14.3 《角的平分线》同步分层练习 -2026-2027学年人教版数学八年级上册

14.3 角的平分线 同步分层练习 人教版 数学 八年级上册 第十四章 全等三角形 （满分 100 分　建议用时 45 分钟） 班级：____________　姓名：____________　学号：____________　得分：____________ 一、基础巩固（40 分） （一）选择题（本大题共 6 小题，每小题 3 分，共 18 分） 1．下列说法正确的是（　　） A．角的平分线是一条线段 B．角的平分线上的点到角两边的距离相等 C．角的平分线上的点到角两边上任意一点的距离都相等 D．角的平分线上的点到角两边的距离不相等 2．用尺规作一个角的平分线，其作图依据是构造全等三角形，所用的全等三角形的判定方法是（　　） A．SSS　　 B．SAS　 　C．ASA 　　D．AAS 3．如图，OC 平分∠AOB，点 P 在 OC 上，PD⊥OA 于点 D，PE⊥OB 于点 E。若 PD=3 cm，则 PE 的长为（　　） A．2 cm　　 B．3 cm　 　C．6 cm 　　D．无法确定 4．如图，点 P 在∠AOB 的内部，PC⊥OA 于点 C，PD⊥OB 于点 D，且 PC=PD，则下列结论正确的是（　　） A．点 P 在∠AOB 的平分线上 B．点 P 在∠AOB 的外部 C．点 P 到点 O 的距离等于 PC D．∠AOP≠∠BOP 5．如图，在 Rt△ABC 中，∠C=90°，AD 平分∠BAC 交 BC 于点 D。若 CD=3，则点 D 到 AB 的距离为（　　） A．1　　 B．1.5　 　C．3　 　D．4 6．到三角形三条边的距离相等的点是这个三角形的（　　） A．三条中线的交点 B．三条角平分线的交点 C．三条高的交点 D．以上都不对 （二）填空题（本大题共 4 小题，每小题 3 分，共 12 分） 7．用尺规作∠AOB 的平分线 OC：①以点 O 为圆心，适当长为半径画弧，分别交 OA 于点 M，交 OB 于点 N；②分别以点 M、N 为圆心，________的长为半径画弧，两弧在∠AOB 的内部交于点 C；③画射线 OC。其中，判定△OMC≌△ONC 的依据是__________。 8．如图，在△ABC 中，AD 平分∠BAC，∠B=50°，∠C=70°，则∠BAD=__________°。 9．如图，AD 是△ABC 的角平分线，DE⊥AB 于点 E，DF⊥AC 于点 F。若 AB=8，AC=6， =12，则=__________。 10．如图，△ABC 的三条角平分线相交于点 O，OD⊥BC 于点 D。若△ABC 的周长为 20，OD=3，则△ABC 的面积为__________。 （三）解答题（本大题共 2 小题，每小题 5 分，共 10 分） 11．如图，已知∠AOB。用直尺和圆规作∠AOB 的平分线 OC（保留作图痕迹，不写作法）；在 OC 上任取一点 P，过点 P 作 PD⊥OA 于点 D，PE⊥OB 于点 E，量出 PD、PE 的长度，你得到什么结论？ 12．求证：角的平分线上的点到角两边的距离相等。 已知：如图，OC 平分∠AOB，点 P 在 OC 上，PM⊥OA 于点 M，PN⊥OB 于点 N。 求证：PM=PN。 二、综合运用（40 分） 13．（8 分）如图，在 Rt△ABC 中，∠C=90°，BD 平分∠ABC 交 AC 于点 D，DE⊥AB 于点 E。已知 AC=6，BC=8，AB=10。 （1）求证：BC=BE； （2）求△ADE 的周长。 14．（10 分）如图，点 D 在∠BAC 的内部，DE⊥AB 于点 E，DF⊥AC 于点 F，且 DE=DF。 （1）求证：AD 平分∠BAC； （2）若 AE=6，DE=4，S△ABD=18，求 AB 的长。 15．（10 分）如图，在△ABC 中，∠ABC 和∠ACB 的平分线相交于点 O，过点 O 作 OD⊥BC 于点 D。 （1）求证：点 O 到三边 AB、BC、CA 的距离相等，并说明点 O 在∠BAC 的平分线上； （2）若△ABC 的周长为 24，OD=3，求△ABC 的面积。 16．（12 分）如图，三条公路两两相交，围成一个三角形区域△ABC。现要在该区域内部建一个货物中转站 P，使中转站到三条公路的距离相等。 （1）指出中转站 P 应建在什么位置（不要求说明理由）； （2）若△ABC 的周长为 20 km，点 P 到三条公路的距离均为 1.5 km，求△ABC 的面积。 三、拓展题（20 分） 17．（6 分）如图，OM 平分∠AOB，点 P 在 OM 上，PC⊥OA 于点 C，PD⊥OB 于点 D。对于以下结论：①PC=PD；②OC=OD；③∠OPC=∠OPD；④PC=OC，其中一定正确的是__________（填序号），并说明理由。 18．（6 分）如图，AC 平分∠BAD，CE⊥AB 于点 E，CF⊥AD 于点 F，连接 BC、DC，且 BC=DC。 （1）求证：BE=DF； （2）若 AB=12，AD=6，求 BE 的长。 19．（8 分）如图，AD 是△ABC 的角平分线，DE⊥AB 于点 E，DF⊥AC 于点 F。 （1）求证：S△ABD∶S△ACD=AB∶AC； （2）若 AB=8，AC=6，△ABC 的面积为 21，求 S△ABD 和 S△ACD。 参考答案与解析 一、基础巩固 1．B。解析：角的平分线是一条射线，A 错误；“点到角两边的距离”是指过该点向角的两边所作垂线段的长度，不是到角两边上任意一点的距离，C 错误；由角平分线的性质知，角平分线上的点到角两边的距离相等，D 错误。故选 B。 2．A。解析：以点 O 为圆心画弧，得 OM=ON；再分别以 M、N 为圆心，同一长度（大于 MN）为半径画弧，得 CM=CN；又 OC=OC（公共边），由“SSS”可证△OMC≌△ONC，从而∠MOC=∠NOC。故选 A。 3．B。解析：由角平分线的性质，角平分线上的点到角两边的距离相等，所以 PE=PD=3 cm。故选 B。 4．A。解析：由角平分线的判定，角的内部到角两边距离相等的点在角的平分线上，所以点 P 在∠AOB 的平分线上，A 正确。B、C、D 均错误。故选 A。 5．C。解析：过点 D 作 DE⊥AB 于点 E，则 DE 就是点 D 到 AB 的距离。因为 AD 平分∠BAC，∠C=90°（即 DC⊥AC），所以 DE=DC=3。故选 C。 6．B。解析：三角形的三条角平分线相交于一点，且这个点到三角形三边的距离相等。故选 B。 7．大于 MN；SSS（三边分别相等的两个三角形全等）。 8．30。解析：∠BAC=180°−∠B−∠C=180°−50°−70°=60°。因为 AD 平分∠BAC，所以∠BAD=∠BAC=30°。 9．9。解析：因为 AD 平分∠BAC，DE⊥AB，DF⊥AC，所以 DE=DF。由 S△ABD=·AB·DE=12，AB=8，得 DE=3，所以 DF=3。所以 S△ACD=·AC·DF=×6×3=9。 10．30。解析：因为点 O 是△ABC 三条角平分线的交点，所以点 O 到三角形三边的距离都等于 OD=3。所以 S△ABC=×3×(AB+BC+CA)=×3×20=30。 11．作法：①以点 O 为圆心，适当长为半径画弧，分别交 OA 于点 M、OB 于点 N；②分别以 M、N 为圆心，大于 MN 的长为半径画弧，两弧在∠AOB 的内部交于点 C；③画射线 OC，射线 OC 即为所求（作图痕迹略）。结论：PD=PE。（依据：角的平分线上的点到角两边的距离相等。） 12．证明：因为 OC 平分∠AOB，所以∠POM=∠PON。因为 PM⊥OA，PN⊥OB，所以∠PMO=∠PNO=90°。在△POM 和△PON 中，∠PMO=∠PNO，∠POM=∠PON，OP=OP，所以△POM≌△PON（AAS）。所以 PM=PN。 二、综合运用 13．（1）证明：因为 BD 平分∠ABC，∠C=90°（即 DC⊥BC），DE⊥AB，所以 DE=DC（角平分线上的点到角两边的距离相等）。在 Rt△BCD 和 Rt△BED 中，BD=BD，DC=DE，所以 Rt△BCD≌Rt△BED（HL）。所以 BC=BE。 （2）解：由（1）得 DC=DE，BC=BE=8，所以 AE=AB−BE=10−8=2。因为 AC=6，所以 AD+DE=AD+DC=AC=6。所以△ADE 的周长=AD+DE+AE=6+2=8。 14．（1）证明：因为 DE⊥AB，DF⊥AC，所以∠AED=∠AFD=90°。在 Rt△ADE 和 Rt△ADF 中，AD=AD，DE=DF，所以 Rt△ADE≌Rt△ADF（HL）。所以∠DAE=∠DAF，即 AD 平分∠BAC。 （2）解：由（1）得△ADE≌△ADF，所以 AE=AF=6。因为 S△ABD=·AB·DE=18，DE=4，所以 ×AB×4=18，解得 AB=9。 15．（1）证明：过点 O 作 OE⊥AB 于点 E，OF⊥AC 于点 F。因为 OB 平分∠ABC，OE⊥AB，OD⊥BC，所以 OE=OD。同理 OF=OD。所以 OE=OD=OF，即点 O 到三边 AB、BC、CA 的距离相等。又 OE=OF，OE⊥AB，OF⊥AC，且点 O 在∠BAC 的内部，所以点 O 在∠BAC 的平分线上。 （2）解：连接 OA。由（1）得 OE=OD=OF=3。所以 S△ABC=S△OAB+S△OBC+S△OCA=·AB·OE+·BC·OD+·CA·OF=×3×(AB+BC+CA)=×3×24=36。 16．（1）解：中转站 P 应建在△ABC 三条角平分线的交点处。 （2）解：设点 P 到三边的距离为 r，则 r=1.5 km。连接 PA、PB、PC，则 S△ABC=S△PAB+S△PBC+S△PCA=·AB·r+·BC·r+·CA·r=·r·(AB+BC+CA)=×1.5×20=15（km²）。 三、拓展题 17．①②③。理由：因为 OM 平分∠AOB，PC⊥OA，PD⊥OB，所以 PC=PD（角平分线上的点到角两边的距离相等），①正确。在 Rt△OPC 和 Rt△OPD 中，OP=OP，PC=PD，所以 Rt△OPC≌Rt△OPD（HL），所以 OC=OD，②正确；∠OPC=∠OPD，③正确。④PC=OC 不一定成立，故④错误。 18．（1）证明：因为 AC 平分∠BAD，CE⊥AB，CF⊥AD，所以 CE=CF（角平分线上的点到角两边的距离相等）。在 Rt△CBE 和 Rt△CDF 中，BC=DC，CE=CF，所以 Rt△CBE≌Rt△CDF（HL）。所以 BE=DF。 （2）解：在 Rt△ACE 和 Rt△ACF 中，AC=AC，CE=CF，所以 Rt△ACE≌Rt△ACF（HL），所以 AE=AF。设 BE=DF=x，则 AE=AB−BE=12−x，AF=AD+DF=6+x。由 AE=AF 得 12−x=6+x，解得 x=3。所以 BE=3。 19．（1）证明：因为 AD 平分∠BAC，DE⊥AB，DF⊥AC，所以 DE=DF。所以 S△ABD=·AB·DE，S△ACD=·AC·DF=·AC·DE。所以 S△ABD∶S△ACD=(·AB·DE)∶(·AC·DE)=AB∶AC。 （2）解：由（1）得 S△ABD∶S△ACD=AB∶AC=8∶6=4∶3。设 S△ABD=4k，S△ACD=3k，则 4k+3k=7k=21，解得 k=3。所以 S△ABD=12，S△ACD=9。 1 学科网（北京）股份有限公司 $