第3章 图形的相似 单元自测卷2026-2027学年北师大版九年级数学上册

第3章《图形的相似》单元自测卷 一、选择题（本题共10小题，每小题4分，共40分） 1．勾股定理与黄金分割是几何中的双宝，前者好比珠玉，后者堪称黄金，生活中到处可见黄金分割的美．如图，点是线段的黄金分割点，且，若表示以为一边的正方形的周长，表示长为，宽为的矩形的周长，则（   ） A． B． C． D． 2．如果、满足，那么下列各式正确的是（   ） A． B． C． D． 3．如图1，“矩”在古代指两条边成直角的曲尺，它的两边长分别为a，b．中国古老的天文和数学著作《周髀算经》中简明扼要地阐述了“矩”的功能：“平矩以正绳，偃矩以望高，覆矩以测深，卧矩以知远，环矩以为圆，合矩以为方”．其中“偃矩以望高”的意思就是把“矩”仰立放可测物体的高度．如图2，从“矩”的一端望向树顶端的点，使视线通过“矩”的另一端，测得，．若“矩”的边，边，则树高为（   ） A． B． C． D． 4．在研究相似问题时，三位同学的观点如下： 甲：将三角形按图①的方式向外扩张，得到新三角形，它们的对应边间距为1，则新三角形与原三角形相似． 乙：将矩形按图②的方式向外扩张，得到新的矩形，它们的对应边间距均为1，则新矩形与原矩形相似． 丙：将菱形按图③的方式向外扩张，得到新的菱形，它们的对应边间距均为1，则新菱形与原菱形相似． 对以上三人的观点，下列判断正确的是（    ） A．甲错 B．乙错 C．丙错 D．都对 5.如图，在五边形中，，延长、，分别交直线于点、．如果添加下列一个条件后，仍无法判定，那么这个条件是（   ） A． B． C． D． 6．如图，在平行四边形中，为上一点，连接、，且、交于点，，则（    ） A． B． C． D． 7．如图，点D是边上一点，且，若，，则的度数（    ） A． B． C． D． 8．如图，在中，D为边上的中点，点E为边上一点，交于点G，当时，则( ) A． B． C． D． 9．如图，在平面直角坐标系中，已知，以原点O为位似中心，将缩小为原来的，得到，则点A的对应点的坐标为(    ) A． B． C．或 D．或 10．如图，∆ABC是等腰三角形，．以点B为圆心，任意长为半径作弧，交于点F，交于点G，分别以点F和点G为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于点H，作射线交于点D；分别以点B和点D为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于M、N两点，作直线交于点E，连接．以下结论错误的是（   ） A． B． C． D．当时， 二、填空题（本题共8小题，每小题4分，共32分） 11．如图，在中，，点是边上的动点（点不与点重合），当______度时，． 12．如图，若，，则的长为_____． 13．学楼旁边有一棵树，数学小组的同学想利用树影来测量树高．在阳光下他们测得一根长为1m的竹竿的影长是0.9m，但当他们马上测量树高时，发现树的影子不全落在地面上，有部分影子落在教学楼的墙壁上，测得落在地面的影长2.7m，落在墙壁上的影长1.2m，那么树高应为_____． 14．如图所示的正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，点、、都在网格小正方形的顶点上．、是线段、与小正方形边的交点．那么的长为__________． 15．如图，在平行四边形中，以点A为位似中心，作平行四边形的位似平行四边形，且与原图形的相似比为，连接，，若平行四边形的面积为，则与的面积之和为_______． 16．如图，在中，，，，P是上一点，，点Q从点A出发，以每秒1个单位长度的速度向终点B运动，设运动时间为t秒．当直线截，存在与相似的三角形时，_______． 17．将两个全等的等腰直角三角形摆成如图所示的样子（图中的所有点、线都在同一平面内），若，，则_________． 18．如图，等边∆ABC内一点D满足，延长交于E，，则______． 三、解答题（本题共8小题，共78分。其中：19-20题8分，21-24题每题10分，25-26题每题11分） 19．在如图的方格纸中，与是关于点为位似中心的位似图形． (1)在图中标出位似中心的位置，并写出点的坐标； (2)以原点为位似中心，在第三象限内画出的一个位似，使它与的位似比为2：1． 20．淇淇和嘉嘉在学习了利用相似三角形测高之后分别测量两个旗杆的高度． (1)如图①所示，淇淇采用镜面反射法．将镜子放在地面点处，此时淇淇恰好能从镜子中看到旗杆顶端，已知淇淇眼睛到地面的距离，且，旗杆．，，求旗杆的高度． (2)嘉嘉利用自制的直角三角形硬纸板来测量旗杆的高度，他通过调整测量位置，使斜边与地面保持平行，并使一直角边与旗杆顶点在同一直线上．已知米，米，目测点到地面的距离为1.6米，到旗杆的水平距离为18米，求旗杆的高度． 21．如图，点C是∆ABC与的公共顶点，且，有下列3个条件：①；②；③． (1)请在上述条件中选择一个条件来证明，并写出证明过程． (2)在（1）的结论下，若，求的长． 22．综合与实践 【情境】用直角三角板在如图1所示的纸片（）中画裁剪线，裁剪出两个相似三角形（三角形纸片可以完全使用，也可以有剩余）． 【操作】小云和君君尝试用不同方法解决问题． 小云的思路如下：如图2，过点作边上的高，即为裁剪线． 君君的思路如下：如图3． Ⅰ.在边上取一点，过点作，垂足为； Ⅱ.______，即，为裁剪线． 【探究】根据以上描述，解决下列问题． (1)如图2，求证：；(2)君君的思路中，若点在上． ①请你在Ⅱ中的横线上补全内容，并在图3中补全图形；②若，，求的长； 【应用】(3)如图4，在四边形纸片中，，，，，．在边上找一点，连接，，若沿，裁剪出的与相似，直接写出的长． 23．探究活动：类比直角三角形全等判定的经验，开展对直角三角形相似判定的探索． 探究过程：(1)如图，在中，分别在边上，且． ①若，求证：；②若，求证：； 结论应用：(2)如图，在矩形中，点的运动轨迹为直线上的一部分，为线段（不与点重合），作于点．若为边右侧一点，且，．请用无刻度的直尺与圆规，画出点的运动轨迹，并参照题干中点运动轨迹的表述方式对点进行描述（保留作图痕迹，不写作法）． 24．解答下列各题：(1)如图1，正方形中，点，分别在边，上，且，，相交于点，连接并延长，交于点． ①与的关系为_______；②若是中点．求证：点是的一个黄金分割点； (2)如图2，矩形中，是边的中点，连接，过点作，垂足为，交于点，连接并延长，交于点．若点是线段的一个黄金分割点，且，求的值． 25．已知，如图，在平面直角坐标系中，直线与轴交于点，与轴交于点，点的坐标是，连接． (1)求的面积； (2)如果动点在直线上，使得，求点的坐标； (3)如果动点在直线上，且与相似，求点的坐标． 26．如图，在∆ABC中，，，点在边上，连接，将线段顺时针旋转度（）得到线段，连接． (1)如图，当点不与点、重合，线段与交于点，求证：； (2)若，求的长； (3)点在运动过程中，当是等腰三角形，求的长． 参考答案 一、选择题 1．D 解：点是线段的黄金分割点，且， ，，根据题意可知， ．故选：D． 2．C 解：设，，A、， 只有当时，才成立，但可以是任意非零数，∴A错误，故该选项不符合题意； B、，，，∴B错误，故该选项不符合题意； C、，∴C正确，故该选项符合题意； D、当时，，∴D错误，故该选项不符合题意．故选：C． 3．C 解：由题意可得，，，， ∵，∴，∴，即， ∴，∴，故选：C． 4．B 解：如图所示， 据题意得：，，，∴，，∴， ∴新三角形与原三角形相似，甲说法正确． 乙：设原矩形边长为，．向外扩张一个单位后边长变为，． 则∴新矩形与原矩形不相似，乙说法不正确； 丙：将边长为的菱形按图③的方式向外扩张，得到新菱形，各边与原菱形边平行，因此各角与原菱形角对应相等，扩张后四条边依然相等，即新菱形与原菱形相似，故丙正确，故选：B． 5.A 解：∵，∴， 选项A：添加，可得无法判定； 选项B：添加，可得，可以判定； 选项C：添加，可得，，可以判定； 选项D：添加，可得，可以判定；故选A． 6．C 7．B 解：∵， ∴， ∴，∴，∵，∴， ∵，∴，∴，∴， ∴，．故选：B． 8．D 解：如图，取的中点F，连接， ∵D为边上的中点，∴是的中位线，∴，∴， ∵，∴，∴，∴，∴． 9．C 解：∵以原点为位似中心，将缩小为原来的，∴位似比为或． ∵点的坐标为，∴当位似比为时,的坐标为； 当位似比为时,的坐标为． ∴点的对应点的坐标为或．故选：． 10．B 解：∵∆ABC中，，，∴， 由作图知，平分，垂直平分，∴，， ∴，∴，∴，∴，A正确； ，∴，∴，∵，∴， ∵，∴，∴，∴， C正确； 设，，则，，∴， ∵∴，∴，∴，∴， ∵，∴，即，B错误； 当时，，∵，∴，∴，D正确，故选：B． 二、填空题 11．70 解：，，， 时，，，．故答案为：70． 12．6 解：∵，∴， ∵，∴，解得． 13．4.2m 解：如图，作CD⊥AB于E，连接AD， 由题意得AB⊥BC，DC⊥BC，∴四边形BCDE是矩形，∴DE=BC=2.7m，CD=BE=1.2m， ∵同一时刻物高与影长成正比例，∴，即， ∴AE=3m，∴AB=AE+BD=4.2m，即树高为4.2m．故答案为：4.2m。 14． 解：如图，连接，在格点取、、、，使得，， 由图可知，，，，，， ，，，， ，，， ，，故答案为：． 15．6 解：连接， ∵平行四边形 与平行四边形是以点A 为位似中心的位似图形，且相似比为， ∴A，G，C三点在同一条直线上，，，， ∵平行四边形 的面积为，∴ 和 的面积都是， ∵，∴， ∴，∴， ∵，∴，同理可得 ，∴与的面积之和为，故答案为． 16．4.8或7.5或10 解：由题意，得：，， 当直线截存在与相似的三角形时，分三种情况讨论： ①当时，则：，即：，解得：； ②当时，则：，即：，解得：； ③当点Q和点B重合时，，∴，∴ 又∵∴，符合题意．综上：秒或秒或10秒． 17． 解：设，则，，∴， ∵∆ABC，是等腰直角三角形，∴，，， ∴，，∴， 又∵，∴，∴，即；∴， ∵；∴， 解得，（舍去）即， ∵，，∴，∴， ∴，∴，故答案为：． 18． 三、解答题 19．(1)点的位置如图所示，； (2)如图，即为所求． 20．（1）解：根据光的反射的性质，， 又∵，∴，∴， 将，，，代入上式， 得，解得，故旗杆的高度为； （2）解：∵，∴四边形为矩形， ∵目测点到地面的距离为1.6米，到旗杆的水平距离为18米， ∴，， ∵，，∴，∴， ∵米，米，∴，解得， ∴，答：旗杆的高度米． 21．（1）解：选择①或③均正确． 选择①证明如下：∵，， ∵，∴，即，∴； 选择③证明如下：∵，∴，又∵，∴； （2）解：由（1）得，， 又∵，∴，， 又∵，，． 22．(1)证明：∵过点作边上的高，∴，∴， ∵，∴，∴，∴． （2）解：①根据题意，Ⅱ补全内容：过点M作，垂足为Q， 如图3补全图形即为所求： ②∵，，，∴四边形是矩形，∴，， ∵，∴，∵，∴， 又∵，∴，∴，∵，∴； （3）解：设，∵，，，∴， ①当时，则即，解得或6； ②当时，则即，解得； 综上所述，的长为或4或6． 23．（1）证明：①，与均为直角三角形，直角分别为、， 在和中，， （斜边与直角边对应成比例的两个直角三角形相似）； ②过点作交延长线于，过点作交延长线于， ， ， ，， 又，，结合， 由①得， ，又，，． （2）解：画图如图2所示．点的运动轨迹为直线上的一部分，其中，交于点，为线段（不与点重合）．如解图2，由题意得， ，，，，，， ，， 由题意得，同理可证，， 四边形是矩形， 对角线互相平分且相等， 设交于点，则，， ，, 当点与点重合时，点与点重合，即，． 24．（1）解：①且． 证明：在正方形中，，， 又，，∴，， ，，∴，． ②证明：∵，∴， ∵为中点，∴，∴， ∵在正方形中，，∴，∵，∴，∴， ∵，∴，∵，∴， 又，∴，∴，∴，∴点是的一个黄金分割点． （2）解：∵点是线段的一个黄金分割点，且，∴，延长交于点H， ∵矩形中，是边的中点，∴，， ∵，∴，∴， ∵，∴，∴，∴，即， ∴． 25．（1）解：∵直线与轴交于点，与轴交于点，令，则，∴， ∴，令，则，∴，∴， ∵点的坐标是，∴，∴， ∴的面积； （2）解：设直线的解析式为， ∵，点的坐标是，∴，解得， ∴直线的解析式为，，分两种情况： ①当点在轴上方时，如图，设与轴交于点，由题意得， 又∵，，∴，∴，∴， 设直线的解析式为， ∴，解得，∴直线的解析式为， 联立和得，解得，∴点的坐标为； ②当点在轴下方时，如图，设与轴交于点′， 同理得，，直线的解析式为， 联立和得，，解得，∴点的坐标为； 综上，点的坐标为或； （3）解：在中，∵，∴同理可得 如图，过点作轴于点， ∵，，∴， ∵轴，∴，∴， 在直线上，设，∴，∴， 当时，∴，∴，∴， ∵，∴，∴； 当时，∴，∴，∴， ∵，∴，∴． 综上所述：点的坐标为或． 26．（1）证明：由旋转性质可得，，， ，，，又，， ，， ，，； （2）解：作于点，，，，由勾股定理得， ，，由（1）得， ，； （3）解：是等腰三角形，分三种情况讨论： ①当时，，由（1）得， ，，，四边形是平行四边形，， ，，，，，， ，，，，； ②当时，，∠B=∠ADE，，， 但此时、有公共点，不可能互相平行，此情况不成立； ③当时，， ，，， ，，，， ，，， 综上所述，当为等腰三角形时，的值为或． 学科网（北京）股份有限公司 $