精品解析：山东淄博市张店区淄博柳泉中学2026-2027学年上学期九年级9月学情自测数学试题

初四月考数学试卷 一、选择题（共10小题，每题4分） 1. 的相反数是（ ） A. B. C. D. 2. 下列图象中，y不是x的函数的是（ ） A. B. C. D. 3. 如图，，过点作于点，过点作于点，则下列不能表示的是( ) A. B. C. D. 4. 下列函数中，自变量的取值范围为，则这个函数解析式为（ ） A. B. C. D. 5. 下列函数中，一定为二次函数的是（ ） A. B. C. D. 6. 如图，小丽从点出发，沿坡角为的斜坡向上走了150米到达点，则她沿垂直方向升高了（　　） A. 米 B. 米 C. 米 D. 米 7. 将二次函数的图像沿轴方向向右平移2个单位长度，平移后的二次函数的解析式为（ ） A. B. C. D. 8. 二次函数的图象如图所示，与轴交于和两点，则函数值时，的取值范围是（ ） A. B. C. D. 或 9. 点，，均在二次函数的图象上，则，，的大小关系是（ ） A. B. C. D. 10. 在平面直角坐标系中，二次函数的图象如图所示，现给出以下结论：①；②③；④（为实数）；⑤．其中错误的有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 二、填空题（共5小题，每题4分） 11. 在函数中，自变量x的取值范围是________． 12. 若锐角α满足，则___________． 13. 已知：中，，，所对的边分别是，，，边，且满足，则边的长为______． 14. 若二次函数有最大值7，则的值为________． 15. 若一个点的纵坐标是横坐标的2倍，则称这个点为“倍值点”，如：，，都是“倍值点”，若关于x的二次函数，n为常数，总有两个不同的倍值点，则n的取值范围是_____． 三、解答题（共8小题） 16. 计算： （1）； （2）． 17. 在中，，分别是的对边． （1）已知，，求； （2）已知，，求． 18. 已知函数是关于x的二次函数． （1）求m的值； （2）写出二次项系数、一次项系数及常数项． 19. 如下图，在中，． （1）求的长． （2）利用此图形求的值（结果精确到0.1，参考数据：． 20. 已知二次函数． （1）在下图所示的平面直角坐标系中画出该二次函数的图象； （2）直接写出当时，的取值范围． 21. 如图，抛物线与x轴交于，两点，与y轴交于点C． （1）求抛物线解析式； （2）求C点的坐标； （3）抛物线对称轴上有一动点P，是否存点P，使得最小，若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 22. 四边形不具有稳定性，工程上可利用这一性质解决问题．如图是某篮球架的侧面示意图，为长度固定的支架，支架在处与立柱连接（，垂足为H），在B，C处与篮板连接（），是可以调节长度的伸缩臂（旋转点处的螺栓改变的长度，使得支架绕点旋转，从而改变四边形的形状，以此调节篮板的高度）． 已知，，，测得时，点C离地面的高度为.调节伸缩臂，将由调节到． 请判断点C离地面的高度升高还是降低了？升高（或降低）了多少？（参考数据：，．） 23. 已知二次函数的图象的顶点坐标为． （1）求b和c的值； （2）将二次函数．的图象记为，将关于原点对称的图象记为，与合起来得到的图象记为M，完成以下问题： ①在如图所示的平面直角坐标系中画出图象M； ②若对于图象M上的两点．，，当，时，总有，请直接写出m的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 初四月考数学试卷 一、选择题（共10小题，每题4分） 1. 的相反数是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了特殊角的三角函数值． 先计算的值，再求其相反数即可． 【详解】解：∵， ∴的相反数是． 故选：C． 2. 下列图象中，y不是x的函数的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】解：由函数的定义可知，选项C中的图象中，对于一个x,有两个y的值与其对应， 故y不是x的函数． 3. 如图，，过点作于点，过点作于点，则下列不能表示的是( ) A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】解：，， ， ， ， . 4. 下列函数中，自变量的取值范围为，则这个函数解析式为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查的是函数自变量的取值范围，二次根式有意义的条件，分式有意义的条件．根据求解函数自变量的取值范围的方法求解即可． 【详解】解：A、，函数自变量的取值范围为一切实数，故该选项不符合题意； B、，则，解得，故该选项不符合题意； C、，则，解得，故该选项符合题意； D、，则，解得，故该选项不符合题意； 故选：C． 5. 下列函数中，一定为二次函数的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据二次函数的定义逐项判断即可． 【详解】解：选项A：自变量的最高次是，是一次函数，不是二次函数，故A选项不符合题意； 选项B：整理可得：，其中自变量的最高次数是，是二次函数，故B选项符合题意； 选项C：中未限定，当时不是二次函数，故C选项不符合题意； 选项D中：含分式，不是整式函数，不是二次函数，故D选项不符合题意． 6. 如图，小丽从点出发，沿坡角为的斜坡向上走了150米到达点，则她沿垂直方向升高了（　　） A. 米 B. 米 C. 米 D. 米 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了解直角三角形，熟练掌握解直角三角形的方法是解题关键．根据可得的长，由此即可得． 【详解】解：如图所示， 根据题意：，米， 故， 故选：D． 7. 将二次函数的图像沿轴方向向右平移2个单位长度，平移后的二次函数的解析式为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据平移规律“左加右减，上加下减”求解． 【详解】解：将函数图象沿x轴向右平移2个单位长度， ∴平移后解析式为：． 8. 二次函数的图象如图所示，与轴交于和两点，则函数值时，的取值范围是（ ） A. B. C. D. 或 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了抛物线与不等式的关系，熟练掌握关系是解题的关键．利用数形结合思想，二次函数的性质解答即可． 【详解】解：根据题意，二次函数的图象与轴交于和两点，则函数值时，的取值范围是或， 故选：D． 9. 点，，均在二次函数的图象上，则，，的大小关系是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的性质、比较二次函数的函数值的大小，根据二次函数解析式得出抛物线开口向上，对称轴为直线，再求出、、到对称轴的距离，进行比较即可得出答案． 【详解】解：二次函数的抛物线开口向上，对称轴为直线， ∵，，，， ， 故选：D． 10. 在平面直角坐标系中，二次函数的图象如图所示，现给出以下结论：①；②③；④（为实数）；⑤．其中错误的有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查图象与二次函数系数之间的关系；由抛物线的开口方向判断与的关系，由抛物线与y轴的交点判断与的关系，然后根据对称轴及抛物线与x轴交点情况进行推理，进而对所得结论进行一一分析判断． 【详解】解：①由抛物线开口向上，，抛物线与轴交点在轴下方，， 对称轴为：直线， ， ，故①正确； ②由对称轴可知：， ， 时，， ， ，故②正确； ③关于直线的对称点为， 时，，故③正确； ④当时，的最小值为， 时，， ， 即，故④错误； ⑤抛物线与轴有两个交点， ， 即， ，故⑤正确； 错误的个数只有个， 故选：A． 二、填空题（共5小题，每题4分） 11. 在函数中，自变量x的取值范围是________． 【答案】且 【解析】 【分析】本题主要考查二次根式与分式有意义的条件及自变量的取值范围，熟练掌握二次根式与分式有意义的条件及自变量的取值范围是解题的关键；由题意易得且，然后进行求解即可． 【详解】解：由题意得：且， 解得：且； 故答案为且． 12. 若锐角α满足，则___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查特殊角的三角函数值，根据特殊角的三角函数值可得，从而得到，进而即可解答． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴． 故答案为： 13. 已知：中，，，所对的边分别是，，，边，且满足，则边的长为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了锐角三角函数的定义，熟练掌握特殊角的三角函数值是解题的关键．先利用绝对值和完全平方的非负性得到，，求出，的度数，得出，再在中利用锐角三角函数的定义即可求解． 【详解】解：， ，， ，， ，， ， 在中，， ． 故答案为：． 14. 若二次函数有最大值7，则的值为________． 【答案】6 【解析】 【分析】将二次函数解析式配方为顶点式，根据二次函数有最大值，列出关于的方程，求解即可得到的值. 【详解】解：， ， 二次函数开口向下， 二次函数的最大值为， 二次函数的最大值为， ， 解得. 15. 若一个点的纵坐标是横坐标的2倍，则称这个点为“倍值点”，如：，，都是“倍值点”，若关于x的二次函数，n为常数，总有两个不同的倍值点，则n的取值范围是_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查反正比例函数，二次函数的图象上点坐标的特征，新定义，二次函数与一元二次方程的关系，一元二次方程根的判别式．根据新定义得“倍值点”所在直线为，再联立两函数解析式，得方程组，再根据抛物线上有两个不同的“倍值点”，得方程总有两个不相等的实数根，然后由根的判别式求解即可． 【详解】解：由题意可得“倍值点”所在直线为， 抛物线有两个不同的“倍值点”， 有两组不同的解， ∴关于x的方程总有两个不相等的实数根， ∴，即， 解得：． 故答案为：． 三、解答题（共8小题） 16. 计算： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【小问1详解】 解：原式 ； 【小问2详解】 解：原式 ． 17. 在中，，分别是的对边． （1）已知，，求； （2）已知，，求． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查直角三角形的边角关系，勾股定理等知识点， （1）根据求值，再根据特殊锐角的三角函数值得出答案； （2）根据锐角三角函数的定义求出a的值，再根据勾股定理求出答案即可． 【小问1详解】 解：∵，，，， ∴， ∵， ∴； 【小问2详解】 解：∵，，，， ∴，解得， ∴． 18. 已知函数是关于x的二次函数． （1）求m的值； （2）写出二次项系数、一次项系数及常数项． 【答案】（1） （2）二次项系数是12，一次项系数是0，常数项是 【解析】 【分析】本题主要考查二次函数的定义，熟练掌握二次函数的定义，二次函数一般式是解决本题的关键． （1）根据二次函数的定义，即列式求解即可； （2）根据二次函数一般式判定即可． 【小问1详解】 解：根据二次函数的定义得， 由得， 由得且， ∴． 【小问2详解】 解：由（1）得：二次函数解析式为， 故二次项系数是12，一次项系数是0，常数项为． 19. 如下图，在中，． （1）求的长． （2）利用此图形求的值（结果精确到0.1，参考数据：． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了锐角三角函数、含的直角三角形性质、三角形的内角和、等腰三角形的性质等知识；解决问题的关键是熟练掌握三角函数运算． （1）过作，交的延长线于点，由含的直角三角形性质得，由三角函数求出 ，在中，由三角函数求出，即可得出结果； （2）在边上取一点，使得，连接，求出，，即可得出结果． 【小问1详解】 解：如图，过点作，交的延长线于点． ， ， 在中 ， 解得 【小问2详解】 解：如图，在上截取， 则 . 20. 已知二次函数． （1）在下图所示的平面直角坐标系中画出该二次函数的图象； （2）直接写出当时，的取值范围． 【答案】（1）二次函数的图象如图所示： （2） 【解析】 【分析】（1）利用描点法画出图象即可； （2）先求出该二次函数的顶点坐标，再根据图象求出的取值范围即可． 【小问1详解】 解：列表如下， 描点、画图如下：略 【小问2详解】 解：∵， ∴顶点坐标为， ∴由图象可知，当时，的取值范围为． 21. 如图，抛物线与x轴交于，两点，与y轴交于点C． （1）求抛物线解析式； （2）求C点的坐标； （3）抛物线对称轴上有一动点P，是否存点P，使得最小，若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）用待定系数法求解即可； （2）把代入解析式即可求解； （3）先判断点P的位置，然后求出直线的解析式即可求出点P的坐标． 【小问1详解】 ∵抛物线与x轴交于，两点， ∴， ∴， ∴； 【小问2详解】 当时，， ∴； 【小问3详解】 连接交对称轴于点P，连接． ∵，两点关于对称轴直线对称， ∴， ∴此时最小， 设直线的解析式为，把，代入，得 ， ∴， ∴， 当时，， ∴． 【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数和一次函数解析式，抛物线与坐标轴的交点，轴对称最短的性质，数形结合是解答本题的关键． 22. 四边形不具有稳定性，工程上可利用这一性质解决问题．如图是某篮球架的侧面示意图，为长度固定的支架，支架在处与立柱连接（，垂足为H），在B，C处与篮板连接（），是可以调节长度的伸缩臂（旋转点处的螺栓改变的长度，使得支架绕点旋转，从而改变四边形的形状，以此调节篮板的高度）． 已知，，，测得时，点C离地面的高度为.调节伸缩臂，将由调节到． 请判断点C离地面的高度升高还是降低了？升高（或降低）了多少？（参考数据：，．） 【答案】点离地面的高度升高了，升高了． 【解析】 【分析】本题考查的是平行四边形的判定与性质，矩形的判定与性质，解直角三角形的实际应用，理解题意，作出合适的辅助线是解本题的关键． 如图，延长与底面交于点，过作于，则四边形为矩形，可得，证明四边形是平行四边形，可得，当时，则，此时，，，当时，则，，从而可得答案． 【详解】解：，， 如图，延长与底面交于点，过作于，则四边形为矩形， ∴， ∵，， ∴四边形是平行四边形， ∴， 当时，则， 此时，， ∴， 当时，则， ∴， 而，， ∴点离地面的高度升高了，升高了． 23. 已知二次函数的图象的顶点坐标为． （1）求b和c的值； （2）将二次函数．的图象记为，将关于原点对称的图象记为，与合起来得到的图象记为M，完成以下问题： ①在如图所示的平面直角坐标系中画出图象M； ②若对于图象M上的两点．，，当，时，总有，请直接写出m的取值范围． 【答案】（1）的值为的值为4 （2） ①如图，即为图象， ②或 【解析】 【分析】本题考查二次函数的图象和性质．用到的知识点为：二次函数的顶点的纵坐标为，本题主要采用数形结合的方法判断出时相对应的自变量的取值． （1）设出二次函数的顶点式，再用待定系数法求得二次函数的解析式； （2）①分别得到与轴的交点，顶点坐标及与轴正半轴的交点，画出相关函数图象；同理得到与轴的交点，顶点坐标及与轴负半轴的交点，画出相关函数图象； ②分点在轴的左侧和右侧两种情况探讨的情况时的取值，即可得到的取值范围． 【小问1详解】 解：设二次函数的顶点式表达式为， ∵二次函数的图象的顶点坐标为， ∴二次函数的顶点式表达式为， 将展开得，， ∴的值为的值为 4 ； 【小问2详解】 解：①∵二次函数的图象记为， ∴图象与轴的交点为，顶点坐标为，与轴正半轴的交点为． ∴关于原点对称的图象，与轴的交点为，顶点坐标为，与轴负半轴的交点为． ②当点在轴的左侧和点之间时，总有． ， ， ； 当点在轴的右侧时，点在点的右边时，总有． 当时，． 解得：（不合题意，舍去），， ∴时，总有． 综上：或时，总有． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $