精品解析：河北唐山市第一中学2025-2026学年“钱学森班”联盟第一届联考数学试题（B）

唐山一中2025级“钱学森班”联盟第一届联考（B卷） 数学 注意事项 本试卷共9题，满分100分，考试时间40分钟.请考生用0.5毫米书写黑色字迹的签字笔答题.题目请作答在答题卡上，写在试卷、草稿纸上，或答题卡非题号对应区域的答案一律无效.请勿实施作弊等违纪行为. 一、填空题：本题共6小题，每小题13分，共78分. 1. 设集合，，则__________. 2. 已知，.则__________. 3. 函数的图象如图所示，已知，若恒成立，则的取值范围是__________. 4. 函数的部分图象如图所示.已知直线与的图象交于，，三点且，是图象的一个最大值点，.则__________. 5. 已知函数，如图A，B是直线与曲线的两个交点，若，则______． 6. 已知则的单调递增区间为__________. 二、解答题：本题共1小题，共22分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤. 7. 已知函数在区间单调，其中为正整数，，且. （1）求图象的一条对称轴； （2）若，求. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 唐山一中2025级“钱学森班”联盟第一届联考（B卷） 数学 注意事项 本试卷共9题，满分100分，考试时间40分钟.请考生用0.5毫米书写黑色字迹的签字笔答题.题目请作答在答题卡上，写在试卷、草稿纸上，或答题卡非题号对应区域的答案一律无效.请勿实施作弊等违纪行为. 一、填空题：本题共6小题，每小题13分，共78分. 1. 设集合，，则__________. 【答案】8 【解析】 【详解】集合A是满足的整数点的集合，共有13个元素，分别是： ，，，，，，，，，，，，. 集合B是满足的整数点的集合，所以，故. 2. 已知，.则__________. 【答案】 【解析】 【分析】根据三角恒等变换的公式，化简得到，结合正切函数的性质和基本不等式，即可求解. 【详解】由函数 ， 因为，可得， 所以，即， 当且仅当，即时等号成立，所以的最小值为. 3. 函数的图象如图所示，已知，若恒成立，则的取值范围是__________. 【答案】 【解析】 【分析】先利用三角函数的图象与性质，求得，结合恒成立，分，和，三种情况讨论，结合二次函数的性质，即可求解. 【详解】由，可得，解得，所以， 则， 由图象，可得，即，所以，即， 又由，可得，解得， 所以，所以， 因为恒成立， 若，则有，即，可得， 解得或，所以或，即； 若，则有，显然成立； 若，则有，即，即， 所以，所以. 综上可得，实数的取值范围. 4. 函数的部分图象如图所示.已知直线与的图象交于，，三点且，是图象的一个最大值点，.则__________. 【答案】 【解析】 【分析】根据点坐标推出函数表达式，再根据题意从到经过了的一个完整周期，其中，设，，带入即可得. 【详解】由图可知是“五点作图”的第一个最大值点， 所以且.. 显然，从到经过了的一个完整周期，其中. 则，， ，代入得. ... 故答案为：. 5. 已知函数，如图A，B是直线与曲线的两个交点，若，则______． 【答案】 【解析】 【分析】设，依题可得，，结合的解可得，，从而得到的值，再根据以及，即可得，进而求得． 【详解】设，由可得， 由可知，或，，由图可知， ，即，． 因为，所以，即，． 所以， 所以或， 又因为，所以，． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查根据图象求出以及函数的表达式，从而解出，熟练掌握三角函数的有关性质，以及特殊角的三角函数值是解题关键． 6. 已知则的单调递增区间为__________. 【答案】 【解析】 【分析】先化简真数并确定定义域，再求导分析导数符号，即可得到单调递增区间. 【详解】， 设， 设，令， 则，， 所以，判别式， 所以恒成立，所以的分子恒负， 因为，所以，解得，即的定义域为， ，因为，所以与同号， ， 令，则， 令，则，即， 在内，，故， 设，令，即， 则有，即，解得或， 因为是开口向下的二次函数，则有 当时，，， ，则， 当时，，， ，则， 当时，，， ，则， 当时，， 当时，， 所以当时，，，则， 所以当时，，，则， 因为与同号，所以在上，，单调递增. 二、解答题：本题共1小题，共22分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤. 7. 已知函数在区间单调，其中为正整数，，且. （1）求图象的一条对称轴； （2）若，求. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由正弦函数的单调性与周期性,可得，所以在同一个周期内，由，取其中点值，即可得图象的一条对称轴； （2）由，可得，又为正整数，所以，2，3，再分三种情况讨论，结合在处取得最值，即可求解. 【小问1详解】 因为函数在区间单调， ， 在同一个周期内， ， 图像的一条对称轴为 【小问2详解】 由（1）知，，即， 又为正整数，所以，2，3， 由（1）知，在处取得最值， 所以，，即，． 当时，，，由，知，所以， 所以，不符合题意； 当时，，， 由，知，所以， 所以，符合题意； 当时，，， 由，，所以， 所以，不符合题意， 综上所述，. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $