四川成都市树德中学（宁夏街校区）2027届高三上学期9月阶段性测试数学试题

树德中学高2024级高三上学期9月阶段性测试数学试题参考答案 一、单选题 1．B 2．B 3．A 4．C 5．D 6．C 7．A 8．B 二、多选题 9．AD 10．BCD 11．BCD 三、填空题 12．324 13． 14． 四、解答题 15．（1）（2） 【详解】（1）因为以及余弦定理可得，，即，因为的面积为，所以，即，得，因为，所以； 6分 （2）由（1）可得，，由正弦定理可得，，因为，所以，，则由可得，设线段的中点为，则 ，得，得，故边上的中线长为． 7分 16．（1），（2）455人 【详解】（1）由频率分布直方图的数据，可得估计该市居民竞赛成绩的平均数如下，可得，则估计该市居民竞赛成绩的方差为． 7分 （2）由（1）可得，所以，，则，所以Z服从正态分布，因为，所以．则该市参赛居民成绩超过95分的人数估计为人． 8分 17．（1）（2） 【详解】（1）由题意可得，，将代入中，可得，依题意，点在第一象限， 故得，由，，得，解得，，所以，所以椭圆标准方程为． 6分 （2）设直线的方程为，点，．联立，得，由.解得且，，所以，从而 ，解得，，所以，令，则，综上，的取值范围为． 9分 18．（2）①② 【详解】（1）已知平面，且平面，因此； 已知平面平面，且平面平面，在平面内作于，根据面面垂直的性质定理，可得平面，结合平面，可得；由于，且，平面，根据线面垂直的判定定理，可得平面；又因为平面，因此． 4分 （2）①取的中点，连接，因为是的中点，所以， 由（1）平面，可得平面，平面，所以，由，，为等腰直角三角形，因此，又因为，平面，，所以平面，则就是与平面所成的角，已知与平面所成角为，所以．在等腰中，，所以；在中，，代入得，所以，所以， 所以三棱锥体积为 5分 ②过点作平面，垂足为，以为原点，以，，所在直线分别为轴，轴，轴，建立空间直角坐标系，则，，，，．故，，直线的方向向量．设平面的法向量 故，即， 令，则，，所以．由直线与平面的夹角为，得，整理得，交叉相乘同时平方得，进而有，由基本不等式得，，所以，当且仅当时，即时等号成立，所以，即的最大值为．此时，，，设平面的法向量，则，即，令，则，所以．平面的一个法向量．设二面角为，则，所以 8分 19．（1）（2）（3）6 【详解】（1）当时，，则，所以在切点处的切线方程为，又切线过点，则，即，令，则， 所以当时，，则单调递增，当时，，则单调递减， 所以当时，，所以，所以切线方程为． 4分 （2）法一：带参讨论：因为对任意，均有恒成立，即恒成立，则，令， 当时，对称轴，即在上单调递增，又，所以，即，所以在上单调递增，又，所以恒成立，即恒成立，符合题意； 当时，对称轴，又，又的两个根分别为，，所以，，且当时，，即，则单调递减， 又，所以当时，，即，与矛盾，故不成立．综上所述，的取值范围为． 5分 法二：端点效应 法三：全分参 （3）方法一：一方面， ，所以，则数列单调递增，而，，，所以； 另一方面，由（2）知，当且仅当时，取“=”，令，则，则，所以， 所以． 方法二：由（1）知，当且仅当时，取“=”， 用代，则，即，当且仅当时，取“=”，令，则， 所以，所以， 所以． 综上所述，的小数点后第一位数字为6． 8分 学科网（北京）股份有限公司 $ 树德中学高2024级高三上学期9月阶段性测试数学试题 本试卷满分150分，考试用时120分钟 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的．请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上． 1．已知复数，则的虚部为（ ） A．1 B．3 C． D． 2．已知命题，，则命题的否定为（ ） A．， B．， C．， D．， 3．已知向量，，若，则（ ） A． B． C． D．5 4．某函数的图象如图所示，则该函数解析式可能为（ ） A． B． C． D． 5．如图的形状出现在南宋数学家杨辉所著的《详解九章算法·商功》中，后人称为“三角垛”．“三角垛”的最上层有1个球，从第二层开始，第层比第层多个球，则第100层球的个数为（ ） A．4949 B．4950 C．5049 D．5050 6．若，则（ ） A． B． C．1 D．2 7．抛物线，是其焦点，点、在曲线上，且，为线段中点，过点作的准线的垂线，垂足为，则的最小值为（ ） A． B． C． D．3 8．已知，，，则，，的大小关系不可能为（ ） A． B． C． D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对得6分，部分选对的得部分分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分． 9．下列说法正确的是（ ） A．若事件，满足，，且，则，相互独立 B．数据2，3，4，6，7，8，9，10，11，12，14，16的第75百分位数为11 C．变量关于变量的经验回归方程为，则样本点的残差为1 D．回归分析中，决定系数越大，说明残差平方和越小，回归方程的拟合效果越好 10．古希腊数学家阿波罗尼斯发现：用平面截圆锥，可以得到不同的截口曲线，如图①．在圆锥中，轴截面是斜边长为的等腰直角三角形，点是线段的中点．过点的平面截圆锥，下列图②-图⑤中的截口曲线分别为圆、椭圆（截面经过点）、抛物线的一部分（截面经过点）、双曲线的一部分（截面垂直于平面），则（ ）． A．圆的面积为 B．椭圆的长轴长为 C．抛物线的焦点到准线的距离为1 D．双曲线的离心率为 11．已知函数的定义域为，，，为奇函数，则（ ） A． B．为偶函数 C． D． 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．已知数列是等比数列，若，，则_______． 13．甲盒装有2个红球、4个白球，乙盒装有3个红球、3个白球．掷一枚质地均匀的骰子，若向上的点数为1或2，从甲盒中随机摸出2个球，否则从乙盒中随机摸出2个球．则摸到2个白球的概率为_______． 14．在正三棱柱中，，棱柱高，点满足，若经过，，三点的平面将棱柱分为，两部分（的体积较小），则的体积为_______． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（13分）记的内角，，的对边分别为，，，已知，的面积为． （1）（6分）求； （2）（7分）若，求边上的中线长． 16．（15分）某市开展“全民反诈在行动”知识竞赛活动，现从参加该活动的两万名居民中随机抽取了100名，统计出他们竞赛成绩频率分布直方图． （1）（7分）估计该社区居民竞赛成绩的平均数和方差（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）； （2）（8分）由直方图可认为全市参加活动的居民成绩服从正态分布，其中，分别取考生的平均成绩和考生成绩的方差，估计该市所有参加活动居民成绩超过95分的有多少人？ 附：，则，． 17．（15分）设椭圆的右焦点为，左顶点为，上顶点为，．点是椭圆上的一点，轴，且． （1）（6分）求椭圆的标准方程； （2）（9分）若过点且斜率不为零的动直线与椭圆相交于两个不同的点，，过线段的中点作直线的垂线与，轴分别交于，，求的取值范围． 18．（17分）如图，在三棱锥中，平面，平面平面，为的中点． （1）（4分）求证：． （2）（13分）若，，，且与平面所成角为． ①（5分）当时，求三棱锥的体积； ②（8分）当取最大值时，求二面角的正弦值． 19．（17分）已知函数，． （1）（4分）当时，求曲线过点的切线方程； （2）（5分）若对任意，都有成立，求的取值范围； （3）（8分）设，，求的小数点后第一位数字（如：自然对数的底数的小数点后第一位数字为7，的小数点后第一位数字为6）． 学科网（北京）股份有限公司 $