 x 轴」还是「关于 y 轴」，两者的方程组正好对调． 10．如图，在△ABC 中，AB＝AC，∠A＝40°，DE 是 AB 的垂直平分线，交 AB 于点 E，交 AC 于点 D，连接 BD．则∠DBC 的度数是（　　） A．30° B．35° C．40° D．70° 【答案】 A 【解析】 因为 DE 是 AB 的垂直平分线，点 D 在 DE 上， 所以 DA＝DB，所以∠ABD＝∠A＝40°． 因为 AB＝AC，所以∠ABC＝∠C＝(180°－∠A)＝×140°＝70°． 所以∠DBC＝∠ABC－∠ABD＝70°－40°＝30°． 所以选 A． 【解题提示】本题要用两次等腰三角形的性质：第一次由垂直平分线得到 DA＝DB（△ABD 是等腰三角形），第二次由 AB＝AC 得到△ABC 是等腰三角形．最后求∠DBC 时要注意它是∠ABC 与∠ABD 的差，因为射线 BD 落在∠ABC 的内部． 二、填空题（本大题共 6 小题，每小题 3 分，共 18 分．请把答案填在题中的横线上） 11．如图，∠ACD 是△ABC 的外角，CE 平分∠ACD．若∠A＝50°，∠B＝70°，则∠ECD 的度数是　　　　　　°． 【答案】 60 【解析】 因为∠ACD 是△ABC 的外角， 所以∠ACD＝∠A＋∠B＝50°＋70°＝120°． 因为 CE 平分∠ACD， 所以∠ECD＝∠ACD＝×120°＝60°． 故答案为 60． 【解题提示】三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和，这是求角时最常用的结论之一．本题先由外角定理求出整个外角，再用角平分线把它一分为二． 12．已知 a、b、c 是△ABC 的三边长，则 |a＋b－c|－|a－b－c| 化简的结果是　　　　　　． 【答案】 2a－2c 【解析】 因为 a、b、c 是三角形的三边长， 所以任意两边之和大于第三边，即 a＋b＞c， 所以 a＋b－c＞0，于是 |a＋b－c|＝a＋b－c． 又由 b＜a＋c 得 a－b－c＝a－(b＋c)＜0， 所以 |a－b－c|＝b＋c－a． 所以原式＝(a＋b－c)－(b＋c－a) ＝a＋b－c－b－c＋a＝2a－2c． 故答案为 2a－2c． 【解题提示】化简含三角形三边长的绝对值，关键是先判断绝对值里每个式子的正负：「两边之和」一定大于第三边，而「一边减去另两边之和」一定是负数．去掉绝对值时负数的绝对值等于它的相反数，也就是整个式子要变号，这一点最容易漏． 13．如图，在△ABC 中，∠C＝90°，AD 平分∠BAC 交 BC 于点 D．若∠ADC＝65°，则∠B 的度数是　　　　　　°． 【答案】 40 【解析】 因为∠C＝90°，所以∠DAC＝180°－∠C－∠ADC＝180°－90°－65°＝25°． 因为 AD 平分∠BAC，所以∠BAC＝2∠DAC＝2×25°＝50°． 在 Rt△ABC 中，∠B＝90°－∠BAC＝90°－50°＝40°． 故答案为 40． 【解题提示】在直角△ADC 中用两锐角互余求∠DAC，再用角平分线把它「翻倍」得到∠BAC，最后回到直角△ABC 求∠B．每一步都只在一个直角三角形内部做加减，思路最清楚． 14．如图，在△ABC 中，∠ABC 与∠ACB 的平分线相交于点 P，过点 P 作 PD⊥BC 于点 D．若 PD＝2，△ABC 的周长是 18，则△ABC 的面积是　　　　　　． 【答案】 18 【解析】 因为点 P 在∠ABC 与∠ACB 的平分线上， 所以由角平分线的性质得：点 P 到 AB、BC、AC 的距离都相等， 都等于点 P 到 BC 的距离 PD＝2． 连接 PA，则 PD 等三条垂线段分别是△PBC、△PAB、△PCA 的高， 所以△ABC 的面积＝△PAB 的面积＋△PBC 的面积＋△PCA 的面积 ＝×2×(AB＋BC＋CA)＝×2×18＝18． 故答案为 18． 【解题提示】这是「角平分线性质 + 面积」的经典搭配：把大三角形沿 PA、PB、PC 分成三块，每块的高都等于点 P 到边的距离，而这三个距离恰好相等，于是总面积可以写成 ×高×周长．记住这个模型，遇到「到三边距离相等」就要想到它． 15．如图，△ABC 的两条外角平分线 BP、CP 相交于点 P．若∠A＝80°，则∠P 的度数是　　　　　　°． 【答案】 50 【解析】 在△ABC 中，∠ABC＋∠ACB＝180°－∠A＝180°－80°＝100°． 所以∠ABC 的外角与∠ACB 的外角之和 ＝(180°－∠ABC)＋(180°－∠ACB)＝360°－100°＝260°． 因为 BP、CP 分别平分这两个外角， 所以∠PBC＋∠PCB＝×260°＝130°． 在△PBC 中，∠P＝180°－(∠PBC＋∠PCB)＝180°－130°＝50°． 故答案为 50． 【解题提示】本题的一般结论是 ∠P＝90°－∠A，与「两条内角平分线的夹角 90°＋∠A」正好凑成 180°．推导时要把两个外角的和先算出来，而不是分别去求∠ABC 与∠ACB． 16．如图，点 G 是等边三角形 ABC 内任意一点，GD∥BC，GE∥AC，GF∥AB，点 D、E、F 分别在边 AB、BC、AC 上．若 AB＝6，则 DG＋EG＋FG＝　　　　　　． 【答案】 6 【解析】 过点 E 作 EP∥AB 交 AC 于点 P，过点 F 作 FH∥BC 交 AB 于点 H． 因为 GE∥AC，EP∥AB，所以四边形 GFEP 是平行四边形， 所以 EG＝FP，GF＝PE． 因为△ABC 是等边三角形，且 EP∥AB， 所以△CEP 也是等边三角形，所以 PE＝CP，于是 GF＝CP． 同理可得 DG＝AF． 所以 DG＋EG＋FG＝AF＋FP＋CP＝AC＝AB＝6． 故答案为 6． 【解题提示】本题的巧妙之处是把三条分散的线段「拼」到同一条边 AC 上：利用平行线造平行四边形与等边三角形，把 DG 换成 AF，把 EG 换成 FP，把 FG 换成 CP．这类「线段拼接」问题要善于把已知的平行关系转化成长度关系． 三、解答题（本大题共 8 小题，共 52 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17．（6 分）如图，点 A、B、C、D 在同一条直线上，AE∥CF，AE＝CF，AB＝CD． （1）求证：△ABE≌△CDF； （2）求证：BE∥DF． 【答案】 （1）证明见解析；（2）证明见解析 【解析】 证明：（1）因为 AE∥CF，点 A、B、C、D 在同一条直线上， 所以∠BAE＝∠DCF（两直线平行，同位角相等）． 在△ABE 和△CDF 中， AB＝CD，∠BAE＝∠DCF，AE＝CF， 所以△ABE≌△CDF（SAS）． （2）因为△ABE≌△CDF，所以∠ABE＝∠CDF． 因为点 A、B、C、D 在同一条直线上， 所以射线 BA 与射线 DC 方向相同， ∠ABE 与∠CDF 是直线 BD 截 BE、DF 所得的同位角， 所以 BE∥DF． 【解题提示】① 由 AE∥CF 得到∠BAE＝∠DCF 时，要说明「点 A、B、C、D 在同一条直线上」，这样才能确定这两个角是同位角；② 相等的角∠BAE 与∠DCF 恰好是 AB、AE 与 CD、CF 的夹角，所以用 SAS；③ 第（2）问要指出∠ABE 与∠CDF 是同位角，而同位角关系依赖于「射线 BA 与射线 DC 方向相同」． 18．（6 分）如图，在△ABC 中，点 D 是 BC 上一点，DE⊥AB 于点 E，DF⊥AC 于点 F，且 DE＝DF． （1）求证：AD 平分∠BAC； （2）若 AB＝13，AC＝12，DE＝3，求△ABC 的面积． 【答案】 （1）证明见解析；（2）37.5 【解析】 （1）证明：因为 DE⊥AB 于点 E，DF⊥AC 于点 F，DE＝DF， 所以点 D 到∠BAC 两边的距离相等， 所以点 D 在∠BAC 的平分线上（到角的两边距离相等的点在角的平分线上）， 所以 AD 平分∠BAC． （2）解：由（1）得 AD 平分∠BAC，又 DE⊥AB，DF⊥AC，DE＝3， 所以 DF＝DE＝3． 所以△ABC 的面积＝△ABD 的面积＋△ACD 的面积 ＝×AB×DE＋×AC×DF ＝×13×3＋×12×3＝19.5＋18＝37.5． 答：△ABC 的面积是 37.5． 【解题提示】① 第（1）问用的是角平分线的**判定**：已知「距离相等」推出「在平分线上」，已知与结论的顺序与性质定理正好相反，写依据时要说清楚；② 第（2）问要注意 DE 是△ABD 中 AB 边上的高、DF 是△ACD 中 AC 边上的高，两高相等是本问能够直接相加的前提；③ 本题还没有学勾股定理，只要会算面积就够了． 19．（6 分）如图，在△ABC 中，AD 平分∠BAC 交 BC 于点 D，DE∥AC 交 AB 于点 E． 求证：△AED 是等腰三角形． 【答案】 证明见解析 【解析】 证明：因为 DE∥AC， 所以∠ADE＝∠DAC（两直线平行，内错角相等）． 因为 AD 平分∠BAC，所以∠EAD＝∠DAC． 所以∠EAD＝∠ADE． 所以 EA＝ED（等角对等边）， 所以△AED 是等腰三角形． 【解题提示】① 本题的核心是「平行线 + 角平分线得等腰三角形」这一模型：两条性质各提供一个相等的角，把两组不同的角「串」到一起；② 由 DE∥AC 得到的是内错角∠ADE＝∠DAC，由角平分线得到的是∠EAD＝∠DAC，两次都用到了∠DAC，于是∠EAD＝∠ADE；③ 结论用的是「等角对等边」，注意与「等边对等角」的方向区别． 20．（6 分）如图，AC 与 BD 相交于点 O，AB∥CD，AB＝CD． 求证：OA＝OC，OB＝OD． 【答案】 证明见解析 【解析】 证明：因为 AB∥CD， 所以∠A＝∠C，∠B＝∠D（两直线平行，内错角相等）． 在△AOB 和△COD 中， ∠A＝∠C，AB＝CD，∠B＝∠D， 所以△AOB≌△COD（ASA）， 所以 OA＝OC，OB＝OD． 【解题提示】① 由 AB∥CD 得到的∠A 与∠C、∠B 与∠D 都是内错角，写的时候要指明；② 相等边 AB 与 CD 恰好是∠A、∠B 与∠C、∠D 的夹边，所以用 ASA；③ 结论 OA＝OC、OB＝OD 说明点 O 既平分 AC 又平分 BD，即线段 AC 与 BD 互相平分． 21．（7 分）如图，点 C 是线段 AB 上一点，分别以 AC、BC 为边在 AB 的同侧作等边三角形 ACD 和等边三角形 BCE，AE 与 BD 相交于点 F． （1）求证：AE＝BD； （2）求∠AFB 的度数． 【答案】 （1）证明见解析；（2）120° 【解析】 （1）证明：因为△ACD 和△BCE 都是等边三角形， 所以 AC＝DC，CE＝CB，∠ACD＝∠BCE＝60°． 因为点 A、C、B 在同一条直线上， 所以∠ACE＝∠ACD＋∠DCE＝60°＋∠DCE， ∠DCB＝∠DCE＋∠ECB＝∠DCE＋60°， 所以∠ACE＝∠DCB． 在△ACE 和△DCB 中，AC＝DC，∠ACE＝∠DCB，CE＝CB， 所以△ACE≌△DCB（SAS）， 所以 AE＝BD． （2）解：由（1）得△ACE≌△DCB，所以∠AEC＝∠DBC． 因为△BCE 是等边三角形，所以∠CEB＝∠CBE＝60°， 所以∠AEB＝∠AEC＋∠CEB＝∠DBC＋60°． 因为点 A、C、B 在同一条直线上， 所以射线 BA 与射线 BC 方向相同，∠ABE＝∠CBE＝60°，∠DBA＝∠DBC． 在△ABE 中，∠EAB＝180°－∠AEB－∠ABE ＝180°－(∠DBC＋60°)－60°＝60°－∠DBC． 在△ABF 中，∠AFB＝180°－∠EAB－∠DBA ＝180°－(60°－∠DBC)－∠DBC＝120°． 【解题提示】① 本题是「共顶点（共边）的两个等边三角形」模型，第（1）问的关键是用「等角加同角」得到∠ACE＝∠DCB；② 第（2）问的解题路线是：先用全等把∠AEC 换成∠DBC，再在△ABE 中求∠EAB，最后在△ABF 中用内角和求∠AFB；③ 全程都要用到「点 A、C、B 在同一条直线上」，它既给出了角的加减（∠ACE＝∠ACD＋∠DCE），也给出了射线 BA 与 BC 方向相同、∠ABE＝∠CBE 这一关系． 22．（7 分）如图，在△ABC 中，AB＝AC，∠BAC＝120°，点 D 与点 A 在直线 BC 的两侧，AD⊥BC 于点 G，且 AD＝AB，∠EDF＝60°，∠EDF 的两边分别交边 AB、AC 于点 E、F． （1）求证：△ABD 是等边三角形； （2）求证：BE＝AF． 【答案】 （1）证明见解析；（2）证明见解析 【解析】 （1）证明：因为 AB＝AC，AD⊥BC 于点 G， 所以 AD 平分∠BAC（等腰三角形底边上的高也是顶角的平分线）， 所以∠BAD＝∠BAC＝×120°＝60°． 因为 AD＝AB， 所以△ABD 是等边三角形（有一个角是 60° 的等腰三角形是等边三角形）． （2）证明：由（1）得△ABD 是等边三角形， 所以∠ADB＝∠ABD＝60°，BD＝AD． 因为点 E 在边 AB 上，所以∠DBE＝∠DBA＝60°． 因为 AD 平分∠BAC，所以∠DAC＝∠BAC＝60°． 因为点 F 在边 AC 上，所以∠DAF＝∠DAC＝60°， 所以∠DBE＝∠DAF． 因为∠ADB＝60°，∠EDF＝60°，所以∠ADB＝∠EDF， 所以∠ADB－∠ADE＝∠EDF－∠ADE，即∠BDE＝∠ADF． 在△BDE 和△ADF 中， ∠DBE＝∠DAF，BD＝AD，∠BDE＝∠ADF， 所以△BDE≌△ADF（ASA）， 所以 BE＝AF． 【解题提示】① 第（1）问是「有一个角是 60° 的等腰三角形是等边三角形」的直接应用，60° 这个角来自「等腰三角形底边上的高平分顶角」；② 第（2）问的结构是「等角减同角」：把∠BDE 与∠ADF 分别看成 60° 减去同一个∠ADE；③ 要找的三组条件分别是∠DBE＝∠DAF、BD＝AD、∠BDE＝∠ADF，其中 BD＝AD 来自第（1）问的等边三角形，所以要「先用第（1）问的结论，再证第（2）问」． 23．（7 分）如图，∠ACD 是△ABC 的外角，∠ABC 的平分线与∠ACD 的平分线相交于点 E． （1）若∠A＝60°，∠ABC＝40°，求∠E 的度数； （2）直接写出∠E 与∠A 的数量关系． 【答案】 （1）30°；（2）∠E＝∠A 【解析】 （1）解：因为∠ACD 是△ABC 的外角， 所以∠ACD＝∠A＋∠ABC＝60°＋40°＝100°． 因为 CE 平分∠ACD，所以∠ECD＝∠ACD＝×100°＝50°． 因为 BE 平分∠ABC，所以∠EBC＝∠ABC＝×40°＝20°． 因为∠ECD 是△BCE 的外角， 所以∠E＝∠ECD－∠EBC＝50°－20°＝30°． （2）解：∠E＝∠A． 推理：因为∠ACD 是△ABC 的外角，所以∠ACD＝∠A＋∠ABC． 因为 CE 平分∠ACD，所以∠ECD＝∠ACD＝∠A＋∠ABC． 因为 BE 平分∠ABC，所以∠EBC＝∠ABC． 所以∠E＝∠ECD－∠EBC＝∠A． 【解题提示】① 本题的路线是「一次外角 + 一次外角」：先用外角定理求∠ACD，再用外角定理求∠E；② 求∠E 时用的是△BCE 的外角∠ECD 等于∠E 与∠EBC 的和，所以∠E＝∠ECD－∠EBC，方向不要弄反；③ 第（2）问的一般结论是「内角平分线与外角平分线的夹角等于第三个角的一半」，把这个结论记住可以快速解题． 24．（8 分）如图，在△ABC 中，AB＝AC，点 D 在边 BC 上，∠ADE＝∠B，DE 交边 AC 于点 E． （1）求证：∠BAD＝∠CDE； （2）若 AB＝DC，求证：AD＝DE． 【答案】 （1）证明见解析；（2）证明见解析 【解析】 （1）证明：因为∠ADC 是△ABD 的外角， 所以∠ADC＝∠B＋∠BAD． 因为点 D 在边 BC 上，所以∠ADC＝∠ADE＋∠EDC， 所以∠ADE＋∠EDC＝∠B＋∠BAD． 因为∠ADE＝∠B， 所以∠EDC＝∠BAD，即∠BAD＝∠CDE． （2）证明：因为 AB＝AC，所以∠B＝∠C（等边对等角）． 因为∠ADE＝∠B，所以∠ADE＝∠C． 又因为∠CDE＝∠BAD，AB＝DC，且∠B＝∠C， 在△ABD 和△DCE 中， ∠B＝∠C，∠BAD＝∠CDE，AB＝DC， 所以△ABD≌△DCE（AAS）， 所以 AD＝DE． 【解题提示】① 第（1）问用的是「外角 + 等式性质」：把∠ADC 用两种方法表示（外角定理与角的和），再减去同一个∠ADE；② 第（2）问用 AAS 判定时，两组角分别是∠B＝∠C 与∠BAD＝∠CDE，相等边 AB 与 DC 是∠BAD 与∠CDE 的对边，所以是 AAS 而不是 ASA；③ 写全等符号时注意对应关系：写成△ABD≌△DCE（A 对 D、B 对 C、D 对 E），这样 AD 才对应 DE． 学科网（北京）股份有限公司 $ 第13章～第15章 期中复习【能力提升卷】2026~2027学年人教版八年级上册数学 一、选择题（本大题共 10 小题，每小题 3 分，共 30 分．每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1．如图，在△ABC 中，AD 是 BC 边上的高，AE 是∠BAC 的平分线．若∠B＝50°，∠C＝30°，则∠DAE 的度数是（　　） A．5° B．10° C．15° D．20° 2．如图，在△ABC 中，∠ABC 与∠ACB 的平分线相交于点 P．若∠A＝60°，则∠BPC 的度数是（　　） A．100° B．110° C．120° D．130° 3．在△ABC 和△DEF 中，已知 AB＝DE，∠B＝∠E．添加下列条件后，仍不能判定这两个三角形全等的是（　　） A．BC＝EF B．∠A＝∠D C．∠C＝∠F D．AC＝DF 4．若等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为 40°，则它的顶角的度数是（　　） A．50° B．130° C．40° 或 50° D．50° 或 130° 5．如图，在△ABC 中，DE 是 AB 的垂直平分线，交 AB 于点 E，交 BC 于点 D，连接 AD．若 AC＝4，BC＝7，则△ACD 的周长是（　　） A．7 B．11 C．14 D．18 6．如图，OC 是∠AOB 的平分线，点 D 在射线 OC 上，DP⊥OA 于点 P．若 PD＝2，点 Q 在射线 OB 上且 OQ＝6，则△ODQ 的面积是（　　） A．6 B．3 C．12 D．9 7．如图，在△ABC 中，点 D 在边 AB 上，点 A 关于直线 CD 的对称点 E恰好落在线段 BC 上，连接 DE．若 AB＝10，AC＝4，BC＝9，则△BDE 的周长是（　　） A．13 B．15 C．17 D．无法确定 8．在△ABC 中，AB＝AC，AB 边上的中线 CD 把△ABC 的周长分成 24 和 12两部分，则 AB 的长是（　　） A．16 B．8 C．16 或 8 D．8 或 4 9．在平面直角坐标系中，若点 P（a，3）与点 Q（－2，b）关于 x 轴对称，则 a＋b 的值是（　　） A．－5 B．5 C．－1 D．1 10．如图，在△ABC 中，AB＝AC，∠A＝40°，DE 是 AB 的垂直平分线，交 AB 于点 E，交 AC 于点 D，连接 BD．则∠DBC 的度数是（　　） A．30° B．35° C．40° D．70° 二、填空题（本大题共 6 小题，每小题 3 分，共 18 分．请把答案填在题中的横线上） 11．如图，∠ACD 是△ABC 的外角，CE 平分∠ACD．若∠A＝50°，∠B＝70°，则∠ECD 的度数是　　　　　　°． 12．已知 a、b、c 是△ABC 的三边长，则 |a＋b－c|－|a－b－c| 化简的结果是　　　　　　． 13．如图，在△ABC 中，∠C＝90°，AD 平分∠BAC 交 BC 于点 D．若∠ADC＝65°，则∠B 的度数是　　　　　　°． 14．如图，在△ABC 中，∠ABC 与∠ACB 的平分线相交于点 P，过点 P 作 PD⊥BC 于点 D．若 PD＝2，△ABC 的周长是 18，则△ABC 的面积是　　　　　　． 15．如图，△ABC 的两条外角平分线 BP、CP 相交于点 P．若∠A＝80°，则∠P 的度数是　　　　　　°． 16．如图，点 G 是等边三角形 ABC 内任意一点，GD∥BC，GE∥AC，GF∥AB，点 D、E、F 分别在边 AB、BC、AC 上．若 AB＝6，则 DG＋EG＋FG＝　　　　　　． 三、解答题（本大题共 8 小题，共 52 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17．（6 分）如图，点 A、B、C、D 在同一条直线上，AE∥CF，AE＝CF，AB＝CD． （1）求证：△ABE≌△CDF； （2）求证：BE∥DF． 18．（6 分）如图，在△ABC 中，点 D 是 BC 上一点，DE⊥AB 于点 E，DF⊥AC 于点 F，且 DE＝DF． （1）求证：AD 平分∠BAC； （2）若 AB＝13，AC＝12，DE＝3，求△ABC 的面积． 19．（6 分）如图，在△ABC 中，AD 平分∠BAC 交 BC 于点 D，DE∥AC 交 AB 于点 E． 求证：△AED 是等腰三角形． 20．（6 分）如图，AC 与 BD 相交于点 O，AB∥CD，AB＝CD． 求证：OA＝OC，OB＝OD． 21．（7 分）如图，点 C 是线段 AB 上一点，分别以 AC、BC 为边在 AB 的同侧作等边三角形 ACD 和等边三角形 BCE，AE 与 BD 相交于点 F． （1）求证：AE＝BD； （2）求∠AFB 的度数． 22．（7 分）如图，在△ABC 中，AB＝AC，∠BAC＝120°，点 D 与点 A 在直线 BC 的两侧，AD⊥BC 于点 G，且 AD＝AB，∠EDF＝60°，∠EDF 的两边分别交边 AB、AC 于点 E、F． （1）求证：△ABD 是等边三角形； （2）求证：BE＝AF． 23．（7 分）如图，∠ACD 是△ABC 的外角，∠ABC 的平分线与∠ACD 的平分线相交于点 E． （1）若∠A＝60°，∠ABC＝40°，求∠E 的度数； （2）直接写出∠E 与∠A 的数量关系． 24．（8 分）如图，在△ABC 中，AB＝AC，点 D 在边 BC 上，∠ADE＝∠B，DE 交边 AC 于点 E． （1）求证：∠BAD＝∠CDE； （2）若 AB＝DC，求证：AD＝DE． 学科网（北京）股份有限公司 $