北京师范大学附属实验中学2026-2027学年高三上学期10月月考数学试题

北师大实验中学2026-2027学年度第一学期10月月考试卷 高三年级数学 班级 姓名 学号 成绩 1.本试卷共4页，共三道大题，21道小题，答题卡共4页，满分150分， 考 考试时间120分钟 生 2.在试卷和答题卡上准确填写班级、姓名、学号 须 3.试卷答案一律填写在答题卡上，在试卷上作答无效 知 4.在答题卡上，选择题须用2B铅笔将选中项涂黑涂满，其他试题用黑色 字迹签字笔作答 命题人：屈伸 审题人：刘丹 一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分） 1.已知集合A={x|-1<x<5},B={0,2,4,6},则A∩B中的元素个数为 A.1 B.2 C.3 D.4 2.下列函数中，在R上单调递增，且值域为R的是 A.y=2 B.y=x C.y=log2x D.y=tanx 3.已知6是第四象限角，cos0=行，则am6= A.-2√2 B.2√2 C 2 D. 4 4设ab均为正实数，则当二+驰取得最小值时， b a b B.3 3 D.5 3 5.将函数y=sin2x的图象先向右平移亚个单位，再将其上所有点纵坐标保持不变，横坐 6 标变为原来的两倍，所得到的图象对应的表达式为 Ay=snx-爱 B.y=sin(x- cy=sm4x爱 D.y=sin(4x-- 6.已知f(x)是R上的偶函数，当x≥0时，f(x)=-x2+2x,则不等式f(x)<|x|的解集为 A.(-1,0)U(0,1) B.(0,1)U1,+0) C.(-w,-1)U(0,1) D.(-0,-1)U1,+0) 第1页（共4页） △ABC中，AB,AC=2,则“3≤BC≤”是“SAc6 2 A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 8.设f)是定义在R上的可导函数，满足：y=ef)在R上单调递增，y=f四在R上 e 单调递减，则下列说法不可能的是 A.存在x∈R,使得f(x)>0 B.存在x∈R,使得f(x)<0 C.存在x,∈R,使得f'(x)>0 D.存在x。∈R,使得f'(x)<0 9.已知某型号手机在充电时，电量随时间呈线性（一次函数）增长，有A,B两种充电 器，A充电器每小时充电的电量是B充电器的两倍.而在未充电保持待机状态下，电 量随时间呈指数衰减，即从当前时刻算起，△t小时后的电量为当前电量的2“倍.某 时刻起，将两台完全相同且电量均为0的该型号手机分别用A,B充电器充电1，t,小 时（均未达到满电量）后保持待机状态，已知2-(=0.5，且两手机在12时刻之后保持 相同电量，则t,的值约为 A.1.3 B.1.5 C.1.7 D.1.9 10.记数列{a,}的前n项的乘积为Tn,当1≤n≤6且n∈N时，a,=S(c为常数)，若对 任意1≤n≤l0且n∈N,均有Tn=T-m,则ao= A月 B. D.1 6 二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分) 1.函数f=h(x+l)+2-的定义域为 12.等差数列{an}中，若41+a3+a=9,a4+a=24,则a,= 13.函数f)=si2+四满足：f0)≤f(爱，f牙≤f),请写出f)图象的一个 对称中心的坐标： 14如图，在△ABC中，已知AB=2,B=牙，D为BC中点， AC=2AD,则BD=—;Sin∠CAD= 15.己知函数f(x)= 2-1，x≤0，若对任意<1，≥t,均有fx,)≤f),则 x2-ar,x>0' 记所有满足条件的实数t构成集合T.给出下列四个结论： ①当a≤0时，T=R; ②当a=1时，T=[1,+o): ③若-1ET,则a的取值范围是（√2，+m):④3a>0,对t∈T,有-t∈T. 其中所有正确结论的序号为 第2页（共4页） 三、解答题（本大题共6小题，共85分） 16.(本小题13分) 设等差数列{an}的前n项和为Sn,已知a,=1,S4=8 (I)求{an}的通项公式： (Ⅱ)求{2+an}的前n项和. 17.(本小题13分) 已知函数f)=sin(ox+p)+√5(cos2or+9-sin2ox+号)(w>0,pK元)的最小 2 2 正周期为元，且f(x)的图象经过点 从下列三个条件中选择一个作为己知，使得函数f(x)存在且唯一确定 ①(50： ②后2： (I)求f(x)的解析式： (IⅡ)若f(x)在区间[0，m)和(m,]上均有零点，求m的取值范围. 18.(本小题14分) 在△ABC中，角A,B,C所对边分别为a,b,c,已知C=云，V2 acosB--csin2A=0. (I)求A; (IⅡ)若△ABC的面积为4W2,D为BC边上一点，满足AD=V10,求CD的长. 第3页（共4页） 19.(本小题15分) 已知椭圆E:+2(a>b>0)过点AO,2),且离心率为2 4y2 (I)求椭圆E的方程： (Ⅱ)设M(O,),N(O,3),过点M作斜率为k的直线与椭圆E交于点P,Q,过M作 QN的垂线与直线PA交于点R,若A为PR的中点，求k的值. 20.(本小题15分) 已知函数f)=x+g(a>0). 2e' (I)当a=1时，求曲线y=f(x)在(0，f(O)处的切线方程： (Ⅱ)求证：f(x)在(0，+o)上存在唯一的极小值点： ()设函数g)=1nx-C，若存在，1e0+n),使得fs)-g0=,求a的所有 可能取值. 21.(本小题15分) 设无穷数列(a,}满足：a,a2>0,且对任意n∈N，有a+2= an+l-an’an+1>an an+1+an’an+l≤an (I)若a=1,a2=3,求{an}前9项的和； (Ⅱ)求证：对任意n∈N，有an4=an+an+2; (Ⅲ)问：是否存在常数2，使得对任意k∈N,均存在互不相同的a,a。…a,使得 4+++ak=2?并给出证明. a5+a,+…+a 第4页（共4页） 北师大实验中学2026-2027学年度第一学期10月月考 高三年级数学 参考答案 一、选择题（每小题4分，共40分） 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 C B A D B D A B C A 二、填空题（每小题5分，共25分） 11.(-1,0)U(0,2] 12.21 13. (否，0)（答案不唯一） 143: 3W5 15.①③④ 14 三、解答题 「a+d=1 16.解：(I)设{an}的公差为d,则 4.3 4a+ d=8 2 解得a=-1,d=2 {an}的通项公式为：an=-1+(n-1):2=2n-3 (Ⅱ)(a,1的前n项和为：-n+n-D.2=m-2n 2 记b,=2=22-3,b=, b1=22- b。 22m34 则也，)是以二为首项，4为公比的等比数列 2a-4) 故{bn}的前n项和为： 4”-1 1-46 因此2+a,)的前n项和为：4-1+n2-2n 6 第1页（共6页） 17.解：(1)f)=2sin(@x+0+5,T=2红0=2红-2红=2 3 T 选择@：f停-2sn号+p-2 子+p-于+2，则p-后+2xe7） 6 因为水元，则k-0,0-君f0-2sin2x+爱 选择@：f(骨-2sin号+0=-2 +92km,则9+2km(k5Z7 6 因为冰元，则k=0,9=-君f)=2sn2x+君 ⑩)令f)=0,则2x+8km,x=-5+2CkeZ 在0，利上，f)的麦点拾有两个：没(k=1),,(k=2) 面在0，m和m,为正均有零点，则∈0，m,2 12 11不∈0m,利 则<m<1,m的取值范围是（江，11 12 12 1212 18.解：(I)由正弦定理：√2 sinAcos B-sinCsin2A=0 sin Acos B-2. -sin Acos A=0 2 因为sinA>0,cosA=cosB 而A,B∈(0，)，故A=B,A=元-C-3T 2 8 (Ⅱ)因为A=B,所以a=b 5 absinC=c5-45,解得：a-4,b-4 2 在△ACD中，由余弦定理：AD2=AC2+CD-2AC.CD.cosC 设cD=x,02=4+2-2.4x5,即2-42x+6=0 2 解得：x=V2或3√2，由于0<x<4,则x=V2,CD长为V2 第2页（共6页） 19.解：(1)由题：6=2，-5，G=2+2,解得a2=8,公=4 a 2 解四E的方根为：舌+苦-1 (Ⅱ)设PQ:y=x+1,P(x,y),Q(x2,y2) x2,y2 8+4=1→2k2+10x2+4kx-6=0 y=kx+1 4k 6 △>0恒成立，+6=2K2+’6=2k2+ 法1：由于A为PR的中点，则x=-x,yR=4-y,R(-x,4-) 由于MR⊥NQ,因此有：kMm·kNe 3-y.2-3-1 X1 X2 (y-3)(y2-3)+xx2=0,(kx-2)kx2-2)+xx2=0 (k2+1)x62-2k(x+x2)+4=0 代入韦达定理：-小示行12水+4-0，解得：长=± 2k2+1 2k2+1 5 法2：k0=-3, ，kMR= -L=,当，M0的方程为y=,5.x+1 X2 ，3-2 Γ3-y2 PA的方程为y=》-2x -x+2 联立两直线方程，解得：= x(3-y2) xx2-y-2)(3-y2) 由题x=-x,整理得：(k2+I)xx2-2k(x+x)+4=0 代入韦达定理：（伏2+，6-2,4+4=0，解得：k=士5 2k2+12k2+1 5 第3页（共6页） 20解：(1)f'w=x’f0)1,f0=1,切线：y=-+力 (II)f(x)=x-a-xe-a,x)=xe-a hi'(x)=(x+1)e>0(x>0),h(x)在(0，+o)上单调递增 h(0)=-a<0,h(a)=ae-a=a(e“-l)>0 故存在唯一x∈(0，a),使得(x)=0,即f'(x)=0 x (0,x) Xo (x,+0) f'(x) 0 × f(x) 极小值 因此，f(x)在(0，+0)上存在唯一的极小值点 D由()e-a=0品-x(9 在@上.≥-)-+代入(y g'(x)-1_c'=-w'-a__Mx) x a ax ax 由（Ⅱ)g'(x)=0,且x也是g'(x)在(0，+∞)上的唯一零点 x (0,x) Xo (x’+0) 8(x) 0 g(x) 极大值 y 在0，m)上，g0≤g0m=g)=1n-e=1nx-上（代入(*）) a Xo 故f例-8a≥1，)86)=分+)-面%-2+名+ 2 1-Inxo Xo 11(x+1)2(x-1) 记以)三号+x+-nx,9'0=x+1- X (0,1) 1 (1,+0) p'(x) 0 + (x) 极小值 此f-80)≥9W三g0号 当且仅当x=1(s=t=1)时等号成立 将x=1代入(*)，得a=xe=e,综上，a=e 第4页（共6页） 21.解：(I)4=42-41=2,a4=42+4=5,a=a4-a3=3,a6=a4+a5=8 a,=a6-a5=5,4g=a6+a7=13,ag=ag-a7=8 Sg=1+3+2+5+3+8+5+13+8=48 （Ⅱ)当a1>an时，an+2=an+1-a,’an+3=an+l+a+2=2a+1-an an+4=a+3-+2=0n+1=an+0nt2 当at1≤an时，ant2=an+l+an，an+3=0n+2-a=an an4=ant3+an2=a++2an=an+(an+an)=an+an+2 综上，对任意n∈N,有an4=an+an+2 (Ⅲ)存在入=2，下证明 (i)先证：任意t∈N,a,+a++a+2=2max{a,a+,a+2} 证明：若a+>a,则a+2=a+1-4,a+1=a,+a+2，进而a,+a++a+2=2a+l maxfa,ar,ar2)=am,a+a+a2=2maxfa,a,a2) 若a≤a,则a2=a+1+a,进而a,+a1+a+2=2a+2 又max{a,a+,a+2}=a+2,故a,+a+1+a+2=2max{a,a+,a+2} 故任意t∈N,a,+a+1+a+2=2max{a,a+,a+2} (i)再证：存在互不相同的，…4，使得4+4++0=2 4+a,+…+a 证明：由(i)4,+a2+a3=2a2或2a a4+a5+a6=2a或2a6 a3-2+a3k-1+a=2a3k-1或2a3 第5页（共6页） 故4-2+a-1+a,=2a,其中1= 3t-l,a12a-2,t=1,2,…k 3t,a3-1≤a-2 因此，存在互不相同的…，使得4+++丝=2 4+,+…+4 (ii)最后证：a<a,<…<a 证明：由题{a,}的每项均为正数，结合（Ⅱ）中结论知： 当i,=3t-1时：a3-1+a3+=03+3 故a=a-1<a+3≤max{a1a+20+3}=a 当i,=3t时：a3-1≤a31-2,03,=31-1+31-2>a-1 所以43+1=43，-a3-1=43-2<a1 进而a+2=a3+a,>0 故a,=a,<a3+2≤maX{a+Ha+2a+3}=a 因此a<a<<a,故aa…a互不相同 综上，存在2=2符合题意 第6页（共6页）