14.3　角的平分线 分层练习 2026-2027学年 数学 人教版 八年级上册

**基本信息** 本同步练通过A、B、C三层设计，以1:7:4题量配比实现从基础到拓展的梯度进阶，聚焦角的平分线性质，融合中考真题与探究情境，培养几何直观与推理能力。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |A层|单一知识点|以中考尺规作图题直接考查性质应用，夯实基础| |B层|性质理解与简单综合|含作图、选择、证明等题型，结合面积计算、全等推理，如教材变式题深化理解| |C层|性质拓展与复杂应用|通过动态探究、多问解答题（如外角平分线交点问题），发展推理能力与创新意识|

14.3　角的平分线（第1课时：角的平分线的性质）　分层练习 一、A层·基础夯实（课件中共 1 道题归入本层） 1. [选择题]（知识点：角的平分线的性质）【聚焦中考·尺规作图】(2025四川资阳中考)如图，在射线BA，BC上，分别截取BM，BN，使BM=BN，再分别以点M和点N为圆心，大于线段MN的长为半径作圆弧，在∠ABC内两弧交于点D，作射线BD，过点D作DE∥BC交BA于点E。若∠BDE=30°，则∠AED的度数是（　　　　） A. 30°　　　　B. 45° C. 60°　　　　D. 75° 二、B层·理解运用（课件中共 7 道题归入本层） 1. [作图题]（知识点：角的平分线的性质）用尺规分别画出图1、图2中∠AOB的平分线。(保留作图痕迹，不写画法) 解： 2. [选择题]（知识点：角的平分线的性质）(2026山西长治期末)如图，在△ABC中，AB=8，AC=6，AD平分∠BAC交BC于D，过D作DE⊥AC于点E，且DE=3，则△ABC的面积为（　　　　） A. 21　　　　B. 24 C. 27　　　　D. 30 3. [选择题]（知识点：角的平分线的性质）【学科特色·教材变式】如图，D是∠ABC平分线上的一点，DE⊥BC，DF⊥AB，垂足分别为E，F，连接EF，交BD于点O。已知∠EDF=120°，则∠DEF的度数为（　　　　） A. 40°　　　　B. 35° C. 30°　　　　D. 25° 4. [填空题]（知识点：角的平分线的性质）(2026河北沧州期末)如图，在△ABC中，∠ACB=90°，O为△ABC各内角平分线的交点，过点O作AB的垂线，垂足为H。若BC=6，AC=8，AB=10，则OH的长为__________。 5. [证明题]（知识点：角的平分线的性质）(2026四川泸州期末)如图，在△ABC中，∠C=90°，AD平分∠BAC，DE⊥AB于点E，点F在AC上，且BD=DF。(1)求证：CF=EB；(2)请你判断AE，AF与BE之间的数量关系，并说明理由。 解： 6. [证明题]（知识点：角的平分线的性质）求证：三角形互为同旁内角的两个外角的平分线的交点到三角形三边(或所在直线)的距离相等。 解： 7. [选择题]（知识点：角的平分线的性质）(2026湖北十堰期末改编,★★☆)如图，已知点P的坐标为(a，b-2)，根据作图痕迹判断a与b的数量关系为（　　　　） A. a+b=2　　　　B. a-b=2 C. a+b=-2　　　　D. a-b=-2 三、C层·拓展挑战（课件中共 4 道题归入本层） 1. [填空题]（知识点：角的平分线的性质）(2026广东汕头期末,★★☆)如图，在△ABC中，与∠ABC和∠ACB共顶点的外角平分线BP，CP交于点P，PE⊥AC于点E。若△ABC的面积为10，△BPC的面积为7，PE=4，则△ABC的周长为__________。 2. [填空题]（知识点：角的平分线的性质）(2026山西朔州期末,★★★)如图，AP为△ABC的角平分线，∠C=90°，，BC=6，D为AB上一动点，连接PD，则PD的最小值为__________。 3. [解答题]（知识点：角的平分线的性质）(2026陕西渭南期末,★★☆)如图，AD为△ABC的中线，BE为△ABD的角平分线，过点E作EN⊥AB于点N，EM为△BED的高。(1)若∠BED=40°，∠BAD=25°，求∠ABD的度数；(2)若AB=16，BD=8，△ABC的面积为64，求EM的长。 解： 4. [探究题]（知识点：角的平分线的性质）【核心素养·推理能力】已知点C是∠MAN的平分线上一点，∠BCD的两边CB，CD分别与射线AM，AN相交于B，D两点，且∠ABC+∠ADC=180°。过点C作CE⊥AM。(1)如图1，当点E在线段AB上时，求证：BC=DC；(2)如图2，当点E在线段AB的延长线上时，探究线段AB，AD与BE之间的数量关系；(3)如图3，在(2)的条件下，若∠MAN=60°，连接BD，作∠ABD的平分线BF交AD于点F，交AC于点O，连接DO并延长交AB于点G，若BG=1，DF=2，求线段DB的长。 解： 参考答案与解析 一、A层·基础夯实 1. 答案：C 解析：由作图过程可知，射线BD为∠ABC的平分线，∴∠ABC=2∠CBD，∵DE∥BC，∴∠AED=∠ABC，∠CBD=∠BDE=30°，∴∠AED=∠ABC=60°。故选C。 二、B层·理解运用 1. 答案：见解析 解析：如图所示。(用尺规作角的平分线：以O为圆心任意长为半径画弧交两边于两点，再分别以这两点为圆心画弧交于一点，连接O与该交点) 2. 答案：A 解析：∵AD平分∠BAC，∴点D到AB和AC的距离相等。∵DE⊥AC于点E，且DE=3，∴点D到AB和AC的距离都是3，∴S△ABC=S△ABD+S△ACD=×3×AB+×3×AC，∵AB=8，AC=6，∴S△ABC=×3×8+×3×6=12+9=21。故选A。 3. 答案：C 解析：∵D是∠ABC平分线上的一点，DE⊥BC，DF⊥AB，∴DE=DF，∵BD=BD，∴Rt△BDE≌Rt△BDF(HL)，∴∠BDE=∠BDF，在△DEO与△DFO中，DE=DF，∠BDE=∠BDF，DO=DO，∴△DEO≌△DFO(SAS)，∴∠DEO=∠DFO，∵∠EDF=120°，∴∠DEF=30°。故选C。 4. 答案：2 解析：如图，过点O作OE⊥AC于点E，OF⊥BC于点F，连接OA，OB，OC，∵O为△ABC各内角平分线的交点，∴OE=OF=OH，∵S△ABC=S△BOC+S△AOC+S△AOB，∠ACB=90°，∴BC·AC=BC·OF+AC·OE+AB·OH，∵BC=6，AC=8，AB=10，∴×6×8=×6OH+×8OH+×10OH，解得OH=2。故答案为2。 5. 答案：(1)见解析；(2)AF+BE=AE 解析：(1)证明：∵AD平分∠BAC，DE⊥AB，∠C=90°，∴DC=DE，在Rt△DCF和Rt△DEB中，DC=DE，DF=DB，∴Rt△DCF≌Rt△DEB(HL)，∴CF=EB。(2)AF+BE=AE。理由如下：在Rt△DCA和Rt△DEA中，DC=DE，DA=DA，∴Rt△DCA≌Rt△DEA(HL)，∴AC=AE，∵AC=AF+CF=AF+BE，∴AF+BE=AE。 6. 答案：见解析 解析：已知：如图，BD为△ABC的外角∠CBG的平分线，CE为△ABC的外角∠BCH的平分线，BD，CE相交于点P。求证：点P到△ABC的三边(或所在直线)的距离相等。证明：如图，过点P作PF⊥BC，PM⊥AG，PN⊥AH，垂足分别为F，M，N。∵PF⊥BC，PM⊥AG，且BD平分∠CBG，∴PF=PM。同理PF=PN，∴PF=PM=PN，即点P到△ABC的三边(或所在直线)的距离相等。 7. 答案：A 解析：由作图可知P点为第二象限角平分线上的点，∵点P的坐标为(a，b-2)，∴a+b-2=0，∴a+b=2。故选A。 三、C层·拓展挑战 1. 答案：12 解析：如图，连接AP，过点P作PF⊥BC于点F，PG⊥AB于点G，∵与∠ABC和∠ACB共顶点的外角平分线BP，CP交于点P，PE⊥AC，PF⊥BC，PG⊥AB，∴PG=PF=PE=4，∵△BPC的面积为7，∴BC×4=7，∴BC=，∵△ABC的面积为10，∴AB×4+AC×4-7=10，∴AB+AC=，∴△ABC的周长=AB+AC+BC=。故答案为12。 2. 答案：5/3 解析：如图，过点P作PE⊥AB于点E，∵AP为△ABC的角平分线，∠C=90°，PE⊥AB，∴PC=PE，∴，设PC=5k，则PB=13k，∴BC=18k，∵BC=6，∴18k=6，解得k=，∴PE=PC=，∵D为AB上一动点，∴当PD⊥AB时，PD有最小值，此时点D与点E重合，故PD的最小值为。 3. 答案：(1)∠ABD=30°；(2)EM=4 解析：(1)由条件可知∠ABE=∠BED-∠BAD=40°-25°=15°，∵BE为△ABD的角平分线，∴∠ABD=2∠ABE=30°。(2)∵AD为△ABC的中线，∴S△ABD=S△ABC=32，∵BE为△ABD的角平分线，EN⊥AB，EM为△BED的高，∴NE=ME，∵S△ABD=S△ABE+S△BDE=32，∴AB·NE+BD·ME=32，∵AB=16，BD=8，NE=ME，∴×16ME+×8ME=32，解得ME=4。 4. 答案：见解析 解析：(1)证明：如图，过点C作CF⊥AN，垂足为F。∵AC平分∠MAN，CE⊥AB，CF⊥AN，∴CE=CF，∠CEB=∠CFD=90°，∵∠CBE+∠ADC=180°，∠CDF+∠ADC=180°，∴∠CBE=∠CDF。在△BCE和△DCF中，∠CEB=∠CFD，∠CBE=∠CDF，CE=CF，∴△BCE≌△DCF(AAS)，∴BC=DC。(2)如图，过点C作CF⊥AD，垂足为F。∵AC平分∠MAN，CE⊥AM，CF⊥AD，∴CE=CF，∠CFA=∠CEA=90°，易证△ACE≌△ACF，∴AE=AF。∵∠ABC+∠ADC=180°，∠ABC+∠CBE=180°，∴∠CDF=∠CBE。在△BCE和△DCF中，∠CEB=∠CFD，∠CBE=∠CDF，CE=CF，∴△BCE≌△DCF(AAS)，∴BE=DF，∴AD=AF+DF=AE+DF=AB+BE+DF=AB+2BE，∴AD-AB=2BE。(3)由(2)的结论及已知条件可证得DB=DF+BG=2+1=3。 学科网（北京）股份有限公司 $ 14.3　角的平分线（第2课时：角的平分线的判定）　分层练习 一、A层·基础夯实（课件中共 2 道题归入本层） 1. [选择题]（知识点：角的平分线的判定）【学科特色·教材变式】(2026浙江台州期中)两个完全一样的三角尺如图摆放，它们的顶点重合于点M，则点M一定在（　　　　） A. ∠A的平分线上　　　　B. AC边的高上 C. ∠B的平分线上　　　　D. AB边的中线上 2. [填空题]（知识点：角的平分线的判定）(2026海南乐东期末)如图，在△ABC中，点O到三边的距离相等，∠BAC=70°，则∠BOC=____________。 二、B层·理解运用（课件中共 5 道题归入本层） 1. [选择题]（知识点：角的平分线的判定）已知，如图，OC是∠AOB内部的一条射线，P是射线OC上任意一点，PD⊥OA，PE⊥OB，下列条件：①∠AOC=∠BOC，②PD=PE，③OD=OE，④∠DPO=∠EPO，其中能判定OC是∠AOB的平分线的有（　　　　） A. 1个　　　　B. 2个 C. 3个　　　　D. 4个 2. [证明题]（知识点：角的平分线的判定）(2026上海黄浦月考)如图，在四边形ABCD中，∠A=∠B=90°，点E为AB的中点，DE平分∠ADC。求证：CE平分∠BCD。 解： 3. [解答题]（知识点：角的平分线的判定）(2026四川广元月考改编)如图，DE⊥AB，交AB的延长线于点E，BE=CF，DF⊥AC于点F，且DB=DC，∠C=40°，求∠DAC的度数。 解： 4. [选择题]（知识点：角的平分线的判定）(2026江苏淮安期中,★★☆)如图，直线l1，l2，l3表示三条相互交叉的公路，现要建一个货物中转站，要求它到三条公路的距离相等，则可供选择的地址有（　　　　） A. 1处　　　　B. 2处 C. 3处　　　　D. 4处 5. [选择题]（知识点：角的平分线的判定）(2026广东汕尾月考,★★☆)如图，在△ABC中，P，Q分别是BC，AC上的点，作PR⊥AB，PS⊥AC，垂足分别为R，S，若∠QAP=∠APQ，PR=PS，则下列结论：①AP平分∠BAC；②AS=AR；③QP∥AR；④△BRP≌△CSP。其中正确的有（　　　　） A. 4个　　　　B. 3个 C. 2个　　　　D. 1个 三、C层·拓展挑战（课件中共 4 道题归入本层） 1. [填空题]（知识点：角的平分线的判定）(2026福建厦门期中,★★☆)如图，在平面直角坐标系中，点A(0，2)，点D在第一象限，且∠AOD=19°，OD=4。点B是x轴正半轴上的一个动点，连接AB。作△AOB的两个外角平分线交于点C，连接CD，当线段CD的长取最小值时，∠ODC=__________。 2. [填空题]（知识点：角的平分线的判定）(2026北京海淀期末改编,★★★)如图，在△OAB和△OCD中，OA=OB，∠OCD=∠ODC，OC=OD，OA＞OC，∠AOB=∠COD=40°，连接AC，BD交于点M，则∠CMO=__________。 3. [解答题]（知识点：角的平分线的判定）(2026湖南娄底月考,★★☆)如图，在△ABC中，点D在BC边上，∠BAD=100°，∠ABC的平分线交AC于点E，过点E作EF⊥AB，垂足为F，且∠AEF=50°。(1)求∠CAD的度数；(2)求证：DE平分∠ADC；(3)若AB=6，AD+CD=12，且S△ACD=12，求△ABE的面积。 解： 4. [探究题]（知识点：角的平分线的判定）【核心素养·推理能力】(2026江西南昌月考)【母题呈现】如图，在三角形纸片中，AB=8 cm，BC=6 cm，AC=5 cm。沿过点B的直线折叠这个三角形，使点C落在AB边上的点E处，折痕为BD，则△AED的周长为______。【知识应用】如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，沿过点B的直线折叠这个三角形，使点C落在AB边上的点E处，折痕为BD，作∠BED的平分线交BD于点P，过点P作PH⊥AB于点H。(1)求证：AP平分∠CAB；(2)若AB=15 cm，BC=12 cm，AC=9 cm，求PH的长。 解： 参考答案与解析 一、A层·基础夯实 1. 答案：A 解析：两个完全一样的三角尺的斜边与两直角边对应相等，点M到∠A两边的距离相等，由角的平分线的判定可知点M一定在∠A的平分线上。故选A。 2. 答案：125° 解析：∵点O到△ABC三边的距离相等，∴O为△ABC的三内角平分线的交点，∴∠OBC=∠ABC，∠OCB=∠ACB，∵∠A=70°，∴∠ABC+∠ACB=180°-∠A=110°，∴∠OBC+∠OCB=55°，∴∠BOC=180°-(∠OBC+∠OCB)=125°。 二、B层·理解运用 1. 答案：D 解析：①∵∠AOC=∠BOC，∴OC是∠AOB的平分线，故①符合题意；②∵PD⊥OA，PE⊥OB，PD=PE，∴OC是∠AOB的平分线，故②符合题意；③在Rt△POD和Rt△POE中，PD=PE，PO=PO，∴Rt△POD≌Rt△POE(HL)，∴∠AOC=∠BOC，∴OC是∠AOB的平分线，故③符合题意；④易得△POD≌△POE(AAS)，∴∠AOC=∠BOC，∴OC是∠AOB的平分线，故④符合题意。故选D。 2. 答案：见解析 解析：证明：如图，过点E作EF⊥CD，垂足为F，∵∠A=90°，DE平分∠ADC，∴AE=EF。∵点E为AB的中点，∴AE=BE，∴EF=BE。∵∠B=90°，∴点E在∠BCD的平分线上，即CE平分∠BCD。 3. 答案：25° 解析：∵DE⊥AB，DF⊥AC，∴∠BED=∠CFD=90°，∵DB=DC，BE=CF，∴Rt△BDE≌Rt△CDF(HL)，∴DE=DF，∴AD是∠BAC的平分线。∵∠C=40°，∴∠BAC=90°-40°=50°，∴∠DAC=∠BAC=×50°=25°。 4. 答案：D 解析：如图，三条公路围成的中间部分为三角形，易知这个三角形两个内角平分线的交点以及三个外角两两平分线的交点都满足要求。(1)三角形两个内角平分线的交点，共1处；(2)三个外角平分线的交点，共3处。∴共4处。故选D。 5. 答案：B 解析：∵PR=PS，PR⊥AB，PS⊥AC，∴AP平分∠BAC，故①正确；∵AP平分∠BAC，∴∠RAP=∠QAP，∵∠QAP=∠APQ，∴∠RAP=∠APQ，∴QP∥AR，故③正确；在Rt△APR和Rt△APS中，PR=PS，AP=AP，∴Rt△APR≌Rt△APS(HL)，∴AS=AR，故②正确；根据已知条件无法证得△BRP≌△CSP，故④错误。综上可知，结论正确的是①②③，共3个。故选B。 三、C层·拓展挑战 1. 答案：64° 解析：如图，连接OC，过点C作CE⊥x轴于点E，CF⊥y轴于点F，CG⊥AB于点G，∵△AOB的两个外角平分线交于点C，∴CE=CG，CF=CG，∴CF=CE，∴OC平分∠AOB，∵∠AOB=90°，∴∠AOC=45°，∵∠AOD=19°，∴∠COD=∠AOC-∠AOD=45°-19°=26°，∵当CD⊥OC时，线段CD的长取最小值，∴∠OCD=90°，∴∠ODC=90°-∠COD=90°-26°=64°。故答案为64°。 2. 答案：70 解析：∵∠AOB=∠COD=40°，∴∠AOC=∠BOD=40°+∠AOD，∠ODC=∠OCD=×(180°-40°)=70°，∵OA=OB，OC=OD，∴△AOC≌△BOD(SAS)，∴∠OCA=∠ODB，AC=BD，S△AOC=S△BOD，∴∠CMB=∠MDC+∠MCD=∠ODC+∠ODB+∠MCD=∠ODC+∠OCA+∠MCD=∠ODC+∠OCD=140°，如图，过点O作OI⊥AC于点I，OL⊥BD于点L，则S△AOC=AC·OI，S△BOD=BD·OL，∵S△AOC=S△BOD，AC=BD，∴OI=OL，∴点O在∠BMC的平分线上，∴MO平分∠BMC，∴∠CMO=70°。 3. 答案：(1)∠CAD=40°；(2)见解析；(3)S△ABE=6 解析：(1)∵EF⊥AB，∴∠F=90°，∵∠AEF=50°，∴∠FAE=90°-50°=40°，∵∠BAD=100°，∴∠CAD=180°-100°-40°=40°。(2)证明：如图，过点E作EG⊥AD于点G，EH⊥BC于点H，∵∠FAE=∠DAE=40°，∴AC是∠FAD的平分线，∵EF⊥BF，EG⊥AD，∴EF=EG，∵BE平分∠ABC，EF⊥BF，EH⊥BC，∴EF=EH，∴EG=EH，∴DE平分∠ADC。(3)∵S△ACD=S△AED+S△CED=12，EG=EH，∴AD·EG+CD·EH=(AD+CD)·EG=12，∵AD+CD=12，∴×12EG=12，∴EG=2，∴EF=2，∴S△ABE=AB·EF=×6×2=6。 4. 答案：【母题】7 cm；【知识应用】(2)PH=3 cm 解析：【母题呈现】7 cm。详解：由折叠得△BDE≌△BDC，∴BE=BC=6 cm，DE=DC，∵AB=8 cm，∴AE=AB-BE=2 cm，∵AC=5 cm，∴AD+DE=AD+DC=5 cm，∴△AED的周长为AD+DE+AE=7 cm。【知识应用】(1)证明：如图1，过点P分别作ED，AC的垂线，垂足分别为点F，M，由折叠得△BDE≌△BDC，∴∠PDE=∠PDC，∵PF⊥ED，PH⊥AB(即PH⊥BE)，∴PF=PH，又∵PH=PM(角平分线性质)，∴PF=PM=PH，且PF⊥ED，PM⊥AC，PH⊥AB，∴点P到∠CAB两边的距离相等，又∵点P在∠CAB内部，∴AP平分∠CAB。(2)如图2，过点P分别作BC，AC的垂线，垂足分别为点G，M，连接PC，由题意可知，∠DBE=∠DBC，∴PH=PG，由(1)可知PH=PM，∴PH=PM=PG，∵S△ABC=S△ABP+S△BCP+S△ACP，∠ACB=90°，∴BC·AC=AB·PH+BC·PG+AC·PM，∵AB=15 cm，BC=12 cm，AC=9 cm，∴×12×9=×15PH+×12PH+×9PH，解得PH=3 cm。 学科网（北京）股份有限公司 $