精品解析：河南南阳市宛城区2026-2027学年上学期第一次学情自测 八年级数学

八年级数学学科作业训练（一） 一．选择题（共10小题，每小题3分，共30分） 1. 下列各式正确的是（　　） A. ＝±4 B. ＝3 C. ＝﹣8 D. 4﹣4＝ 【答案】B 【解析】 【分析】根据二次根式的性质、二次根式的加减法分别化简计算并判断． 【详解】解：A、=4，故该项不正确； B、=3，故该项正确； C、没有意义，故该项不正确； D、4-4=4-4，故该项不正确； 故选：B． 【点睛】此题考查了二次根式的化简，二次根式的加减法，正确掌握二次根式的性质是解题的关键． 2. 如图，借助数轴可以得到，，，．在这四个数中，是无理数的有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了实数，解题的关键是掌握实数的性质，利用无理数的定义解答． 【详解】解：在，，，这四个数中，无理数有，，，共计3个， 故选：C． 3. 计算的结果是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查的是乘方的含义，幂的乘方运算的含义，先计算括号内的运算，再利用幂的乘方运算法则可得答案． 【详解】解：， 故选D 4. 下列各式由左边到右边的变形中，属于分解因式的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】此题考查了因式分解的定义， 根据因式分解的定义，判断各选项是否将多项式转化为几个整式的积的形式． 【详解】解：A． 左边是乘积形式，右边是展开后的多项式，属于整式乘法，不是因式分解． B． 左边为，正确因式分解应为，但选项B写为，分解不完整，错误． C． 左边二次三项式被正确分解为，符合因式分解的定义． D． 右边为，包含加法运算，不是乘积形式，不属于因式分解． 综上，只有选项C属于因式分解． 故选：C． 5. 实数a、b在数轴上的位置如图所示，且|a|＞|b|，则化简的结果为（ ） A. 2a＋b B. －2a＋b C. b D. 2a－b 【答案】C 【解析】 【分析】利用数轴得出a＋b的符号，进而利用绝对值和二次根式的性质得出即可． 【详解】∵由数轴可知，b＞0＞a，且|a|＞|b|， ∴． 故选：C． 6. 已知是一个完全平方式，则的值是（ ） A. 5 B. 9或 C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】此题考查了完全平方式，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键． 先根据两平方项确定出这两个数，再根据这两个数的乘积二倍求解值． 【详解】解：∵是一个完全平方式， ∴，即 ∴或 解得：或， 故选：． 7. 若为任意整数，则的值不一定能（ ） A. 被整除 B. 被整除 C. 被整除 D. 被整除 【答案】C 【解析】 【分析】把分解因式，结合三个相邻的整数一定有一个数能被3整除，且一定有一个数是偶数可得答案． 【详解】解：， ∵为任意整数， ∴和都是整数，且，，是三个相邻的整数， ∵三个相邻的整数一定有一个数能被3整除，且一定有一个数是偶数 ∴的值总能被3整除，且一定能被2整除， ∴的值总能被6整除， 当时，，此时不能被4整除． 8. 一个非零的有理数，把这个数平方，再加上这个数，然后把结果除以这个数，最后减去这个数，所得结果是（ ） A. B. C. D. 与这个数有关 【答案】B 【解析】 【分析】设这个非零的有理数为a，根据题意列式计算即可． 【详解】解：设这个非零的有理数为a， 根据题意得，， ∴所得结果是1． 9. 不论、为何实数，代数式的值（ ） A. 总不小于 B. 总不小于 C. 可为任何实数 D. 可能为负数 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了配方法的概念，由完全平方式的非负性是解决本题的关键． 对代数式分别对对部分配方和对部分配方得到完全平方式，再通过配方法转化为平方和的形式，结合非负性即可确定其取值范围． 【详解】解：原式可分解为： 对部分配方：； 对部分配方：； 代入原式得：， 由于且，故， 因此原式的最小值为， 综上，代数式的值总不小于2． 故选：A． 10. 观察下列等式：，个位数字为；，个位数字为；，个位数字为；，个位数字为；，个位数字为；，个位数字为…，根据其中规律可得的结果的个位数字是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据题意，找出规律：按照每个数字循环，再结合即可确定答案． 【详解】解：，个位数字为； ，个位数字为； ，个位数字为； ，个位数字为； ，个位数字为； ，个位数字为； … 个位数字变化规律：按照每个数字循环， ， 的个位数字和为， 则的结果的个位数字为． 二．填空题（共5小题，每小题3分，共15分） 11. 计算：______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查的是实数的混合运算，先计算算术平方根，立方根，再合并即可． 【详解】解：； 故答案为： 12. 计算：________． 【答案】## 【解析】 【分析】首先逆用同底数幂的乘法法则把转化成，再逆用积的乘方法则进行计算． 【详解】解： . 13. 规定一种新的运算，那_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查新运算的定义，解题关键在于理解新运算的规则，将行列式中的元素代入公式 进行计算即可求解. 【详解】解：由运算定义，， 故答案为：. 14. 如图，在“杨辉三角”中，除每行两边的数都是外，其余每个数都是其“肩上”的两个数字之和，例如第行的为第行中两个的和，若在“杨辉三角”中从第行左边的开始按“锯齿形”排列的箭头所指的数依次构成一个数列：，，，，，，，…，则的值为________． 【答案】 【解析】 【分析】根据题意及问题，找出数字规律：，由，将代入计算即可． 【详解】解：，，，，，，，，…， ，，，，…， 令，，，，…，， 观察发现：，，，…，， ， ． 15. 已知三角形三边为、、，其中，两边满足，最大边是偶数，则三角形的周长是________． 【答案】24或26 【解析】 【分析】利用完全平方公式和算术平方根的非负性得到，，然后利用三角形三边关系和最大边是偶数得到或12，然后分别计算三角形周长即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴，， ∴，， 根据三角形三边关系得，， ∴， ∵最大边是偶数， ∴或12， ∴当时，三角形的周长是； 当时，三角形的周长是； 综上所述，三角形的周长是24或26． 三．解答题（共75分） 16. 计算． （1）； （2） 【答案】（1） （2） 【解析】 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： ． 17. 把下列多项式分解因式． （1）； （2） 【答案】（1） （2） 【解析】 【小问1详解】 解：原式； 【小问2详解】 解：原式 18. 阅读下面这位同学的解答过程，并完成任务． 先化简，再求值：，其中，． 解：原式 第一步 第二步 第三步 当，时，原式 第四步 任务： （1）第一步运用到了乘法公式：____________________________； （2）以上步骤从第_____步开始出现了错误，错误的原因是___________________________________； （3）请你写出正确的解答过程． 【答案】（1）完全平方公式 （2）一，去负括号时括号内的第二项没有变号 （3） ， 当，时，原式． 【解析】 【分析】本题主要考查了整式的化简求值，完全平方公式，单项式乘以多项式，多项式除以单项式，熟知相关计算法则是解题的关键． （1）根据题意可得第一步运用了完全平方公式； （2）第一步去负括号时括号内的第二项没有变号； （3）先根据完全平方公式和单项式乘以多项式去小括号，然后合并同类项，接着计算多项式除以单项式化简，最后代值计算即可得到答案． 【小问1详解】 解：由题意得，第一步运用了完全平方公式； 故答案为：完全平方公式； 【小问2详解】 解：观察解题过程可知，第一步开始出现错误，错误原因是去负括号时括号内的第二项没有变号； 故答案为：一，去负括号时括号内的第二项没有变号； 【小问3详解】 略 19. 在学习完乘法公式后，小华发现运用乘法公式可以优化运算过程，给不同类型的数学问题的解决带来方便．请运用乘法公式解决下列问题： （1）计算：； （2）如图，一块直径为的圆形钢板，从中挖去直径分别为与的两个圆，求剩下的钢板的面积． 【答案】（1）； （2）剩下的钢板的面积为． 【解析】 【分析】（1）根据数据特点进行变形，利用平方差公式计算即可； （2）根据完全平方公式计算即可． 【小问1详解】 解：原式 【小问2详解】 解： 答：剩下的钢板的面积为． 20. 小明在计算时，采用了如下的解法． ． 请你借鉴小明的解题思路，解决下列问题： （1）若，求的值； （2）已知满足，求的值． 【答案】（1）27 （2） 【解析】 【分析】（1）先将原式变形为，然后根据幂的乘方运算法则将其变形为，再根据同底数幂的乘除法运算法则求解； （2）运用同底数幂的乘法逆运算将其变形为，再往后继续求解． 【小问1详解】 解： ， ， ， 原式； 【小问2详解】 解：， ， ， ， ， ， ， ， ∴的值为． 21. 如图1，某商家准备装修商铺，购买了足够多的（边长为的小正方形），（边长为的大正方形），（长为，宽为的长方形）三种类型的瓷砖来铺设操作间、储藏间和大厅． （1）操作间刚好按如图2的方式铺满，请求出操作间的面积（用含的代数式表示）； （2）请通过计算说明：铺满长为，宽为的储藏间和长为，宽为的大厅共需要三类瓷砖各多少块？（瓷砖均用整块，无空隙无重叠）； （3）若一块类瓷砖的周长为32，一块类瓷砖和一块类瓷砖的面积之差为64，求操作间、储藏间和大厅的面积之和． 【答案】（1） （2）一共需要类瓷砖11块，类瓷砖11块，类瓷砖25块 （3）3920 【解析】 【分析】本题主要考查了整式的混合运算，多项式乘多项式几何图形，解题关键是熟练掌握多项式乘多项式法则． （1）观察图形，找出图2的长与宽，利用长方形面积公式，列出算式，利用多项式乘多项式法则进行计算即可； （2）根据长方形的面积公式，列出算式，利用多项式乘多项式法则求出储藏间和大厅的面积和，根据计算结果求出答案即可； （3）根据已知条件列出关于，的方程组，解方程组求出，，然后求出操作间、储藏间和大厅的面积之和，并化简，最后把，的值代入化简后的式子，进行计算即可． 【小问1详解】 解：由题意得：操作间的长为，宽为， 操作间的面积 ； 【小问2详解】 解：由题意得：储藏间和大厅的面积和为： ， 共需要，各11块，类瓷砖25块； 【小问3详解】 解：由题意可知：，， ①，， ②， ①②得：， 把代入①得： 操作间、储藏间和大厅的面积之和为： ． 22. 如图，教材有这样一个探究：把两个面积为的小正方形拼成一个面积为的大正方形，所得到的面积为的大正方形的边长就是原先面积为的小正方形的对角线长，因此，可得小正方形的对角线长为； （1）上述材料中说明问题的方式主要体现了下列哪种数学思想________． A．方程思想 B．数形结合思想 C．化归思想 （2）由此，我们得到了一种方法，能在数轴上画出无理数所对应的点．则图中，两点表示的数分别为________，________； （3）某同学把长为，宽为的两个长方形进行裁剪，拼成如图所示的一个大正方形．请同学们仿照上面的探究方法求出小正方形的面积及小正方形的边长的值； （4）拓展思考：通过动手操作，小敏同学把长为，宽为的长方形进行裁剪，拼成如图所示的正方形．则请借鉴材料中的方法在数轴上找到表示的点．（保留作图痕迹并标出必要线段长） 【答案】（1）B （2）， （3）面积为， （4）如图，点P即为所求： 【解析】 【分析】（1）材料中求解得到这个数据时，是通过正方形的面积解决的，故体现了数形结合的思想； （2）结合题干可知图中半圆的半径长为，结合数轴即可作答； （3）先求出大正方形的面积，再减去四个三角形的面积即可的中心小正方形的面积，问题随之得解； （4）先求出大正方形的面积，再通过画弧的方法在数轴上作图即可． 【小问1详解】 解：上述材料中说明问题的方式主要体现了数形结合的思想； 【小问2详解】 解：根据边长为的正方形的对角线长为，可知， 即，两点表示的数为，， 【小问3详解】 解：大正方形的面积为：， 四个三角形的面积为：， ∴中心小正方形的面积为：， ∴小正方形的边长为：； 【小问4详解】 解：由题意得，大正方形的面积为， 则大正方形的边长为， 然后以数轴上表示的点为圆心，正方形的边长为半径画弧，与数轴正方向相交，交点即为点． 23. 理解图形，完成下列各题： （1）【知识生成】将一个大正方形分割成如图的四部分，两个边长分别为，的正方形和两个长方形．用两种方法表示该大正方形的面积，可得数学等式是________________；若，，则该大正方形的边长为________； （2）【能力提升】我们还可以利用（1）中的关系解决一些更复杂的问题，例如，若满足，可设，，则，，则________； （3）仿照这个方法，请你尝试解决：若，求的值； （4）【解决问题】如图，是直角三角形，，分别以边，为直径向三角形外部作半圆，已知，两半圆的面积和，求的面积． 【答案】（1），8 （2）7 （3）8 （4）6 【解析】 【分析】（1）整体图形是一个边长为的正方形，其面积为；图形有一个边长为的正方形，一个边长为的正方形，两个长为，宽为的长方形组成，根据图形的面积性质，列代数式表示解答即可；再利用完全平方公式求解即可； （2）求解即可． （3）设，，则，，再由完全平方公式变形求解即可； （4）设，则，根据圆的面积公式，得，利用求解即可； 【小问1详解】 解：由题意得，可得等式为， 由，， 得， 故，（不符合要求，舍去）， 即该大正方形的边长为8； 【小问2详解】 解：∵， 可设，，则，． ， ， ； 【小问3详解】 解：设，， 则，． ， ， ； ； 【小问4详解】 解：设， 则， ∵， ， ， ， ， ， ； ， 的面积为6． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 八年级数学学科作业训练（一） 一．选择题（共10小题，每小题3分，共30分） 1. 下列各式正确的是（　　） A. ＝±4 B. ＝3 C. ＝﹣8 D. 4﹣4＝ 2. 如图，借助数轴可以得到，，，．在这四个数中，是无理数的有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 3. 计算的结果是（ ） A. B. C. D. 4. 下列各式由左边到右边的变形中，属于分解因式的是（ ） A. B. C. D. 5. 实数a、b在数轴上的位置如图所示，且|a|＞|b|，则化简的结果为（ ） A. 2a＋b B. －2a＋b C. b D. 2a－b 6. 已知是一个完全平方式，则的值是（ ） A. 5 B. 9或 C. D. 7. 若为任意整数，则的值不一定能（ ） A. 被整除 B. 被整除 C. 被整除 D. 被整除 8. 一个非零的有理数，把这个数平方，再加上这个数，然后把结果除以这个数，最后减去这个数，所得结果是（ ） A. B. C. D. 与这个数有关 9. 不论、为何实数，代数式的值（ ） A. 总不小于 B. 总不小于 C. 可为任何实数 D. 可能为负数 10. 观察下列等式：，个位数字为；，个位数字为；，个位数字为；，个位数字为；，个位数字为；，个位数字为…，根据其中规律可得的结果的个位数字是（ ） A. B. C. D. 二．填空题（共5小题，每小题3分，共15分） 11. 计算：______． 12. 计算：________． 13. 规定一种新的运算，那_____． 14. 如图，在“杨辉三角”中，除每行两边的数都是外，其余每个数都是其“肩上”的两个数字之和，例如第行的为第行中两个的和，若在“杨辉三角”中从第行左边的开始按“锯齿形”排列的箭头所指的数依次构成一个数列：，，，，，，，…，则的值为________． 15. 已知三角形三边为、、，其中，两边满足，最大边是偶数，则三角形的周长是________． 三．解答题（共75分） 16. 计算． （1）； （2） 17. 把下列多项式分解因式． （1）； （2） 18. 阅读下面这位同学的解答过程，并完成任务． 先化简，再求值：，其中，． 解：原式 第一步 第二步 第三步 当，时，原式 第四步 任务： （1）第一步运用到了乘法公式：____________________________； （2）以上步骤从第_____步开始出现了错误，错误的原因是___________________________________； （3）请你写出正确的解答过程． 19. 在学习完乘法公式后，小华发现运用乘法公式可以优化运算过程，给不同类型的数学问题的解决带来方便．请运用乘法公式解决下列问题： （1）计算：； （2）如图，一块直径为的圆形钢板，从中挖去直径分别为与的两个圆，求剩下的钢板的面积． 20. 小明在计算时，采用了如下的解法． ． 请你借鉴小明的解题思路，解决下列问题： （1）若，求的值； （2）已知满足，求的值． 21. 如图1，某商家准备装修商铺，购买了足够多的（边长为的小正方形），（边长为的大正方形），（长为，宽为的长方形）三种类型的瓷砖来铺设操作间、储藏间和大厅． （1）操作间刚好按如图2的方式铺满，请求出操作间的面积（用含的代数式表示）； （2）请通过计算说明：铺满长为，宽为的储藏间和长为，宽为的大厅共需要三类瓷砖各多少块？（瓷砖均用整块，无空隙无重叠）； （3）若一块类瓷砖的周长为32，一块类瓷砖和一块类瓷砖的面积之差为64，求操作间、储藏间和大厅的面积之和． 22. 如图，教材有这样一个探究：把两个面积为的小正方形拼成一个面积为的大正方形，所得到的面积为的大正方形的边长就是原先面积为的小正方形的对角线长，因此，可得小正方形的对角线长为； （1）上述材料中说明问题的方式主要体现了下列哪种数学思想________． A．方程思想 B．数形结合思想 C．化归思想 （2）由此，我们得到了一种方法，能在数轴上画出无理数所对应的点．则图中，两点表示的数分别为________，________； （3）某同学把长为，宽为的两个长方形进行裁剪，拼成如图所示的一个大正方形．请同学们仿照上面的探究方法求出小正方形的面积及小正方形的边长的值； （4）拓展思考：通过动手操作，小敏同学把长为，宽为的长方形进行裁剪，拼成如图所示的正方形．则请借鉴材料中的方法在数轴上找到表示的点．（保留作图痕迹并标出必要线段长） 23. 理解图形，完成下列各题： （1）【知识生成】将一个大正方形分割成如图的四部分，两个边长分别为，的正方形和两个长方形．用两种方法表示该大正方形的面积，可得数学等式是________________；若，，则该大正方形的边长为________； （2）【能力提升】我们还可以利用（1）中的关系解决一些更复杂的问题，例如，若满足，可设，，则，，则________； （3）仿照这个方法，请你尝试解决：若，求的值； （4）【解决问题】如图，是直角三角形，，分别以边，为直径向三角形外部作半圆，已知，两半圆的面积和，求的面积． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $