第二章一元二次函数方程和不等式（期中知识清单）高一数学上学期人教A版必修第一册

第二章 一元二次函数、方程和不等式　知识清单 一、核心知识总结（必背・单元重点） 1. 等式性质与不等式性质 1.1 比较两个实数大小的基本事实 关于实数 ， 大小的比较，有以下基本事实： 如果 是正数，那么 ；如果 等于 ，那么 ；如果 是负数，那么 。反过来也对。 这个基本事实可以表示为 差与 的关系 实数的大小 从上述基本事实可知，要比较两个实数的大小，可以转化为比较它们的差与 的大小。 示例：比较 与 的大小。因为 ，所以 。 注意：这里借助多项式减法运算，得出了一个明显大于 的式子，这是解决不等式问题的常用方法（作差法）。 示例：比较 与 ：作差得 ，故 ，当 时取等号。 1.2 重要不等式 一般地，对任意实数 ，，有 当且仅当 时，等号成立。 事实上，利用完全平方公式，得 。因为对任意实数 ，，，当且仅当 时，等号成立，所以 。因此，由两个实数大小关系的基本事实，得 ，当且仅当 时，等号成立。 示例：， 时，；当 时，如 ，有 。 1.3 等式的基本性质 性质 内容 性质 1 如果 ，那么 性质 2 如果 ，，那么 性质 3 如果 ，那么 性质 4 如果 ，那么 性质 5 如果 ，，那么 注意：性质 1、2 反映了相等关系自身的特性；性质 3、4、5 是从运算的角度提出的，反映了等式在运算中保持的不变性。 1.4 不等式的基本性质 性质 内容 性质 1 如果 ，那么 ；如果 ，那么 性质 2 如果 ，，那么 性质 3 如果 ，那么 性质 4 如果 ，，那么 ；如果 ，，那么 性质 5 如果 ，，那么 性质 6 如果 ，，那么 性质 7 如果 ，那么 注意：性质 3 表明，不等式的两边都加上同一个实数，所得不等式与原不等式同向；由它可得不等式中任何一项可以改变符号后移到不等号的另一边。性质 4 表明，不等式两边同乘一个正数，所得不等式与原不等式同向；同乘一个负数，所得不等式与原不等式反向。 2. 基本不等式 2.1 基本不等式 特别地，如果 ，，我们用 ， 分别代替 中的 ，，可得 当且仅当 时，等号成立。 我们把 叫做正数 ， 的算术平均数， 叫做正数 ， 的几何平均数。 基本不等式表明：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数。 示例：， 时，；当 时，，取等号。 2.2 基本不等式的证明（分析法） 要证 ，只要证 ，只要证 ，只要证 ，只要证 。显然 成立，当且仅当 时等号成立。把上述过程倒过来，就能直接推出基本不等式。 2.3 基本不等式的几何解释 是圆的直径，点 是 上一点，，。过点 作垂直于 的弦 ，可证 ，因而 。由于 小于或等于圆的半径，用不等式表示为 显然，当且仅当点 与圆心重合，即当 时，上述不等式的等号成立。 3. 二次函数与一元二次方程、不等式 3.1 一元二次不等式的概念 一般地，我们把只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是 的不等式，称为一元二次不等式。一元二次不等式的一般形式是 其中 ，， 均为常数，。 示例： 是一元二次不等式； 未知数的最高次数是 ，不是一元二次不等式。 3.2 二次函数的零点 一般地，对于二次函数 ，我们把使 的实数 叫做二次函数 的零点。 示例：二次函数 的图象与 轴有两个交点，这两个交点的横坐标就是方程 的两个实数根 ，，因此二次函数的两个零点是 和 。 3.3 二次函数与一元二次方程、不等式的解的对应关系 因为一元二次方程的根是相应一元二次函数的零点，所以先求出一元二次方程的根，再根据二次函数图象与 轴的相关位置确定一元二次不等式的解集。 对于一元二次方程 ，设 ，它的根按 ，， 可分为三种情况，对应的一元二次不等式 和 的解集如下： 项目 的图象 与 轴有两个交点 与 轴有一个交点（顶点） 与 轴没有交点 的根 有两个不相等的实数根 有两个相等的实数根 没有实数根 的解集 或 全体实数 的解集 无解（空集 ） 无解（空集 ） 示例：求 的解集。方程 有两个实数根 ，，结合图象得解集为 或 。 3.4 一元二次不等式的求解步骤 以求解可化成 形式的不等式为例，其求解过程为： 1. 将原不等式化成 的形式（二次项系数为负时，先化为正）； 1. 计算 的值； 1. 按 、、 三种情况，由二次函数图象与 轴的位置关系写出解集。 示例：求 的解集。先化为 ，由 得解集为 。 二、二级结论与方法技巧 1. 常用二级推论 1.1 不等式的倒数性质 若 ，则 。 【使用提醒】倒数性质要求 ， 同号（均大于 ），异号时结论不成立。 1.2 不等式的开方性质 若 ，则 。 1.3 糖水不等式 若 ，，则 （真分数的分子、分母同加一个正数，分数值增大）。 1.4 基本不等式的常用变形 由 （，）可得：；；。 1.5 函数 的取值特征 时，，当且仅当 时取等号； 时，，当且仅当 时取等号。 1.6 一元二次不等式恒成立的条件 对一切实数 恒成立的条件是 且 ； 对一切实数 恒成立的条件是 且 。 【使用提醒】当二次项系数含参数时，须先单独讨论 的情形（此时为一次不等式或常数不等式）。 2. 解题方法与操作步骤 2.1 作差比较法 比较 与 的大小，先作差 ，再判断差的符号： 时 ， 时 ， 时 。如比较 与 ：作差得 ，故 ，当 时取等号。 2.2 作商比较法 两个正数比较大小，可作商与 比较： 时 ， 时 ， 时 （其中 ，）。 2.3 利用基本不等式求最值的”三步” 牢记”一正、二定、三相等”：一正，两数均为正数；二定，和或积为定值；三相等，验证等号能否取到。如 时 ，当且仅当 时取等号，最小值为 。 【使用提醒】等号取不到时，“”只是下界而非最小值，须结合函数单调性求真正的最值。 2.4 解一元二次不等式的步骤 先化为 的标准形式 → 求 及对应方程的根 → 画二次函数草图 → 由图写解集。 2.5 含参数的一元二次不等式分类讨论 二次项系数含参数，按 、、 分类；判别式含参数，按 、、 分类，逐类求解后取并集。 3. 大小比较 / 化简 / 运算小技巧 技巧 要点 示例 配方法比较大小 作差后配方成”平方 正数”判定符号，并说明取等条件 “1”的代换 已知 时，把所求式中的 换成该整体再乘开 整体代换 把 、 视为整体，用基本不等式整体变形 已知 ，则 消元法 由等量关系消去一个变量，化二元为一元再求最值 时， 4. 常见考试模型 4.1 和定积最大、积定和最小（最值模型） 公式：已知 ，，则 ；积 为定值 时， 有最小值 （当 时取到）；和 为定值 时， 有最大值 （当 时取到）。 限定：，，且等号须能取到（）；实际问题中须结合题意检验边长的正性等限制。 示例：用长 的篱笆围矩形，设邻边为 ，，则 ，面积 ，当 时面积最大为 。 4.2 一元二次不等式恒成立模型 公式： 对一切实数 恒成立的条件是 且 ； 对一切实数 恒成立的条件是 且 。 限定：二次项系数含参数时，先讨论 的退化情形。 示例： 对一切实数 恒成立，则 ，得 。 4.3 糖水不等式模型 公式：若 ，，则 ；若 ，则 。 限定：，，即”真分数”分子、分母同加一个正数时分数值增大。 示例： 克糖水含 克糖（），再加 克糖（）全部溶解后糖水变甜，即 。 三、章节高频易错点 + 错解 / 正解对比 易错点 1：用基本不等式时忽略”一正”，负数直接套公式 典例：已知 ，求 的最值。 错解：由基本不等式得 ，故最小值为 。 正解：因为 ，所以 ，由基本不等式得 ，即 ，当且仅当 时取等号。故 的最大值为 ，没有最小值。 原因：忽略基本不等式成立的前提”一正”。基本不等式 要求 ，，而 时 ， 均为负数，不能直接套用。应先提取负号，把各项都化为正数再套用，并注意变形后不等号方向不变但结论的”最值”属性要重新判断。 易错点 2：用基本不等式求最值时”三相等”不成立，等号取不到 典例：已知 ，求 的最小值。 错解：由基本不等式得 ，故最小值为 。 正解：虽然 恒成立，但等号在 处取得，而 不满足 。设 ，当 时 单调递增，故 时取最小值 。 原因：只验证了”二定”（和为定值），忽略了”三相等”（等号能否取到）。基本不等式求最值必须同时满足”一正、二定、三相等”；等号取不到时，得到的”“只是下界而非最小值，须结合函数的单调性求真正的最值。 易错点 3：解一元二次不等式时二次项系数为负不先化正，区间取反 典例：解不等式 。 错解：由 ，得 ，即 ，解得 或 。 正解：不等式化为 ，即 。对应二次函数 开口向上，与 轴交于 ，，小于零的部分在两根之间，故解集为 。 原因：因式分解正确但没有结合二次函数图象判断区间。二次项系数为正时，“”的解集在两根之间、“”的解集在两根之外；学生把”小于取中间、大于取两边”记反，或二次项系数为负时没有先化正导致开口方向判断错误。 易错点 4：不等式两边同乘（除）负数时不变号 典例：解关于 的不等式 。 错解：两边同除以 ，得 。 正解：当 时，；当 时，得 ，不成立，原不等式无解；当 时，两边同除以负数 要变号，得 。 原因：忽略”不等式两边同乘（除）一个负数时，不等号方向要改变”这一性质，同时漏掉了 与 符号的分类讨论。含参数的不等式在除以参数前，必须先判断参数的正负。 易错点 5：一元二次方程忽略二次项系数不为 0 典例：关于 的一元二次方程 有两个不相等的实数根，求 的取值范围。 错解：由 ，得 。 正解：由题意得 且 ，解得 且 。 原因：忽略”一元二次方程”隐含的条件”二次项系数不为 0”。学生一看到”两个不相等的实数根”就只列 ，忘记了 时方程退化为一元一次方程 ，只有一个根，必须剔除。 易错点 6：不等式恒成立问题漏讨论二次项系数为 0 典例：关于 的不等式 对一切实数 恒成立，求 的取值范围。 错解：由 且 ，得 。 正解：当 时，不等式为 ，恒成立；当 且 时，得 。综上，。 原因：漏讨论 的退化情形。当二次项系数含参数时，“不等式对一切实数恒成立”要分两类： 时退化为常数不等式（可能恒成立）、 时按二次不等式用 处理；两类结果的并集才是完整答案。 学科网（北京）股份有限公司 $