12.2.3 角边角（第2课时：ASA、AAS证明三角形全等解答题训练） 同步练 2026-2027学年华东师大版数学八年级上册

12.2.3 角边角（第2课时：ASA、AAS证明三角形全等解答题训练） 同步练 2026-2027学年华东师大版数学八年级上册 【基础夯实】 1．如图，在中，，，点D为直线上方一点，且，， (1)求证： (2)若，，求的长． 【答案】(1)证明：，，， ， ，， ， 在和中， ， ； (2) 【分析】（1）由题意易得，则有，然后根据全等三角形的判定定理可进行求证； （2）由（1）可知，，然后问题可求解． 【详解】（1）略 （2）解：， ，， ． 2．李叔叔家在原有楼房的基础上加盖了一层阁楼，乐乐和冬冬利用假期测量了该阁楼的高度．测量过程如下： ①通过询问李叔叔得知楼房原来的高度米，乐乐在地面上距点6米的点处（即米），测得的度数； ②冬冬在地面上的点处测得的度数，发现与互余，并用皮尺测得米； 已知点、、在一条直线上，点、、在一条直线上，图中所有点均在同一平面内，．请根据上述信息求出该阁楼的高度． 【答案】该阁楼的高度为2米 【分析】先依托直角、互余条件推导一组等角，用证明两个直角三角形全等，借助全等边相等算出长，作差求出阁楼高度． 【详解】解：因为， 所以， 所以， 因为与互余， 所以， 所以， 在和中， 因为，，， 所以， 所以， 所以， 所以该阁楼的高度为2米． 3．和的位置如图所示，点B在边上，，． (1)求证：； (2)已知，，求的长度． 【答案】(1)证明：， ，， ， 在和中， ， ， ； (2) 【分析】（1）首先，由，证得，再由，证得，可得； （2）由（1）知，可得，，再由可得答案． 【详解】（1）略 （2）解：由（1）知：， ，， ． 4．中，．尺规作图痕迹如图所示，其中点在上，点在上，交于点． (1)若，求的度数． (2)求证：． 【答案】(1) (2) 证明：由作图得， ∴ ∵平分 ∴ 又∵ ∴． 【分析】（1）首先利用直角三角形两锐角互余求出，然后由角平分线的定义求解； （2）首先得到，然后由角平分线得到平分，即可证明． 【详解】（1）解：∵， ∴ 由作图得，平分 ∴； （2）略 5．如图，在中，，，，点是中点，点在上，过点作交的延长线于点． (1)求证：； (2)求四边形的面积． 【答案】(1)证明：， ，， 点是中点， ， ； (2)四边形的面积为 【分析】（1）根据平行线的性质得到，，根据线段中点的定义得到，即可得证； （2）由（1）知，，得到，结合，，，得到，即可求解． 【详解】（1）略 （2）由（1）知，， ， ，，， ． 6．如图，等边的边长为，点在边上以每秒的速度从向运动，到点停止；点在射线上以每秒的速度从向运动，随着点的停止而停止；设运动时间为秒． (1)用含t的式子表示线段长度： ______， ______； (2)当时，求的值； (3)若运动过程中，线段与边交于点，请问是否存在点为线段中点的情况？若存在，请求出此时的值和的长度；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)，； (2) (3)存在，， 【分析】（1）根据题意列出代数式即可； （2）当时，，为等边三角形，进行求解即可； （3）假设存在点为线段中点的情况．过点作交于点．证明，得出相等的线段，然后列方程求解即可． 【详解】（1）根据题意得，，； （2）当时，， ∴为等边三角形， ∴．∴，解得：； （3）存在． 过点作交于点，如图2所示； ∴，， 在中，， ∴是等边三角形， ∴， ∵点为线段中点， ∴，在和中， ， ∴， ∴，， ∴ ， ∴，解得：， ∴当秒时，点为线段中点，此时， ∴， ∵， ∴． 7．如图，已知直线，直线分别与、交于点A、B． (1)请用尺规作图法，在线段上求作点，使点到、的距离相等．保留作图痕迹，不写作法； (2)由（1）知，证明点到，的距离相等． 【答案】(1)如图，点即为所求： (2)证明：如图，作于点，延长交于点， ∵，， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴点到，的距离相等． 【分析】（1）分别以点、为圆心，以大于的长度为半径画弧，两弧交于点、，作直线，与的交点，即为所求的点； （2）作于点，延长交于点，由平行线的性质可得，则，容易证明，因此． 【详解】（1）略 （2）略 8．如图，，，点D在边上，和相交于点O． (1)若，求的度数； (2)若，求证：． 【答案】(1) (2)证明：∵， ∴， 由（1）可知：， 又∵， ∴， ∴，即， 在和中， ， ∴． 【分析】（1）在和中，利用三角形内角和定理可得，从而得到答案； （2）先证明，再利用可证得． 【详解】（1）解：∵，点D在边上，和相交于点O， ∴， 又∵，， ∴； （2）略． 9．李老师组织学生开展测量物体高度的实践活动，阳阳所在小组的任务为测量教学楼顶部宣传牌的高度．他们制订了测量方案并进行实地测量，形成如下活动报告： 活动报告 课题 测量教学楼顶部宣传牌的高度 工具 皮尺、测角仪等 测量方案及示意图 如图，在地面上确定点，使，在点处安装测角仪．测得的度数，然后沿方向走到点处，使与互余，测得． 说明 图中所有点均在同一平面内，，点Q在上，点E在上，测角仪的高度忽略不计． 请你根据活动报告求出教学楼顶部宣传牌的高度． 【答案】 【分析】根据直角三角形两锐角互余的性质可得出，根据证明，得出，即可求解． 【详解】解：由题意可知，，， 与互余， ， 与互余， ， ． 在和中， ， ， ， ． 答：教学楼顶部宣传牌的高度为． 10．如图，在中，D是上一点，，交于点E，． (1)求证：； (2)若，，求的长． 【答案】(1) 证明：在和中， ， ； (2)2 【分析】（1）根据定理即可证得结论； （2）根据全等三角形的性质得到，即可求出． 【详解】（1）略 （2）解：， ， ． 11．探究解题 (1)如图，在中，，，点为直线上方一点，连接，，且，过点作于点． ①试说明：； ②若，，求的长． 【问题解决】 (2)如图，某学校打造等腰直角三角形景观花坛，，，花坛内部设观景平台，满足，笔直小路延伸交花坛底边于点，从花坛顶点C修建休闲小道垂直于小路交的延长线于点，已知平分，线段长80米，求花坛内区域的面积．（观景平台的大小，小路，小道的宽度均忽略不计） 【答案】(1)①证明：∵，，， ∴， ∴， ∵， ∴． ② (2)花坛内区域的面积为． 【分析】（1）①根据，，，得，再由同角的余角相等得出，即可证得； ②由，得，，即可求得的长． （2）由平分，得，再证得，得，然后，证得，得，最后，由面积公式即可求得区域的面积． 【详解】（1）①略 ②解：∵， ∴，， ∴． （2）解：∵平分， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴的面积， 答：花坛内区域的面积为． 12．在中，，，，三点都在直线上． (1)若． ①如图1，若，则与的数量关系为__________，与的数量关系为__________； ②如图2，猜想，与的数量关系并说明理由． (2)如图3，若，，，其余条件不变．点在线段上以的速度由点向点运动，同时，点在射线上以的速度由点向点的方向运动，请直接写出使得与全等时的值． 【答案】(1)①，； ②，理由如下： ∵，， ∴， 又∵，， ∴， ∴，， ∴； (2)或 【分析】（1）①推出，然后证明，即可得到，； ②同①证明，即可得到，，进而求解即可； （2）设运动时间为，根据题意分两种情况讨论，分别根据全等三角形的性质求解即可． 【详解】（1）解：①∵， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴，； ②略 （2）解：设运动时间为， ∵， ∴当时，，， ∴，， ∴，； 当时，，， ∴， ∴， 综上所述，或． 13．如图1、2所示，小颖与爸爸、妈妈在操场上荡秋千，小颖坐在秋千上的起始位置点处，且起始位置的延长线与地面垂直，垂足为点．小颖两脚在地面上用力一蹬，小颖妈妈在距离地面高为米的点处接住小颖，小颖的妈妈到秋千起始位置的水平距离米；小颖的妈妈用力一推，小颖的爸爸在距离地面高为米的点处接住小颖，小颖的爸爸到秋千起始位置的水平距离为米，秋千的长度保持不变．解答下列问题： (1)当时，判断与是否相等，若相等，请证明；若不相等，请说明理由； (2)当，米，米，米时，求的值； (3)若考虑到安全和体感，点、点分别在的左边和右边，秋千摆动的夹角（即）始终保持，请直接写出，，，这四个变量之间的关系． 【答案】(1)，理由如下： 于点， ， ，     ， ，     ． (2) (3) 【分析】（1）利用同角的余角相等证两角相等； （2）根据证，得到对应边相等，再结合线段差计算； （3）用线段和差得到四个变量关系式． 【详解】（1）略 （2）解：据题可知，据（1）可知， 在和中， ， ， 米，， ，， 米， 米， ． （3）解：据（2）可知， 则米，米， ，， ，即． 14．如图，在四边形中，已知，，，点在的延长线上，满足． (1)_____． (2)求证：； (3)求证：是等腰直角三角形； (4)若，四边形的面积为_____．（用含的代数式表示）（提示：由于，四边形的面积和的面积相等） 【答案】(1) (2)证明：∵，， ∴， 在和中，， ∴． (3)证明：由（2）可知，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴是等腰直角三角形． (4) 【分析】（1）根据平角的定义即可得出答案； （2）利用角的和差关系得出，即可证明； （3）根据全等三角形的性质得出，根据，利用角的和差关系得出，即可证明是等腰直角三角形； （4）根据全等三角形的性质得出，结合（3）中结论，利用三角形面积公式即可得出答案． 【详解】（1）解：∵点在的延长线上， ∴． （2）证明：略 （3）证明：略 （4）解：∵， ∴， ∴，即， ∵，是等腰直角三角形， ∴， ∴四边形的面积为． 15．【问题情境】 如图①，，点和点分别在的边和上，连接．和的平分线交于点，作，交于． 【问题探究】 (1)直接填空： ； ； 可直接利用（1）中得到的结论解决下面的问题： 【问题解决】 (2)求证：； 【问题拓展】 (3)连接，如图②，若，和的面积分别为和，求线段的长． 【答案】(1)45；180 (2)证明：由上已得：， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵是的角平分线， ∴， 在和中， ， ∴， ∴． (3)16 【分析】（1）先求出的度数，再求出的度数，然后根据三角形的内角和定理求解即可； （2）先得出，，再证出即可得证； （3）过点作于点，作于点，先利用三角形的面积公式求出的长，再证出，则，进而可得的长，然后根据全等三角形的性质可得，由此即可得． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴， ∵是的角平分线，是的角平分线， ∴，， ∴， ∴； ∵， ∴， ∴在四边形中，． （2）略 （3）解：如图，过点作于点，作于点， ∵的面积为60，且， ∴， ∴， ∵，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵的面积为， ∴， ∴， 由上已证：， ∴， ∴． 16．在不同情境下探究三角形的关系． (1)如图（a），，射线在这个角的内部，点，分别在的边，上，且，，垂足为，，垂足为，与全等吗？请说明理由； (2)如图（b），点，分别在的边，上，点，都在内部的射线上．已知，且，与全等吗？请说明理由． 【答案】(1) 理由： ，， ． ． ， ． ． 在与中， ， ． (2) 理由： 在中，，， ． ，， ． 同理可得． 在与中， ， ． 【分析】（1）由同角的余角相等得出，再利用即可证明； （2）利用三角形外角的定义及性质、三角形内角和定理证明出，同理可得，再利用证明即可． 【详解】（1）略； （2）略． 17．如图，点F，G分别在的，边上，C，B依次为延长线上两点，，，． (1)求证：； (2)若，，求的度数，并直接写出当 时，． 【答案】(1)证明：， ． ． ，， ． ． (2)； 【分析】（1）先由，得，又因为，，即可证明； （2）由，再结合对顶角相等，三角形内角和性质得，根据，故，最后运用三角形外角性质列式计算，即可作答． 【详解】（1）证明：略 （2）解：， ． ， ， ， ． （三角形外角性质）． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $ 12.2.3 角边角（第2课时：ASA、AAS证明三角形全等解答题训练） 同步练 2026-2027学年华东师大版数学八年级上册 【基础夯实】 1．如图，在中，，，点D为直线上方一点，且，， (1)求证： (2)若，，求的长． 2．李叔叔家在原有楼房的基础上加盖了一层阁楼，乐乐和冬冬利用假期测量了该阁楼的高度．测量过程如下： ①通过询问李叔叔得知楼房原来的高度米，乐乐在地面上距点6米的点处（即米），测得的度数； ②冬冬在地面上的点处测得的度数，发现与互余，并用皮尺测得米； 已知点、、在一条直线上，点、、在一条直线上，图中所有点均在同一平面内，．请根据上述信息求出该阁楼的高度． 3．和的位置如图所示，点B在边上，，． (1)求证：； (2)已知，，求的长度． 4．中，．尺规作图痕迹如图所示，其中点在上，点在上，交于点． (1)若，求的度数． (2)求证：． 5．如图，在中，，，，点是中点，点在上，过点作交的延长线于点． (1)求证：； (2)求四边形的面积． 6．如图，等边的边长为，点在边上以每秒的速度从向运动，到点停止；点在射线上以每秒的速度从向运动，随着点的停止而停止；设运动时间为秒． (1)用含t的式子表示线段长度： ______， ______； (2)当时，求的值； (3)若运动过程中，线段与边交于点，请问是否存在点为线段中点的情况？若存在，请求出此时的值和的长度；若不存在，请说明理由． 7．如图，已知直线，直线分别与、交于点A、B． (1)请用尺规作图法，在线段上求作点，使点到、的距离相等．保留作图痕迹，不写作法； (2)由（1）知，证明点到，的距离相等． 8．如图，，，点D在边上，和相交于点O． (1)若，求的度数； (2)若，求证：． 9．李老师组织学生开展测量物体高度的实践活动，阳阳所在小组的任务为测量教学楼顶部宣传牌的高度．他们制订了测量方案并进行实地测量，形成如下活动报告： 活动报告 课题 测量教学楼顶部宣传牌的高度 工具 皮尺、测角仪等 测量方案及示意图 如图，在地面上确定点，使，在点处安装测角仪．测得的度数，然后沿方向走到点处，使与互余，测得． 说明 图中所有点均在同一平面内，，点Q在上，点E在上，测角仪的高度忽略不计． 请你根据活动报告求出教学楼顶部宣传牌的高度． 10．如图，在中，D是上一点，，交于点E，． (1)求证：； (2)若，，求的长． 11．探究解题 (1)如图，在中，，，点为直线上方一点，连接，，且，过点作于点． ①试说明：； ②若，，求的长． 【问题解决】 (2)如图，某学校打造等腰直角三角形景观花坛，，，花坛内部设观景平台，满足，笔直小路延伸交花坛底边于点，从花坛顶点C修建休闲小道垂直于小路交的延长线于点，已知平分，线段长80米，求花坛内区域的面积．（观景平台的大小，小路，小道的宽度均忽略不计） 12．在中，，，，三点都在直线上． (1)若． ①如图1，若，则与的数量关系为__________，与的数量关系为__________； ②如图2，猜想，与的数量关系并说明理由． (2)如图3，若，，，其余条件不变．点在线段上以的速度由点向点运动，同时，点在射线上以的速度由点向点的方向运动，请直接写出使得与全等时的值． 13．如图1、2所示，小颖与爸爸、妈妈在操场上荡秋千，小颖坐在秋千上的起始位置点处，且起始位置的延长线与地面垂直，垂足为点．小颖两脚在地面上用力一蹬，小颖妈妈在距离地面高为米的点处接住小颖，小颖的妈妈到秋千起始位置的水平距离米；小颖的妈妈用力一推，小颖的爸爸在距离地面高为米的点处接住小颖，小颖的爸爸到秋千起始位置的水平距离为米，秋千的长度保持不变．解答下列问题： (1)当时，判断与是否相等，若相等，请证明；若不相等，请说明理由； (2)当，米，米，米时，求的值； (3)若考虑到安全和体感，点、点分别在的左边和右边，秋千摆动的夹角（即）始终保持，请直接写出，，，这四个变量之间的关系． 14．如图，在四边形中，已知，，，点在的延长线上，满足． (1)_____． (2)求证：； (3)求证：是等腰直角三角形； (4)若，四边形的面积为_____．（用含的代数式表示）（提示：由于，四边形的面积和的面积相等） 15．【问题情境】 如图①，，点和点分别在的边和上，连接．和的平分线交于点，作，交于． 【问题探究】 (1)直接填空： ； ； 可直接利用（1）中得到的结论解决下面的问题： 【问题解决】 (2)求证：； 【问题拓展】 (3)连接，如图②，若，和的面积分别为和，求线段的长． 16．在不同情境下探究三角形的关系． (1)如图（a），，射线在这个角的内部，点，分别在的边，上，且，，垂足为，，垂足为，与全等吗？请说明理由； (2)如图（b），点，分别在的边，上，点，都在内部的射线上．已知，且，与全等吗？请说明理由． 17．如图，点F，G分别在的，边上，C，B依次为延长线上两点，，，． (1)求证：； (2)若，，求的度数，并直接写出当 时，． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $