精品解析：宁夏银川市永宁县上游高级中学2026-2027学年高二上学期第一次月考数学试题

永宁上游高级中学2026-2027学年第一学期月考（一） 高二数学试题 时间:120分钟 分值:150分 一、单项选择题：（本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求） 1. 已知两点，则直线的倾斜角为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用两点得到直线的斜率，再利用倾斜角与斜率的关系，即，即可得到倾斜角. 【详解】由题可知，直线的斜率为， 设直线的倾斜角为，则， 所以. 2. 直线经过点，，直线的斜率为，则与的位置关系是（ ） A. 平行 B. 重合 C. 垂直 D. 相交但不垂直 【答案】C 【解析】 【详解】直线经过点，， 则 已知直线的斜率为，即 则直线与直线垂直. 3. 过点，且方向向量为的直线的一般式方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先利用方向向量求出直线斜率，再利用点斜式得到直线方程，最后化为一般式即可. 【详解】因为方向向量为，所以直线斜率为， 由点斜式可知所求直线方程为， 化为一般式可得. 4. 若二元二次方程表示圆，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据二元二次方程表示圆的条件求解. 【详解】因为二元二次方程表示圆， 所以，解得， 即实数的取值范围为. 5. 两平行直线 ， 之间的距离为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】因为 ，， 所以两条直线间的距离为 6. 已知定点，点P是圆上一动点，点Q是线段AP的中点，则点Q的轨迹方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】设点，结合中点坐标公式可得，进而代入即可求解. 【详解】设点，，定点，点Q是线段AP的中点， 所以，则，即， 又因为动点P在圆上，所以， 则，所以点Q轨迹方程为. 故选：A 7. 圆与圆公切线的条数为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据两圆圆心距离与半径的关系可判断两圆位置关系，进而可得公切线条数. 【详解】圆的圆心为，半径， 圆的圆心为，半径， 所以两圆的圆心距为，所以， 因此两圆的位置关系为内切，所以公切线的条数为， 故选：B. 8. 一束光线从点出发，经轴反射后经过点，则入射光线所在直线斜率为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】求出点关于轴的对称点，则入射光线所在直线的斜率即直线的斜率. 【详解】点关于轴的对称点为，则直线的斜率， 所以入射光线所在直线的斜率为. 二、多项选择题：（本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分.全部选对得 6 分，部分选对得 3 分，有错选得 0 分） 9. 下列关于直线与圆的命题，正确的是（ ） A. 光线反射问题中，入射点在反射轴上，入射光线上一点与反射光线上对应点关于反射轴对称 B. 若直线截圆所得弦长最大，则该直线一定经过此圆的圆心 C. 方程表示一个圆 D. 圆上的点到直线的最小距离为 2 【答案】ABD 【解析】 【详解】对于选项A：在光线反射问题中，入射点在反射轴上，入射光线上一点与反射光线上对应点关于反射轴对称，故A正确； 对于选项B：因为圆的最长弦长为直径，所以若直线截圆所得弦长最大，则该直线一定经过此圆的圆心，故B正确； 对于选项C：因为，即， 整理可得，该方程无实数解， 所以方程不表示圆，故C错误； 对于选项D：圆的圆心为，半径， 则圆心到直线的距离， 因为，可知直线与圆相离， 所以圆上的点到直线的最小距离为，故D正确. 10. 已知直线，，下列选项正确的是（） A. 若，则 B. 若，则 C. 时，两条直线相交 D. 时，两直线重合 【答案】BC 【解析】 【分析】利用直线一般方程的平行垂直公式，分析即得解. 【详解】A选项：若，当时，斜率分别为 令： 所以时也平行，A选项错误； B选项：若，斜率乘积为： ，B选项正确； C选项：当时，，， 代入，得，两直线相交，C选项正确； D选项：当时，，， 两直线平行且不重合，D选项错误. 11. 已知直线，圆，下列命题正确的有（ ） A. 直线恒过定点； B. 若直线被圆截得弦长为，则或； C. 若直线与圆相切，则； D. 过定点的圆的最短弦所在直线方程为2. 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据直线方程，可判定A正确；根据圆的弦长公式和点到直线的距离公式，可判定B错误；利用直线与圆的位置关系，列出方程，可判定C正确；根据圆的弦的性质，可判定D正确. 【详解】对于A，令，可得，所以直线恒过定点，所以A正确； 对于B，由圆，可化为， 可得圆心为，半径为， 由圆心到直线的距离为， 因为直线被圆截得弦长为，可得，可得， 所以，整理得，解得，所以B不正确； 对于C，当直线与圆相切时，可得，即， 整理得，解得，所以C正确； 对于D，由点和，可得， 由圆的性质知，过圆内定点的最短弦与定点和圆心的连线垂直，所以， 所以直线的方程为，即，所以D正确. 三、填空题：（本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分） 12. 以，为直径端点的圆的标准方程为__________ 【答案】 【解析】 【详解】因为线段的中点为，且， 所求圆的圆心为，半径为， 所以所求圆的标准方程为. 13. 设，分别是椭圆 的左、右焦点，点P在C上，且，则=_________ 【答案】 【解析】 【详解】易得，，，故 14. 已知两圆，圆，过两圆交点，且圆心在直线上的圆的一般方程为____________ 【答案】 【解析】 【分析】根据题意，设所求圆的方程为，得到圆心坐标，代入直线方程，求得的值，即可求解. 【详解】由圆和圆， 设所求圆的方程为， 即，可得所求圆的圆心为， 因为圆心在直线上，可得，解得， 所以所求圆的方程为， 所以所求圆的方程为. 四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知的三个顶点坐标：，，. （1）求边上的高线所在直线的方程； （2）求边上的中线所在直线的方程. 【答案】（1） （2） 【解析】 【小问1详解】 ，，在轴上，故. 高线，因此垂直于轴，直线斜率不存在. 又高线过点， 直线方程：. 【小问2详解】 为中点，由中点坐标公式得 ，，计算斜率 由点斜式： ， 整理得 16. 已知圆 ，圆 . （1）求两圆公共弦所在直线方程; （2）求两圆的公共弦长. 【答案】（1） （2） 【解析】 【小问1详解】 两圆方程相减得到公共弦直线： ， 整理得： ，两边除以得：. 【小问2详解】 对配方得：，则圆心，半径， 圆心到公共弦距离 设弦长为，弦长公式， 故. 17. 已知圆 ，直线 （1）求证直线恒过定点，并求出该定点坐标； （2）若直线截圆所得弦长为，求实数的值. 【答案】（1）整理直线方程得： ， 则该直线恒过方程组的解. 两式相减： ， 代入，得，所以 直线恒过定点. （2） 【解析】 【分析】（1）将直线化为即可求解； （2）利用点到直线的距离、圆半径、半弦长满足勾股定理即可求解. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 圆配方，得，即， 圆心，半径. 又弦长，即， 即 ，故圆心到直线距离. 直线 ， 点到直线距离： ， 化简上式得，两边平方：， 即，解得 . 18. 已知直线： 与圆：． （1）若直线与圆相切，求直线的方程； （2）若为圆C上一点，求的取值范围； （3）设为坐标原点，若直线与圆交于，两点，且直线，的斜率分别为，，试问是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由． 【答案】（1）或； （2） （3）为定值，. 由（1）可得直线斜率一定存在，设直线的方程为，，， 联立方程，即，，即， ，，又，， 所以， 所以为定值，. 【解析】 【分析】（1）根据直线过定点并求出圆心和半径，分别讨论直线斜率是否存在，利用点到直线距离公式即可求得切线方程； （2）由目标式的几何意义解不等式即可求得结果； （3）联立直线和圆的方程，利用韦达定理计算可求出结果. 【小问1详解】 先整理圆：； 可得其圆心，半径. 对于直线变形得； 令，解得. 所以直线恒过定点. 由圆：，得圆心，半径，直线恒过定点， ①当直线斜率不存在时，方程为，直线与圆相切成立， ②当直线斜率存在时，设直线的方程为， 圆心到直线的距离， 由直线与圆相切可得，即， 解得，直线方程为，即， 综上所述：直线的方程为或； 【小问2详解】 设 ，即 ， 直线与圆有交点，所以 ， 因此的取值范围为. 【小问3详解】 略 19. 已知圆 ，点为直线上的动点，过点向圆作两条切线，切点分别为. （1）求四边形 面积的最小值; （2）求圆关于直线对称的圆的标准方程； （3）求证切点弦恒过定点. 【答案】（1） （2） （3）设动点 ，在上，即， 圆：，， 代入切点弦公式， 即， 展开， 整理得， 所以， 该式对任意参数成立，即， 两式相加，代入得， 切点弦恒过定点. 【解析】 【分析】（1）将四边形 面积的最小值问题转化为求 最小值，再利用点到直线的距离即可； （2）求圆心关于直线的对称点 即可求出； （3）设动点 ，再利用切点弦公式化简即可. 【小问1详解】 由题意得 ， ，，则 ， 由勾股定理 ，则，只需要 最小即可， 由 是点到直线的距离，即 ， 此时， 所以 【小问2详解】 由题意得半径不变， 设圆心关于直线的对称点为， 则与直线垂直，故， 又中点在直线上， 故 ，化简得 ， 再代入第一个，， 对称圆心 ，半径，故对称圆标准方程. 【小问3详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 永宁上游高级中学2026-2027学年第一学期月考（一） 高二数学试题 时间:120分钟 分值:150分 一、单项选择题：（本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求） 1. 已知两点，则直线的倾斜角为（ ） A. B. C. D. 2. 直线经过点，，直线的斜率为，则与的位置关系是（ ） A. 平行 B. 重合 C. 垂直 D. 相交但不垂直 3. 过点，且方向向量为的直线的一般式方程为（ ） A. B. C. D. 4. 若二元二次方程表示圆，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 5. 两平行直线 ， 之间的距离为（ ） A. B. C. D. 6. 已知定点，点P是圆上一动点，点Q是线段AP的中点，则点Q的轨迹方程为（ ） A. B. C. D. 7. 圆与圆公切线的条数为（ ） A. B. C. D. 8. 一束光线从点出发，经轴反射后经过点，则入射光线所在直线斜率为（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题：（本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分.全部选对得 6 分，部分选对得 3 分，有错选得 0 分） 9. 下列关于直线与圆的命题，正确的是（ ） A. 光线反射问题中，入射点在反射轴上，入射光线上一点与反射光线上对应点关于反射轴对称 B. 若直线截圆所得弦长最大，则该直线一定经过此圆的圆心 C. 方程表示一个圆 D. 圆上的点到直线的最小距离为 2 10. 已知直线，，下列选项正确的是（） A. 若，则 B. 若，则 C. 时，两条直线相交 D. 时，两直线重合 11. 已知直线，圆，下列命题正确的有（ ） A. 直线恒过定点； B. 若直线被圆截得弦长为，则或； C. 若直线与圆相切，则； D. 过定点的圆的最短弦所在直线方程为2. 三、填空题：（本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分） 12. 以，为直径端点的圆的标准方程为__________ 13. 设，分别是椭圆 的左、右焦点，点P在C上，且，则=_________ 14. 已知两圆，圆，过两圆交点，且圆心在直线上的圆的一般方程为____________ 四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知的三个顶点坐标：，，. （1）求边上的高线所在直线的方程； （2）求边上的中线所在直线的方程. 16. 已知圆 ，圆 . （1）求两圆公共弦所在直线方程; （2）求两圆的公共弦长. 17. 已知圆 ，直线 （1）求证直线恒过定点，并求出该定点坐标； （2）若直线截圆所得弦长为，求实数的值. 18. 已知直线： 与圆：． （1）若直线与圆相切，求直线的方程； （2）若为圆C上一点，求的取值范围； （3）设为坐标原点，若直线与圆交于，两点，且直线，的斜率分别为，，试问是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由． 19. 已知圆 ，点为直线上的动点，过点向圆作两条切线，切点分别为. （1）求四边形 面积的最小值; （2）求圆关于直线对称的圆的标准方程； （3）求证切点弦恒过定点. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $