精品解析：辽宁沈阳市南昌新世界学校2026-2027学年九年级上学期9月学科素养评估数学试卷

2026-2027沈阳南昌新世界九年级数学9月月考试卷 （九年级数学学科素养评估） 考试时间：120分钟 一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分） 1. 若关于的一元二次方程 的一个根是2，则的值为（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 2. 用配方法解方程，配方后所得的方程是（ ） A. B. C. D. 3. 若关于x的一元二次方程有实数根，则实数a的取值范围是（ ） A. B. C. 且 D. 且 4. 对于实数定义运算“☆”如下：，例如，则方程的根的情况为（ ） A. 没有实数根 B. 只有一个实数根 C. 有两个相等的实数根 D. 有两个不相等的实数根 5. 如图，在矩形中，点在边上，，连接，若，，则的长为（　　） A. 1 B. 5 C. 2 D. 6. 如图，在中，，点为的中点，某同学用刻度尺测量长度时，点，对应的刻度分别为，，则的长为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 7. 如图，在四边形中，对角线与互相垂直平分，，则四边形的周长为（ ） A. 6 B. 9 C. 12 D. 18 8. 如图，正方形的对角线，交于点，、分别为、的中点，若，则的长是（    ） A. B. C. D. 9. 某校进行体操队列训练，原有8行10列，后增加40人，使得队伍增加的行数、列数相同，你知道增加了多少行或多少列吗？设增加了行或列，则列方程得（　　） A. (8﹣) (10﹣)=8×10﹣40 B. (8﹣)(10﹣)=8×10+40 C. (8+)(10+)=8×10﹣40 D. (8+)(10+)=8×10+40 10. 在一幅长80cm，宽50cm的矩形风景画的四周镶一条金色纸边，制成一幅矩形挂图，如图所示，如果要使整个挂图的面积是5400，设金色纸边的宽度为xcm（风景画四周的金色纸边宽度相同），则x的值为（ ） A. 10 B. 8 C. 7 D. 5 二．填空题（共5小题，满分15分，每小题3分） 11. 一元二次方程的解是______． 12. 若，则______． 13. 若等腰三角形的一边长是4，另两边的长是关于的方程的两个根，则的值为______． 14. 如图，在矩形中，连接，分别以B，D为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于P、Q两点，作直线，分别与交于点M、N，连接．若．则四边形的周长为_____． 15. 如图，把边长为3的正方形绕点逆时针旋转得到正方形与交于点的延长线交于点，交的延长线于点．若，则___________． 三．解答题（共8小题，满分75分） 16. 解方程： （1）； （2）． 17. 已知． （1）化简； （2）若为方程的一个解，求的值． 18. 已知关于的方程． （1）若方程总有两个实数根，求的取值范围； （2）若两实数根满足，求的值． 19. 如图，四边形是菱形，对角线，相交于点，已知，． （1）求菱形的边长； （2）若于点，直接写出的长． 20. 如图，E，F是正方形ABCD的对角线BD上的两点，且BE＝DF． （1）求证：△ABE≌△CDF； （2）若AB＝3，BE＝2，求四边形AECF的面积． 21. 综合与实践 “庐山三日游”的调研分析 背景 随着“人文圣山”庐山成为近期热度较高的旅游目的地之一，某旅行社推出“庐山三日游”旅行活动，现要对活动方案进行升级，需要对“庐山三日游”旅行的定价和报名人数进行调研 素材1 活动推出后，9月份报名参加“庐山三日游”的人数为1500，随着旅游热度不断提升，报名人数逐月递增，预计11月份的报名人数将达到2160 素材2 该旅行社“庐山三日游”活动的初步方案：30人及以上可组团，每人的团费为900元．经调查发现，若每人的团费每降低10元，平均每个团的报名人数会增加1人，但每人的团费不低于750元 请完成“问题解决” （1）求从9月份到11月份“庐山三日游”旅行活动报名人数的月平均增长率 （2）若该旅行社要使平均每个团的总团费为32000元，求下调后每人的团费 22. 矩形纸片，其中，，将矩形纸片对折，使A与B重合，C与D重合，折痕为（如图1），然后展开，再将矩形进行第二次折叠，使点C与点A重合，折痕为（如图2），然后展平，两条折痕交于点P． 猜想证明： （1）求证：； （2）若时，求线段的长． （3）连接，，，（如图3），判断四边形的形状，并说明理由． （4）如图4，若，点N是线段上的动点，将沿所在直线折叠，得到，连接，交线段于点O，当是直角三角形时，直接写出此时的长． 23. 如图，在平面直角坐标系中，是等腰直角三角形，，，点D在x轴的负半轴上，点E在第二象限，矩形的顶点，点C在x轴的正半轴上，点A在y轴的正半轴上．将沿x轴向右平移，得到． （1）如图1，当经过点A时，求直线的函数解析式； （2）设，与矩形重叠部分的面积为S． ①如图2，当与矩形重叠部分为五边形时，与相交于点M，分别与，交于点N，P，求重叠部分面积S（用含有t的式子表示），并直接写出t的取值范围； ②从初始位置起向右平移的过程中，当时，直接写出t的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027沈阳南昌新世界九年级数学9月月考试卷 （九年级数学学科素养评估） 考试时间：120分钟 一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分） 1. 若关于的一元二次方程 的一个根是2，则的值为（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 【答案】D 【解析】 【分析】根据韦达定理，可知另一个根为，再根据韦达定理可知的值为根之和，即可求得 【详解】的一个根为2，设另一根为 ，解得 又 故选D 【点睛】本题考查了一元二次方程根与系数的关系即韦达定理，熟悉韦达定理是解题的关键． 2. 用配方法解方程，配方后所得的方程是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】直接利用配方法进行配方即可． 【详解】解： 故选：D． 【点睛】本题考查了配方法，解决本题的关键是牢记配方法的步骤，本题较基础，考查了学生对基础知识的掌握与基本功等． 3. 若关于x的一元二次方程有实数根，则实数a的取值范围是（ ） A. B. C. 且 D. 且 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程 (为常数)的根的判别式，根据一元二次方程根的判别式进行判断即可求解．当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程没有实数根．根据一元二次方程的定义和根的判别式求解．首先确保二次项系数不为零，再计算判别式并使其非负． 【详解】解：∵关于x的一元二次方程有实数根， ∴二次项系数，即． 令，即， 解得． ∴且 故选：C． 4. 对于实数定义运算“☆”如下：，例如，则方程的根的情况为（ ） A. 没有实数根 B. 只有一个实数根 C. 有两个相等的实数根 D. 有两个不相等的实数根 【答案】D 【解析】 【分析】本题根据题目所给新定义将方程变形为一元二次方程的一般形式，即的形式，再根据根的判别式的值来判断根的情况即可． 【详解】解：根据题意由方程得： 整理得： 根据根的判别式可知该方程有两个不相等实数根． 故选D． 【点睛】本题主要考查了根的判别式，根据题目所给的定义对方程进行变形后依据的值来判断根的情况，注意时有两个不相等的实数根；时有一个实数根或两个相等的实数根；时没有实数根． 5. 如图，在矩形中，点在边上，，连接，若，，则的长为（　　） A. 1 B. 5 C. 2 D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查矩形的性质，勾股定理，熟练掌握矩形的性质，勾股定理，是解题的关键，勾股定理求出的长，进而得到的长，推出的长，进而求出的长，再利用勾股定理求出的长即可． 【详解】解：∵矩形， ∴，，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； 故选D. 6. 如图，在中，，点为的中点，某同学用刻度尺测量长度时，点，对应的刻度分别为，，则的长为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】C 【解析】 【分析】根据直角三角形斜边中线的性质即可求解． 【详解】解：∵点，对应的刻度分别为，， ∴， ∵，点为的中点， ∴． 7. 如图，在四边形中，对角线与互相垂直平分，，则四边形的周长为（ ） A. 6 B. 9 C. 12 D. 18 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了线段垂直平分线的性质，解题的关键是熟练掌握线段垂直平分线的性质． 根据线段垂直平分线的性质，可得四边形的四条边长相等，代入已知边长，计算周长即可． 【详解】解：∵在四边形中，对角线与互相垂直平分， ∴，，， ∴， ∵， ∴四边形的周长为， 解法二： ∵在四边形中，对角线与互相垂直平分， ∴四边形为菱形， ∴菱形的周长为，   故选：． 8. 如图，正方形的对角线，交于点，、分别为、的中点，若，则的长是（    ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由题意可得，是的中位线，然后根据中位线的性质定理解答即可． 【详解】解：、分别为、的中点， 是的中位线． ，即． ， ． 故选：D． 【点睛】本题考查了三角形中位线的定义与性质，掌握三角形的中位线性质定理是解题的关键． 9. 某校进行体操队列训练，原有8行10列，后增加40人，使得队伍增加的行数、列数相同，你知道增加了多少行或多少列吗？设增加了行或列，则列方程得（　　） A. (8﹣) (10﹣)=8×10﹣40 B. (8﹣)(10﹣)=8×10+40 C. (8+)(10+)=8×10﹣40 D. (8+)(10+)=8×10+40 【答案】D 【解析】 【详解】增加了行或列，现在是行，列，所以(8+)(10+)=8×10+40. 10. 在一幅长80cm，宽50cm的矩形风景画的四周镶一条金色纸边，制成一幅矩形挂图，如图所示，如果要使整个挂图的面积是5400，设金色纸边的宽度为xcm（风景画四周的金色纸边宽度相同），则x的值为（ ） A. 10 B. 8 C. 7 D. 5 【答案】D 【解析】 【分析】设金色纸边的宽度为厘米，得到，进而得出结论． 【详解】设金色纸边的宽度为厘米， 则， 化简为：， 解得：（不合题意舍去），， 故选：D． 【点睛】本题考查用一元二次方程解决实际问题，正确列出方程是解题的关键． 二．填空题（共5小题，满分15分，每小题3分） 11. 一元二次方程的解是______． 【答案】，##， 【解析】 【分析】运用因式分解法即可求解． 【详解】解：， ∴， ∴或， ∴，． 12. 若，则______． 【答案】 【解析】 【详解】解：． 13. 若等腰三角形的一边长是4，另两边的长是关于的方程的两个根，则的值为______． 【答案】8或9 【解析】 【分析】分4为等腰三角形的腰长和4为等腰三角形的底边长两种情况，再利用一元二次方程根的定义、根的判别式求解即可得． 【详解】解：由题意，分以下两种情况： （1）当4为等腰三角形的腰长时，则4是关于的方程的一个根， 因此有， 解得， 则方程为，解得另一个根为， 此时等腰三角形的三边长分别为，满足三角形的三边关系定理； （2）当4为等腰三角形的底边长时，则关于的方程有两个相等的实数根， 因此，根的判别式， 解得， 则方程为，解得方程的根为， 此时等腰三角形的三边长分别为，满足三角形的三边关系定理； 综上，的值为8或9， 故答案为：8或9． 【点睛】本题考查了一元二次方程根的定义、根的判别式、等腰三角形的定义等知识点，正确分两种情况讨论是解题关键．需注意的是，要检验三边长是否满足三角形的三边关系定理． 14. 如图，在矩形中，连接，分别以B，D为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于P、Q两点，作直线，分别与交于点M、N，连接．若．则四边形的周长为_____． 【答案】10 【解析】 【分析】本题考查矩形的性质，尺规作图—作垂线，菱形的判定和性质，勾股定理，根据作图可知：垂直平分，证明，得到，推出四边形为菱形，设，在中，利用勾股定理求出的值，进而求出四边形的周长即可． 【详解】解：由作图可知：垂直平分，设，相交于点， ∴， ∵矩形， ∴，， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴互相垂直平分， ∴四边形为菱形， ∴， 设，则：， 在中，由勾股定理，得：， 解得：， ∴， ∴四边形的周长为． 故答案为：10． 15. 如图，把边长为3的正方形绕点逆时针旋转得到正方形与交于点的延长线交于点，交的延长线于点．若，则___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了旋转的性质，勾股定理，正方形的性质，相似三角形的判定与性质等知识，熟练掌握相关知识是解题的关键． 由，推出，再由可得，设，在中由勾股定理求出，再由求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵把边长为3的正方形绕点O逆时针旋转得到正方形， ∴，， ∴， 又∵， ∴， ∴， 设，则，， 在中，由勾股定理得：， 即， 解得：或0（舍去）， ∴， ∵正方形中， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 三．解答题（共8小题，满分75分） 16. 解方程： （1）； （2）． 【答案】（1）， （2）， 【解析】 【分析】（1）因式分解法解方程即可； （2）公式法解方程即可． 【小问1详解】 解：， ， ∴或， ∴，； 【小问2详解】 解：，其中，，， ∴， ∴， ∴，． 17. 已知． （1）化简； （2）若为方程的一个解，求的值． 【答案】（1）； （2）． 【解析】 【分析】（1）根据分式的运算法则，对分式进行通分、合并、约分化简即可； （2）依题意将代入方程整理可得即可求解． 【小问1详解】 解： ． 【小问2详解】 是方程的解， ， ， ， ． 【点睛】本题考查了分式的化简求值；解题的关键是熟练掌握分式的运算法则正确化简． 18. 已知关于的方程． （1）若方程总有两个实数根，求的取值范围； （2）若两实数根满足，求的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由方程求出判别式即可； （2）由一元二次方程根与系数的关系，用含代数式表示两根之和及两根之积，由此即可求解． 【小问1详解】 解：， ∵方程总有两个实数根， ∴， ∴． 【小问2详解】 解：由， ∵，， ∴原式即为：，整理得，， ∴解得（舍）或． 【点睛】本题考查了一元二次方程的判别式及根与系数的关系，解题关键是将熟练掌握一元二次方程的判别式与根的关系及两根之积与两根之和． 19. 如图，四边形是菱形，对角线，相交于点，已知，． （1）求菱形的边长； （2）若于点，直接写出的长． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据菱形的对角线相互垂直平分这一性质，判断，再由勾股定理求解即可； （2）利用，即可求解答案． 【小问1详解】 解：∵四边形是菱形， ∴，相互垂直平分，即， ∵，， ∴， 即菱形的边长为； 【小问2详解】 解：由（1）可知，，， ∴， ， ∴， ∴． 20. 如图，E，F是正方形ABCD的对角线BD上的两点，且BE＝DF． （1）求证：△ABE≌△CDF； （2）若AB＝3，BE＝2，求四边形AECF的面积． 【答案】（1） 证明： 正方形ABCD， （2）6 【解析】 【分析】（1）利用正方形的性质证明再结合BE＝DF，从而可得结论； （2）先利用正方形的性质证明 再求解EF的长，再利用四边形AECF的面积，即可得到答案． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 如图，连结AC， 正方形ABCD， ∴四边形AECF的面积 【点睛】本题考查的是全等三角形的判定与性质，正方形的性质，勾股定理的应用，二次根式的乘法运算，掌握“正方形的对角线相等且互相垂直平分”是解本题的关键． 21. 综合与实践 “庐山三日游”的调研分析 背景 随着“人文圣山”庐山成为近期热度较高的旅游目的地之一，某旅行社推出“庐山三日游”旅行活动，现要对活动方案进行升级，需要对“庐山三日游”旅行的定价和报名人数进行调研 素材1 活动推出后，9月份报名参加“庐山三日游”的人数为1500，随着旅游热度不断提升，报名人数逐月递增，预计11月份的报名人数将达到2160 素材2 该旅行社“庐山三日游”活动的初步方案：30人及以上可组团，每人的团费为900元．经调查发现，若每人的团费每降低10元，平均每个团的报名人数会增加1人，但每人的团费不低于750元 请完成“问题解决” （1）求从9月份到11月份“庐山三日游”旅行活动报名人数的月平均增长率 （2）若该旅行社要使平均每个团的总团费为32000元，求下调后每人的团费 【答案】（1） （2）元 【解析】 【分析】（1）设从9月份到11月份“庐山三日游”旅行活动报名人数的月平均增长率为．根据题意月份人数人，则月为，月为，建立方程求解即可; （2）设下调后每人的团费为（）元，根据该旅行社要使平均每个团的总团费为元，列出一元二次方程，解之取符合题意的值即可． 【小问1详解】 解：设从9月份到11月份“庐山三日游”旅行活动报名人数的月平均增长率为． 由题意，得， 解得，（不符合题意，舍去）． 故从9月份到11月份“庐山三日游”旅行活动报名人数的月平均增长率为． 【小问2详解】 解：， 平均每个团的人数超过人． 设下调后每人的团费为（）元． 由题意，得， 整理，得， 解得，（不符合题意，舍去）． 故下调后每人的团费为元． 22. 矩形纸片，其中，，将矩形纸片对折，使A与B重合，C与D重合，折痕为（如图1），然后展开，再将矩形进行第二次折叠，使点C与点A重合，折痕为（如图2），然后展平，两条折痕交于点P． 猜想证明： （1）求证：； （2）若时，求线段的长． （3）连接，，，（如图3），判断四边形的形状，并说明理由． （4）如图4，若，点N是线段上的动点，将沿所在直线折叠，得到，连接，交线段于点O，当是直角三角形时，直接写出此时的长． 【答案】（1）证明：四边形是矩形， ， ， 折叠， ， ， ； （2） （3）四边形是平行四边形，理由如下： 由第一次折叠可得，，， ， 由第二次折叠可得，，， 四边形是矩形， ，， ， ， ， ， ， ，， ， ， 四边形是平行四边形； （4）或 【解析】 【分析】（1）由四边形是矩形，得，进而得， ，即可证明结论； （2）设，由折叠，得，在中，由，求得即可求解 ； （3）根据折叠可得出，，，根据平行线的性质得出，则，根据等角对等边得出，然后根据证明，得出，，再证明，最后根据平行四边形的判定即可得证； （4）分和讨论，根据矩形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理等知识求解即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：设， ， 折叠， ， ， ， 四边形是矩形， ，， 在中，，， ， ， ； 【小问3详解】 略 【小问4详解】 解：由题意知， 在中，， ， 解得， ， 当，如图， 则， 四边形是矩形， ，， 翻折， ，， ， 在中，， ， 解得， ； 当时，如图， 连接，过作于点， 则四边形是矩形， ，， ，， ， ， ， ，， ， ， 在中，， ， 解得， ， 过作于点， 则， 即， 解得， ， ， 在中，， ， 解得， ； 综上所述，的长为或． 23. 如图，在平面直角坐标系中，是等腰直角三角形，，，点D在x轴的负半轴上，点E在第二象限，矩形的顶点，点C在x轴的正半轴上，点A在y轴的正半轴上．将沿x轴向右平移，得到． （1）如图1，当经过点A时，求直线的函数解析式； （2）设，与矩形重叠部分的面积为S． ①如图2，当与矩形重叠部分为五边形时，与相交于点M，分别与，交于点N，P，求重叠部分面积S（用含有t的式子表示），并直接写出t的取值范围； ②从初始位置起向右平移的过程中，当时，直接写出t的值． 【答案】（1） （2）①，；②或 【解析】 【分析】（1）根据平移的性质可得是等腰直角三角形，根据矩形的性质可得，从而得到，最后用待定系数法即可求得答案； （2）①根据，即可求得，再结合题意列不等式组即可求得；②分五种情况讨论：当时，与矩形重叠部分为三角形；当时，与矩形重叠部分为四边形（梯形）；当时，重叠部分为梯形；当时，与矩形重叠部分为五边形；当时，重叠部分为矩形，分别画出图形，结合图形建立方程求解即可． 【小问1详解】 解：如图①，当经过点时，    矩形的顶点， ， 由平移的性质可得：为等腰直角三角形， ， ， 是等腰直角三角形， ， ， 设直线的解析式为， 将代入得：， 解得：， 直线的解析式为：； 【小问2详解】 解：①如图②，当与矩形重叠部分为五边形时，    矩形中，， 四边形是矩形， 设，则， ，， ， 是等腰直角三角形， ， ， ， ； ②当时，与矩形重叠部分为三角形，如图，    重叠部分的面积为：， ， ，解得：， ， 不符合题意，此时重叠部分面积不可能为； 当时，与矩形重叠部分为四边形（梯形），如图④，    则， ， ， 解得：， ， 符合题意； 当时，重叠部分为梯形，为定值，不能等于； 当时，与矩形重叠部分为五边形， 由①知：， ， 解得：（舍去），； 当时，重叠部分为矩形，如图⑤，    ， ， 当时，，不符合题意； 综上所述，满足的所有的值为或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $