2026-2027学年冀教版数学九年级上册期中仿真模拟试卷二（范围：1-3章）

冀教版数学九年级上学期期中仿真模拟试卷二（范围：1-3章） 一、选择题 1．若是一元二次方程，则m的值为（　　） A． B．3 C． D．9 2．如图，四边形ABCD为正方形，延长BC至点E，以线段CE为边作正方形CEFG，取 BC的中点H，连结DH，下列能说明点G是线段 DC的黄金分割点的条件是(　　) A．HC=CE. B．DH=2CE. C．DH=HE. D． 3．小庆、小铁、小娜、小萌四名同学均从1，2，3，4，5，6这六个数字中选出四个数字，玩猜数游戏．下列选项中，能确定该同学选出的四个数字含有1的是(　　) A．小庆选出的四个数字的方差等于4.25 B．小铁选出的四个数字的方差等于2.5 C．小娜选出的四个数字的平均数等于3.5 D．小萌选出的四个数字的极差等于4 4．若关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则实数的值为（　　） A． B． C．2 D．4 5．如图，在中，，点为线段上一动点（不与点，重合），连接，作，交线段于点． 下面是某学习小组根据题意得到的结论： 甲同学：； 乙同学：若，则； 丙同学：当时，为的中点． 则下列说法正确的是（　　） A．三个同学都正确 B．只有乙和丙同学正确 C．只有甲和丙同学正确 D．只有甲同学正确 6．在统计学中经常用一组数据的最小值、第一四分位数、中位数、第三四分位数和最大值画出箱线图来反映数据的分布情况．已知一班和二班人数相等，在一次考试中两个班成绩的箱线图如图所示，则下列说法正确的是(　　) A．一班成绩比二班成绩集中 B．一班成绩的第一四分位数是80分 C．一班有同学的成绩超过140分 D．一班成绩的中位数低于二班 7．如图，小亮在做小孔成像实验时，测得物距为，像距为，蜡烛火焰倒立的像的高度是，则蜡烛火焰的高度是（　　） A． B． C． D． 8．如图为2025年9月的月历表，在此月历表上可以用一个矩形圈出2×3个位置相邻的数.如果圈出的6个数中，最小数与最大数x的积为190，那么根据题意可列方程（　　） A．x（x+9）=190 B．x（x-8）=190 C．（x+9）（x-9）=190 D．x（x-9）=190 9．我们称形如（）的方程为关于x的“标准二次方程”。若两个一元二次方程可以写成和的形式（和相同，），则称它们是“伙伴方程”．如2（x﹣3）2﹣4＝0与3（x﹣3）2﹣4＝0就是“伙伴方程”．已知2（x﹣1）2﹣1＝0与（a+1）x2+（b﹣2）x﹣2＝0是伙伴方程，那么代数式ax2+bx+2026能取的最大值是（　　） A．2025 B．2026 C．2027 D．2028 10．如图，已知菱形ABCD，AD=4，点E是CD上一点，连结BE，△BCE沿BE翻折，点C的对称点F刚好落在边AD上，BF，BE与对角线AC分别交于点 G，H，若AF=EF，则CH的长度为（　　) A． B． C． D． 二、填空题 11．一组数据2，3，x，y，7中，唯一众数是7，平均数是4，这组数据的中位数是　 　． 12．若，为一元二次方程的两个根，则的值为　 　． 13．如图，在△ABC 中，点 D，E 分别在边 BA，CA 上，DE∥BC， ，BC =12，那么DE=　 　. 14．如图，已知与位似，位似中心为点O．若，的周长与的周长之比为　 　． 15．一次数学探究活动中，老师给出了两个二次多项式 （其中 p，q，c均是不为零的常数)及这两个代数式的一些信息，如表所示： 二次多项式 对二次多项式进行因式分解 对二次多项式使用配方法 （2x+a) （x+b) （x+a) （-x+b) （说明： a，b，m，n，k1， k2均为常数) 有学生探究得到以下四个结论： ①若p+q=12， 则 2m+6=n； ②若 p=q=2，则 ③若有且只有一个 x的值，使代数式 的值为 0，则 p-4q=0； ④若 m-n=2，则 c的值不可能是-5. 其中所有正确结论的序号是　 　. 16．如图，在四边形中，，，，点E在边上，，连接，且．点F在的延长线上，连接．若，则线段的长为　 　． 三、解答题 17．选择适当的方法解下列方程： （1）2x2﹣3x＝0； （2）x2﹣4x+3＝0． 18．计算题 （1）已知 ，求 ； （2） 已知 ，求证： . 19．已知关于的一元二次方程． （1）当方程有两个实数根时，求的取值范围． （2）当方程的两个根满足时，求的值． 20． 在边长为1的正方形的网格中，的顶点均为格点（网格线的交点）．（要求使用无刻度的直尺画图） （1）以A点为位似中心，在网格区域内将放大2倍得到． （2）在线段上画一个点M，使． 21．某工厂计划生产一批智能机器人的关节部件，其外壳部分需要使用 3D 打印技术制造.现有甲、乙两个品牌的钛合金粉末(打印原料)可供选择，工厂的质检部门各随机抽取了10桶进行测试打印，按顺序记录下每桶原料打印的合格产品数量，并对数据进行整理、描述和分析，部分信息如下： 信息一： 每桶打印合格产品数(单位：个) 甲： 48 51 48 51 48 50 51 50 51 52 乙： 45 49 46 56 45 49 54 48 49 59 信息二： 信息三：每桶打印合格产品数统计表 品牌 平均数 中位数 方差 甲 m 50.5 2 乙 50 n 20.6 请根据以上信息，解答下列问题： （1）求甲品牌每桶打印合格产品数的平均数m的值； （2）求乙品牌每桶打印合格产品数的中位数n的值； （3）若每桶打印合格产品数越稳定越有利于生产，你认为工厂的质检部门会推荐哪个品牌?说明理由. 22．如图，在中，对角线和相交于点O，在的延长线上取一点E，连接交于点F，，求的长度． 23．某公园有一块长30米，宽20米的长方形空地，现将其划分成一个长方形区域I（阴影部分）和一个环形道路区域II（空白部分），如图1所示．区域II道路的宽度相等，且不超过5米．其中区域种植甲、乙两种花卉，且满足，设道路宽为米． （1）请用含的代数式表示长方形的面积； （2）若长方形的面积为336平方米，求道路宽的值； （3）若点为的中点，建设成本如图2，建造总费用恰好为50000元（建造总费用包含花卉种植费和道路铺设费），求道路宽的值． 24．教材母题：北师大（2024版）教材P21习题1.2第4题，已知△ABC为等边三角形，其边长为4.点P是AB边上一动点，连接CP. （1）如图1，点E在AC边上且AE=BP，连接BE交CP于点F. ①求证：BE=CP； ②求∠BFC的度数； （2）变式提升： 如图2，将线段CP绕点C顺时针旋转120°得线段CQ，连接BQ交AC于点D.设BP=x，CD=y，求y与x的函数关系式，并写出自变量x的取值范围； （3）拓展应用： 如图3，在（2）的条件下，延长BC至点E，且CE=BP，连接QE，DE.在点P运动过程中，当△CEQ的周长为时，求DE的长. 25．综合与实践 综合与实践课上，老师让同学们以“矩形的旋转”为主题开展数学活动． 在矩形中，，，将矩形绕点顺时针旋转得到矩形，其中点，分别是点，的对应点． （1）如图1，连接，，则的值为 　 　 ． （2）如图2，当点恰好落在边上，连接交于点，连接． ①的长度为 ． ②求证：． （3）若直线，交于点，当时，请直接写出的长． 答案解析部分 1．【答案】A 【知识点】一元二次方程的定义及相关的量 【解析】【解答】解：∵ 方程 是关于 的一元二次方程， ， 解得 . 故答案为：A . 【分析】根据一元二次方程的定义得到3-m≠0且m2-7=2，求出m的值即可. 2．【答案】C 【知识点】勾股定理；正方形的性质；黄金分割 【解析】【解答】解：∵四边形为正方形， ∴设，， ∵的中点， ∴， ∴， 选项A：∵，正方形， ∴， ∴， ∴，， 故选项A不符合题意； 选项B：∵， ∴， ∵正方形， ∴， ∴， ∴，， 故选项B不符合题意； 选项C：∵，， ∴， ∴ ∵正方形， ∴， ∴， ∴，， 当，选项C符合题意； 选项D：∵，， ∴， ∵正方形， ∴， ∴， ∴，， 故选项D不符合题意． 故答案为：C . 【分析】先设正方形的边长为，可求出，然后根据选项给的条件结合正方形判断或者即可求解． 3．【答案】A 【知识点】平均数及其计算；方差 【解析】【解答】解：A、假设选出的数据没有1，则选出的数据为2，3，5，6时，方差最大，此时 ，方差为 ，当数据为1，2，5，6时， ， ，故该选项符合题意； B、当该同学选出的四个数字为2，3，5，6时， ， ，故该选项不符合题意； C、当该同学选出的四个数字为2，3，4，5时， ，故该选项不符合题意； D、当选出的数据为2，4，5，6或2，3，4，6时，极差也是4，故该选项不符合题意. 故选：A. 【分析】根据方差，平均数，极差的定义逐一判断即可. 4．【答案】D 【知识点】一元二次方程根的判别式及应用；已知一元二次方程的根求参数 【解析】【解答】解：∵方程是关于的一元二次方程， ∴ ∵方程有两个相等的实数根， ∴根的判别式， 把，，代入得 解得． 故选：D 【分析】本题以一元二次方程根的判别式为背景，考查了一元二次方程的定义及根的判别式的应用。根据方程有两个相等的实数根，需满足二次项系数 m0 且判别式 = 0，列方程求解 m 的值。 5．【答案】A 【知识点】三角形全等的判定-AAS；全等三角形中对应边的关系；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边 【解析】【解答】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴，故甲同学说法正确； 若， ∵， ∴， ∴，故乙同学说法正确； 当时，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴为的中点，故丙同学说法正确； 综上，三个同学说法都正确， 故选：． 【分析】由等腰三角形的性质可得，利用三角形外角性质可得，即可，即可判断甲；证明即可判断乙；证明，由等腰三角形的性质即可判断丙；据此即可求解． 6．【答案】B 【知识点】箱线图；四分位数 【解析】【解答】解：选项A：箱线图中，箱体越短代表数据越集中. 一班的箱体长度长于二班，因此一班成绩更分散，该选项错误. 选项B：一班成绩的下四分位数对应的是箱体下端，图中一班箱体下端为80分，故该选项正确. 选项C：箱线图的最大值为140分，说明一班成绩的最大值是140分，无同学超过140分，该选项错误. 选项D：一班成绩的中位数是箱体中间线(100分)，二班中位数低于100分，因此一班中位数高于二班，该选项错误. 故选：B. 【分析】箱线图的含义：箱体长度反映数据集中程度(越短越集中)，箱体下端是下四分位数、中间线是中位数，须线端点是最值. 再逐一分析选项. 7．【答案】B 【知识点】相似三角形的实际应用 【解析】【解答】解：设蜡烛火焰的高度是， 由相似三角形的性质得到， 解得， 即蜡烛火焰的高度是． 故选：B． 【分析】设蜡烛火焰的高度是，根据相似三角形的性质得到，从而解方程即可求解。 8．【答案】D 【知识点】列一元二次方程 【解析】【解答】解： 由题意知，最小数为（x-7）-2=x-9， 则由“最小数与最大数x的积为190”得到：x（x-9）=190 故答案为：D . 【分析】根据最大数为x，则可表示出最小数，由这两个数的积为190列出方程即可. 9．【答案】D 【知识点】配方法的应用；求代数式的值-整体代入求值；一元二次方程的一般形式 【解析】【解答】解：由2(x-1)2-1=0，得伙伴方程的形式为：k(x-1)2-1=0， 展开：k(x2-2x+1)-1=0，即kx2-2kx+(k-1)=0， 对比方程(a+1)x2+(b-2)x-2=0得： 则k=a+1，-2k=b-2，k-1=-2， 解得k=-1，a=-2，b=4， 则代数式-2x2+4x+2026=-2(x2-2x)+2026=-2(x-1)2+2028， 因为-2(x-1)2≤0，当x=1时，代数式取最大值2028。 故答案为：D. 【分析】先根据伙伴方程定义：两个方程的标准形式为k1(x一h)2+p=0、k2(x一h)2+p=0，即 h=1，p=-1；然后把方程(a+1)x2+(b-2)x-2=0化为标准二次方程k(x-1)2-1=0，展开后对比系数，求出a、b；最后代入代数式ax2+bx+2026，即可求解最大值， 10．【答案】D 【知识点】菱形的性质；轴对称的性质；三角形全等的判定-SAS；相似三角形的判定-AA；等腰三角形的性质-等边对等角 【解析】【解答】解：由题可知，， ， 在和中， ， ， ， ， 在菱形中，，为的角平分线， ，则， ， ， 解得，则， ， 即，则， ， ， ， 设，则， ， ， ，即， 整理得，解得或（舍去）， 即． 故答案为：D. 【分析】根据菱形的性质和翻折的性质得到，即可得到，然后推理证明，根据对应边成比例求出CH长解答即可． 11．【答案】3 【知识点】平均数及其计算；中位数；众数 【解析】【解答】 这组数据的平均数是 4， ， . 唯一众数是 7， 中有一个为 7， 或 ， 这组数据为 1， 2， 3， 7， 7， 这组数据的中位数是 3. 故答案为：3. 【分析】先根据平均数和众数的定义得到x，y的值，进而根据中位数的定义解答即可. 12．【答案】-3 【知识点】一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理） 【解析】【解答】解： ， 为一元二次方程 的两个根， ， ， ， 即 的值为 ， 故答案为： 。 【分析】利用根与系数的关系可以求得 ， ，然后将所求式子变形，再代入 ， 计算即可. 13．【答案】4 【知识点】相似三角形的性质-对应面积；相似三角形的判定预备定理（利用平行） 【解析】【解答】解：因为 DE∥BC ， 所以△ADE∽△ABC， 因为 所以 ， 所以， 所以DE=4. 故答案为：4. 【分析】本题主要考查了相似三角形的性质，根据平行相似得到△ADE∽△ABC，进而得到面积比等于相似比的平方，得到相似比，进行求出DE的长。 14．【答案】 【知识点】相似三角形的性质-对应周长；位似图形的性质 【解析】【解答】解：∵与位似，位似中心为点O．且， ∴的周长与的周长之比为， 故答案为：． 【分析】本题以位似三角形为背景，考查了位似图形周长比等于位似比的性质。由可知位似比为，则△ ABC 与△ DEF 的周长之比也为，故填。掌握位似比与周长比的关系是解题的关键。 15．【答案】①④ 【知识点】解二元一次方程组；一元二次方程根的判别式及应用；配方法的应用 【解析】【解答】解：∵ (2x+a)(x+b)=2x2+(a+2b)x+ab (x+a)(-x+b)=-x2+(b-a)x+ab ∴p=a+2b，c=ab，q=b-a，，，， ①∵， ∴ ∵p+q=12， ∴q=12-p ∴ ∴2m+6=n；故正确； ②∵p=q=2， ∴ 解得： ∴；故错误； ③由题意可知：当2x2+px+c=0时，方程有两个相等的实数根， ∴Δ=b2-4ac=p2-8c=(a+2b)2-8ab=(a-2b)2=0， ∴a=2b， ∴p=4b，q=-b. ∴p-4q=4b-4×(-b)=8b≠0；故错误； ④当m-n=2，即， ∴p+2q=-8 ∴a+2b+2(b-a)=4b-a=-8， ∴a=4b+8 ∴c=ab=b(4b+8)=4b2+8b=4(b+1)2-4， ∵4(b+1)2≥0， ∴c=4(b+1)2-4≥-4，所以c的值不可能是-5，说法正确； 综上所述：正确的结论有①④ 故答案为：①④. 【分析】由题意易得p=a+2b，c=ab，q=b-a，，，，，然后根据配方法的应用、根的判别式及二元一次方程组的解法可依次排除答案. 16．【答案】9 【知识点】勾股定理；矩形的判定与性质；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边 【解析】【解答】解：延长，两线交于点， ， ， 又， ， ， ， ， ， ； 如图所示，过点D作于点H，则四边形为矩形， ，， ， ， 设，则， 在中，由勾股定理得， 即， 解得， ∴． 故答案为：9 【分析】本题以四边形中的角平分线及等腰三角形为背景，考查了相似三角形的判定与性质、矩形的判定与性质及勾股定理的应用。延长CE、DA交于点Q，证△EAQ∽△EBC求AQ，由角相等得DQ=DC；过D作DH⊥CF，得矩形ABHD，设CH=HF=m，用勾股定理列方程求m，进而得CF。 17．【答案】（1）解：2x2﹣3x＝0， x（2x﹣3）＝0， x＝0或2x﹣3＝0， x1＝0，； （2）解：x2﹣4x+3＝0， （x﹣1）（x﹣3）＝0， x﹣1＝0或x﹣3＝0， x1＝1，x2＝3． 【知识点】因式分解法解一元二次方程 【解析】【分析】（1）先提取公因数x，利用因式分解法解一元二次方程即可； （2）利用因式分解法得到两个一次方程，解一次方程求出x的值即可. 18．【答案】（1）解：设，且， ∴ （2）证明：设，则，， ∴， ∴ 【知识点】比例的性质 【解析】【分析】（1）设，，然后代入分式计算即可； （2）设，，然后代入等式的右边约分解答即可. 19．【答案】（1）解：关于的一元二次方程，方程有两个实数根， ∴， 整理得，， 解得，； （2）解：方程的两个根， ∴， ∵， ∴，整理得，， ∴， 整理得，， ∴， 解得，， 当时，， 解得，，符合题意； 当时，， ∵， ∴原方程无实数， ∴舍去， ∴． 【知识点】完全平方公式及运用；一元二次方程根的判别式及应用；一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）；根据一元二次方程的根的情况求参数 【解析】【分析】（1）根据二次方程有两个实数根，则判别式，解不等式即可求出答案. （2）根据二次方程根与系数的关系可得，再根据完全平方公式化简等式，再整体代入，解方程可得，再结合二次方程判别式即可求出答案. （1）解：关于的一元二次方程，方程有两个实数根， ∴， 整理得，， 解得，； （2）解：方程的两个根， ∴， ∵， ∴，整理得，， ∴， 整理得，， ∴， 解得，， 当时，， 解得，，符合题意； 当时，， ∵， ∴原方程无实数， ∴舍去， ∴． 20．【答案】（1）解：如图，，即为所求； （2）解：如图，取格点，，连接交于点， ， ， ，故点即为所求． 【知识点】作图﹣相似变换；作图﹣位似变换；相似三角形的性质-对应边；相似三角形的判定预备定理（利用平行） 【解析】【分析】（1）本题考查位似图形的作图，核心是位似变换的性质：位似中心与对应点的连线共线，且对应点到位似中心的距离比等于相似比。以点为位似中心，分别延长、至原长度的2倍，确定点、的位置，顺次连接三点即可得到放大2倍的位似三角形； （2）本题考查利用相似三角形分线段成比例的作图，通过构造平行的线段形成相似三角形，利用相似三角形对应边成比例实现线段的比例分割。选取合适的格点构造一组平行线段，使其长度比为1：3，连接两点形成的直线与的交点即为所求的点，由平行线判定三角形相似，结合相似三角形的性质可验证线段比例符合要求。 21．【答案】（1）解：； （2）解：将乙按从小到大的顺序排列为：45，45，46，48，49，49， 49，54，56，59， 其中第五位与第六位数是49，49， 中位数； （3）解：工厂的质检部门会推荐甲品牌，理由如下： 甲、乙的平均数都为，而甲的方差小于乙的方差， 甲更稳定， 故工厂的质检部门会推荐甲品牌． 【知识点】折线统计图；加权平均数及其计算；中位数；分析数据的集中趋势（平均数、中位数、众数） 【解析】【分析】（1）根据平均数的计算公式解答即可； （2）根据中位数定义解答即可； （3）比较两品牌打印合格产品数的平均数和方差，作出抉择解答即可． 22．【答案】解：如图，过作，交于， ∴， ∴， ∵， ∴，解得，， ∴， ∵， ∴， ∵，，， ∴， ∴， ∴的长为． 【知识点】平行四边形的性质；相似三角形的性质-对应边；相似三角形的判定预备定理（利用平行） 【解析】【分析】如图，过作，交于，根据 平行于三角形一边的直线，与另外两边相交，所得三角形与原三角形相似 ，则，根据相似三角形对应边成比例，得，由平行四边形的性质可得，解得OG，BG的长，根据两角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等证明，则，计算求解即可． 23．【答案】（1）解：． （2）解：由题意得 ， 解得，（舍去）， 答：道路宽为3米． （3）解：∵点为的中点，，四边形是矩形，∴，， ∴， 由题意知： 环形道路的面积为：， 花卉甲的种植面积为：， 花卉乙的种植面积为：， ∴， 整理得： 解得（舍去） 所以当道路宽为5米时，建造总费用为50000元． 【知识点】因式分解法解一元二次方程；一元二次方程的应用-几何问题；用代数式表示几何图形的数量关系 【解析】【分析】（1）利用矩形的面积公式，即可利用含x的代数式表示面积； （2）将长方形的面积代入（1）中的代数式，可列得方程，求解即可； （3）先利用举行的性质，可证得，再分别求出环形道路，花卉甲和乙的种植面积，进而建立一元二次方程，即可求解. （1）解：． （2）解：由题意得 ， 解得，（舍去）， 答：道路宽为3米． （3）解：∵点为的中点，，四边形是矩形， ∴，， ∴， 由题意知： 环形道路的面积为：， 花卉甲的种植面积为：， 花卉乙的种植面积为：， ∴， 整理得： 解得（舍去） 所以当道路宽为5米时，建造总费用为50000元． 24．【答案】（1）解：①证明：∵△ABC是等边三角形， ∴AB=BC，∠A=∠ABC=60°， ∵AE=BP， ∴△ABE≌△BCP（SAS）， ∴BE=CP；②120° （2）解：如图，在AC上截取AG=BP=x，连接BG，QG， 同(1)①的方法知，BG=CP，由旋转知，∠PCQ=120°，CP =CQ， ∴ BG =CQ， 由(1)②知，∠BFC=120°， ∴∠BFC=∠QCP， ∴BG//CQ， ∴四边形BCQG是平行四边形， ∴CD =CG， ∵等边△ABC的边长为4， ∴AC=4， ∴CG = AC- AG = 4-x， ∴CD=(4 - x) = 2-x（0≤x≤4)； 即： （3）解：(3)如图，延长CE至M，使CM=BC=4，连接QM. ∵△ABC为等边三角形， ∴∠A=∠ACB=60°，BC=AC， ∴AC=MC， ∵∠PCQ=120°， ∴∠BCP+∠MCQ=60°， ∵∠BCP+∠ACP =60°， ∴∠ACP=∠MCQ， ∵CP=CQ， ∴△ACP △MCQ(SAS)， ∴MQ=AP=4-x，∠A=∠M， ∴∠ACB=∠M=60°， ∴EM = CM -CE =4-x， ∴EM=QM， ∴△EMQ是等边三角形， ∴QE=EM， ∵△CEQ的周长为4+， ∴ CE+ QE+ CQ = CE + EM+ CQ = CM+ CQ =4+CQ =4+， ∴CQ =， 过点Q作QN⊥EM，则MN=EM=2-x， QN ==(2 -x) ∴CN =CM-MN=2+x 根据勾股定理得，CN2+QN2=CQ2， (2+x)2+[(2-x）]2=()2， 解得x=1或3， 当x=1时，BP =CE =1，CD=y =2-= 过点D作DH⊥BC于点H，则CH=CD=，DH== ∴EH =CH + CE= ∴DE== 当x=3时，BP =CE=3，CD=2-=， ∴CH=CD=，DH==，EH=+3=， ∴DE== 综上所述，DE的长为或 【知识点】三角形全等的判定；等边三角形的判定与性质；平行四边形的判定与性质；旋转的性质；一元二次方程的应用-几何问题 【解析】【解答】解：（1）②由①知△ABE≌△BCP， ∴∠ABE=∠BCP， ∵ △ABC为等边三角形， ∴∠ABC=60°， 即∠ABE+∠CBE=60°， ∴∠BCP+∠CBE=60°， ∴∠ BFC =180°-（∠BCP+∠CBE）=180°-60°=120°； 故答案为：120°； 【分析】（1）①根据SAS可证得△ABE≌△BCP，即可得出BE=CP；②由①知△ABE≌△BCP，即可得出∠ABE=∠BCP，进而可得出∠BCP+∠CBE=60°，进而根据三角形内角和定理，即可得出∠ BFC =180°-（∠BCP+∠CBE）=180°-60°=120°； （2）如图，在AC上截取AG=BP=x，连接BG，QG，首先证明四边形BCQG是平行四边形，得出CD =CG，进而得出CG = AC- AG = 4-x，进一步可得出CD=(4 - x) = 2-x（0≤x≤4)，即； （3）如图，延长CE至M，使CM=BC=4，连接QM.首先根据等边三角形的性质可得出△ACP△MCQ，进而得出MQ=AP=4-x，∠A=∠M，再通过证明△EMQ是等边三角形，可得出CQ = ，过点Q作QN⊥EM，根据勾股定理可得出(2+x)2+[(2-x）]2=()2，解得x=1或3，当x=1时，DE==；当x=3时，DE==，综上所述，DE的长为或。 25．【答案】（1） （2）解：①； ②过点B作BH⊥AE于点H， ∵AE=AB ∴∠ABE=∠AEB ∵AB||CD ∴∠BEC=∠ABE ∴∠BEC=∠BEH 又∵BE=BE ∴△BEC≌△BEH(HL) ∴BH=BC 又∵BC=AG ∴BH=AG 又∵∠BOH=∠AOG，∠OAG=∠OHB ∴△BOH≌△GOA(AAS) ∴OG=OB （3）解：BH的长为或 【知识点】矩形的性质；旋转的性质；相似三角形的判定-SAS；相似三角形的性质-对应边 【解析】【解答】解：(1)由旋转知AD=AG，AB=AE，∠DAG=∠BAE ∴△ADG~△ABE ∴ (2)①AB=AE=8， DE= (3)如图，BE=8，即有AB=AE=BE=8， 故△ABE是等边三角形 ∠AEB=∠ABE=∠BAE=60° MF=2，ME=4，得BM=8-4 同时GM=8-2，得MH=4- 于是BH=MH-BM=8--(8-2)=3-4 ②同理可得BH=3+4 综上所述：BH的长为或 【分析】(1)直接由旋转的性质知△ADG~△ABE，由此可得DG、BE的比值； (2)①直接由勾股定理即可得DE的长； ②过点B作BH⊥AE于点H，结合旋转的性质可证△BEC≌△BEH(HL)、△BOH≌△GOA(AAS)即可得OG=OB； (3)结合题意画出满足题意的几何图像，根据特殊角求出相应线段长，即可得BH的长. 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $