河北唐山市第一中学2026-2027学年高一上学期10月月考数学试题

2026-2027唐山一中高一上学期10月月考 数学 一、选择题(本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项 是符合题目要求的。 1.已知全集，集合，，则（    ） A． B． C． D． 2．已知命题：，，则为（ ） A．， B．， C．， D．， 3．若，则（   ） A． B． C． D． 4．不等式的解集是（    ） A． B． C． D． 5．某校高三(1)班50个学生选择选修模块课程，他们在三个模块中进行选择，每个学生至少需要选择1个模块，具体选择的情况如下表： 模块 选择的学生人数 模块 选择的学生人数 28 与 11 26 与 12 26 与 13 则三个模块都选择的学生人数是（ ） A.4 B.5 C.6 D.7 6．集合，，之间的关系是 A． B． C． D． 7．若，，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 8．．已知集合，，若的必要不充分条件是，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 二、选择题(本题共4小题，每小题6分，共24分。在每小题给出的选项中，有多项符 合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。) 9．（多选）以下四个选项表述正确的有（    ） A． B． C． D． 10．（多选）下列“若p，则q”形式的命题中，p是q的必要条件的有（    ） A．若x，y是偶数，则x＋y是偶数 B．若a＜2，则方程x2－2x＋a＝0有实根 C．若四边形的对角线互相垂直，则这个四边形是菱形 D．若ab＝0，则a＝0 11．（多选）图中阴影部分用集合表示正确的是（   ） A． B． C． D． 12．（多选）已知a，b为正实数，且，则（      ） A．的最小值为8 B．的最小值为 C．ab的最大值为8 D．的最小值为 三、填空题(本题共4小题，每小题4分，共16分。) 13．集合的子集个数__________. 14．已知集合，若，则___________． 15．已知关于的一元二次方程有两个负数根，那么实数的取值范围是______． 16.已知函数对任意的和任意的都有恒成立，则实数的取值范围是_________. 四、解答题(本题共6小题，共70分。） 17.(本题10分） （1），求的最小值 （2）已知为正实数，，求的最小值. 18．（本题12分）已知集合，或． (1)当时，求和； (2)若，且，求实数a的取值范围． 19．（本题12分）已知不等式的解集为或. (1)求的值； (2)解关于的不等式. 20．（本题12分）“金山银山不如绿水青山．”实行垃圾分类、保护生态环境人人有责．某企业新建了一座垃圾回收利用工厂，于今年年初用万元购进一台垃圾回收分类生产设备，并立即投入生产使用．该设备使用后，每年的总收入为万元．若该设备使用年，则其所需维修保养费用年来的总和为万元，设该设备产生的盈利总额（纯利润）为万元． (1)写出与之间的函数关系式；并求该设备使用几年后，其盈利总额开始达到万元以上； (2)该设备使用几年后，其年平均盈利额达到最大?最大值是多少?（） 21．（本题12分）已知函数 (1)若，求的解集； (2)若对任意恒成立，求实数的取值范围. (3)若存在，使得成立，求此时实数的取值范围. 22．（本题12分）《见微知著》谈到：从一个简单的经典问题出发，从特殊到一般，由简单到复杂：从部分到整体，由低维到高维，知识与方法上的类比是探索发展的重要途径，是思想阀门发现新问题、新结论的重要方法， 阅读材料一：利用整体思想解题，运用代数式的恒等变形，使不少依照常规思路难以解决的问题找到简便解决方法，常用的途径有：（1）整体观察；（2）整体设元；（3）整体代入：（4）整体求和等. 例如，，求证：. 证明：原式. 波利亚在《怎样解题》中指出：“当你找到第一个藤菇或作出第一个发现后，再四处看看，他们总是成群生长”类似问题，我们有更多的式子满足以上特征. 请根据阅读材料解答下列问题 (1)已知，求___________. (2)若，解方程. (3)若正数、满足，求的最小值. 试卷第4页（共4页） 试卷第3页（共4页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027唐山一中高一上学期10月月考 数学 一、选择题(本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项 是符合题目要求的。 1.已知全集，集合，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据补集可得，进而可求交集. 【详解】因为全集，，可得， 且集合，所以. 故选：A. 2．已知命题：，，则为（ ） A．， B．， C．， D．， 【答案】A 【详解】利用全称命题的否定可得出结论. 命题为全称命题，则命题的否定为，. 3．若，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】结合不等式性质举出反例可得A、B、D错误，借助不等式的同向可加性可得C. 【详解】对A：当时，则，故A错误； 对B：当时，满足，，而，故B错误； 对C：由，得，故C正确； 对D：当时，满足，，而，故D错误. 故选：C. 4．不等式的解集是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据绝对值的定义，化简不等式为，即可求解. 【详解】由，根据绝对值的定义，可得， 即，解得，即不等式的解集为. 故选：B. 【点睛】本题主要考查了绝对值不等式的求解，其中解答中熟记绝对值的定义是解答的关键，着重考查计算能力. 5．某校高三(1)班50个学生选择选修模块课程，他们在三个模块中进行选择，每个学生至少需要选择1个模块，具体选择的情况如下表： 模块 选择的学生人数 模块 选择的学生人数 28 与 11 26 与 12 26 与 13 则三个模块都选择的学生人数是（ ） A.4 B.5 C.6 D.7 【答案】三个模块都选择的学生人数为6. 【分析】设三个模块都选择的学生人数为，用Venn图表示集合，在各部分写出人数，由总人数计算可得． 【详解】解：设三个模块都选择的学生人数为，则各部分的人数如图所示， 则有，解得， 即三个模块都选择的学生人数为6. 6．集合，，之间的关系是 A． B． C． D． 【答案】C 【详解】运用整数的性质求解．集合M、P表示的是被3整除余1的整数集，集合S表示的是被6整除余1的整数集．故选C. 考点：集合间的基本关系. 7．若，，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】用表示，根据不等式性质运算求范围. 【详解】令，则，解得. 因为，， 所以，即的取值范围是. 故选：B. 8．．已知集合，，若的必要不充分条件是，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】解分式不等式可求得集合，根据必要不充分条件的定义可知两集合的包含关系，由此可构造不等式组求得结果. 【详解】由得：，，解得：， ； 的必要不充分条件是，， ，解得：，即实数的取值范围为. 故选：B. 二、选择题(本题共4小题，每小题6分，共24分。在每小题给出的选项中，有多项符 合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。) 9．（多选）以下四个选项表述正确的有（    ） A． B． C． D． 【答案】BD 【分析】利用元素与集合的关系可判断A选项；利用集合与集合的关系可判断BC选项；利用空集的定义可判断D选项. 【详解】对于A选项，，A错； 对于B选项，，B对； 对于C选项，，C错； 对于D选项，对于方程，， 故方程无解，即，D对. 故选：BD. 10．（多选）下列“若p，则q”形式的命题中，p是q的必要条件的有（    ） A．若x，y是偶数，则x＋y是偶数 B．若a＜2，则方程x2－2x＋a＝0有实根 C．若四边形的对角线互相垂直，则这个四边形是菱形 D．若ab＝0，则a＝0 【答案】BCD 【分析】根据必要条件的定义逐一判断即可. 【详解】A：x＋y是偶数不一定能推出x，y是偶数，因为x，y可以是奇数，不符合题意； B：当方程x2－2x＋a＝0有实根时，则有，显然能推出a＜2，符合题意； C：因为菱形对角线互相垂直，所以由四边形是菱形能推出四边形的对角线互相垂直，符合题意； D：显然由a＝0推出ab＝0，所以符合题意， 故选：BCD 11．（多选）图中阴影部分用集合表示正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】AB 【分析】根据交集、补集以及图象等知识来确定正确答案. 【详解】根据图象可知，阴影部分表示的集合是， 所以AB选项正确、C选项错误. 而，不符合题意，D选项错误. 故选：AB 12．（多选）已知a，b为正实数，且，则（      ） A．的最小值为8 B．的最小值为 C．ab的最大值为8 D．的最小值为 【答案】ACD 【分析】对于A，利用将转化为关于的关系式，代入，利用基本不等式即可求出对应的最小值；对于B，利用基本不等式，并将代入即可求出对应的最小值；对于C，对运用基本不等式，再解不等式即可得求出对应的最大值；对于D，把关于的关系式代入，利用因式分解和基本不等式即可求出对应的最小值. 【详解】由得， 所以， 当且仅当，即时取等号，此时取得最小值8，A对； ，当且仅当时，即当，（舍去负值）时取等号，此时取得最小值，B错； 因为，当且仅当时取等号，解不等式得，即，故ab的最大值为8，C对； ， 当且仅当即，（舍去负值）时取等号，此时取得最小值，D对. 三、填空题(本题共4小题，每小题4分，共16分。) 13．集合的子集个数__________. 【答案】8 【分析】分析可知集合，进而可求子集的个数. 【详解】因为集合，共3个元素， 所以集合A的子集个数为. 故答案为：8. 14．已知集合，若，则___________． 【答案】 【分析】分情况讨论元素与集合间的关系，解方程即可. 【详解】因为，， 当时，则，此时，不符题意： 当时，解得（舍去）或，若，则，符合题意； 综上所述，， 故答案为：. 15．已知关于的一元二次方程有两个负数根，那么实数的取值范围是______． 【答案】m>7 【详解】 解关于的一元二次方程有两个负数根， ， 解得． 又， 实数的取值范围是． 故答案为：． 16.已知函数对任意的和任意的都有恒成立，则实数的取值范围是_________. 【解析】先把展开，并整理成关于的二次函数形式， 即 即 因为对于任意的，只需要让其即可 于是 整理可得对任意恒成立 即或，对任意的恒成立 分参可得或 设，则，即或者，解得或 四、解答题(本题共6小题，共70分。） 17.（本题10分）（1），求的最小值 （2）已知为正实数，，求的最小值. 【解析】（1） （2） 18．（本题12分）已知集合，或． (1)当时，求和； (2)若，且，求实数a的取值范围． 【答案】(1)，或； (2) 【分析】（1）利用交集和并集概念求出答案； （2）先得到，，分和两种情况，得到不等式，求出答案. 【详解】（1）时，，又或， 故或， 或或； （2），故， ， 当时，，解得，与矛盾，舍去， 当时，，解得， 综上，实数a的取值范围为. 19．（本题12分）已知不等式的解集为或. (1)求的值； (2)解关于的不等式. 【答案】(1)， (2) 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为. 【分析】（1）根据一元二次不等式的解集与一元二次方程根之间的关系，结合韦达定理可构造方程组求得的值； （2）根据一元二次不等式的解法，通过对的范围的讨论确定解集. 【详解】（1）不等式的解集为或， 方程的两根为和，且， ，解得：，. （2）由（1）知：； 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为. 20．（本题12分）“金山银山不如绿水青山．”实行垃圾分类、保护生态环境人人有责．某企业新建了一座垃圾回收利用工厂，于今年年初用万元购进一台垃圾回收分类生产设备，并立即投入生产使用．该设备使用后，每年的总收入为万元．若该设备使用年，则其所需维修保养费用年来的总和为万元，设该设备产生的盈利总额（纯利润）为万元． (1)写出与之间的函数关系式；并求该设备使用几年后，其盈利总额开始达到万元以上； (2)该设备使用几年后，其年平均盈利额达到最大?最大值是多少?（） 【答案】(1)，使用年后，盈利总额开始达到万元以上 (2)使用年后，其年平均盈利额达到最大，最大值为万元. 【分析】（1）先求得与之间的函数关系式，由此列不等式来求得正确答案. （2）先求得平均盈利额的表达式，然后利用基本不等式来求得最大值以及此时对应的的值. 【详解】（1）依题意，， 由，得， 即，解得， 所以使用年后，盈利总额开始达到万元以上. （2）平均盈利额， 当且仅当时等号成立， 所以使用年后，其年平均盈利额达到最大，最大值为万元. 21．（本题12分）已知函数 (1)若，求的解集； (2)若对任意恒成立，求实数的取值范围. (3)若存在，使得成立，求此时实数的取值范围. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）代入函数解析式，解不等式即可；     （2）分类讨论解决不等式恒成立问题； （3）问题等价于存在使得成立，求在时的最大值即可得实数的取值范围. 【详解】（1）若，不等式，即，解得， 所以不等式解集为. （2）对任意恒成立，即对任意恒成立， ① 当， 则对任意恒成立，即满足题意；                 ② 当时，函数的图像抛物线开口向上， 对任意不恒成立，所以不满足题意；                             ③ 当，函数的图像抛物线开口向下， 要使得对任意恒成立，即，解得.                      综上由①②③可得的取值范围为. （3）不等式，即， 因为， 故存在使得成立， 当时，，得， 当时，有最大值，则有， 即实数的取值范围为. 22．（本题12分）《见微知著》谈到：从一个简单的经典问题出发，从特殊到一般，由简单到复杂：从部分到整体，由低维到高维，知识与方法上的类比是探索发展的重要途径，是思想阀门发现新问题、新结论的重要方法， 阅读材料一：利用整体思想解题，运用代数式的恒等变形，使不少依照常规思路难以解决的问题找到简便解决方法，常用的途径有：（1）整体观察；（2）整体设元；（3）整体代入：（4）整体求和等. 例如，，求证：. 证明：原式. 波利亚在《怎样解题》中指出：“当你找到第一个藤菇或作出第一个发现后，再四处看看，他们总是成群生长”类似问题，我们有更多的式子满足以上特征. 请根据阅读材料解答下列问题 (1)已知，求___________. (2)若，解方程. (3)若正数、满足，求的最小值. 【答案】(1)1 (2) (3) 【分析】（1）由题意把代入式中可求值； （2）将代入方程可求解； （3）由已知条件可得，利用基本不等式求出的最小值即可． 【详解】（1）由题意得． （2） 原方程可化为：， 即：， ，即，解得：． （3）由题意得， ，当且仅当，即时，等号成立， 有最小值，此时有最大值， 从而有最小值，即有最小值． 试卷第10页（共12页） 试卷第11页（共12页） 学科网（北京）股份有限公司 $